Ba đường conic

Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học CÔNIC 1 BA ĐƯỜNG CONIC A. CHUẨN KIẾN THỨC 1. Định nghĩa: Cho một đường thẳng   gọi là đường chuẩn và một điểm F không nằm trên   ; F gọi là tiêu điểm. Quỹ tích tất cả các điểm M mà tỷ số khoảng cách từ M tới F và tới   bằng một số e khong đổi ( e gọi là tâm sai) là một đường conic. + Nếu e 1 thì quỹ tích là đường  Elipse E . + Nếu e 1 thì quỹ tích là đường  Parabola P . + Nếu e 1 thì quỹ tích là đường  Hypebola H 2.  Elipse E : Phương trình chính tắc Elipse có dạng: 22 2 2 yx 1 a b   với a b 0  . Khi đó: có 2 đường chuẩn  1 a: x e    ;  2 a: x e   . Và có 4 đỉnh        1 2 1 2A a;0 ,A a;0 ,B 0; b ,B 0; b  . Tiêu điểm của Elipse là:    1 2F c;0 .F c;0 với 2 2 2c a b  . Tâm sai ce 1 a   . Tiếp tuyến của Elipse 22 2 2 yx 1 a b   tại điểm  0 0 0M x ; y thuộc Elipse là đường thẳng có phương trình : 0 0 2 2 x x y y 1 a b   . Để đường thẳng Ax By C 0   tiếp xúc với Elipse đó, điều kiện cần và đủ là:  2 2 2 2 2a A b B C C 0   3.  Hypebola H : Phương trình chính tắc Hypebola có dạng 22 2 2 yx 1 a b   với a 0,b 0  khi đó có 2 đường chuẩn là:    1 2 c c: x ; : x a a      . Và có 2 đỉnh là    1 2A a;0 ,A a;0 . Tiêu điểm của Hypebola là    1 2F c;0 ,F c;0 . Với 2 2 2c a b  . Tâm sai ce 1 a   . Tiệm cận của Hypebola : yx 0 a b   . Tiếp tuyến của Hypebola 22 2 2 yx 1 a b   tại điểm  0 0 0M x ; y thuộc Hypebola là đường thẳng có phương trình 0 02 2 x x y y 1 a b   . Để đường thẳng Ax By C 0   tiếp xúc với Hypebola đó, điều kiện cần và đủ là: 2 2 2 2 2a A b B C  4.  Parabola P : Phương trình chính tắc của  Parabola P là:  2y 2Px, P 0  . Khi đó đường chuẩn Parabola là Px 2   , tiêu điểm là PF ;0 2       . Tiếp tuyến của Parabola : 2y 2Px tại điểm  0 0 0M x ; y thuộc Parabola là đường thẳng có phương trình:  0 0y y P x x  . Điều kiện cần và đủ để đường thẳng Ax By C 0   tiếp xúc với Parabola đó là 2PB 2AC . * Bảng tóm tắt:  Conic C Phương trình chính tắc Tiếp tuyến tại điểm  0 0 0M x ; y Điều kiện để   Ax By C 0   tiếp xúc  C  Elipse E 22 2 2 yx 1 a b   0 02 2 x y x y 1 a b   2 2 2 2 2a A b B C  Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học CÔNIC 2  Hyperbola H 22 2 2 yx 1 a b   0 02 2 x y x y 1 a b   2 2 2 2 2a A b B C   Parabola P 2y 2px  0 0y y p x x  2B p 2AC Các yếu tố của  E tâm đối xứng O Phương trình chính tắc và đồ thị Yếu tố cơ bản Tính chất và bán kính 22 2 2 yx 1 a b    a b 2 2c a b   Trục lớn Ox : 1 2A A 2a  Trục nhỏ Oy : 1 2B B 2b  Đỉnh         1 2 1 2 A a;0 ,A a;0 B 0; b ,B 0;b      Tiêu cự 1 2F F 2c  Tiêu điểm    1 2F c;0 ,F c;0  Tâm sai ce a   Đường chuẩn     1 2 a: x e a: x e            1 2M E MF MF 2a    Bán kính qua tiêu 1 2 F M a 2e F M a 2e       22 2 2 yx 1 a b    a b 2 2c b a   Trục lớn Oy : 1 2B B 2b  Trục nhỏ Ox : 1 2A A 2a  Đỉnh         1 2 1 2 A a;0 ,A a;0 B 0; b ,B 0;b      Tiêu cự 1 2F F 2c  Tiêu điểm    1 2F 0; c ,F 0;c  Tâm sai ce b   Đường chuẩn     1 2 b: y e b: y e            1 2M E MF MF 2b    Bán kính qua tiêu 1 2 F M b 2e F M b 2e       2. Tiếp tuyến với  Elipse E tại    0 0x ; y E là 0 02 2 x x y y 1 a b   Điều kiện để đường thẳng   : Ax By C 0    tiếp xúc  E là: 2 2 2 2 2a A b B C  3. Diện tích  Elipse E : S ab  B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP. Vấn đề 1. Lập phương trình của ELIPSE CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học CÔNIC 3 Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình chính tắc của elip có 4 đỉnh A, B, C, D là 4 đỉnh của một hình thoi. Biết rằng độ dài trục lớn của elip gấp 4 lần bán kính đường tròn nội tiếp hình thoi ABCD và khoảng cách giữa 2 đường chuẩn của elip bằng 5 5 . Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip   2 2: x 4y 4 0 .Tìm những điểm N trên elip  E sao cho :   01 2F NF 60 ( F1 , F2 là hai tiêu điểm của elip  E ) Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, elip 22 2 2 yx 1 a b    a b 0  biết 2 2a b 1 a 2   hình chữ nhật cơ sở cắt Ox tại A, A’ và cắt Oy tại B, B’ .Lập phương trình Elip biết diện tích hình tròn nội tiếp hình thoi ABA’B’ có diện tích bằng 4 . Vấn đề 2. Vấn đề khác của ELIPSE CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm những điểm trên elip   2 2xE : y 1 9   1. Có bán kính qua tiêu điểm này bằng 3 lần bán kính qua tiêu điểm kia. 2. Nhìn 2 tiêu điểm dưới 1 góc vuông. Bài 2: Cho elipse  E có phương trình: 2 29x 25y 225 0   1. Tính tọa độ các tiêu điểm 1 2F ,F và tâm sai của elip  E . 2. Gọi 2F là tiêu điểm có Fx 0 . Hãy viết phương trình đường thẳng   đi qua 2F có hệ số góc là k 3  3. Tính tọa độ các giao điểm của   với  E nói trên. Bài 4: Trong mặt phẳng xOy cho elip   2 2E : x 3y 3 0   1. Tìm tọa độ các tiêu điểm của  E . 2. Gọi  m là 1 đường thẳng quay quanh điểm  I 1; 1 và có hệ số góc là m . Viết phương trình đường thẳng  m và biện luận theo m số giao điểm của  E và  m . 3. Suy ra phương trình các tiếp tuyến của  E xuất phát từ điểm I . Tìm tọa độ tiếp điểm. 4. Tìm tập hợp các trung điểm của dây tạo bởi  E và các đường thẳng cùng phương với phân giác thứ nhất y x . Bài 5: Cho elip   22 yxE : 1 4 9   . 1. Tìm trên elip điểm H sao cho khoảng cách từ H đến d : 3x 4y 24 0   nhỏ nhất 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của A 2x y 2   với  x; y là tọa độ M chạy trên  E . Bài 6: Cho elip   22 yxE : 1 9 4   1. Ký hiệu        A 3;0 ,B 3;0 ,M 3;a ,N 3; b  trong đó a,b là 2 số thay đổi a) Xác định tọa độ giao điểm I của các đường thẳng AN và BM . b) Chứng tỏ rằng đường thẳng MN tiếp xúc với  E cần và đủ là ab 4 c) Với a,b thay đổi sao cho MN luôn tiếp xúc  E , hãy tìm quỹ tích điểm I 2. Gọi  d : 3x 4y 24 0   a) Tìm điểm H trên  E có khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất đến  d . b) Chứng minh rằng tại những điểm H vừa tìm được ở câu a đều có tiếp tuyến song song  d . Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học CÔNIC 4 3. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ các tiêu điểm của  E tới 1 tiếp tuyến bất kỳ là hằng số. 4.Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của  E và   2 ' 2xE : y 1 16   . 5. Tìm quỹ tích các điểm K mà từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau đến  E Bài 7: Cho Elip   2 2E : x 4y 4  1. Tìm tọa độ đỉnh, tiêu điểm, tâm sai và vẽ  E 2. Định m để  d : y x m  và  E có điểm chung. 3. Tìm đường thẳng 1M 1; 2       cắt  E tại 2 điểm A,B sao cho M là trung điểm A,B . 