Chuyên đề Phương trình lượng giác - Đại số và giải tích 11

Chuyờn đề PHƯƠNG TRèNH LƯỢNG GIÁC Đại số và Giải tớch 11 Giỏo viờn: Lấ BÁ BẢO…0935.785.115… CLB Giỏo viờn trẻ TP Huế 1 MỘT SỐ DẠNG: PHƯƠNG TRèNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP I- Lí THUYẾT: Dạng 1: Phương trỡnh bậc hai theo một hàm lượng giỏc: ( )2 sin sin 0 0a x b x c a+ + = ≠ (5) Thuật toỏn: Đặt sin=t x ; 1, ≤ ∀ ∈ℝt x Pt (5) trở thành: 2 0at bt c+ + = . Giải theo t suy ra x . Hoàn toàn tương tự, đối với cỏc dạng: ( ) 2 2 2 cos cos 0 tan tan 0 cot cot 0 0 + + = + + = + + = ≠ a x b x c a x b x c a x b x c a Dạng 2: Phương trỡnh đẳng cấp bậc hai theo sinx và cosx : 2 2 sin sin cos cos a x b x x c x d+ + = (6) Thuật toỏn: TH1: Kiểm tra , 2 π π= + ∈ℤx k k cú là nghiệm của pt (6)? TH2: Chia 2 vế của pt (6) cho 2cos x . Ta đưa pt về dạng bậc hai theo tanx Lưu ý: Tư duy phương phỏp cũn ỏp dụng cho phương trỡnh đẳng cấp bậc 3 hoặc bậc cao hơn. Phương trỡnh đẳng cấp bậc 3 : 3 3 2cos in . +d 0+ + =sin s cos cosa x b x c x x x ,….v..v.. Dạng 3: Phương trỡnh bậc nhất đối với sinx và cosx : sin cos a x b x c+ = (7) Thuật toỏn: ĐK phương trỡnh (7) cú nghiệm: 2 2 2 + ≥a b c Chia 2 vế của phương trỡnh (7) cho: 2 2a b+ Lỳc đú (7)tt: 2 2 2 2 2 2 sin cos+ = + + + a b c x x a b a b a b Đặt: 2 2 2 2 cos sin α α  = +   =  + a a b b a b . Đưa phương trỡnh về dạng cơ bản. Dạng 4: Phương trỡnh đối xứng theo sinx và cosx : ( )sin cos sin cos 0± + + =a x x b x x c Thuật toỏn: Đặt sin cos= ±t x x ; 2, ≤ ∀ ∈ℝt x Lỳc đú: 2 1 2sin cos= ±t x x . Biểu diễn sin cosx x theo t , ta được một phương trỡnh bậc hai theo t . Chuyờn đề PHƯƠNG TRèNH LƯỢNG GIÁC Đại số và Giải tớch 11 Giỏo viờn: Lấ BÁ BẢO…0935.785.115… CLB Giỏo viờn trẻ TP Huế 2 II- MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRèNH: Bàn về kỹ thuật giải phương trỡnh: sin cos a x b x c+ = (1) Phương phỏp: (1) 2 2 2 2 2 2 sin cos⇔ + = + + + a b c x x a b a b a b (*). Đặt 2 2 2 2 cos sin α α  = +   =  + a a b b a b (I) Lỳc đú (*) tt: ( ) 2 2 2 2 cos .sin sin .cos sinα α α+ = ⇔ + = + + c c x x x a b a b Giải phương trỡnh cơ bản đơn giản, trong toàn bộ nội dung thuật toỏn, vấn đề là: Cú xỏc định được α trong hệ (I) hay khụng? Và kỹ thuật là gỡ? Ta làm rừ kỹ năng này thụng qua 3 vớ dụ sau: Vớ dụ 1: sin 3cos 2+ =x x (*) (*) 1 cos (1) 1 3 2 2 sin cos Đặt 2 2 2 3 sin (2) 2 x x α α  = ⇔ + =   =  . Từ (1) chọn: 3 π α = , thấy thoả (2). Vậy chọn 3 π α = . Phương trỡnh tt: 2 2 cos sin sin cos sin ... 