Bài giảng môn học Toán học lớp 11 - Chương I: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Nhiều hiện tượng tuần hoàn đơn giản trong thực tế được mô tả bởi các hàm số lượng giác. Chương này sẽ cung cấp những kiến thức cơ bản về các hàm số lượng giác và cách giải các phương trình lượng giác đơn giản. Đáng chú ý trong chương này là tính chất tuần hoàn của các hàm số lượng giác và phương pháp sử dụng đường tròn lượng giác để tìm nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản. Ngoài ra, học sinh cần rèn luyện kĩ năng biến đổi lượng giác và kĩ năng giải các dạng phương trình lượng giác được quy định trong chương trình. Mục tiêu của chương Có thể nói chương I là phần tiếp theo của Lượng giác 10, Chương I sẽ cung cấp cho học sinh những kiến thức về các hàm số lượng giác và các phương pháp giải phương trình lượng giác. Mục tiêu của chương này là: 1. Về kiến thức Giúp học sinh Hiểu khái niệm các hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx và tính chất tuần hoàn của chúng; Nắm được sự biến thiên và hình dáng đồ thị của các hàm số lượng giác nêu trên. Hiểu cách tìm nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản và phương pháp giải một số dạng phương trình lượng giác đơn giản. 2. Về kĩ năng Giúp học sinh: Biết xét sư biến thiên, vẽ đồ thị của các hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx và một số hàm số lượng giác đơn giản khác. Giải thành thạo các phương trình lượng giác cơ bản. Biết cách giải một số dạng phương trình lượng giác không quá phức tạp có thể quy được về phương trình bậc nhất và bậc hai đối với một hàm số lượng giác. tiết 1-6: Đ1: Các hàm số lượng giác i. Mục tiêu bài dạy: 1. Về kiến thức: Giúp học sinh Hiểu rằng trong định nghĩa các hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx, x là số thực và là số đo rađian (không phải số đo độ) của góc (cung) lượng giác; Hiểu tính chất chẵn – lẻ, tính chất tuần hoàn của các hàm số lượng giác; tập xác định và tâpk giá trị của các hàm số đó. Biết dựa vào trục sin, trục côsin, trục tang, trục côtang gắn với đường tròn lượng giác để khảo sát sự biến thiên của các hàm số tương ứng rồi thể hiện sự biến thiên đó trên đồ thị. 2. Về kĩ năng: Giúp học sinh nhận biết và vẽ đồ thị của các hàm số lượng giác cơ bản (thể hiện tính tuần hoàn, tính chẵn – lẻ, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, giao với trục hoành, ) 3. Về thái độ, tư duy: - Rèn luyện cho HS tư duy lôgíc và biết quy lạ về quen - Cẩn thận chính xác trong phân tích , nhận biết ii. Chuẩn bị: 1. Về phía thầy: Đồ dùng dạy học như thước kẻ, com pa,.bảng in đồ thị các HSLG, máy chiếu, USB 2. Về phía trò:: Đồ dùng học tập như thước kẻ, com pa,.., III. Gợi ý phương pháp: Gợi mở ,vấn đáp iV. Tiến trình bài dạy: tiết 1 1. Kiểm tra bài cũ: Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Nhắc lại định nghĩa giỏ trị LG của gúc ?Nờu giỏ trị Lg của cỏc gúc đặc biệt HS lờn bảng viết lại đ/n và GTLG cỏc gúc đặc biệt 2. Nội dung bài mới: Hoạt động của thầy Hoạt động của trò H1: Trên hình 1.1 hãy chỉ ra các đoạn thẳng có độ dài đại số bằng sinx, bằng cosx. Tính sin, cos, cos. H2: Hàm số y = sinx ; y = cosx là h/s chẵn hay lẻ ?H/s tự c/m. Ngoài ra cỏc hàm số này cú t/c đặc biệt nữa 1. Các hàm số y = sinx và y = cosx a. Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với sin của góc lượng giác có số đo rađian bằng x được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sinx. Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với côsin của góc lượng giấc có số đo rađian bằng x được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là y = cosx. Tập xác định của các hàm số y = sinx, y = cosx là R. Do đó các hàm số sin và cosin được viết là sin : Rđ R x a sinx cos : R đ R x a cosx Nhận xét: Hàm số y = sinx là một hàm số lẻ vì sin(-x) = -sinx với mọi x thuộc R. Hàm số y = cosx là một hàm số chẵn. b. Tính chất tuần hoàn của các hàm số y = sinx và y = cosx Ta đã biết, với mỗi số nguyên k, số k thoả mãn: sin (x + k) = sinx với mọi x. Ngược lại, có thể chứng minh rằng số T sao cho sin (x + T) = sinx với mọi x phải có dạng T = k, k là số nguyên. Rõ ràng, trong các số dạng k (k ẻ Z), số dương nhỏ nhất là . Vậy đối với hàm số y = sinx, số T = là số dương nhỏ nhất thoả mãn sin (x + T) = sinx với mọi x. Hàm số y = cosx cũng có những tính chất tương tự. Ta nói 2 hàm số đó là những hàm số tuần hoàn với chu kì . Từ tính chất tuần hoàn với chu kì , ta thấy khi biết giá trị các hàm số y = sinx và y = cosx trên một đoạn có độ dài (chẳng hạn đoạn [0 ; ] hay đoạn [; ]) thì ta tính được giá trị của chúng tại mọi x. (Cứ mỗi khi biến số được cộng thêm thì giá trị của các hàm số đó lại trở về như cũ; điều này giải thích từ “tuần hoàn”). 3. Củng cố:nhắc lại định nghĩa hàm số y = sinx, y = cosx ; Nêu tập xác định, tính chẵn lẻ ? 4. Hướng dẫn về nhà : Học thuộc định nghĩa hàm số y = sinx, y = cosx ; Nêu tập xác định, tính chẵn lẻ  của các hàm số này. Làm bài tập SGK tiết 2 1.. Kiểm tra bài cũ: Hoạt động của thầy Hoạt động của trò định nghĩa hàm số y = sinx, y = cosx ; Nêu tập xác định, tính chẵn lẻ  của các hàm số này. Làm bài tập SGK Học sinh lên bảng lam theo hướng dẫn của giáo viên 2. Nội dung bài mới: Hoạt động của thầy Hoạt động của trò H3: Hỏi khẳng định sau có đúng không? Vì sao? Hàm số y = sinx nghịch biến trên khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng , k ẻ Z. Hướng dẫn h/s vẽ đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [0; ]. ; lấy đối xứng nó qua gốc O (Do t/c hàm số lẻ) lập thành đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [; ].; Tịnh tiến phần đồ thị vừa vẽ sang trái, sang phải những đoạn có độ dài , , , thì được toàn bộ đồ thị hàm số y = sinx. Đồ thị đó được gọi là một đường hình sin H4: Hãy kiểm nghiệm lại bảng biến thiên trên bằng cách quan sát chuyển động của điểm H trên trục cosin, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên trục cosin, khi điểm M chạy trên đường tròn lượng giác theo chiều dương một vòng xuất phát từ điểm A’ (h. 1.8). c. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = sinx333 Do hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì nên ta chỉ cần khảo sát hàm số đó trên một đoạn có độ dài , chẳng hạn trên đoạn [; ]. Chiều biến thiên (xem các hình 1.2, 1.3, 1.4 ) : Cho x = (OA, OM) tăng từ đến , tức là cho M chạy trên đường tròn lượng giác theo chiều dương một vong xuất phát từ A’ và quan sát sự thay đổi của điểm K (K là hình chiếu của M trên trục sin, = sinx), ta thấy: Khi x tăng từ đến thì điểm M chạy trên đường tròn lượng giác theo chiều dương từ A’ đến B’ và điểm K chạy dọc trục sin từ O đến B’. Do đó tức là sinx giảm từ 0 đến -1(h. 1.2). Khi x tăng từ đến thì điểm M chạy trên đường tròn lượng giác theo chiều dương từ B’ đến B và điểm K chạy dọc trục sin từ B’ đến B. Do đó tức là sinx tăng từ -1 đến 1 (h. 1.3) Khi x tăng từ đến thì điểm M chạy trên đường tròn lượng giác theo chiều dương từ B đến A’ và điểm K chạy dọc trục sin từ B đến O. Do đó tức là sinx giảm từ 1 đến 0 (h. 1.4). Ta có bảng biến thiên của hàm số y = sinx trên đoạn [; ] như sau: x 0 y = sinx 1 0 0 0 -1 Đồ thị: Khi ta vẽ đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [; ], ta nên để ý rằng: Hàm số y = sinx là một hàm lẻ, do đó đồ thị của nó nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng. Vì vậy, đầu tiên ta vẽ đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0; ]. Trên đoạn [0; ], đồ thị của hàm số y = sinx (h. 1.5) đi qua các điểm có toạ độ (x; y) trong bảng sau: x 0 y = sinx 0 (ằ 0,71) (ằ 0,87) 1 (ằ 0,87) (ằ 0,71) 0 Phần đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0; ] cùng với hình đối xứng của nó qua gốc O lập thành đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [; ]. Tịnh tiến phần đồ thị vừa vẽ sang trái, sang phải những đoạn có độ dài , , , thì được toàn bộ đồ thị hàm số y = sinx. Đồ thị đó được gọi là một đường hình sin (h. 1.6). Nhận xét: *) Khi x thay đổi, hàm số y = sinx nhận mọi giá trị thuộc đoạn [-1; 1]. Ta nói tập giá trị của hàm số y = sinx là đoạn [-1; 1]. *) Hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng . Từ đó, do tính chất tuần hoàn với chu kì , hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng , k ẻ Z. 3. Củng cố:nhắc lại định nghĩa hàm số y = sinx, y = cosx ; Nêu tập xác định, tính chẵn lẻ ? 4. Hướng dẫn về nhà : Học thuộc định nghĩa hàm số y = sinx, y = cosx ; Nêu tập xác định, tính chẵn lẻ  của các hàm số này. Làm bài tập SGK tiết 3 1. Kiểm tra bài cũ: Hoạt động của thầy Hoạt động của trò định nghĩa hàm số y = sinx, y = cosx ; Nêu tập xác định, tính chẵn lẻ  của các hàm số này.Nêu tính bién thiên của nó. Làm bài tập SGK Học sinh lên bảng lam theo hướng dẫn của giáo viên 2. Nội dung bài mới: Hoạt động của thầy Hoạt động của trò H5: Hỏi khẳng định sau đây có đúng không? Vì sao? Hàm số y = cosx nghịch biến trên khoảng (0; ) và nghịch biến trên mỗi khoảng, k ẻ Z. Hướng dẫn học sinh khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = cosx tương tự như đã làm đối với hàm số y = sinx trên đây. Tuy nhiên, ta nhận thấy cosx = sin với mọi x, nên bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sinx sang trái một đoạn có độ dài , ta được đồ thị hàm số y = cosx (nó cũng được gọi là một đường hình sin).Từ đó suy ra chiều biến thiên Nhận xét t/c hàm số So sánh hai hàm số về từng tính chất của nó ? hướng dẫn h/s lập bảng ghi nhớ d. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = cosx Ta có thể tiến hành khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = cosx tương tự như đã làm đối với hàm số y = sinx trên đây. Tuy nhiên, ta nhận thấy cosx = sin với mọi x, nên bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sinx sang trái một đoạn có độ dài , ta được đồ thị hàm số y = cosx (nó cũng được gọi là một đường hình sin) (h, 1.7). Căn cứ vào đồ thị của hàm số y = cosx, ta lập được bảng biến thiên của hàm số đó trên đoạn : x 0 y = cosx 1 -1 -1 Nhận xét: Khi x thay đổi, hàm số y = cosx nhận mọi giá trị thuộc đoạn [-1; 1]. Ta nói tập giá trị của hàm số y = cosx là đoạn [-1; 1]. Do hàm số y = cosx là hàm số chẵn nên đồ thị của hàm số y = cosx nhận trục tung làm trục đối xứng. Hàm số y = cosx đồng biến trên khoảng . Từ đó tính chất tuần hoàn với chu kì , hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng , k ẻ Z. Ghi nhớ: Hàm số y = sinx Hàm số y = cosx Tập xác định là R; Tập xác định là R; Tập giá trị là [-1; 1]; Tập giá trị là [-1; 1]; Hàm số lẻ; Hàm số chẵn; Hàm số tuần hoàn với chu kì ; Hàm số tuần hoàn với chu kì ; Đồng biến trên mỗi khoảng và ngịch biến trên mỗi khoảng, k ẻ Z. Đồng biến trên mỗi khoảng và ngịch biến trên mỗi khoảng, k ẻ Z. Có đồ thị là một đường hình sin. Có đồ thị là một đường hình sin. 2. Củng cố:nhắc lại định nghĩa hàm số y = sinx, y = cosx ; Nêu tập xác định, tính chẵn lẻ ? 3. Hướng dẫn về nhà : Học thuộc định nghĩa hàm số y = sinx, y = cosx ; Nêu tập xác định, tính chẵn lẻ  của các hàm số này. Làm bài tập SGK tiết 4 1. Kiểm tra bài cũ: Hoạt động của thầy Hoạt động của trò định nghĩa hàm số y = sinx, y = cosx ; Nêu tập xác định, tính chẵn lẻ  , tập giá trị, sự biến thiên...của các hàm số này. Làm bài tập SGK Học sinh lên bảng lam theo hướng dẫn của giáo viên 2. Nội dung bài mới: Hoạt động của thầy Hoạt động của trò H6: Tại sao có thể khẳng định hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng   ? Với mỗi số thực x mà cosx ạ 0, tức là x ạ (k ẻ Z), ta xác định được số tanx =. Đặt D1 = R\ . Với mỗi số thực x mà sinx ạ 0, tức là x ạ (k ẻ Z), ta xác định được số cotx = . Đặt D2 = R\. Do tính chất tuần hoàn với chu kì của hàm số y = tanx, ta chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của nó trên khoảng , rồi tịnh tiến phần đồ thị vừa vẽ sang trái, sang phải các đoạn có độ dài , ... thì được toàn bộ đồ thị của hàm số y = tanx. Hàm số y = cotx xác định trên D2 = R\{kẵk ẻ Z} là một hàm số tuần hoàn với chu kì . Ta có thể khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của nó tương tự như đã làm đối với hàm số y = tanx. 2. Các hàm số y = tanx và y = cotx a. Định nghĩa : Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x ẻ D1 với số tanx =được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx. Vậy hàm số y = tanx có tập xác định D1 ; ta viết tan : D1 đ R x a tanx Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x ẻ D2 với số cotx = được gọi là hàm số côtang, kí hiệu là y = cotx. Vậy hàm số y = cotx có tập xác định D2 ; ta viết cot : D2 đ R x a cotx Trên hình 1.9 ta có (OA, OM) = x, tanx = , cosx = . Nhận xét: *) Hàm số y = tanx là một hàm số lẻ vì nếu x ẻ D1 thì -x ẻ D1 và tan(-x) = -tanx. *) Hàm số y = cotx cũng là một hàm số lẻ vì nếu x ẻ D2 thì -x ẻ D2 và cot(-x) = -cotx. b. Tính chất tuần hoàn: Có thể chứng minh rằng T =là số dương nhỏ nhất thoả mãn tan (x + T) = tanx với mọi x ẻ D1 và T = cũng là số dương nhỏ nhất thoả mãn cot (x + T) = cotx với mọi x ẻ D2 Ta nói các hàm số y = tanx và y = cotx là những hàm số tuần hoàn với chu kì . c. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = tanx Chiều biến thiên (h. 1.10) : Khi cho x = (OA, OM) tăng từ đến (không kể và ) thì điểm M chạy trên đường tròn lượng giấc theo chiều dương từ B’ đến B (không kể B’ và B). Khi đó điểm T thuộc trục tang At sao cho = tanx chạy dọc theo At suốt từ dưới lên trên, nên tanx tăng từ -Ơ đến +Ơ (qua giá trị 0). Đồ thị: Đồ thị của hàm số y = tanx có dạng như hình 1.11. Nhận xét: *) Khi x thay đổi, hàm số y = tanx nhận mọi giá trị thực. Ta nói tập giá trị của hàm số y = tanx là R. *) Vì hàm số y = tanx là hàm số lẻ nên đồ thị của nó nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng. Hàm số y = tanx không xác định tại x = (k ẻ Z). Vơi mỗi k ẻ Z, đường thẳng vuông góc với trục hoành, đi qua điểm gọi là một đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = tanx. (Từ “tiệm cận” có nghĩa là ngày càng gần. Chẳng hạn nói đường thẳng x = là một đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = tanx nhằm diễn tả tính chất: điểm M trên đồ thị có hoành độ càng gần thì M càng gần đường thẳng x = ). d. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = cotx Đồ thị của hàm số y = cotx có dạng như hình 1.12. Nó nhận mỗi đường thẳng vuông góc với trục hoành, đi qua điểm , k ẻ Z làm một đường tiệm cận. Ghi nhớ: Hàm số y = tanx Hàm số y = cotx Có tập xác định là D1 = Có tập xác định là D2 = Có tập giá trị là R Có tập giá trị là R Là hàm số lẻ Là hàm số lẻ Là hàm số tuần hoàn với chu kì Là hàm số tuần hoàn với chu kì Đồng biến trên mỗi khoảng ; Nghịch biến trên mỗi khoảng ; Có đồ thị nhận mỗi đường thẳng x = (k ẻ Z) làm một đường tiệm cận. Có đồ thị nhận mỗi đường thẳng x = (k ẻ Z) làm một đường tiệm cận. Các hàm số y = sinx, y = cosx là những hám số tuần hoàn với chu kì 2; các hàm số y = tanx, y = cotx là những hàm số tuần hoàn với chu kì . 3. Về khái niệm hàm số tuần hoàn Một cách tổng quát : Hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T ạ 0 sao cho với mọi x ẻ D ta có: x + T ẻ D, x – T ẻ D và f (x + T) = f(x).ằ Nếu có số T dương nhỏ nhất thoả mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là một hàm số tuần hoàn với chu kì T. Ví dụ: Các hàm số y = 2sin2x (đồ thị ở hình 1.13), hàm số y = sin(đồ thị ở hình 1.14), và hàm số có đồ thị 1.15 là những hàm số tuần hoàn. 3. Củng cố:nhắc lại định nghĩa hàm số y = sinx, y = cosx ; Nêu tập xác định, tính chẵn lẻ ? 4. Hướng dẫn về nhà : Học thuộc định nghĩa hàm số y = sinx, y = cosx ; Nêu tập xác định, tính chẵn lẻ  của các hàm số này. Làm bài tập SGK tiết 5: Luyện tập 1Kiểm tra bài cũ: Hoạt động của thầy Hoạt động của trò định nghĩa hàm số y = sinx, y = cosx ; Nêu tập xác định, tính chẵn lẻ  của các hàm số này. Làm bài tập SGK Học sinh lên bảng lam theo hướng dẫn của giáo viên 2 Nội dung luyện tập Câu hỏi và bài tập: Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau: a) b) y = c) d) y = tan Xét tính chẵn – lẻ của mỗi hàm số sau: a) y = -2sinx b) y = 3sinx - 2 c) y = sinx - cosx d) y = sinxcos2x + tanx Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mỗi hàm số sau: a) y = b) y = c) y = Cho các hàm số