4. Gọi 1 2A ,A là các điểm trên trục lớn của  E , hãy viết phương trình đường thẳng 1 0 2 0A N ,A M .Xác định tọa độ giao điểm I của chúng. Cho MN tiếp xúc  E nhưng thay đổi. Tìm quỹ tích I . Biết    0 0N 2; n ,M 2;m . 5. Gọi 0 3 2 3 2A ; 8 4        . Tìm tiêu điểm 0M trên  E sao cho pháp tuyến của  E tại 0M đi qua 0A . Điểm 0N di động trên  E , tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài 0 0A N . 6. Cho    C 2;0 ;K,H E . Chứng minh rằng nếu K H và CK CH thì K,H đối xứng nhau qua trục hoành. 7. Tìm tọa độ K,H sao cho ABC đều. 8. Tìm tọa độ K,H để diện tích KHC lớn nhất. Bài 8: Trong xOy cho   2 2 m xE : y 2x m   ; m tham số, 0 m 1  1. Bằng 1 phép tịnh tiến trục tung hãy đưa  mE về dạng chính tắc, từ đó suy ra tọa độ của tâm và các đỉnh 'A,A trên trục lớn  mE 2. Tìm quỹ tích các đỉnh 'A,A khi m thay đổi 3. Tìm tọa độ các tiêu điểm và xác định quỹ tích các tiêu điểm đó. Bài 9: Cho elip   22 2 2 yxE : 1 a b   1. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để đường thẳng Ax By C 0   tiếp xúc với  E là 2 2 2 2 2a A b B C  2. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để đường thẳng y kx m  tiếp xúc với  E là: 2 2 2 2k a b m  . 3. Gọi R là hình chữ nhật ngoại tiếp  E nếu mỗi cạnh của R đều tiếp xúc với  E . Trong tất cả các hình chữ nhật ngoại tiếp  E . Hãy xác định hình chữ nhật có diện tích lớn nhất, nhỏ nhất. 4. Tìm tập hợp các điểm M từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau tới  E Bài 10: Một đường kính bất kỳ của   22 2 2 yxE : 1 a b   cắt tại 2 điểm M,N 1. Chứng minh rằng các tiếp tuyến tại M,N song song với nhau. 2. Tìm điều kiện a,b,k,m để  d : y kx m  là tiếp tuyến của  E . 3. Tìm 1 điểm  0 0M x ; y sao cho tiếp tuyến với  E tại M tạo các trục tọa độ một tam giác có diện tích nhỏ nhất. 4. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để  'd : Ax By C 0    2 2A B 0  tiếp xúc với elip  E là: 2 2 2 2 2a A b B C  Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học CÔNIC 5 5. Chứng minh tích các khoảng cách từ 2 tiêu điểm đến 1 tiếp tuyến bất kỳ của  E là một hằng số. Bài 11: Cho elip  E có phương trình: 22 2 2 yx 1 a b    a b 0  ;   là đường thẳng đi qua tiêu điểm bên phải 2F cắt elip tại M và N . Đặt  2Ox;F M k2      1. Tính độ dài 2F M theo a,b,c theo  . 2. Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 2a F M F N b   3. Tìm độ dài lớn nhất và nhỏ nhất của MN . Bài 12: Cho elip có phương trình: 22 2 2 yx 1 a b   với các đỉnh        1 2 1 2A a;0 ,A a;0 ,B 0; b ,B 0; b  . Gọi    1 2P a; b ,P a; b   . Một điểm 0M thay đổi trên elip nhưng không trùng với 1 2A ,A . Tiếp tuyến tại 0M của elip cắt đường thẳng x a,x a   lần lượt tại các điểm 1 2M ,M . 1. Gọi I là giao điểm của 1 2A M và 2A M . Chứng minh rằng đường thẳng 0M I luôn vuông góc trục Ox . 2. Tìm quỹ tích điểm I khi 0M thay đổi trên elip. 3. Chứng minh rằng 4 đường thẳng 1 2 2 1 0 1P M ,P M ,M B và Ox đồng quy tại 1 điểm. 4. Gọi '1M là giao điểm của 1 1A M và 2 0A M ; ' 2M là giao điểm của 2 2A M và 1 0A M . Chứng minh rằng 3 đường thẳng ' '1 2 1 2M M ,M M và Ox hoặc đồng quy. Bài 13: Cho elip   22 2 2 yxE : 1 a b   ;  0 a b  1. Gọi M là điểm tùy ý thuộc  E chứng tỏ b OM a  . 