3 3 2 3 2 x x x π π π ⇔ + = ⇔ + =    Vớ dụ 2: sin 3cos 2− =x x (*) (*) α α  = ⇔ − =   = −  1 cos (1) 1 3 2 2 sin cos . Đặt 2 2 2 3 sin (2) 2 x x . Từ (1) chọn: 3 π α = , thấy khụng thoả (2), muốn thoả (2) thỡ chọn: 3 π α = − (vỡ cos đối: ( )sin sinα α− = − )……… Vớ dụ 3: sin 3cos 2− + =x x (*) (*) 1 cos (1) 1 3 2 2 sin cos Đặt 2 2 2 3 sin (2) 2 x x α α  = − ⇔ − + =   =  Từ (2) chọn: 3 π α = , thấy khụng thoả (1), muốn thoả (2) thỡ chọn: 2 3 3 π π α π= − = (vỡ sin bự: ( )cos cosπ α α− = − )…. Hoặc: Biến đổi nhanh hơn như sau: 1 3 2 2 sin 3cos 2 sin cos sin 2 2 2 3 2 π − = ⇔ − = ⇔ − =    x x x x x Chuyờn đề PHƯƠNG TRèNH LƯỢNG GIÁC Đại số và Giải tớch 11 Giỏo viờn: Lấ BÁ BẢO…0935.785.115… CLB Giỏo viờn trẻ TP Huế 3 III- LUYỆN TẬP: Dạng 1: Phương trỡnh bậc hai đối với một HSLG Bài tập1: Giải cỏc phương trỡnh sau: 2 2 21) sin 3sin 2 0 2) 2sin 2sin 2 0 3) 3tan 2 3 tan 3 0 2 2 x x x x x x− + = − − = − − = Bài tập 2: Giải cỏc phương trỡnh sau: 2 4 2 2 1) 6cos 5sin 2 0 2) 3 tan 6cot 2 3 3 0 3) 3cos 8cos2 sin2 4 0 4) sin 2cos 2 9 5) 8cos 2sin 7 0 6) tan 2cot 1 0 2 2 3 7) sin cot 0 8) 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x + − = − + − = + − = − + = + − = − + = + = 2 2 2 2 4 4 4 2 4 cos 2 3sin 2 9) cos2 2cos 2sin 2 1 1 10) 2 cos sin 11) cos sin sin2 12) sin cos 2 4 13) cot cot 2 tan 1 x x x x x x x x x x x x x x x + = + = − = + = − + = − = + Dạng 2: Phương trỡnh đẳng cấp 2 2.sin .sin .cos .cos + + =a x b x x c x d Bài tập 1: Giải cỏc phương trỡnh sau: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1) 2sin 5sin .cos cos 2 2) 2sin 5sin .cos cos 2 1 3) 2sin sin .cos 3cos 0 4) sin sin2 2cos 2 5) cos 2sin .cos 5sin 2 6) 2c − − = − − − = + − = + − = + + = x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ( ) 2 2 2 2 2 2 os 3 3sin2 4sin 4 7) 3sin 8sin .cos 8 3 9 cos 0 8) 4sin 3 3sin2 2cos 4 − − = − + + − = + − = x x x x x x x x x x Bài tập 2: Giải cỏc phương trỡnh sau: 2 2 3 2 2 3 3 2 3 3 1 1) sin3 cos3 2cos 0 2) 4cos sin 3sin 3 2 2 2 3) 2sin sin cos 2sin cos cos 0 4) cos sin 3sin cos 0 5) cos sin sin cos + + = + + = − + − = + − = − = − x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ( ) ( ) 3 4 2 2 4 3 3 2 3 3 6) sin 2sin 4 7) 3cos 4cos sin sin 0 8) cos sin sin cos 9) sin 1 