f(x) = sinx, g(x) = cosx, h(x) = tanx và các khoảng , , , . Hỏi hàm nào trong 3 hàm số đó đồng biến trên khoảng J1? Trên khoảng J2? Trên khoảng J3? Trên khoảng J4? (Trả lời bằng cách lập bảng) Trong khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Khẳng định nào sai? Giải thích vì sao. Trên mỗi khoảng mà hàm số y = sinx đồng biến thì hàm số y = cosx nghịch biến. Trên mỗi khoảng mà hàm số y = sinx đồng biến thì hàm số y = cosx nghịch biến. Cho hàm số y = f(x) = 2sin2x Chứng minh rằng với số nguyên k tuỳ ý, luôn có f(x + kp) = f(x) với mọi x. Lập bảng biến thiên của hàm số y = 2sin2x trên đoạn . Vẽ đồ thị của hàm số y = 2sin2x. 3.Củng cố:Nhắc lại định nghĩâ, tính chất, sự biến thiên của các HSLG 4.Hướng dẫn vè nhà: Làm các bài tập tiết 6: Luyện tập 1. Kiểm tra bài cũ: Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Học sinh lên bảng lam theo hướng dẫn của giáo viên 2. Nội dung luyện tập Xét tính chẵn – lẻ của mỗi hàm số sau : a) y = cos b) y = tan|x| c) y = tanx – sin2x Cho các hàm số sau: a) y = - sin2x b) y = 3tan2x + 1 c) y = sinxcosx d) y = sinxcosx + cos2x Chứng minh rằng mỗi hàm số y = f(x) đều có tính chất: f(x + kp) = f(x) với k ẻ Z, x thuộc tập xác định của hàm số f. Cho hàm số y = f(x) = Asin(wx + a) (A, w và a là những hằng số; A và w khác 0). Chứng minh rằng với mỗi số nguyên k, ta có f= f(x) với mọi x. Chứng minh rằng mọi giao điểm của đường thẳng xác định bởi phương trình y = với đồ thị của hàm số y = sinx đều cách gốc toạ độ một khoảng nhỏ hơn . Từ đồ thị của hàm số y = sinx, hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau và vẽ đồ thị của các hàm số đó: a) y = - sinx b) y = |sinx| c) y = sin|x| a) Từ đồ thị hàm số y = cosx, hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau và vẽ đồ thị của các hàm số đó: a) y = cosx + 2 b) y = cos b) Hỏi mỗi hàm số đó có phải là hàm tuần hoàn không? Xét hàm số y = f(x) = cos Chứng minh rằng với mỗi số nguyên k, f(x + k4p) = f(x) với mọi x. Lập bảng biến thiên của hàm số y = cos trên đoạn . Vẽ đồ thị của các hàm số y = cosx và y = cos trong cùng một hệ toạ độ vuông góc Oxy. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét phép biến hình F biến mỗi điểm (x ; y) thành điểm (x’ ; y’) sao cho x’ = 2x và y’ = y. Chứng minh rằng F biến đồ thị của hàm số y = cosx thành đồ thị của hàm số y = cos 3.Củng cố:Nhắc lại định nghĩâ, tính chất, sự biến thiên của các HSLG 4.Hướng dẫn về nhà: Làm các bài tập Tiết 7-12: Đ2: Phương trình lượng giác cơ bản Mục tiêu bài dạy: 1. Về kiến thức: Giúp học sinh Hiểu phương pháp xây dựng công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản (sử dụng đường tròn lượng giác, các trục sin, côsin, tang, côtang và tính tuần hoàn của các hàm số lượng giác) Nắm vững các công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản 2. Về kĩ năng: Giúp học sinhBiết vận dụng thành thạo công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản; Biết cách biểu diễn nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản trên đường tròn lượng giác. 3. Về thái độ, tư duy: Chuẩn bị: 1. Về phía thầy:: Đồ dùng dạy học như thước kẻ, com pa,.bảng in đồ thị các HSLG 2. Về phía trò:: Đồ dùng học tập như thước kẻ, com pa,.., Gợi ý phương