Bài giảng môn học Hình học lớp 11 - Các dạng bài tập hình không gian và phương pháp giải

các dạng bài tập hình không gian và phương pháp giải A/ Chứng minh: Điểm thuộc đường thẳng, điểm thuộc mặt phẳng, đường thẳng thuộc mặt phẳng, đường thẳng chéo nhau. Phương pháp: Sử dụng các tiên đề về xét vị trí tương đối của các điểm, đường thẳng, mặt phẳng và một số tính chất của các quan hệ song song, vuông góc. Ví dụ: Chứng minh đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) thì ta có thể chứng minh bằng cách: - Trên a có 2 điểm A, B ẻ (P) ị a è (P). - Hoặc a // (P) và có A ẻ a: Aẻ(P) ị a ẻ (P) VD1: Cho mặt phẳng (P) xác định bởi đường thẳng a và một điểm A không thuộc a. Gọi a’ là đường thẳng qua điểm A và song song với a. Lấy một điểm M trên a và một điểm B nằm ngoài mặt phẳng (P). Chứng minh điểm M thuộc mặt phẳng (P). Chứng minh đường thẳng a’ thuộc mặt phẳng (P). Chứng minh a’ và MB chéo nhau. Giải: a. Điểm M ẻ a è (P) Vậy M ẻ (P). b.a//a’ nên qua a và a’ xác định duy nhất 1 mặt phẳng. Qua a và A cũng xác định duy nhất 1 mặt phẳng. Hai mặt phẳng này trùng nhau và trùng với mặt phẳng (P). c.Giả sử a’ và BM đồng phẳng. Khi đó B ẻ mặt phẳng chứa a’ và M. Vậy B ẻ (P). Điều này trái với giả thiết B ẽ (P). Vậy a’ và BM chéo nhau. Các điểm thẳng hàng, đường thẳng đi qua điểm cố định, 3 đường thẳng đồng quy. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng: Chứng minh 3 điểm đó cùng thuộc 2 mặt phẳng phân biệt. Khi đó 3 điểm đã cho sẽ nằm trên giao tuyến của 2 mặt phẳng đó. Vì vậy chúng thẳng hàng. VD2: Cho hình chóp S.ABC. Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’ sao cho B’C’ ầ BC = D, C’A’ ầ CA = E, A’B’ ầ AB = F. Chứng minh 3 điểm D, E, F thẳng hàng. Giải: Ta có Tương tự ta cũng có E, F ẻ(ABC) ầ (A’B’C’) Vậy E, F, D cùng thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng (ABC) và (A’B’C’). Do đó D, E, F thẳng hàng. Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy: Ta chứng minh 2 trong 3 đường thẳng đó cắt nhau và giao điểm của 2 đường thẳng đó nằm trên đường thẳng còn lại. VD3: Cho hình chóp S. ABCD. Gọi I, K là hai điểm cố định trên SA và SC với SI = 2IA và SK = KC/3. Một mặt phẳng (P) quay quanh IK cắt SB tại M và SD tại N. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng 3 đường thẳng IK, MN, SO đồng quy. Giải: Gọi L = IK ầ MN ta có L ẻ IK è (SAC) và L ẻ MN è (SBD). Vậy L ẻ (SAC)ầ(SBD). Mà SO = (SAC)ầ(SBD) nên L ẻ SO. Vậy IK, MN, SO đồng quy tại L. Đường thẳng song song với đường thẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng, 2 mặt phẳng song song, đường thẳng vuông góc với đường thẳng, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng. Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng: Để chứng minh hai đường thẳng a và b song song ta có các cách sau: Chứng minh a và b cùng nằm trên 1 mặt phẳng và chúng không có điểm chung. áp dụng định lý về giao tuyến của 3 mặt phẳng Chứng minh a và b cùng song song với một đường thẳng thứ ba. Chứng minh a nằm trên 2 mặt phẳng phân biệt cùng song song với b. Chứng minh a và b là 2 giao tuyến của 1 mặt phẳng cắt 2 mặt phẳng phân biệt song song với nhau. Chứng minh 2 đường thẳng cùng vuông góc với 1 mặt phẳng hoặc lần lượt vuông góc với 2 mặt phẳng song song. b. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng: để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ta có các cách chứng minh sau đây: Chứng minh đường thẳng và mặt phẳng không có điểm chung. Chứng minh đường thẳng đó song song với 1 đường thẳng nằm trong mặt phẳng. Chứng minh đường thẳng nằm trong một mặt phẳng song song với mặt phẳng kia. Chứng minh đường thẳng và mặt phẳng cùng vuông góc với 1 đường thẳng. c. Chứng minh 2 mặt phẳng song song: Để chứng minh hai mặt phẳng song song ta có các cách sau: Chứng minh 2 mặt phẳng đó không có điểm chung Chứng minh 2 mặt phẳng cùng song song với 1 mặt phẳng thứ ba. Chứng minh 1 mặt phẳng chứa 2 đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia. Chứng minh 2 mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với 1 đường thẳng. d. Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc với nhau: Chứng minh góc giữa 2 đường thẳng đó bằng 900. Chứng minh đường thẳng này nằm trong 1 mặt phẳng vuông góc với đường kia. áp dụng định lý 3 đường vuông góc. e. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Chứng minh đường thẳng vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng đó. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho. Chứng minh đường thẳng song song với 1 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đã cho. Chứng minh đường thẳng nằm trong 1 mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đã cho và vuông góc với giao tuyến của 2 mặt phẳng đó. Chứng minh đường thẳng là giao tuyến của 2 mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng đã cho. f. Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc: Chứng minh mặt phẳng này chứa 1 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. VD4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm của SA, SD, AB, ON, SB. chứng minh: (OMN) // (SBC). Chứng minh: PQ // (SBC). Chứng minh: (MOR) // (SCD). Giải: a)OM là đường trung bình của tam giác SAC nên OM //SC. ON là đường trung bình của tam giác SBD nên ON // SB Vậy (OMN) // (SBC). b)Vì Q ẻON ẻ (OMN) mà OP // MN nên P ẻ (OMN). Vậy MN è (OMN). Mà (OMN) // (SBC) nên PQ // (SBC). c)Ta có MR // AB nên MR //DC Lại có OR // SD Vậy (MOR) // (SCD). VD5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và SA vuông góc với (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB, SC, SC. Chứng minh: Chứng minh: , AI è (AHK). Chứng minh: từ đó suy ra . Giải: a) Vì ABCD là hình vuông nên Mà Vậy . Chứng minh tương tự ta cũng có . b) Ta có Lại có mà Lập luận tương tự ta chứng minh được . Hai đường thẳng AH, AK cắt nhau và cùng vuông góc với SC nên chúng nằm trong mặt phẳng qua A và vuông góc với SC. Vậy . Rõ ràng AI è (AHK). c)Ta có Vậy HK // BD. Vì nên Mà AI è (AHK) nên . A B C D O S VD6: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết rằng SA = SC, SB = SD. Chứng minh SO ^ mp (ABCD). Giải: Có O là trung điểm của AC và BD SA = SC ị DSAC cân tại O. ị SO ^ AC (1) Tương tự ta có SO ^ BD (2) Từ (1), (2) ị SO ^ (ABCD) Vậy bài toán đã được chứng minh. VD7: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành. M, N trung điểm SA, SB, K ẻ SC. a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD), (SAC) và (SBD) b) MN song song với những mặt phẳng nào ? c) Tìm giao điểm của (MNK) và