2. Gọi A là 1 giao điểm của đường thẳng y kx với E . B là điểm trên  E sao cho OA OB . Tính OA,OB theo a,b,k . Chứng tỏ 2 2 1 1 OA OB  không đổi. Xác định A,B trên  E để OAB có diện tích lớn nhất, nhỏ nhất. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất đó. Bài 14: Cho elip   22 2 2 yxE : 1 a b   ;  a b 0  1. Tìm độ dài dây cung của  E vuông góc với trục lớn tại tiêu điểm  2F c,0 2. Điểm  M E và 1 2F MF 2  . Chứng minh rằng ctg b   . Tính tung độ điểm M theo a,b, . 3. Tìm điểm  1 1P x ,y kẻ đến  E 2 tiếp tuyến. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 tiếp điểm. Bài 15: Cho elip   22 2 2 yxE : 1 a b   với điểm M tùy ý trên  E 1. Chứng minh rằng: a) 2 2 21 2MF .MF OM a b   ;   22 2 1 24OM MF MF 4b   . b) Gọi P là hình chiếu vuông góc của M trên 1 2A A . Chứng minh: 2 2 2 1 2 MP b A P.A P a  2. Nếu M không trùng 4 đỉnh của  E và trục lớn 'AA trục bé 'BB . a) Viết phương trình của 2 đường tròn 'MAA và 'MBB . Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học CÔNIC 6 b) Chứng minh rằng đường dây cung của 2 đường tròn trên tiếp xúc  E Bài 16: Cho elip   22 2 2 yxE : 1 a b    a b 0  1. Chứng minh rằng với  M E  ta có b OM a  . 2. Gọi A là giao điểm y kx với  E . Tính OA,OB theo a,b,k . 3. Gọi A,B là 2 điểm thuộc  E mà OA OB . Chứng minh 2 2 1 1 OA OB  không đổi. 4. Chứng tỏ rằng đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn cố định. 5. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của diện tích OAB và độ dài AB . Bài 17: Cho elip   22 2 2 yxE : 1 a b    a b 0  1. Một đường thẳng  d quay quanh tiêu điểm  1F c;0 của  E và cắt  E tại 2 điểm 0 0M N . Chứng minh 1 0 2 0 1 1 F M F N  không đổi. 2. Xác định tọa độ giao điểm 0M giữa  E và   : Ax By C 0    3. Gọi  T là tiếp tuyến của  E tại  0M E . Đường thẳng  ' vuông góc  T tại 0M gọi là pháp tuyến của  E tại 0M . Viết phương trình  ' . Chứng minh rằng  ' là một pháp tuyến của  E khi và chỉ khi: A C 0  hoặc B C 0  hoặc 2 2 2 2 2 2 a b c A B C   ; 2 2 2c a b  . 4. Viết phương trình các cạnh hình vuông của  E ngoại tiếp elip  E . 5.Tiếp tuyến tại 0M của  E cắt đường chuẩn của  E tại N,F là tiêu điểm của  E . Chứng minh F nhìn 0M N dưới 1 góc vuông. Bài 18: Cho elip   22 2 2 yxE : 1 a b   có 2 tiêu điểm    1 2F c;0 ,F c;0 và 2 đường chuẩn tương ứng với 1 2F F là 2 2a ax ,x c c    , tâm sai ce a  . Gọi  0 0 0M x ; y điểm thuộc  E 1. Chứng minh rằng tỉ số khoảng cách từ M đến 2F và từ M đến đường chuẩn 2ax c  bằng tâm sai. 2. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại 0M là phân giác ngoài  1 2F MF . 3. Gọi  T là 1 tiếp tuyến của elip cắt các đường thẳng x a,x a   tại M,N . Xác định tiếp tuyến  T sao cho 2F MN có diện tích nhỏ nhất. Bài 19: Cho elip   22 2 2 yxE : 1 a b    a b 0  1. Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật nội tiếp trong elip  E và các cạnh song song với 2 trục có diện tích lớn nhất. 2. Hình chữ nhật  Q được gọi là hình chữ nhật ngoại tiếp  E nếu mỗi cạnh của  Q đều tiếp xúc với  E . Trong tất cả các hình chữ nhật ngoại tiếp  E , hãy xác định hình chữ nhật có diện tích lớn nhất, bé nhất. 3. Gọi A,B là 2 điểm thuộc  E sao cho OA OB . Hãy xác định vị trí A,B trên  E để OAB có diện tích lớn nhất, nhỏ nhất. Tính diện tích đó. Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học CÔNIC 7 4. Tìm điểm M thuộc  E sao cho độ dài 1F M nhỏ nhất. Bài 20: Cho elip: 22 2 2 yx 1 a b   và điểm cố định  0 0I x ; y nằm trong elip (tức là 2 2 0 0 2 2 x y 1 a b   ) 1. Chứng minh rằng mọi đường thẳng  d đi qua I đều cắt elip tại 2 điểm phân biệt A và B . 2. Viết phương trình đường thẳng  d đi qua I cắt elip tại 2 điểm A,B sao cho I là trung điểm AB . 3. Viết phương trình đường thẳng  d đi qua I sao cho IA.IB có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất. 4. Gọi  d và  'd là hai đường thẳng vuông góc nhau tại I . Đường thẳng cắt elip tại A và B , còn đường thẳng  'd cắt elip tại 'A và 'B . Chứng minh rằng ' '1 1IA.IB IA .IB có giá trị không đổi. 5. Nếu điểm I trùng với gốc tọa độ O . Từ câu 1 ta có thể suy ra kết quả gì? Bài 21: Cho elip   22 2 2 yxE : 1 a b   ;  0 b a  1. Cho 2 điểm M,N trên 1 tiếp tuyến  t của  E , sao cho mỗi tiêu điểm 1 2F ,F nhìn đoạn M,N dưới 1 góc vuông. Xác định vị trí M,N trên tiếp tuyến ấy. 2. Xác định tiếp  t sao cho FMN có diện tích nhỏ nhất, trong đó F là một trong 2 tiêu điểm của  E . 3. Chứng tỏ rằng tích các khoảng cách từ các tiêu điểm tới 1 tiếp tuyến bất kỳ của elip  E bằng bình phương độ dài nửa trục nhỏ của elip  E . 4. Một đường kính bất kỳ của elip cắt elip tại 2 điểm P,Q . Chứng tỏ các tiếp tuyến của  E tại P và Q là song song với nhau. Bài 22: Cho elip   22 2 2 yxE : 1 a b   . Người ta dựng 2 nửa trục thẳng vuông góc với nhau, cắt elip tại 2 điểm M và 'M . Chứng minh rằng: 1. 2 '2 2 2 1 1 1 1 OM OM a b    2. Dây 'MM tiếp xúc với đường tròn tâm O , bán kính 2 2 abr a b   Bài 23: Cho elip   22 2 2 yxE : 1 a b   1. Gọi   là tiếp tuyến lưu động của  E . M là hình chiếu vuông góc của tiêu điểm  F c,0 . Tìm quỹ tích M . 2. Gọi 'A,A là trục lớn của  E , dựng tiếp tuyến ' 'At,A t tại T và 'T . Chứng minh: ' 'AT.A T không phụ thuộc M . Tìm quỹ tích giao điểm N của 'AT và ' 'A T khi M chạy trên  E . Bài 24: Cho elip   22 2 2 yxE : 1 a b   có trục lớn 1 2A A tiêu điểm 1 2F ,F . Một tiếp tuyến bất hỳ của  E cắt 2 tiếp tuyến của  E tại 1 2A ,A lần lượt tại 2 điểm 1 2T ,T 1. Chứng minh rằng: 1 2F F cùng nhìn đoạn 1 2T T dưới 1 góc vuông. 2. Gọi M,N là 2 điểm trên 1 tiếp tuyến  E sao cho mỗi tiêu điểm 1 2F F nhìn đoạn MN dưới 1 góc vuông. Hãy xác định vị trí M,N trên tiếp tuyến ấy. Vấn đề 3. Lập phương trình của HYPEBOLA CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học CÔNIC 8 Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, hãy viết phương trình hyperbol  H dạng chính tắc biết rằng  H tiếp xúc với đường thẳng   d : x y 2 0 tại điểm A có hoành độ bằng 4 Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho hypebol  H :   22 yx 1 2 3 và điểm  M 2; 1 . Viết phương trình đường thẳng  d đi qua M, biết rằng đường thẳng đó cắt  H tại hai điểm A, B mà M là trung điểm của AB . Vấn đề 4. Vấn đề khác của HYPEBOLA CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Cho Hyperbol   22 yxH : 1 16 9   1. Tìm điểm M trên  H sao cho: a. Hai bán kính qua tiêu điểm của M vuông góc nhau. b. Khoảng cách từ M đến tiêu điểm bân trái bằng 2 lần khoảng cách từ M đến tiêu điểm bân phải. 2. Lập phương trình tiếp tuyến của  H song song với đường thẳng: 5x 4y 10 0   Bài 2: Khoảng cách từ 1 điểm A đến 1 đường cong là giá trị nhỏ nhất của đoạn AM với M là điểm thuộc đường cong ấy. 1. Tính khoảng cách từ điểm  A a; a đến hyperbol   1H : y x . 