Bài giảng môn học Hình học lớp 11 - Chương III: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian

CHƯƠNG III. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Bài 69: Cho tứ diện ABCD, M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao cho ; Các điểm I, J, K lần lượt thuộc AD, MN, BC sao cho . Chứng minh các điểm I, J, K thẳng hàng. Bài 70: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’; Các điểm M, N lần lượt thuộc các đường thẳng CA, DC’ sao cho Xác định m để các đường thẳng MN, BD’ song song với nhau. Khi ấy, tính MN biết Bài 71: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BB’, A’C’. Điểm K thuộc B’C’ sao cho Bài 72: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) bất kì không đi qua S, cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại các điểm CMR: Bài 73: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng m, các góc tại A bằng 60 . Gọi P và Q là các điểm xác định bởi Chứng minh rằng đường thẳng PQ đi qua trung điểm của cạnh BB’. Tính độ dài đoạn thẳng PQ. Bài 74: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi D1, D2, D3 lần lượt là điểm đối xứng với của điểm D’ qua A, B’, C. Chứng tỏ rằng B là trọng tâm của tứ diện D1D2D3D’. Bài 75: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc AD’ và DB sao cho a) Chứng minh rằng MN luôn song song với mp(A’BC). b) Khi đường thẳng MN song song với đường thẳng A’C’, chứng tỏ rằng MN vuông góc với AD’ và DB. Bài 76: Cho hình tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng m. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Tính độ dài MN. b) Tính góc giữa đường thẳng MN với các đường thẳng BC, AB và CD. Bài 77: Cho hình tứ diện ABCD; I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD; M là điểm thuộc AC sao cho N là điểm thuộc BD sao cho . Chứng minh rằng các điểm I, J, M, N cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi . Bài 78: Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. a) Đặt b) góc xOy, yOz, zOx. Chứng minh rằng nếu Ox1 và Oy1 vuông góc với nhau thì Oz1 vuông góc với cả Ox1 và Oy1. Bài 79: Cho hai đường thẳng cắt ba mặt phẳng song song lần lượt tại A, B, C và A1, B1, C1. Với điểm O bất kì trong không gian, đặt Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng. Bài 80: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, H, K, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD, BC, AD, AC, BD. Chứng minh rằng Bài 81: Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N, P, Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, DA sao cho Hãy xác định k để bốn điểm P, Q, M, N cùng nằm trên mặt phẳng. Bài 82: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Một đường thẳng d cắt các đương thẳng AA', BC, C'D' lần lượt tại M, N, P sao cho . Tính . Bài 83: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, cạnh bên SA=SB và SA vuông góc với BC. a) Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC. b) Gọi I, J lần lượt là các điểm thuộc SB và SD sao cho IJ//BD. Chứng minh rằng góc góc giữa AC và IJ không phụ thuộc vào vị trí của I, J. Bài 84: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a, a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với A'D và AC' với B'D. b) Tính diện tích của các hình A'B'CD và ACC'A'. c) Tính góc giữa đường thẳng AC' và các đương thẳng AB, AD, AA'. Bài 85: Cho tứ diện ABCD trong đó góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng . Gọi M là điểm bất kì thuộc cạnh AC, đặt AM=x (0<x<AC). Xét mặt phẳng (P) đi qua điểm M và song song với AB, CD. a) Xác định vị trí điểm M để diện tích thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P) đạt giá trị lớn nhất. b) Chứng minh rằng chu vi thiết diện nêu trên không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi AB=CD. Bài 86: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác vuông tại A. Với điểm M bất kì thuộc cạnh AD (M khác A và D), xét mặt phẳng (P) đi qua M và song song với SA và CD. a) Thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi (P) là hình gì? b) Tính diện tích thiết diện theo a và b; biết AB=a, SB=b, M là trung điểm của AD. Bài 87: Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M và N lần lượt thuộc các đường thẳng BC và AD sao cho với k là số thực khác 0 cho trước. Đặt là góc giữa hai vectơ Bài 88: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, H, Klần lượt là trung điểm của BC, CA, AD, DB. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD trong các trường hợp sau: a) Tứ giác IJHK là hình thoi có đường chéo . b) Tứ giác IJHK là hình chữ nhật. Bài 89: Cho tứ diện ABCD có . Gọi I, J, Klần lượt là trung điểm của BC, CA, AD, DB. Cho biết , tính góc giữa đường thẳng CD với các đường thẳng IJ và AB. Bài 90: Cho tứ diện ABCD có BC=AD=a, AC=BD=b, AB=CD=c. Đặt là góc giữa BD và AD; đặt là góc giữa hai đường thẳng AB và BD; đặt là góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Chứng minh rằng trong 3 số hạng có một số hạng bằng tổng hai số hạng còn lại. Bài 91: Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Lấy các điểm I, J, K lần lượt thuộc các đường thẳng BC, CA, AD sao cho trong đó k là một số khác 0 cho trước. Chứng minh rằng: Bài 92: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và SA=SC, SB=SD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. a) Chứng minh rằng SOmp(ABCD). b) Gọi d là giao tuyến của mp(SAB) và mp(SCD); d1 là giao tuyến của mp(SBC) và mp(SAD). Chứng minh rằng SOmp(d, d1). Bài 93: Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau sao cho hai đường chéo AC và BF vuông góc. Gọi CH và FK lần lượt là hai đường cao của hai tam giác BCE và ADF. Chứng minh rằng: a)ACH và BFK là các tam giác vuông. b)BFAH và ACBK. Bài 94: a)Cho tứ diện DABC có cạnh bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của D trên mp(ABC) và I là trung điểm của DH. Chứng minh rằng tứ diện IABC có IA, IB, IC đôi một vuông góc. b)Cho tứ diện IABC có IA=IB=IC và IA, IB, IC đôi một vuông góc. H là hình chiếu của I trên mp(ABC). Gọi D là điểm đối xứng của H qua I. Chứng minh tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau. Bài 95: Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc với mp(ABC), ABC là tam giác vuông tại A. a) Chứng minh ASC là tam giác vuông. b) Tính SA, SB, SC biết rằng Bài 96: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mp(ABCD), SA=a, và . a)Tính độ dài các cạnh SB, SC, SD. b)Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh rằng IB=ID. Bài 97: Chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD vuông góc với nhau từng đôi một thì trong bốn mặt của tứ diện có ít nhất một mặt là tam giác nhọn (cả ba góc của nó đều nhọn). Bài 98: Cho tứ diện ABCD, đáy là tam giác cân và DAmp(ABC), AB=AC=a, BC=. Gọi M là trung điểm của BC. Vẽ AH vuôngg góc với MD (H thuộc đường thẳng MD). a) Chứng minh rằng AHmp(BCD). b) Cho AD=. Tính góc giữa hai đường thẳng AC và DM. c) Gọi G1, G2 lần lượt là các trọng tâm của các tam giác ABC và DBC. CMR: G1G2mp(ABC). Bài 99: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DC và BB'. Chứng minh rằng Bài 100: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Trên DC và BB' ta lần lượt lấy các điểm M và N sao cho DM=BN=x với . Chứng minh hai đường thẳng AC' và MN vuông góc với nhau. Bài 101: Cho hình thang ABCD vuông ở A và D, AB=AD=a, DC=2a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại D lấy một điểm S sao cho SD=a. Các mặt bên của tam giác là những tam giác như thế nào? Bài 102: Hình chóp S.ADCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H, I và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC và SD. Chứng minh: Bài 103: Cho tam giác ABC vuông tại C. Trên nửa đường thẳng At vuông góc với (ABC) lấy điểm S. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC. Chứng minh AK vuông góc với (SBC) và KH vuông góc với SB.