SD? d) Nếu K là trung điểm SC thì (MNK) song song với mặt phẳng nào? A B C D M N Q K I O S x a)* AB è (SAB) CD è (SCD) ị Sx là giao tuyến của (SAB) và (SCD) AB // CD (tính chất hbh) với Sx // AB // CD S ẻ (SAB) ầ (SCD) * AC ầ BD = 0 O ẻ AC è (SAC) ị O ẻ (SAC) ầ (SBD) vì S ẻ (SAC) ầ (SBD) O ẻ BD è (SBD) Vậy SO = (SAC) ầ (SBD) b) * D SAB: M là trung điểm SA và N là trung điểm SB ị MN là đờng trung bình của D SAB ị MN // AB vì AB // CD ị MN // CD * MN // AB (CMT) và AB è (ABCD) ị MN // (ABCD) * MN // CD (CMT) và CD è (SCD) ị MN // (SCD) c) * Trong (SAC): SO ầ MK = I * Trong (SBD): NI ầ SD = Q * SD è (SBD) (SBD) ầ (MNK) = NI ị Q = (MNK) ầ SD mà NI ầ SD = Q d) Nếu K là trung điểm SD, mà N là trung điểm SB ị KN là đờng trung bình D SBC ị KN // BC * KN ầ MN = N KN, MN è (MNK) ị (MNK) // (ABCD) KN // BC, BC è (ABCD) ị KN // (SABCD) Mà MN // (ABCD) Các tính chất đặc biệt khác: mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp, mặt phẳng trung trực. Để chứng minh một hình chóp nội tiếp được trong một mặt cầu ta chứng minh hình chóp đó có đáy nội tiếp được trong một đường tròn. VD8: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Chứng minh rằng hình chóp đó có mặt cầu ngoại tiếp. Giải: Theo giả thiết hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau nên đó là hình chóp đều. Vậy đáy ABCD là hình vuông nội tiếp được trong một đường tròn. Do đó hình chóp S.ABCD có mặt cầu ngoại tiếp. Để chứng minh một hình lăng trụ nội tiếp được trong một mặt cầu ta chứng minh lăng trụ đó là lăng trụ đứng và đáy của lăng trụ nội tiếp được trong một đường tròn. Để chứng minh một hình chóp có hình cầu nội tiếp ta chứng minh trên mặt đáy có một điểm M cách đều tất cả các mặt bên của hình chóp. Khi đó tâm cầu nội tiếp nằm trên đoạn nối đỉnh hình chóp và điểm M. VD9: Trong mặt phẳng (P) cho hình thang cân ABCD có đáy là AB và CD trong đó CD = 4AB và ngoại tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) tại O ta lấy điểm S sao cho OS = 2R. Chứng minh điểm O cách đều bốn mặt bên của hình chóp. Từ đó suy ra hình chóp có mặt cầu nội tiếp. Giải: Khoảng cách từ O đến bốn mặt bên chính là độ dài của bốn đường cao xuất phát từ O của bốn tam giác vuông bằng nhau là SOM, SON, SOP, SOQ. Từ đó ta có O cách đều bốn mặt bên của hình chóp. Do đó hình chóp đã cho có mặt cầu nội tiếp. Để chứng minh họ các điểm nào đó cùng thuộc một mặt cầu ta chứng minh khoảng cách từ các điểm đó đến 1 điểm cố định là bằng nhau. Hoặc chứng minh các điểm đó cùng nhìn đoạn AB dưới 1 góc 900. VD10: Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD tâm O có cạnh bằng a. Trên đường thẳng Ax vuông góc với (P) ta lấy điểm S tuỳ ý và dựng mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với SC. Mặt phẳng (Q) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Chứng minh khi S di động trên Ax bảy điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ luôn luôn thuộc mặt cầu cố định. Xác định tâm và bán kính mặt cầu đó. Giải: Ta có: Ta lại có vì AB’ è (Q) mà . Do đó . Tương tự chứng minh được . Vậy ta có: . Vậy bảy điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ luôn luôn thuộc mặt cầu đường kính AC. Tâm cầu là trung điểm AC, bán kính là . B/ Dựng hình: Tìm giao điểm của 2 đường thằng, giao điểm của 2 mặt phẳng, giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, giao tuyến của 2 mặt phẳng. Tìm giao điểm của 2 đường thẳng: Tìm một mặt phẳng chứa cả hai đường thẳng đó rồi tìm giao điểm của 2 đường thẳng trong mặt phẳng đó. Tìm giao điểm của 2 mặt phẳng: Tìm 2 đường thẳng đồng phẳng lần lượt nằm trong 2 mặt phẳng đã cho. Giao điểm của 2 đường thẳng đó chính là giao điểm của 2 mặt phẳng. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng: có 2 cách sau đây: Tìm 2 điểm chung phân biệt của 2 mặt phẳng đã cho. Tìm 1 điểm chung của 2 mặt phẳng đã cho và xác định phương của giao tuyến. VD11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây: a, (SAC) và (SBD) b, (SAB) và (SCD) Giải: a, Giao tuyến của (SAC) và (SBD): Trong mặt phẳng (ABCD) gọi O = AC ầ BD. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) có S và O là 2 điểm chung nên giao tuyến của 2 mặt phẳng này là đường thẳng SO. b, Giao tuyến của (SAB) và (SCD): Ta có AB è (SAB) và DC è (SCD) mà AB // CD nên theo định lý giao tuyến của 3 mặt phẳng thì giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng d // AB // CD. (SAB) và (SCD) có 1 điểm chung là S. Vậy giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng đi qua S và song song với AB. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng: Tìm một mặt phẳng chứa đường thẳng đã cho và có giao với mặt phẳng kia. Sau đó tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng. Giao điểm của đường thẳng đã cho và giao tuyến chính là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng đã cho. VD12: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt lấy trên các cạnh AC và BC sao cho MN không song song với AB. Gọi O là một điểm thuộc miền trong của tam giác ABD. Tìm giao điểm của AB và AD với mặt phẳng (OMN). Giải: Trong mặt phẳng (ABC), gọi I = MN ầ AB. Vậy I là giao điểm của AB và (OMN). Đường thẳng AD è (ABD). (ABD) ầ (MNO) = IO Trong (ABD), gọi J = OI ầ AD. Vậy J là giao điểm của AD và (OMN). Xác định thiết diện của mặt phẳng và khối đa diện: Tìm các đoạn giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của khối đa diện. VD13: Cho tứ diện ABCD. Trên các đoạn CA, CB, BD cho lần lượt các điểm M, N, P sao cho MN không song song với AB, NP không song song với CD. Tìm thiết diện của mặt phẳng tạo bởi (MNP) và tứ diện ABCD. Giải: Trong mặt phẳng (ABC) gọi I = MN ầ AB. Trong mặt phẳng (ABD) gọi Q = IP ầ AD. Ta có MN =(MNP) ầ (ABC) PN =(MNP) ầ (BCD), PQ =(MNP) ầ (ABD), QM =(MNP) ầ (ACD). Ta được thiết diện là tứ giác MNPQ. Các bài toán dựng hình thể hiện sự tồn tại khái niệm: Dựng các khoảng cách từ 1 điểm đến một đường thẳng, từ 1 điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song, khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song(SGK). Dựng đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau:Có 2 cách: Dựng một mặt phẳng chứa đường thẳng a và song song với đường thẳng b. Tìm hình chiếu b’ của đường thẳng b lên mặt phẳng vừa tìm được. Từ giao điểm M của b’ và a kẻ vuông góc với b’ cắt b’ tại N. Đoạn MN chính là đoạn vuông góc chung. Dựng một mặt phẳng chứa đường thẳng a và song song với đường thẳng b. Lần lượt dựng 2 mặt phẳng đi qua a, b và vuông góc với mặt phẳng trên. Giao tuyến của 2 mặt phẳng này cắt 2 đường