Áp dụng nhị thức newton để chúng minh hệ thức và tính tổng tổ hợp

PLT 1 ÁP DỤNG NHỊ THỨC NEWTON ðỂ CHÚNG MINH HỆ THỨC VÀ TÍNH TỔNG TỔ HỢP 1. Tính: a) 12 0 11 1 1212 12 12A 3 C 3 C ... C= − + + ðS: 122 b) 0 13 1 1 12 2 12 1 1312 12 12B C .2 .3 C .2 .3 ... C .2 .3= + + + ðS: 126.5 c) 0 2011 1 2010 1 2010 2010 20112011 2011 2011C C 3 C 3 4 ... C .3.4 4= − + − + ðS: 1− 2. Chứng minh: a) ( )0 2 2 4 4 2012 2012 2012 20132013 2013 2013 2013C 3 C 3 C ... 3 C 2 2 1+ + + + = − b) ( )0 2 2 4 4 2n 2n 2n 1 2n2n 2n 2n 2nC 3 C 3 C ... 3 C 2 2 1−+ + + + = + c) 1 3 5 2n 1 0 2 4 2n2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2nC C C ... C C C C ... C−+ + + + = + + + + d) 2012 0 2 1 2012 2012 2012 2012 2012 3 1C 2 C ... 2 .C 2 + + + + = 3. Chứng minh: a) p p 1 1 p 2 2 p pa a b a b b a bC C .C C .C ... C C− − ++ + + + = b) ( ) ( ) ( )2 2 20 1 n nn n n 2nC C ... C C+ + + = c) 1 3 5 2n 1 0 2 4 2n 2n 12n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2nC C C ... C C C C ... C 2− −+ + + + = + + + + = 4. Rút gọn: ( )k0 1 2 kk n n n nS C C C ... 1 .C= − + − + − , với k n, n 1≤ > . 5. Chứng minh: ( ) ( ) ( )k 1 k *n 1 nk 1 C n 1 C k, n , n k 1+++ = + ∈ ≥ ≥ℕ . 6. Tính tổng: ( )1 2 3 n *n n n nS 1.C 2.C 3.C ... n.C n= + + + + ∈ℕ ðS: n 1n.2 − . 7. Tính tổng: ( )0 1 2 n *n n n n1 1 1 1S C C C ... C n1 2 3 n 1= + + + + ∈+ ℕ ðS: ( )n 1 1 2 1 n 1 + − + 8. Tính tổng: ( ) ( )2 3 n *n n nS 1.2.C 2.3.C ... n 1 n.C n ,n 2= + + + − ∈ >ℕ ðS: ( ) n 2n 1 n.2 −− . 9. Tính tổng: ( )2 1 2 2 2 n *n n n1 C 2 C ... n C n ,n 2+ + + ∈ >ℕ ðS: ( ) n 2n n 1 .2 −+ . 10. Chứng minh: ( )2n1 3 2n 1 *2n 2n 2n1 1 1 2 1C C ... C n2 4 2n 2n 1− − + + + = ∈ + ℕ 11. Tính các tổng sau: a) ( ) ( )n1 2 3 n *1 n n n nS 1.C 2.C 3.C ... 1 n.C n ,n 1= − + − − − ∈ >ℕ b) ( )0 1 2 n 1 *2 n n n nS 1.C 2.C 3.C ... n.C n−= + + + + ∈ℕ c) ( ) ( )2 3 4 n *3 n n n nS 1.C 2.C 3.C ... n 1 .C n ,n 2= + + + + − ∈ >ℕ d) ( ) ( ) ( )n2 3 4 n *4 n n n nS 1.C 2.C 3.C ... 1 n 1 .C n ,n 2= − + − + − − ∈ >ℕ e) ( ) ( ) n 1 1 2 3 n * 5 n n n n 11 1 1S C C C ... C n 2 3 4 n 1 + − = − + − + ∈ + ℕ f) ( )0 1 2 n *6 n n n n1 1 1 1S C C C ... C n2 3 4 n 2= + + + + ∈+ ℕ g) ( )2 3 4 n 11 2 3 n *7 n n n n2 2 2 2S C C C ... C n2 3 4 n 1 + = + + + + ∈ + ℕ PLT 2 12. Tính tổng: ( )( ) 0 1 n 1 n n n 1 1 1S C C ... C 1.2 2.3 n 1 n 2 = + + + + + ðS: ( )( ) n 22 n 3 n 1 n 2 + − − + + 13. Tính tổng: ( )( )3 4 n2 n n nS 1.2.3.C 2.3.4.C ... n 2 n 1 n.C= + + + − − ðS: ( )( ) n 3n n 1 n 2 .2 −− − 14. Tính tổng: ( )( )( ) 0 1 n 3 n n n 1 1 1S C C ... C 1.2.3 2.3.4. n 1 n 2 n 3 = + + + + + + ðS: ( )( )( ) n 4 22 n 7n 14 2 n 1 n 2 n 3 − − − − + + + 15. Tính tổng: 0 2 4 2n 4 2n 2n 2n 2n 1 1 1S C C C ... C 3 5 2n 1 = + + + + + ðS: n 12 2n 1 + + 16. Tính tổng: 0 2 4 2n 5 2n 2n 2n 2n 1 1 1 1S C C C ... C 2 4 6 2n 2 = + + + + + ðS: ( )( ) 2n 1n.2 1 2n 1 2n 2 + + + + 17. Chứng minh: 2 4 2n 2n 1 6 2n 2n 2nS 2C 4C ... 2nC n.2 − = + + + = ðS: 2n 1n.2 − 18. Tính tổng: 2 4 6 2n 1 3 5 2n 1 7 2n 2n 2n 2n 2 2 2 2S C C C ... C 2 4 6 2n − = + + + + ðS: ( ) ( ) 2n3 3 1 2 2n 1 − + 19. Tính tổng: 0 2 4 2n 8 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 1 1 1S C C C ... C 3 5 2n 1+ + + + = + + + + + ðS: 2n 12 2n 2 + + 20. Chứng minh: ( )2 2 4 4 6 6 2n 2n 2n 19 2n 2n 2n 2nS 1.2 C 2.4 C 3.2 C ... n.2 C n 3 1−= + + + + = + 21. Cho *0 a b, n< < ∈ℕ . Chứng minh: ( ) ( )n 1 n 12 2 3 3 n 1 n 10 1 2 n n n n n 1 b 1 ab a b a b a b aC C C ... C 1 2 3 n 1 n 1 + ++ + + − + − − − − + + + + = + + 22. Cho *a 0,n> ∈ℕ . Tính tổng: ( )( )1 2 2 4 3 2n n 1n 1 n 1 n 1 n 11.2C 3.4.a C 5.6.a C ... 2n 1 2n 2 .a C ++ + + ++ + + + + + 23. ðH-B-2003. Tính tổng: 2 3 n 1 0 1 2 n n n n n 2 1 2 1 2 1C C C ... C 2 3 n 1 + − − − + + + + + 24. ðH-A-2005. Tìm số nguyên dương n: ( )1 2 2 3 3 4 2n 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C 2.2C 3.2 C 4.2 C ... 2n 1 .2 C 2005++ + + + +− + − − + + = 25. ðH-A-2007. Chứng minh: 2n 1 3 5 2n 1 2n 2n 2n 2n 1 1 1 1 2 1C C C ... C 2 4 6 2n 2n 1 − − + + + + = + 26. Với n nguyên dương, chứng minh: ( ) ( ) ( )2 2 21 2 n nn n n 2nnC 2 C ... n C C2+ + + =