tan 3sin cos sin 3 10) 4cos cos sin 0 11) 6sin 2cos 5cos sin2 π − =    − + = + = − + = − + − − = − = x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2 3 12) sin cos 4sin cos 13) sin sin2 sin3 6cos − = + = x x x x x x x x Bài tập 3: Tỡm m để cỏc phươngtrỡnh sau cú nghiệm a) 0sin2cos2sin 2 =+++ mxxxm b) 0coscos)2(2sin)2( 22 =−+−− xxmxm Chuyờn đề PHƯƠNG TRèNH LƯỢNG GIÁC Đại số và Giải tớch 11 Giỏo viờn: Lấ BÁ BẢO…0935.785.115… CLB Giỏo viờn trẻ TP Huế 4 Dạng 3: Phương trỡnh bậc nhất đối với sin và cos Bài tập 1: Giải cỏc phương trỡnh sau: 1) sin5 cos5 1 2) 2cos sin 2 3) 3cos sin 2 4) cos3 sin3 1 5) 3cos sin 2sin4 6) 3cos sin 2cos 4 7) 2sin 2cos 2 0 8) 5cos2 12sin2 x x x x x x x x x x x x x x x x x π + = − − = + = −   − = + = − − = −    + − = + 13 0x − = Bài tập 2: 1) Tìm GTLN và GTNN của cỏc hàm số : 2 cos sin cos 1 2sin cos 3 a) b) c) sin cos 2 sin cos 3 sin 2cos 4 x x x x x y y y x x x x x x + + − + + = = = + + − + − + + 2) Chứng minh rằng: sin 2cos 1 2 1 sin cos 2 x x x x + + − ≤ ≤ + + Dạng 4: Phương trỡnh đối xứng theo sin và cos : (sin cos ) sin cos 0± + + =a x x b x x c Bài tập 1: Giải cỏc phương trỡnh sau: ( ) ( ) 3 3 1) 2 2 (sin cos ) 2sin cos 2 2 1 2) 6(sin cos ) sin cos 6 3) 3(sin cos ) 2sin2 3 0 4) sin2 12 sin cos 12 0 5) sin cos 1 + + − = + − − = + + + = − − + = + = x x x x x x x x x x x x x x x x ( )( ) 6) 1 sin 1 cos 2 7) sin cos 4sin2 1 8) sin cos sin2 0 + + = − + = + + = x x x x x x x x Bài tập 2: Cho ph−ơng trình : 6 0sin cos (sin cos )x x x x m+ + + = a) Giải ph−ơng trình khi 1m = b) Tìm m để ph−ơmh trình có nghiệm. Bài tập 3: Giải cỏc phương trỡnh sau: ( )( ) 3 3 3 2 1) sin cos 2) sin sin2 1 2 4 2 2 3) sin cos cot tan 4) sin cos 1 sin cos 3 2 5) 1 sin cos sin cos 6) 1 sin 2 π + = + =    + = − + = + − + = + + x x x x x x x x x x x x x x x x x 3 3 2 3 3 cos sin2 2 1 cos 7) tan 8) 1 tan 2 2sin 1 sin 1 1 10 3 1 9) cos sin 10) sin sin 1 sin2 cos sin 3 2 2 11) sin2 2sin 1 4 π π = + = + = +  + + + = + + = −     + − =    x x x x x x x x x x x x x x x x ( ) ( ) ( )( ) 3 3 3 3 2 12) 2sin cot 2sin2 1 13) cos sin cos 2 14) 2 tan sin 3 cot cos 5 0 15) 2cos cos2 sin 0 16) cos2 5 2 2 cos sin cos 1 cos 17) tan 1 + = + + = − + − + = + + = + = − − − = − x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2 3 4 2 3 4 3 18) sin sin sin sin cos cos cos cos sin + + + = + + +x x x x x x x x x