thẳng a, b ở M, N. Ta có đoạn MN chính là đoạn vuông góc chung. Dựng các góc giữa 2 đường thẳng, góc giữa một đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng(SGK). Dựng góc phẳng nhị diện: Để xác định góc phẳng nhị diện [a,a,b] ta dựng 1 mặt phẳng vuông góc với a. Giao tuyến của mặt phẳng đó với 2 nửa mặt phẳng (a) và (b) là Ox và Oy. Khi đó góc xOy chính là góc phẳng nhị diện [a,a,b]. Các bài toán dựng hình cơ bản khác: (SGK) Các bài toán dựng hình khác: Phương pháp giải: Tuân thủ theo 4 bước: - Phân tích - Dựng hình - Chứng minh - Biện luận VD14: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d cắt (P) tại A; một điểm M nằm ngoài (P), d. Dựng đường thẳng a qua M cắt d tại điểm I, cắt (P) tại J sao cho MI = MJ. Giải: P J d I M N A d Phân tích: + Giả sử đã dựng được đường thẳng A thoả mãn điều kiện bài toán + Lấy N là trung điểm của AJ ị MN // AI ị N = d’ầ (P) với d’ là đường thẳng qua M song song với d Cách dựng: + Qua M dựng đường thẳng d’ // d; + d’ ầ (P) = N + Lấy J ẻ (P) sao cho NA = NJ + Đường thẳng JM là đường thẳng cần tìm Chứng minh: + MN // AI, N là trung điểm của AJ ị M là trung điểm của IJ. ị MI = MJ Biện luận: Bài toán luôn dựng được và có duy nhật 1 đường thẳng a thoả mãn điều kiện bài toán. C/Tính toán: Tính chu vi thiết diện, diện tích thiết diện. VD15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O và có AC = a, BD = b. Tam giác SBD là tam giác đều. Một mặt phẳng (P) di động song song với mặt phẳng (SBD) và đi qua điểm I trên đoạn OC. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P). Tính diện tích thiết diện theo a, b và x = AI. Giải: a)Thiết diện cắt bởi mặt phẳng (P) qua điểm I ẻ OC được xác định như sau: Do (P) // (SBD) nên từ I kẻ song song với BD cắt BC và DC tại M, N. Vậy (P)ầ(ABCD)=MN. Từ M kẻ //SB, cắt SC tại K.Vậy (P)ầ(SCB)=MK, (P) ầ (SCD) = NK. Vậy thiết diện là tam giác MNK. b)Thiết diện tam giác MNK là tam giác đều. Ta có SSBD = Vì I ẻ OC nên Vậy SMNK= với . Tính khoảng cách, góc. VD16: Cho tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a. Gọi I là trung điểm của BC. Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng OA và BC. Giải: Ta có Tam giác OBC cân và IB = IC nên Vậy OI là đoạn vuông góc chung của OA và BC. Ta có OI = VD17: Cho hình hộp chữnhật ABCDA’B’C’D’ có AB = a, BC = b, CC’ = c. Tính khoảng cách từ B tới (ACC’A’) A B C D A’ B’ C’ D’ H Giải: - Kẻ BH ^ AC Do A’A ^ (ABCD) ị A’A ^ BH Có BH ^ A’A; BH ^ AC ị BH ^ (ACC’A’) ị d (B, (ACC’A’)) = BH Xét DABC vuông tại B BH = 2SABC / AC = (AB.BC) / (ệAB2 + BC2) = (a.b) / (ệa2 + b2) ị d (B, (ACC’A’)) = (a.b) / (ệa2 + b2) VD18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhât AB = a, AD = a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a. Tính: Góc giữa đường thẳng SB và CD. Góc giữa đường thẳng SD và (SAB). Góc giữa mặt phẳng (SCD) và (ABCD). Giải: a) Ta có CD//AB, từ đó Vì tam giác SAB vuông cân tại đỉnh A nên a = 450. Vậy góc giữa đường thẳng SB và CD là 450. b) Ta có . Từ đó SA là hình chiếu của SD lên (SAB). Vậy . Vậy góc giữa đường thẳng SD và (SAB) là 600. d)Ta có (SCD) ầ (ABCD) = CD. Mà từ đó góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) chính là góc SDA = g. Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là 300. Tính thể tích, diện tích xung quanh của khối đa diện. VD19: Tính thể tích và diện tích toàn phần của khối tứ diện đều có các cạnh đều bằng a. Giải: Mỗi mặt của tứ diện đều là các tam giác đều cạnh a nên diện tích của mỗi mặt là . Vậy Stp = 4=. Thể tích tứ diện V = Trong đó h = Vậy V = =. D/ Quỹ tích: 1.Tìm quỹ tích điểm Phần thuận: Tìm 2 mặt phẳng cố định lần lượt chứa 2 đường thẳng đã cho. Khi đó giao điểm của 2 đường thẳng đã cho di chuyển trên đường thẳng cố định là giao tuyến của 2 mặt phẳng cố định vừa tìm. Phần đảo: - Tìm giới hạn quỹ tích nếu có Chứng minh phần đảo. VD20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD với AB và CD không song song. Gọi M là một điểm di động trên đoạn SB và N là giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (ADM). Tìm tập hợp các giao điểm E của hai đường thẳng AM và DN. Giải: Phần thuận: Ta có M ẻSB do đó AM è (SAB) cố định. Tương tự N ẻSC è (SCD) nên DN nằm trong (SCD) cố định. Vậy giao điểm E của AM và DN thuộc giao tuyến của (SAB) và (SCD). Gọi I = AB ầ CD thì (SAB) ầ (SCD) = SI. Vậy giao điểm E của hai đường thẳng AM và DN nằm trên đường SI cố định. Phần đảo: Gọi E là một điểm tuỳ ý trên SI. Ta có AE cắt SB tại M, DE cắt SC tại N. Vậy E là giao điểm của AM và DN. VD21: Cho 2 tia chéo nhau Ax, By. Hai điểm M, N di động tương ứng trên Ax, By sao cho AM = BN. Tìm tập hợp trung điểm I của MN. Giải: Lấy O là trung điểm của AB. Kẻ Ox’ // Ax; Oy’ // By Kẻ MP // AO (PẻOx’) ị MP = AO A x B y O M N P Q I x’ y’ NQ // BO (Q ẻ Oy’) ị NQ = BO Ta có MP // NQ; MP = NQ ị MPNQ là hình bình hành ị I là trung điểm của PQ. Mặt khác ta có OP = AM; OQ = AN ị OP = OQ DPOQ cân ị OI là tia phân giác góc x’Oy’ ị Quỹ tích điểm I là tia Kz (Kz là phân giác của góc x’Oy’). 2. Tìm quỹ tích đường: II. Dự kiến sai lầm thường gặp của học sinh: 1) Khi vẽ hình học KG trên giấy (1 mp), nên thường nhầm lẫn: Cho 2 đường chéo nhau cắt nhau tại một điểm. Sửa chữa: Khi muốn xét xem 2 đường thẳng có ầ nhau hay không? Ta phải xét 2 đường thẳng đó có cùng nằm trong 1 mặt phẳng nào không 2) Khi chứng minh 2 mp song song thường hay nhầm lẫn chỉ chứng minh có 1 đường thẳng ẻ mp 1 và đường thẳng đó song song mp2 ị mp 1 // mp 2 Sửa chữa: Nhắc lại cách chứng minh. Đưa ra phản VD: mp 1 chứa đường thẳng // mp 2 thì 2 mp đó vẫn có khả năng ầ nhau. 3) Không tưởng tượng được hình không gian nên vẽ sai hình hoặc không xét hết các trường hợp, khả năng có thể xẩy ra. 4) Xác định đường vuông góc chung sai, xác định sai các đoạn khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa điểm và đường thẳng, giữa điểm và mặt phẳng. 5) Xác định góc giữa 2 đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa 2 mặt phẳng sai. Xác định góc phẳng nhị diện sai. 6) Xác định thiết diện sai. 7) Học sinh hay gặp sai lầm khi cho rằng nếu 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường nằm trong mặt này đều vuông góc với mặt kia. 8) Một số tính chất đúng trong hình học học phẳng nhưng lại không còn đúng trong hình học không gian. Cần lưu ý khi sử dụng. Ví dụ: Hai đường thẳng cùng vuông góc (^) với đường thẳng thứ 3 thì song song với nhau. Tính chất này chỉ đúng trong hình học phẳng. VD1: Cho hình chóp S.ABCD; ABCD là hình thang (AD//BC). B A C D O S d Dựng giao tuyến (SAC) và