pháp: Gợi mở ,vấn đáp Tiến trình bài dạy: tiết 7 1. Kiểm tra bài cũ: Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Nhắc lại định nghĩâ, tính chất, sự biến thiên của các HSLG Học sinh làm theo yêu cầu gv 2. Nội dung bài mới: Hoạt động của thầy Hoạt động của trò H1: Tìm nghiệm của phương trình (1) Để tìm tất cả các nghiệm của (1), ta có thể làm như thế nào ? Dễ thấy, số đo (rađian) của các góc lượng giác (OM, OM1) và (OA, OM2) là tất cả các nghiệm của (1). Lấy một nghiệm tuỳ ý của (1), chẳng hạn x = . Khi đó các góc (OA, OM1) có số đo  ; các góc (OA, OM2) có số đo , (k ẻ Z). Hiển nhiên phương trình (I) xác định với mọi x ẻ R. Ta đã biết, |sinx| Ê 1 với mọi x. Do đó, phương trình (I) vô nghiệm khi |m| > 1. Mặt khác, khi x thay đổi, sinx nhận mọi giá trị từ -1 đến 1 nên phương trình (I) luôn có nghiệm khi |m| Ê 1. Kể từ đây, để cho gọn, ta quy ước rằng nếu trong một biểu thức nghiệm của phương trình lượng giác có chứa k mà không giải thích gì thêm thì ta hiểu rằng k nhận mọi giá trị thuộc Z. Chẳng hạn x = a + k2p có nghĩa là x lấy mọi giá trị thuộc tập hợp {a, a ± 2p, a ± 4p, a ± 6p, ...} Giải các phương trình 2) Vì nên có số a để sina =. Do đó H2: Giải phương trình H3: Trên đồ thị hàm số y = sinx (h. 1.20), hãy chỉ ra các điểm có hoành độ trong khoảng (0; 5p) là nghiệm của phương trình sinx = . Ví dụ 2: Tìm số x thoả mãn phương trình Giải Vậy các số x phải tìm là và H4: Giải phương trình sin2x = sinx 1. Phương trình sinx = m a. Để làm ví dụ, ta xét một phương trình cụ thể, chẳng hạn: sinx = (1) Để tìm tất cả các nghiệm của (1), ta có thể làm như sau: Xét đường tròn lượng giác gốc A. Trên trục sin, ta lấy điểm K sao cho . Đường thẳng qua K và vuông góc với trục sin cắt đường tròn lượng giác tại 2 điểm M1 và M2; 2 điểm này đối xứng với nhau qua trục sin (h. 1.19). Ta có : sin(OA, OM1)= sin(OA, OM2) = . Vậy : hoặc (k ẻ Z). Sử dụng kí hiệu "[" thay cho từ "hoặc", ta có thể viết lại kết quả trên như sau . b. Giả sử m là một số đã cho. Xét phương trình: sinx = m (I) Làm tương tự đối với phương trình (1), ta có Nếu a là một nghiệm của phương trình (I), nghĩa là sina = m thì (Ia) Ta nói rằng x = a + k2p và x = p - a + k2p là 2 họ nghiệm của phương trình (I). Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: 1) sinx = ; 2) sinx = Giải Do nên Trong mặt phẳng toạ độ, nếu vẽ đồ thị (G) của hàm số y = sinx và đường thẳng (d): y = m thì hoành độ mỗi giao điểm của (d) và (G) (nếu có) là một nghiệm của phương trình sinx = m. Chú ý: Khi m ẻ [0; ±1], công thức (Ia) có thể viết gọn như sau: Dễ thấy với m cho trước mà |m| Ê 1, phương trình sinx = m có đúng 1 nghiệm nằm trong đoạn . Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là arcsinm (đọc là ác-sin m). Khi đó Vậy ở ví dụ 1, câu 2) có thể viết Từ (Ia) ta thấy rằng: Nếu a và b là 2 số thực thì sinb = sina khi và chỉ khi có số nguyên k để b = a + k2p hoặc b = p - a + k2p, k ẻ Z 3.Củng cố:Nhắc lại công thức nghiệm của phương trình lượng giác sinx = m. 4.Hướng dẫn vè nhà: Làm các bài tập tiết 8 1. Kiểm tra bài cũ: Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Nhắc lại công thức nghiệm của phương trình lượng giác sinx = m. Làm bài tập Học sinh làm theo yêu cầu gv 2. Nội dung