2. Xác định tâm và bán kính của các đường tròn tiếp xúc với đường thẳng  d : y x 1  và cả 2 nhánh của  H . Bài 3: Trong mặt phẳng xOy cho hyperbol   22 2 2 yxH : 1 a b   1. Tính độ dài của phần tiệm cận chắn bởi 2 đường chuẩn. 2. Tìm khoảng cách từ tiêu điểm của  H tới các đường tiệm cận. 3. Chứng minh rằng chân đường vuông góc hạ từ một tiêu điểm tới các đường tiệm cân nằm trên đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó. Bài 4: Cho hyperbol   22 2 2 yxH : 1 a b   và 1 điểm 0M thuộc  H 1. tiếp tuyến tại  0 0 0M x ; y cắt 2 đường tiệm cận tại P và Q . Chứng minh rằng 0M là trung điểm của PQ . 2. Chứng minh rằng OPQ có diện tích không đổi khi M di chuyển trên  H . Bài 5: Cho hyperbol  H có phương trình:   22 2 2 yxH : 1 a b   1. Chứng minh rằng các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên  H đến các đường tiệm cận của  H luôn bằng 2 2 2 2 a b a b 2. Một đường thẳng   bất kỳ cắt  H tại M và 'M và cắt 2 đường tiệm cận tại N và 'N . CHứng minh rằng ' 'MN M N , nếu đường thẳng   có phương đổi thì ' 'MN.M N không đổi. Bài 6: Cho Hyperbol  H có phương trình: 22 2 2 yx 1 a b   1. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ Oxy sao cho từ mỗi điểm đó kẻ được 2 tiếp tuyến với  H và 2 tiếp tuyến ấy vuông góc với nhau. Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học CÔNIC 9 2. M là điểm bất kỳ trên  H .    1 2,  và 2 đường thẳng qua M và tương ứng song song với 2 tiệm cận của  H . Chứng minh rằng diện tích S của hình bình hành được giới hạn bởi    1 2,  và 2 đường tiệm cận là một số không đổi. 3. Tìm tâm sai của Hyperbol  H thỏa: a. Khoảng cách giữa tiêu điểm và đỉnh trên trục ảo bằng độ dài trục thực. b. Đỉnh trục ảo nhìn đoạn 1 2F F dưới 1 góc 0120 . 4. Chứng minh rằng với mọi điểm Q nằm trên  H đều có: a. 2 2 21 2OQ QF .QF a b   b.    2 2 21 2QF QF 4 OQ b   5. Chứng minh rằng tích khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ của  H đến 1 tiệm cận của nó là 1 số không đổi. Vấn đề 5. Lập phương trình của PARABOLA CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Lập phương trình parabol : 1. Có trục đối xứng là Ox , đỉnh là gốc tọa độ O và đi qua điểm  M 2;4 Vấn đề 6. Vấn đề khác của PARABOLA CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Trong mặt phẳng xOy cho điểm  A 3;0 và Parabol   2P : y x 1. M là điểm thuộc  P có hoành độ Mx a . Tính độ dài AM , tìm a để AM ngắn nhất. 2. Chứng tỏ rằng nếu đoạn AM ngắn nhất thì AM vuông góc với tiếp tuyến tại M của Parabol. Bài 2: Cho Parabol   2P : y 8x 1. Gọi  I 2; 4 là điểm nằm trên  P . Xét góc vuông thay đổi quay quanh điểm I và 2 cạnh của góc vuông cắt Parabol tại 2 điểm M và N (khác I ). Chứng minh rằng MN luôn đi qua điểm cố định. 2. Tìm trên Parabol điểm K biết rằng bán kính qua tiêu điểm của nó bằng 8 . Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho Parabol   2P : y 12x 1. Tìm tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của  P . 