Bài giảng môn học Hình học lớp 11 - Quan hệ song song trong không gian

QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN I. TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC A. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng: - Đường thẳng cắt mặt phẳng - Đường thẳng song song với mặt phẳng - Đường thẳng nằm trong mặt phẳng 2. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: - Hai mặt phẳng cắt nhau - Hai mặt phẳng song song với nhau - Hai mặt phẳng trùng nhau. 3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng: - Hai đường thẳng chéo nhau (không cùng nằm trong bất kì mặt phẳng) - Hai đường thẳng cắt nhau - Hai đường thẳng song song nhau - Hai đường thẳng trùng nhau 4. Các xác định một mặt phẳng Một mặt phẳng được xác định bởi: - Ba điểm phân biệt không thẳng hàng - Một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó - Hai đường thẳng cắt nhau - Hai đường thẳng song song B. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG 5. Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung. 6. Nếu d’ nằm trong mặt phẳng (a) và d song song d’ thì d // (a) hoặc d chứa trong (a) 7. Cho d song song với (a). Nếu (b) chứa d và cắt (a) theo giao tuyến d’ thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với d. C. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG: 9. Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung 10. Nếu (a) chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng đó cùng song song với (b) thì (a) song song với (b). 11. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. 12. Cho hai mặt phẳng song song với nhau. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau. 13. Định lý Ta – lét: - Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn tương ứng tỉ lệ. - Giả sử trên hai đường thẳng chéo nhau a và a’ lần lượt lấy các điểm A, B, C và A’,B’,C’ sao cho: Khi đó ba đường AA’, BB’, CC’ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song sng với một mặt phẳng. II. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN: 1. Các xác định giao tuyến của hai mặt phẳng: * - Cách 1: Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng. - Cách 2: Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng và tìm phương của giao tuyến. Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD và AB > CD). Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: a) (SAC) và (SBD) b) (SAD) và (SBC) c) (SAB) và (SCD). Giải Gọi O là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của AD và BC. a. Vì S và O là điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) nên (SAC)Ç(SBD)=SO b. Tương tự, (SAD)Ç(SBC)=SI C. S là điểm chung của (SAB) và (SCD), hơn nữa (SAB) và (SCD) lần lượt chứa AB và CD song song với nhau nên giao tuyến là đường thẳng D đi qua S và song song với AB và CD. 2. Tìm tập hợp giao điểm: Bài 2: Cho hình chóp S.ACBD có đáy ABCD là tứ giác sao cho AD cắt BC tại E, M là điểm thuộc đoạn SC. a. Tìm giao điểm N của SD và (MAB). b. Gọi I là giao điểm của AM và BN. Khi M di động trên đoạn SC thì điểm I chạy trên đường nào? Giải: a. Gọi F là giao điểm của BM và SE; N là giao điểm của FA và SD. Ta có: N Î AF và AF Ì (ABM) suy ra N Î (ABM) Do đó: N = SD Ç (ABM) b. Ta có: I = AM Ç BN . Do đó I Î (SAC) Ç (SBD) Vì (SAC) Ç (SBD) = SO (O là giao điểm của AC và BD) nên I Î SO. Nhận xét rằng trong mặt phẳng (SAC), ta thấy Khi M º S thì I º S, khi M º C thì I º O Vậy điểm I chạy trên đoạn SO. Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và BD. Một mặt phẳng (a) quay quanh IJ cắt cạnh AD và AC lần lượt tại K và L. a. Trong trường hợp IL và JK cắt nhau tại M thì điểm M chạy trên đường nào? b. Gọi N là giao điểm của IK và JK thì điểm N chạy trên đường nào? Giải: a. Ta có M = IL Ç JK Do đó M Î AB = (ABC) Ç (ABD) Nhận xét rằng khi mặt phẳng (a) đi qua trung điểm E của đoạn AC thì (a) không cắt đường thẳng AB. Khi L di động từ A tới E thì M di động trên tia Ax Khi L di động từ C tới E thì M di động trên tia By Vậy M chạy trên hai tia Ax, By b. Ta có N = IK Ç JL Nên N Î (IAD) Ç (JAC) Gọi O là giao điểm của ID và CJ, thì (IAD) Ç (JAC) = AO Ta có: N Î AO Ta thấy, trong mặt phẳng (IAD) khi K º D thì N º O. Vậy điểm N chạy trên đoạn AO. 3.Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng cố định Bài 4: Cho hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. M, N là hai điểm lần lượt thuộc đoạn BF và AC với . Chứng minh MN song song với mặt phẳng (CD, EF) Giải Xét 3 đoạn thẳng MN, AB, CF Từ giả thiết ta suy ra: . Theo định lí Ta – lét đảo ta có: MN,AN, CF cùng song song với một mặt phẳng. Mặt khác CF Ì (CFD) và AB // CD, suy ra AB // (CFD). Vì AB và CF chéo nhau nên (CFD) là mặt phẳng duy nhất chứa CF mà song song với AB. Vậy MN, AB, CF cùng song song với mặt phẳng (a) nào đó mà (a) song song với mặt phẳng (CFD) Vậy MN // (CFD) hay MN // (CD, FE) Bài 5:Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Gọi M, N là hai điểm di động trên hai đoạn AD và BE sao cho . Chứng minh rằng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định. Giải: Trong mặt phẳng (ABCD), qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại P, ta có: nên PN // CE Ta có (MNP) // (DCE) (Vì MP // DC và PN // CE) Mà MN nằm trong (MNP) nên MN song song với (DCE) (cố định) * Chú ý: Ta có thể sử dụng định lý Ta – lét đảo trong không gia để giải bài này. III. BÀI TẬP: 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành a. Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) và giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). b. Một mặt phẳng (a) thay đổi qua BC cắt cạnh SA tại A’ (A’ không trùng với S và A) và cắt cạnh SD tại D’. Tứ giác BCD’A’ là hình gì? c. Gọi I là giao điểm của BA’ và CD’, J là giao điểm của CA’ và BD’. Với (a) như câu b thì I và J chạy trên các đường nào? 2. Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Gọi M, N là hai điểm thay đổi trên hai cạnh AB và CD sao cho BM = CN. Chứng minh rằng MN luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định. 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. GỌi M, N , K lần lượt là trung điểm của các cạnh AA’, AD, DC. Hãy xác định giao điểm của mặt phẳng (MNK) với cạnh CC’, C’B’, B’A’. Từ đó suy ra thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNK) với hình hộp đã cho. 4. Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, B1C1, DD1. a. Hãy xác định thiết diện tạo bởi hình lập phương đã cho và mặt phẳng (MNP). b. Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với mặt phẳng (BDC1) 5. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh các cặp đường thẳng sau đây chéo nhau. a. AA’ và BD b. BD và A’C’.