SBD); (SAB) và (SBC) Giải: * Có Gọi O = BD ầ AC. Có SO è (ASC) và SO è (SBD) ị (SAC) ầ (SBD) * Ta có AD è (SAD); BC è (SBC); AD // BC ị Giao tuyến đi qua S và // AD hoặc // BC. S = (SAD) ầ (SBC) VD 2: Hình chóp SABCD. (ABCD) là hình bình hành. M, N là trung điểm AB và SC. a)- Dựng các giao điểm I, K của AN, MN với mp (SBD) Tính IA/IN; KM/KN b)- cm: B, I, K thẳng hàng; tính IB/IK. B A D C N M E F I K O S Giải: * Tìm I = AN ầ (SBD) - Gọi O = AC ầ BD Trong (SAC): AN ầ SO = I ị I là giao của (SBD) và AN * Vì trong D SAC: AN; SO là đường trung tuyến; AN ầ SO = I ị IA/IN = 2. * Tìm K = (SBD) ầ MN Gọi MC ầ BD = E Trong (SMC): MN ầ SE = K ị K là giao điểm của MN với (SBD) * Gọi F là trung điểm của EC Ta có DKME ~ D NMF (Vì trong DSCE: NF là đường trung bình ị NF // SE > NF // KE). Do vậy ta có: KE/NF = KM/MN = ME/MF = ẵ (Do E là giao của 2 trung tuyến BO; CM ị E là trọng tâm DABC ị ME = EF = FC). ị K là trung điểm MN ị KM/KN = 1 VD 3: Tứ diện ABCD; DABC vuông tại A. AC = b; BC = a; DB = h ^ (ABC). M.N là trung điểm AC, BC. Tính diện tích thiết diện của tử diện và mặt phẳng a qua MN // DC. Giải: M A B C Q K P N H a b c D Gọi Q là trung điểm AD ị MQ // CD. * a là mp qua MN và // CD ị Q ẻ a. * MN // AB ị a // AB. * Trong (ADB): QP // AB ị P là trung điểm BD ị NP // CD * Vậy thiết diện là hình bình hành MNPQ M H N P Q * MN = AB/2 = (1/2)(ệa2-b2) * Từ H kẻ HK // MA ị HK ^ AB * MH ^ QH, MH ^ HK (MH // AK) ị MH ^ (QHK) ị AB ^ (QHK) ị QK ^ AB. * DB ^ (AB) ị DB ^ AB Từ đó ị QK // DB ị KA = KB. ị QK = DB/2 = h/2. * QK // DB ị QK ^ KH , KH = MA = b/2 ị QH2 = HK2 + QK2 = b2/4 + h2/4 ị QH = (1/2)(ệb2 + h2) * S = QH.MH = (1/4)((ệa2-b2).(ệb2 + h2)) VD 4: Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b nhận AB là đường vuông góc (^) chung (A ẻ a; B ẻ b); E, F chuyển động trên a, b. Chứng minh rằng quỹ tích của điểm giữa M của EF là mp trung trực của AB. Giải: Gọi a là mp trung trực của AB O là điểm giữa này (O ẻ a). Do a ^ AB, b ^ AB Nên a, b // a. Do vậy hình chiếu a’, b’ của a, b trên trục a là các đường giao qua O; // a, b. O F a a b A B E E’ a’ I M F’ b’ Gọi E’, F’ là hình chiếu của E, F lên a. Ta có: E’ẻ a’; F’ ẻ b’ Do AE // OE’; OA // EE’ ị OA = EE’ Tương tự OB = FF’. Do đó EE’ = FF’. Vậy EE’FF’ là hbh. Do đó có M là điểm giữa của è và E’F’. Vậy M ẻ a. Đảo lại: Lấy M tuỳ ý ẻ a. Ta cần chứng minh có Ẻ a, Fẻb để EF nhận M là trung điểm. + Đường thẳng qua M // b’; cắt a’ tại I. Trên a’ lất E’ ạ O sao cho OI = IE’. Đường E’M cắt b’ tại F. Theo cách dựng DOE’F’ nhận MI là đường trung bình ị ME’ = MF’. Dựng hình bình hành AOE’E; BOF’F. Sẽ chứng minh được E ẻ a, F ẻ b. Và EE’ = FF’. Do đó EE’FF’ là hình bình hành ị ME = MF ị điều phải chứng minh. Ví dụ này minh hoạ cho cách chứng minh và dựng giao tuyến giữa 2 mp Sai lầm: Dễ mắc trong tư duy học sinh. Không nhất thiết phải tìm 2 giao điểm của 2 mp để tạo 1 giao tuyến VD này minh hoạ cho cách tìm giao điểm và cm 1 số t/c đặc biệt Sai lầm dễ thấy của nhiều học sinh: Trong KG; trong 1 mp mới chỉ ra giao điểm của 2 đt - VD minh hoạ về dựng thiết diện và tính Std Sai lầm dễ mắc về nhận định sai t/chất hình học: Quan hệ giữa mp và đường thẳng VD minh hoạ về quỹ tích trong không gian. Sai lầm dễ mắc ở bước xác định quỹ tích và giới hạn quỹ tích.