bài mới: Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Do |m| Ê 1 nên đường thẳng (l) cắt đường tròn lượng giác tại 2 điểm M 1 và M2. Hai điểm này đối xứng nhau qua trục côsin (chúng trùng nhau nếu m = ±1). Ta thấy số đo các góc lượng giác (OA, OM1) và (OA, OM2) là tất cả các nghiệm của (II). Nếu a là số đo của một góc trong chúng nói cách khác, nếu a là một nghiệm của (II) thì các góc đó có các số đo là a + k2p và -a + k2p. H5: Giải phương trình sau : cosx = H6: Hãy giải phương trình cos (2x + 1) = cos (2x - 1) 2. Phương trình cosx = m Xét phương trình: cosx = m (II) trong đó m là một số cho trước. Hiển nhiên phương trình (II) xác định với mọi x ẻ R. Dễ thấy rằng: Khi |m| > 1, phương trình (II) vô nghiệm. Khi |m| Ê 1, phương trình (II) luôn có nghiệm. Để tìm tất cả các nghiệm của (II), trên trục côsin ta lấy điểm H sao cho = m. Gọi (l) là đường thẳng đi qua H và vuông góc với trục côsin (h. 1.12) Vậy ta có: Nếu a là một nghiệm của phương trình (II), nghĩa là cosa = m thì (IIa) CHú ý Đặc biệt, khi m ẻ {0; ±1}, công thức (IIa) có thể viết gọn như sau: Dễ thấy rằng với mọi số m cho trước mà |m| Ê 1, phương trình cosx = m có đúng 1 nghiệm nằm trong đoạn [0; p]. Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là arccos m (đọc là ác-côsin m). Khi đó: mà cũng thường được viết là x = ± arccos m + k2p. Từ (IIa) ta thấy rằng: Nếu a và b là 2 số thực thì cosb = cosa khi và chỉ khi có số nguyên k để b = a + k2p, k ẻ Z 3.Củng cố:Nhắc lại công thức nghiệm của phương trình lượng giác sinx = m., cosx = m 4.Hướng dẫn vè nhà: Làm các bài tập tiết 9 1. Kiểm tra bài cũ: Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Nhắc lại định nghĩâ, tính chất, sự biến thiên của các HSLG Học sinh làm theo yêu cầu gv 3. Nội dung bài mới: Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Ta có tan (OA, OM1) = tan (OA, OM2) = = m. Gọi số đo của một trong các góc lượng giác (OA, OM1) và (OA, OM2) là a; nói cách khác, a là một nghiệm nào đó của phương trình (III). Khi đó, các góc lượng giác (OA, OM1) và (OA, OM2) có các số đo là a + kp. Đó là tất cả các nghiệm của phương trình (III) (hiển nhiên chúng thoả mãn ĐKXĐ của (III)). Giải Vì -1 = nên tanx = -1 Û x = . Gọi a là một số mà tana = 3. Khi đó (Có thể tìm được một số a thoả mãn tana = 3 bằng cách tra bảng số hoặc dùng máy tính bỏ túi. Cụ thể là a ằ 1,249) H7 : Giải phương trình tan2x = tanx 3. Phương trình tan x = m Cho m là một số tuỳ ý. Xét phương trình tanx = m (III) Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình (III) là cos x ạ 0 Ta đã biết, khi x thay đổi, tan x nhận mọi giá trị từ -Ơ —> +Ơ. Do đó, phương trình (III) luôn có nghiệm. Để tìm tất cả các nghiệm của (III), trên trục tang, ta lấy điểm T sao cho = m. Đường thẳng OT cắt đường tròn lượng giác tại 2 điểm M1 và M2 (h. 1.22). Vậy ta có: Nếu a là một nghiệm của phương trình (III), nghĩa là tana = m thì tanx = m Û x = a + kp (IIIa) Ví dụ 3: Giải các phương trình sau: 1) tanx = -1 2) tan=3 Chú ý : Dễ thấy rằng với mọi số m cho trước, phương trình tanx = m có đúng 1 nghiệm nằm trong khoảng . Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là arctan m (đọc là ác-tang m). Khi đó : tanx = m Û x = arctan m + kp Từ (IIIa)