Bài giảng Đại số 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàmBài 2: Quy tắc tính đạo hàmBài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giácBài 4: Vi phânBài 5: Đạo hàm cấp 2Đại Số và Giải Tích 11Bài 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀMI. ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm.2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm.3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa.I. ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm. Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ 1 nhà ga. Quãng đường s (mét) đi được của đoàn tàu là 1 hàm số của thời gian t (phút). Ở những phút đầu tiên, hàm số đó làHãy tính vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng [ t; to ] với:to = 3t = 2.99t = 2.9t = 2.5t = 2Khi t càng gần to thì vtb càng gần 2to = 6 vtb = 5.99vtb = 5.9vtb = 5.5vtb = 5 vtb = = t + toa. Bài toán tìm vận tốc tức thờiMột chất điểm M chuyển động trên s’Os Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t s = s(t)Hãy tìm một đại lượng đặt trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm to ?sOs’sostot Trong khoảng thời gian từ to đến t, chất điểm đi được quãng đường: Nếu chất điểm chuyển động đều thì là một hằng số với mọi t Đó chính là vận tốc của chuyển động tại mọi thời điểm s = s(t)sOs’sostot Nếu chất điểm chuyển động không đều thì tỉ số là vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian Khi t càng gần to hay nói khác hơn khi càng nhỏ thì vận tốc trung bình càng thể hiện chính xác hơn mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm to.* Định nghĩaGiới hạn hữu hạn (nếu có) được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm toĐó là đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm tob. Bài toán tìm cường độ tức thời Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t: Cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian là Nếu càng nhỏ thì tỉ số này càng biểu thị chính xác hơn cường độ dòng điện tại thời điểm to* Định nghĩaGiới hạn hữu hạn (nếu có) được gọi là cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm toVận tốc tức thờiCường độ tức thời2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; b) và xo  (a ; b) Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm xo và kí hiệu là f’(xo) (hoặc y’(xo)), tức là Đại lượng x = x – xo được gọi là số gia tương ứng của hàm số (số gia hàm)y’(xo) = được gọi là số gia của đối số tại xo (số gia biến)y = f(x) – f(xo) Đại lượng Như vậy= f(xo + x) – f(xo) 3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa. Cho hàm số y = x2. Hãy tính y’(xo) bằng định nghĩa.* Quy tắcBước 1: y = f(xo + x) – f(xo) Bước 2: Bước 3: Giả sử x là số gia đối số tại xo, tính Lập tỉ số Tìm Gọi x là số gia của đối số tại xo Ví dụ 1Tính đạo hàm của hàm số tại xo = 2– Gọi x là số gia của đối số tại xo = 24. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số* Định lí 1 Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại xo thì nó liên tục tại điểm đó.* Chú ý + Nếu y = f(x) gián đoạn tại xo thì nó không có đạo hàm tại điểm đó. + Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.Ví dụ Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0 Cho hàm số Tính đạo hàm của hàm số x = 0– Tính liên tục:Vậy f(x) liên tục tại x = 0– Đạo hàm:Như vậy không tồn tạiVậy f(x) không có đạo hàm tại x = 0y = xy = – x2Oyx5. Ý nghĩa hình học của đạo hàmĐồ thị của hàm số 1Đường thẳng d qua có hệ số góc là f’(1) xyOtan = f’(1)MdyxOT(C)xof(xo)Moxf(x)Ma. Tiếp tuyến của đường cong phẳng.b. Ý nghĩa hình học của đạo hàm. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và có đạo hàm tại điểm xo  (a; b). Gọi (C) là đồ thị của hàm số đó.* Định lí 2 Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm xo là hệ số góc của tiếp tuyến MoT của (C) tại điểm Mo(xo; f(xo))y – yo = k.(x – xo) Phương trình đường thẳng qua Mo(xo ; yo) và có hệ số góc kc. Phương trình tiếp tuyếnOxyd1d2k = f’(xo)(C)dMoxoyoTheo định lí 2y – yo = f’(xo).(x – xo)* Định lí 3 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) tại điểm Mo(xo; f(xo)) làtrong đó yo = f(xo)Viết phương trình tiếp tuyến của paraboltại điểm có hoành độ là xo = 1 Ví dụ – Gọi x là số gia của đối số tại xo = 1+ Theo định nghĩa tính được: hay f (1) = 0+ Vậy phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm Mo(1;0) làf’(1) = 1y = x – 1I(to) = Q’(to)6. Ý nghĩa vật lý của đạo hàma. Vận tốc tức thờiv(to) = s’(to)b. Cường độ tức thờiII. ĐẠO HÀM TRÊN 1 KHOẢNG Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x2tại điểm t bất kì Tính đạo hàm của hàm số tại điểm t bất kì Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó. là đạo hàm của hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b), kí hiệu là y’ hay f’(x)* Định nghĩaKhi đó ta gọi hàm số:III. ĐẠO HÀM MỘT BÊNVí dụ Cho hàm số Tính đạo hàm của hàm số xo = 00