2. Một điểm nằm trên  P có hoành độ x 2 . Hãy tính khoảng cách từ điểm đó đến tiêu điểm. 3. Qua điểm  I 2;0 vẽ 1 đường thẳng thay đổi cắt Parabol tại 2 điểm A và B . Chứng minh rằng tích số khoảng cách từ A và B tới trục Ox là hằng số. 4. Tìm tiếp tuyến chung của  P và elip   2 2E : 6x 8y 48  Bài 4: Trong mặt phẳng xOy cho Parabol   2P : y x và đường thẳng  d qua  0 0 0A x ; y có hệ số góc  20 0k y x 1. Xác định k để diện tích giới hạn bởi  P và  d là nhỏ nhất. 2. Cho 3 điểm A,B,C có hoành độ a,b,c thuộc  P a. Viết phương trình đường thẳng  BC và tiếp tuyến tại A của  P b. Giả sử A cố định và B,C thay đổi sao cho ABC vuông tại A + Chứng minh rằng cạnh BC luôn qua điểm cố định D . + Viết phương trình đường tròn đường kính AD và CM là đường tròn này tiếp xúc  P . Tìm tiếp điểm. Bài 5: Trong xOy cho Parabol   2P : y 2px, p 0  Nguyễn Phú Khánh – Tài liệu ôn luyện thi Đại học CÔNIC 10 1. Một điểm A cố định trên  P . Một góc vuông quay quanh đỉnh A của nó, cắt các cạnh  P tại M,N . Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố định. 2. Chứng minh rằng quỹ tích điểm sao cho từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến với Parabol  P và 2 tiếp tuyến này vuông góc với nhau là đường chuẩn của  P . 3. Gọi  'P có đỉnh là  'O a; b và có trục vuông góc với nhau và cắt nhau tại 4 điểm phân biệt. Chứng minh: 4 giao điểm đó nằm trên 1 đường tròn. 4. Gọi 1 2M ,M là giao điểm của  P và  d : 2mx 2y mp 0   . Chứng minh đường tròn đường kính 1 2M M luôn tiếp xúc với đường chuẩn  P . Bài 6: Trong xOy cho Parabol   2P : y 2px và điểm 0M bất kỳ trên  P 1. Tìm tọa độ hình chiếu H của tiêu điểm F trên tiếp tuyến   tại điểm 0M với  P 2. Chứng minh rằng H luôn ở trên tiếp tuyến tại đỉnh của  P 3. Chứng minh rằng 2 0 pFH FM 2  4. Gọi M là 1 điểm trên đường chuẩn của  P có tung độ m a. Chứng tỏ rằng từ M ta có thể kẻ được 2 tiếp tuyến    1 2,  đến  P b. Chứng minh rằng  1 vuông góc  2 c.  2 và  3 tiếp xúc  P tại A và B . Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi. Bài 7: Cho Parabol   2P : y 4x 1. Một đường thẳng bất kỳ qua tiêu điểm của Parabol, cắt Parabol tại 2 điểm phân biệt A và B . Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ A và B đến trục Parabol là 1 số không đổi 2. Gọi      2 21 2d : m x my 1 0; d : x my m 0 m 0       a. Chứng minh rằng    1 2d d và giao điểm M của    1 2d , d di động trên 1 đường thẳng cố định khi m thay đổi. b. Chứng minh  1d và  2d luôn tiếp xúc  P . Gọi 1A , 1B lần lượt là tiếp điểm của  1d và  2d với  P . Chứng minh rằng 1 1A B luôn đi qua điểm cố định khi m thay đổi. 3. Tìm tọa độ điểm thuộc  P và cách F 1 khoảng bằng 2. Bài 8: Cho Parabol 2y x 1. Gọi  d là đường thẳng có phương trình: y mx 1  . Chứng minh rằng khi m thay đổi đường thẳng luôn cắt Parabol tại 2 điểm phân biệt A,B . Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp OAB khi m thay đổi ( O là gốc tọa độ) 2. Cho  0A 3;0 a. M là 1 điểm thuộc Parabol có hoành độ Mx a , tính độ dài 0A M theo a . Xác định a để 0A M ngắn nhất, b. Chứng minh rằng: 0A M ngắn nhất thì 0A M vuông góc với tiếp tuyến tại M của Parabol.