Bài giảng môn học Toán học lớp 11 - Một số phương trình lượng giác thường gặp

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP I. Mục tiêu 1. Về kiến thức - Củng cố cho HS cách giải các PT bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình thuần nhất đối với một hàm số lượng giác. 2. Về kỹ năng - Rèn luyện cho HS kĩ năng tính toán, kĩ năng giải các PTLG thường gặp. 3.Về tư duy, thái độ Cẩn thận trong tính toán, tư duy độc lập, sáng tạo; vận dụng linh hoạt trong từng trường hợp cụ thể II. Chuẩn bị - GV: giáo án, thước thẳng, compa, bảng phụ. - HS: ôn lại các công thức lượng giác lớp 10 và các cách giải những PTLG cơ bản. III. Các bước lên lớp 1. Ổn định tổ chức lớp 2. Kiểm tra bài cũ 3. Nội dung bài mới Tiết 1 Hoạt động 1: Thực hiện các bài tập sau: Bài 1. Giải các PT sau: a) 2sinx – 1 = 0 b) 3cos2x + 2 = 0 c) tanx + 1 = 0 d) -2cot3x + 5 = 0. - Gọi HS lên bảng - Gọi HS khác nhận xét - GV nhận xét lại - tuỳ theo tình hình cụ thể mà giáo viên có thể hướng dẫn chi tiết cho HS. Bài 2. Giải các PT sau: a) b) cos3x – cos4x + cos5x = 0 c) tan2x – 2tanx = 0 d) - Gọi HS lên bảng - Gọi HS khác nhận xét - GV nhận xét lại - tuỳ theo tình hình cụ thể mà giáo viên có thể hướng dẫn chi tiết cho HS. Chẳng hạn: Với ý c) + ĐKXĐ của PT là gì? + Sử dụng công thức nhân đôi của tan2x để biiến đổi tan2x theo tanx? + Đặt nhân tử chung. + Sau khi tìm x phải so sánh với ĐK + Kết luận về nghiệm Bài 1 - Hs tiến hành giải toán a) b) c) d) Bài 2 a) b) c) ĐK: Các giá trị trên đều thoả mãn điều kiện nên chúng là nghiệm của PT đã cho. Củng cố - Dặn dò - GV treo bảng phụ nhắc lại một số công thức nghiệm của những PTLG cơ bản. - Y/c HS về xem lại cách giải PT bậc hai đối với một hàm số lượng giác và làm các bài tập sau: Giải các PT sau: a) b) Tiết 2 Bài 1: Giải các PT sau: Hoạt động của GV Hoạt động của HS a)sin 2x - 2 cos x = 0 HD: sin2a = 2sinacosa b)sinx +sinx = 0 HD: t + t=0 c)- sin 2x = 0 HD: t2 – t =0 d) 4 sin 3x cos 3x = HD: sin2a = 2sinacosa 2sin3acos3a=sin6a e)3cot2 (x+) = 1 HD: t2 = 1 t= f)tan2(2x-) = 3 HD: t2 = 1 t= · sin 2x - 2 cos x = 0 sinxcosx - cosx = 0 cosx(sinx - 1)=0 · sinx +sinx = 0sinx (1+) =0 sinx = 0 · - sin 2x = 0sin2x (sinx - 1) =0 · 4 sin 3x cos 3x = 2sin6x = sin6x = · cot2 (x+) = cotx = · tan2(2x-) = tanx = Hoạt động 2: Củng cố: Củng cố lại phương pháp giải thông qua các bài tập Dặn dò: HS làm các bài tập sau: Giải các PT sau: a)sin2 3x = ; b)sin2x – 2 cosx = 0; c)8cos2xsin2xcos4x = ; d)2cos2x + cos2x = 2 Tiết 3 Hoạt động 1: Thực hiện các bài tập sau: Bài 1: Giải các PT sau: Hoạt động của thầy Hoạt động của trò a)4cos2 x + 3 sin x cosx – sin2x =3 HD: Xét 2 trường hợp Trường hợp 1: cosx = 0 Trường hợp 2 : cosx 0 Hỏi: Vì sao phải xét hai trường hợp? Nếu xét một trường hợp cosx0 thì điều gì sẽ xảy ra? b) 2sin2 x - sinx cosx – cos2x =2 HD: Xét 2 trường hợp Trường hợp 1: cosx = 0 Trường hợp 2 : cosx 0 Hỏi: Vì sao phải xét hai trường hợp? Nếu xét một trường hợp cosx0 thì điều gì sẽ xảy ra? c) 4sin2 x - 4sinx cosx +3 cos2x =1 HD: Xét 2 trường hợp Trường hợp 1: cosx = 0 Trường hợp 2 : cosx 0 Hỏi: Vì sao phải xét hai trường hợp? Nếu xét một trường hợp cosx0 thì điều gì sẽ xảy ra? · 4cos2 x + 3 sin x cosx – sin2x =3 TH1: cosx =0( sin2x = 1) phương trình trở thành: -1= 3( vô lý ) Suy ra cosx = 0 hay không là nghiệm của phương trình TH2: cosx0 chia hai vế phương trình cho cos2x ta được phương trình: 4 + 3tanx – tan2x =3 ( 1+ tan2x) 4 tan2x – 3tan x – 1 = 0 Kết luận: . · 2sin2 x - sinx cosx – cos2x =2 TH1: cosx =0( sin2x = 1) phương trình trở thành: 2= 2 ( thỏa) Suy ra cosx = 0 hay là nghiệm của phương trình TH2: cosx0 chia hai vế phương trình cho cos2x ta được phương trình: 2 tan2x –tan - 1=2 ( 1+ tan2x) tanx = -3 x =acrtan( -3)+k Kết luận: Các nghiệm của phương trình là: ; x =acrtan( -3)+k · 4sin2 x - 4sinx cosx +3 cos2x =1 TH1: cosx =0( sin2x = 1) phương trình trở thành: 4= 1 ( vô lý) Suy ra cosx = 0 hay không là nghiệm của phương trình TH2: cosx0 chia hai vế phương trình cho cos2x ta được phương trình: 4 tan2x – 4 tanx + 3 = 1+ tan2x 3 tan2x – 4 tanx +2 = 0( vô nghiệm) Kết luận: phương trình trên vô nghiệm Hoạt động 2: Thực hiện các bài tập sau: Bài 1: Giải các PT sau: Hoạt động của thầy Hoạt động của trò a) HD: a=?; b= ? sin( a+b)= sina cosb+ cosa sinb H1:Vì sao phải chia hai vế phương trình cho H2: Có thể chia cho số khác được không b) HD: cost – sin t = 1 giải như thế nào? a=?; b= ? sin( a-b)= sina cosb- cosasinb H1:Vì sao phải chia hai vế phương trình cho H2: Có thể chia cho số khác được không c) 4sinx +3cosx =4 (1+tanx)- HD: Trước tiên ta phải làm gì? tanx = Cần đưa về PT dạng gì? · sin Vậy nghiệm của phương trình là · · ĐK: cosx 0 Ta có: 4sinx +3cosx =4 (1+tanx)- cosx(4sinx +3cosx) =4 (sinx+cosx) –1 cosx(4sinx +3cosx) –cosx =4sinx+3cosx –1 cosx(4sinx +3cosx –1) = 4sinx+3cosx –1 (cosx –1)(4sinx+3cosx –1) = 0 Kí hiệu là cung mà sin= và cos= ta được : (2) cos(x-) = Vậy các nghiệm của PT đã cho là: ; trong đó =arccos. Củng cố: Nếu trường hợp chưa có dạng asinx+ bcosx =c ta phải qui nó về dạng asinx+ bcosx =c Dặn dò: HS làm các bài tập trong SBT BÀI TẬP THÊM Giải các phương trình sau Bài 1 1 ) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2) sin4x = tanx 3) sin3x - sin2x = 2sinxcos2x 4) 2sin3x + cos2x = sinx 5) SinSinx - CosSin2x + 1 = 2Cos2() 6) sin3x + sin2x = 5sinx 7) Cos(2x + ) + Cos(2x - ) + 4Sinx = 2 +(1 - Sinx) 8) Cos3x - 2cos2x = 2 9) 1 + Cosx + cos2x + Cos3x = 0 10) 4(Sin4x + Cos4x) + Sin4x = 2 11) Cos2x - Cos8x + Cos6x = 1 13) Cos3xcos3x - sin3xsin3x = cos34x + 14) sin6x + cos6x = cos4x Bµi 2. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh 1) sin2x - 10sinxcosx + 21cos2x = 0 2) cos2x - 3sinxcosx + 1 = 0 3) cos2x - sin2x - sin2x = 1 4) 3sin2x + 8sinxcosx + (8 - 9)cos2x = 0 5) 4sin2x + 3sin2x - 2cos2x = 4 6) 7) 2sin2x + (3 + )sinxcosx + ( - 1)cos2x = 1 8) 2sin2x - 3sinxcosx + cos2x = 0 9) cos22x - 7sin4x + 3sin22x = 3 Bµi 3. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: 1) 4sinx – 3cosx = 2 2) sinx - cosx = 1 3) sin3x + cos3x = 1 4) sin4x + cos4x = 5) 5cos2x – 12cos2x = 13 6) 3sinx + 4cosx = 5 7) 8) Cos7x - Sin5x = (Cos5x - Sin7x) 9) Sinx + Cosx = 2Sin3x 10) Cosx - sinx = cos3x 11) 12) 13) 4sin3x - 1 = 3sinx - cos3x 14) 15) 2(sin3x + cos3x) + sin2x(sinx + cosx) = 16) 4(sin4x + cos4x) + sin4x = 2 17) Sin2x + 2cos2x = 1 + sinx - 4cosx 18) 4sin3xcos3x + 4cos3xsin3x + 3cos4x = 3 19) Sinx + 2cosx + cos2x - 2sinxcosx = 0 20) Sin3x + cos3x = sin2x + sinx + cosx 21) Sin4x - cos4x = 2sinxcosx + 1