Đề thi môn Toán lớp 11

KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30/4 LẦN THỨ XIII TẠI THÀNH PHỐ HUẾ ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 11 Thời gian làm bài: 180 phút Chú ý: Mỗi câu hỏi thí sinh làm trên 01 tờ giấy riêng biệt Câu 1 (4 điểm). Giải hệ phương trình sau: Câu 2 (4 điểm). Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng d và số đo của nhị diện [B,SC,D] bằng 1500. Tính thể tích của hình chóp đều S.ABCD theo d. Câu 3 (4 điểm). Cho dãy số dương (an). a. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k : b. Biết R. Đặt bn = với n Chứng minh rằng dãy (bn) có giới hạn. Câu 4 (4 điểm). Cho hàm số f(x) = 2x – sinx. Chứng minh rằng tồn tại hằng số b và các hàm số g, h thoả mãn đồng thời các điều kiện sau: g(x) = bx + h(x) với mọi số thực x. h(x) là hàm số tuần hoàn. f(g(x)) = x với mọi số thực x. Câu 5 (4 điểm). Tìm tất cả các số tự nhiên m, n sao cho đẳng thức sau đúng: 8m = 2m + n(2n-1)(2n-2) -------------------HẾT------------------- Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm ĐÁP ÁN TOÁN LỚP 11 NỘI DUNG ĐIỂM Câu 1: Giải hệ phương trình Đk: x + 2y +6 > 0 và x + y + 2 > 0 0,5 Phương trình (1) Û y2 – x2 = ln(x2+1) – ln(y2+1) Û ln(x2+1)+ x2 +1 = ln(y2+1)+y2+1 (3) Xét hàm số f(t) = lnt + t với t ³ 1 Phương trình (3) có dạng f(x2+1) = f(y2+1) (4) Ta có f(t) đồng biến trên [1 ;+ ). Do đó (4) Û x2+1 = y2+1 Û x = ± y  1 * Với x = -y , từ (2) ta được , với x<6 Û x = 3 Þ y = -3 (thỏa mãn hệ) 0.5 * Với x = y , từ (2) ta được với x > -1 0.5 Đặt = 6u Þ Þ 1+23u = 32u Û (5) Xét g(u) = , g(u) là hàm nghịch biến trên R và có g(1) = 1 nên u = 1 là nghiệm duy nhất của (5). Với u = 1 suy ra x = y = 7 (thỏa mãn hệ) 1 Vậy hệ có 2 nghiệm (3 ;-3) , (7 ;7) 0.5  NỘI DUNG ĐIỂM Câu 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng d và số đo của nhị diện [B,SC,D] bằng 1500. Tính thể tích của hình chóp đều S.ABCD theo d. Ta có: BD SC . Dựng mặt phẳng qua BD vuoâng goùc vôùi SC taïi P. Ta coù : 1 Ta có: cos1500 = (1) 0.5 Gọi M là trung đi ểm của BC. Ta có SM .BC = BP.SC. BC = d, gọi h là chiều cao hình chóp S.ABCD Ta có: SM2 = h2 + ; SC2 = h2 + . Suy ra: BP2 = 1 (1) trở thành: . Suy ra: h = 1 VS.ABCD = 0.5 NỘI DUNG ĐIỂM Câu 3 Cho dãy số dương (an). a. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k: b. Biết R. Đặt bn = với n Chứng minh rằng dãy (bn) có giới hạn. a)Ta có 2 b) Từ câu a) suy ra Do : nên với (bn) tăng và bị chặn trên, do đó có giới hạn. 2 NỘI DUNG ĐIỂM Câu 4: Cho hàm số f(x)= 2x – sinx. Chứng minh rằng tồn tại hằng số b và các hàm số g, h thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau : 1) g(x) = bx + h(x) với mọi số thực x. 2) h(x) là hàm số tuần hòan. 3) f(g(x)) = x với mọi số thực x. Từ điều kiện 3) cho thấy muốn chứng tỏ tồn tại g chỉ cần chứng tỏ f có hàm số ngược. Chú ý : f đồng biến trên (-;+) nên có hàm số ngược g. Ta có : f(g(x)) = x và g(f(x)) = x với mọi số thực x. 1 Đặt : h(x) = g(x) – bx. Ta sẽ chọn b để h(x) tuần hòan. 0.5 Hàm sinx tuần hoàn chu kì 2. Ta sẽ chứng tỏ g(x+ 4) = g(x) +2 với mọi số thực x. Thật vậy : g(x)+2 = [f(g(x) +2 )] = g[2(g(x)+2) - sin(g(x)+2)] =g[2g(x)-sin(g(x)) + 4] = g[f(g(x)) + 4] = g( x +4). 1 Từ đó : h(x+4) = g(x + 4) – b(x+4) = g(x) + 2 -bx – 4b = h(x) + 2(1-2b). 1 Nếu chọn b = thì h(x + 4) = h(x) với mọi số thực x. 0.5 NỘI DUNG ĐIỂM Câu 5: Tìm tất cả các số tự nhiên m,n sao cho đẳng thức sau đúng : 8m = 2m  + n(2n-1)(2n-2) . Đặt x = 2m , y = 2n-1 với m ,n là các số tự nhiên . Ta có : (x,y) =1 và 2(x3-x) = (y+1)y(y-1) y(y2-1) = 2x(x2-1) (1) Do m ³ 0 , n ³ 0 nên x ³ 1 và y ³ -1 . 0.5 + Trường hợp x =1: Ta có m = 0 .Lúc đó n = 0 hay n =1 . 1 +Trường hợp x >1: Từ (1) và (x,y)=1 suy ra : y2-1 chia hết cho x và 2(x2-1) chia hết cho y. Do đó 2(x2-1).(y2-1) chia hết cho xy. Nhưng: 2(x2-1)(y2-1) = 2[x2y2-2xy-((x-y)2-1)] nên cũng có: 2((x-y)2-1) chia hết cho xy (2) 0.5 Chú ý: với x >1 thì từ (1) ta có x3 < y3 < 2x3 . Thật vậy : (1) (y-x)(y2+xy+y2-1) = x3-x. Với x>1 ta có x3-x>0.Lúc này y>0 và y2+xy+y2-1>0,nên y>x. Ngoài ra: (x2-1)(2x3-y3) = x2[2(x3-x)] – (x2-1)y3 = x2(y3-y)-(x2-1)y3 = y(y2-x2) > 0. Do đó: 2x3-y3 > 0 1 + Từ đó: 0<y-x = x(-1) < x(-1) .Do đó (y-x)2<x2(-1)2<xy . Suy ra: 0 £ 2((y-x)2-1) < xy . Kết hợp với (2) ta có: (y-x)2-1 =0 hay y = x +1 . 0.5 Thay vào (1), ta có x = 4 và y = 5 .Lúc này m = 2, n = 3. Các cặp (m,n) thỏa bài tóan là: (0,0) ;(0,1) ;(2,3) . 0.5