Bài giảng môn học Hình học lớp 11 - Quan hệ vuông góc trong không gian

QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN I. TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC A. PHÉP TOÁN VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN: 1. Các quy tắc cần nhớ: a. Quy tắc ba điểm Với ba điểm A, B, C bất kỳ ta có và b. Quy tắc hình bình hành Với hình bình hành ABCD ta có: c. Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với AB, AD, AA’ là ba cạnh có chung đỉnh A và AC’ là đường chéo, ta có 2. Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ trong không gian Ba vectơ được gọi là dồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng Cho hai vectơ không cùng phương. Ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho Cho là ba vectơ không đồng phẳng. Với bất kì một vectơ nào trong không gian ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC: 3.Góc giữa hai đường thẳng. Hai đường thẳng vuông góc Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O bất kì lần lượt song song với a và b. a là góc giữa hai đường thẳng a và b thì ta luôn luôn có a £ 900. Nếu là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và là vectơ chỉ phương của đường thẳng b và (,)=a thì góc giữa hai đường thẳng a, b bằng a nếu a £ 900 và bằng 1800 – a nếu a > 900. Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900. 4. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy. Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng không chứa đường thẳng đó cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song vớ nhau. Định lý ba đường vuông góc. - Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (a). Gọi b là đường thẳng không thuộc (a) đồng thời không vuông góc với (a) và b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (a). Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’. - Cho đường thẳng d cắt mặt phẳng (a) tại O và d không vuông góc với (a). Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (a) là góc tạo bởi đường thẳng d và hình chiếu d’ của d trên (a). - Khi d vuông góc với mặt phẳng (a) ta nói góc giữa d và (a) bắng 900. 5. Hai mặt phẳng vuông góc: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 900. Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó. 6. Khoảng cách Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường vuông góc chung của chúng cắt a tại A, cắt b tại B. Ta nói khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b là khoảng cách giữa A và B . II. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN: 1. Chứng minh các đẳng thức về vectơ * Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp để biến đổi vế này thành vế kia Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là là một hình chữ nhật. Chứng minh rằng: a. b. Giải a. Gọi O là tâm của hình chữ nhật. Vì OA – OC nên: (1) Vì OB = OD nên (2) So sánh (1) và (2) ta suy ra b. Ta có: Mà nên Tương tự ta có: Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có Từ đó suy ra Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD, G là trung điểm của đoạn MN. Chứng minh rằng: a. b. c. với P là một điểm bất kì. Giải: a. Ta có: và Suy ra: Vì nên Ta suy ra: b. Vì nên c. Với điểm P bất kì, từ kết quả trên ta có: Do đó: 2. Chứng minh ba vectơ đồng phẳng * Chứng minh rằng các vectơ có giá song với một mặt phẳng. Chứng minh rằng có cặp số m, n sao cho với và không cùng phương Bài 3: Cho hình tứ diện ABCD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AC và BD ta lần lượt lấy các điểm M,N sao cho . Chứng minh rằng ba vectơ đồng phẳng. Giải: Vì Q là trung điểm của cạnh DC nên ta có: Vì nên Theo giả thiết ta có và Do đó Vì: và nên Vậy: Từ hệ thức trên ta suy ra ba vectơ đồng phẳng. Bài 4: Trong không gian cho tam giác ABC. a. Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) thì với mọi điểm O trong đó x + y + z = 1 b. Ngược lại nếu có một điểm O trong không gian sao cho trong đó x + y + z = 1 thì điểm M thuộc mặt phẳng (ABC). Giải a. Vì là hai vectơ không cùng phương nên điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) khi: hay với điểm O tuỳ ý, tức là Đặt 1 – m – n = x, m = y, n = z thì: với x + y + z = 1 b. Ngược lại nếu có điểm O sao cho với x + y + z = 1 thì hay Từ đó suy ra : . Do đó điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) 3. Ứng dụng của tích vô hướng: Bài 5:Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối diện là AB và CD, AC và DB vuông góc với nhau. Chứng minh rằng cặp cạnh đối diện còn lại là AD và BC cũng vuông góc với nhau. Giải: Trước hết tà cần chứng minh hệ thức sau đây: Ta có: Từ (1), (2), (3) ta suy ra Do đó, nếu AB^CD nghĩa là và AC ^ DB nghĩa là thì từ hệ thức (4) ta suy ra nghĩa là AD ^ BC. Cách khác: Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên mặt phẳng (BCD), ta có AH ^(BCD). Do đó CD ^ AH. Theo giả thiết CD ^ AB, ta suy ra CD ^(AHB). Vậy CD ^ BH. Tương tự, theo giả thiết BD^AC, ta suy ra BD^(ACH), do đó BD^ CH. Vậy H là trực tâm của tam giác BCD tức là DH^BC. Do đó BC ^ (ADH) nên ta suy ra BC^AD. 4. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: * Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (a) ta chứng minh : - d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (a) - d song song với một đường thẳng d’ mà d’ vuông góc với (a) - d vuông góc với (b) mà (b) // (a) Bài 6: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và DBC là hai tam giác cân có chung đáy BC. a. Chứng minh BC ^ AD. b. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (BCD). Giải: a. Gọi I là trung điểm của BC, ta có BC ^ AI và BC ^ DI Do đó BC ^ (ADI) và suy ra BC ^ AD. b. Mặt phẳng (BCD) chứa đường thẳng BC^(ADI) nên (BCD) ^ (ADI). Ta có DI là giao tuyến của hai mặt phẳng (BCD) và (ADI) vuông góc với nhau nên hình chiếu vuông góc H của đỉnh A phải nằm trên giao tuyến DI của hai mặt phẳng đó. Trong mặt phẳng (ADI), ta vẽ AH ^ DI thì H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên mặt phẳng (BCD). Bài 7: Cho tam giác ABC. Gọi (a) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CA tại A và (b) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CB tại B. a. Chứng minh hai mặt phẳng (a) và (b) cắt nhau. b. Gọi d là giao tuyến của (a) và (b). Chứng minh d ^ (ABC). Giải: a. Theo giả thiết CA ^ (a) và CB ^ (b) nên góc của hai mặt phẳng (a) và (b) bằng góc của tam giác ABC đã cho hoặc bằng góc 1800 - . Do đó ta suy ra hai mặt phẳng (a) và (b) phải cắt nhau. b. Vậy (a) và (b) phải cắt nhau theo giao tuyến d. Ta cần chứng minh d ^ (ABC). Vì CA ^(a) và d thuộc (a) nên CA ^ d. Tương tự, vì CB ^ (b) và d thuộc (b) nên CB^d. Do đó, vì d ^ CA và d ^ CB nên ta suy ra d ^ (ABC). 5. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có các cạnh bên SA = SB = SC = a. Chứng minh: a. Mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). b. Tam giác SBD vuông tại S Giải a. ABCD là hình thoi nên có AC ^ BD tại O. Mặt khác SA = SC nên có AC ^ SO. Vậy AC ^ (SBD). Mặt phẳng (ABCD) chứa AC ^ (SBD) nên (ABCD) ^ (SBD). b. Ta có: DSAC = DBAC (c – c – c) mà OA = OC nên SO = BO. Mặt khác BO = DO nên SO=OB=OD. Ta suy ra tam giác SBD vuông tại S. Bài 9: Hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. a. Chứng minh rằNG (SAC) ^ (BHK) và (SBC) ^ (BHK) b. Tính diện tích tam giác ABC biết rằng tam giác SBC có SB = 15cm, SC = 14cm, BC = 13cm và có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 300. Giải: a. Gọi A’ là giao điểm của AH và BC. Ta có BC^AA’ và BC^SA suy ra BC^(SAA’). Do đó BC^SA’. Vậy SA’ đi qua K vì K là trực tâm của tam giác SBC. Vì BH ^ AC và BH ^ SA suy ra BH ^ (SAC) Do đó Vậy: (SAC) ^ (BHK) BC ^ (SAA’) do đó BC ^ HK; SC ^ (BHK) do đó SC ^ HK. Từ đó suy ra HK ^ (SBC) và (BHK) ^ (SBC) b. Gọi SSBC là diện tích tam giác SBC. Theo công thức Hê – rông, ta có: trong đó p = ½ (13+14+15) = 21 Do đó Ta có tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác SBC trên mặt phẳng (ABC). Áp dụng công thức S’ = S cosj trong đó j = 300 là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) ta có: SABC = S’ = 84.cos300 = 42 (cm2) 6. Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng và đến mặt phẳng Bài 10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. a. Chứng minh rằng khoảng cách từ các điểm B, C, D, A’, B’, D’ đến đường chéo AC’ bằng nhau. Hãy tính khoảng cách đó. b. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (A’BD) của hình lập phương. Giải: a. ABC’ là tam giác vuông tại B, do đó khoảng cách từ B đến AC’ là độ dài đường cao BI kẻ từ B xuống AC’. Vì DABC’ vuông tại B nên ta có: Lập luận tương tự đối với các điểm còn lại ta chứng minh được các khoảng cách từ các điểm này đến đường chéo AC’ đều bằng nhau. b. Điểm A cách đều ba đỉnh của tam giác đều A’BD vì ta có AB = AD = AA’ = a. Điểm C’ cũng cách đều ba đỉnh của tam giác đều A’BD vì ta có C’B=C’D=C’A=a. Vậy AC’ là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác đều A’BD, do đó AC’ ^ (A’BD) tại trọng tâm I của DA’BD. Ta cần tính AI. Vì A’I = BI = DI = A’O với O là tâm hình vuông ABCD. Ta có: và A’I = Xét tam giác vuông AA’I, ta có: AI2 AA’2 – A’I2 = a2 - Vậy 7. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b * Tính khoảng cách giữa a và mặt phẳng (a) chứa b và (a) // a Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa a và b Bài 11: Cho hình tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với OA=OB=OC=a. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Tìm khoảng cách giữa AI và OC đồng thời xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó. Giải: Ta có OC ^ (AOB). Gọi K là trung điểm OB, ta có hình chiếu của AI lên (AOB) là AK (vì IK ^ (AOB)). Vẽ OH ^ AK. Dựng HE// OC c8át AI tại E. Dựng EF // OH c8át OC tại F. Khi đó EF là đường vuông góc chung của AI và OC. Độ dài đoạn EF là khoảng cách giữa AI và OC. Xét tam giác vuông AOK ta có: . Do đó: OH2 = Vì OH = EF, ta suy ra khoảng cáhc EF = OH = III. BÀI TẬP: 1. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ a. Chứng minh rằng b. Chứng minh: 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AD và BC ta lần lượt lấy các điểm P và Q sao cho . Chứng minh rằng ba vectơ đồng phẳng. 3. Hai tam giác đều ABC và ABD có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC, BD, DA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. 4. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng đường thẳng AC’ vuông góc với các đường thẳng BD, DA’. 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD); gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB và SD. Chứng minh SC ^ (AHK) và HK ^ (SAC) 6. Hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Chứng minh (SCD) ^ (SAD) và (SBC) ^ (SAB). 7. Cho tứ diện ABCD có AB = 7cm, AC = 8cm, BC = 5cm. Cạnh AD = 4 cm và AD vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a. SB và AD b. BD và SC