Bài giảng môn học Toán học lớp 11 - Tiết 47, 48, 49: Phương pháp quy nạp toán học

Tên bài dạy: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC. Tiết PPCT: 47-48-49 Ngày soạn: 10-01-2009 MỤC TIÊU: Kiến thức: Giúp HS nắm kiến thức về phương pháp chứng minh quy nạp. Nhớ được 3 bước chứng minh bằng quy nạp: Kiểm tra mệnh đề đúng với là số tự nhiên nhỏ nhất trong tập hợp các số cần chứng minh. Giả sử mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ . Chứng minh mệnh đề đúng với . Kết luận mệnh đề đúng với mọi Kỹ năng: Rèn luyện kỹ năng chứng minh bằng quy nạp. Rèn luyện kỹ năng sử dụng các giả thiết quy nạp để chứng minh. Thái độ: HS có thái độ học tập nghiêm túc, tích cực tập trung tham gia các hoạt động. CHUẨN BỊ: Giáo viên: Chuẩn bị giáo án, thước kẻ, phấn màu. Học sinh: Xem trước nội dung bài học ở nhà. Chuẩn bị đầy đủ các dung cụ học tập. HOẠT ĐỘNG DẠY VÀ HỌC: Tiết 047: Hoạt động 1: Hướng dẫn HS các bước chứng minh quy nạp. HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS + Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với số tự nhiên n0 nhỏ nhất trong tập hợp các số cần chứng minh. + Bước 2: Giả sử mệnh đề đã đúng với một số tự nhiên bất kì . + Bước 3: Chứng minh mệnh đề cũng đúng với . + Bước 4: Kết luận mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên + Để chứng minh một mệnh đề có dạng sau: . Ta có thể kiểm tra mệnh đề đó đúng cho vài số đầu tiên sau đó kết luận mệnh đề đó đúng được không? + Vậy nếu phải kiểm tra thì kiểm tra cho bao nhiêu số được? + Ta không thể kiểm tra cho mọi số tự nhiên được. Từ đó ta có cách làm sau đây: Hoạt động 2: Hướng dẫn HS chứng minh một số mệnh đề bằng phương pháp quy nạp. HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS 1. Phương pháp quy nạp toán học: Bài toán: Chứng minh mọi số nguyên dương n ta có: (1) Khái quát: Ta có thể c/m được mệnh đề sau: Nếu (1) đúng với n=k (nguyên dương) thì nó cũng đúng với n=k+1. Giái bài toán trên: + n = 1: 1=1 (đúng) + Giả sử (1) đúng với n=k (ng dương) Ta có: suy ra Vậy (1) đúng với mọi n nguyên dương. Phương pháp quy nạp toán học: Để c/m mệnh đề A(n) đúngnN* ta thực hiện: B1: C/m A(n) đúng khi n=1. B2: nN* giả sử A(n) đúng với n=k, cần chứng minh A(n) cũng đúng với n=k+1. H1: Hãy kiểm tra với n=1,2? -H2: c/m n=3 đúng bằng cách sử dụng H1 -H3: có thể thử với mọi n không? - Tuy nhiên dựa vào lập luận trên ta có thể đưa ra cách c/m bài toán. +n = 1,2: (1) đúng +Cộng thêm hai vế với 2.3 ta c/m đc (1) đúng. + không thể. Tiết 48 Hoạt động 3: HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS 2.Một số ví dụ: Vídụ1: CMR nN* , ta luôn có: HD: + 1=1 ( đúng) + Giả sử đúng với n=k, cần chứng minh đúng với n=k+1. H1: Thử với n=1 H2: Thực hiện bước 2 Hoạt động 4: HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS Ví dụ 2: CMR un=7.22n-2 + 32n-1 5, nN*. HD: uk+1=7.22(k+1)-2 + 32(k+1)-1=7.22k-2+2 + 32k-1+2 =28.22k-2 + 9.32k-1 =4(7.22k-2 + 32k-1)+5.32k-1 5 Chú ý: trong thực tế ta có thể gặp bài toán yêu cầu CM A(n) đúng n p. Khi đó ta cũng cm tương tự nhưng ở B1 thì thử với n=p. Tiết 49: Hoạt động 5: Kiểm tra bài cũ. HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS Ví dụ 3: CMR 2n>2n+1, n 3. +n=1: u1=10 5 +Giả sử đúng n=k, cần cm đúng khi n=k+1. + 2k+1=2.2k>2(2k+1)= 4k+2>2k+3>2(k+1)+1 ( vì k 3) Hoạt động 2: HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS Bài 5: Khi n=k+1: Bài 6:(là ví dụ 2) Bài 7: Cho số thực x>-1. CMR Khi n=k+1: (1+x)k+1 =(1+x)k(1+x) (1+kx)(1+x) =1+(k+1)x +kx2 1+(k+1)x Bài 8: Không đúng vì chưa thử với n=1. Bài 1: HS tự làm. Bài 2: HS tự làm. Bài 3: Khi n=k+1, ta có: (Côsi và kk+1) Bài 4: HS tự làm ( lưu ý n 2). CỦNG CỐ, DẶN DÒ: Củng cố: Nhắc lại phương pháp chứng minh quy nạp và cách vận dụng. Bài về nhà: Hết tiết 39: các bài tập SGK trang 100, 101. Hết tiết 40: 1) CMR un=13n-1 6 , nN. 2) CMR , nN*. Tên bài dạy: DÃY SỐ – LUYỆN TẬP. Tiết PPCT: 50-51 Ngày soạn: 15-01-2009 MỤC TIÊU: Kiến thức: Nắm được khái niệm dãy số biết cách cho một một dãy số. Biết tìm được số hạng tổng quát của một dãy số cho bằng công thức. Biết được tính chất tang, giảm của một dãy số cho trước. Kỹ năng: Luyện tập kỹ năng chứng minh tính tăng giảm cảu một dãy số. Luyện tập kỹ năng tìm số hạng tổng quát của một dãy số. Thái độ: HS có thái độ tích cực tham gia vào các hoạt động trong tiết học. CHUẨN BỊ: Giáo viên: Gv: soạn bài, chuẩn bị đồ dùng dạy học: thước kẻ, phấn màu Hs: xem bài trước ở nhà, chuẩn bị đồ dùng học tập. Học sinh: Xem trước nội dung bài học ở nhà. HOẠT ĐỘNG DẠY VÀ HỌC: Tiết 50: Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ. HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS - Cho dãy số 1, 2, 3, ..., n, ... So sánh các số hạng của dãy số này, có nhận xét gì? - Theo dõi hoạt động của Hs - Đưa ra khái niệm dãy số tăng. - Tương tự cho dãy số Yêu cầu Hs nhận xét và đưa ra khái niệm dãy số giảm. - Củng cố khái niệm dãy số tăng, dãy số giảm qua các ví dụ cụ thể. - Nhận xét về tính tăng, giảm của dãy số sau: ? - Gọi HS trả lời. - Gv sửa lại cho chính xác, dãy số như vậy gọi là dãy số không tăng cũng không giảm. - Suy nghĩ và trả lời câu hỏi của Gv. - Thảo luận tìm hiểu dãy số. - Tri giác phát hiện vấn đề - Nhận biết khái niệm mới. Hoạt động 2: HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS 3. Dãy số tăng, dãy số giảm: ĐỊNH NGHĨA 2: Dãy số được gọi là dãy số tăng nếu với mọi ta có . Dãy số được gọi là dãy số giảm nếu với mọi ta có . Ví dụ 6: (SGK) Dãy số với là dãy số tăng vì: Dãy số với là dãy số giảm vì: Hoạt động 3: HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS Hãy cho một ví dụ về dãy số tăng, dãy số giảm và một ví dụ về dãy số không tăng cũng không giảm. - Gv theo dõi Hs, đưa ra kết luận đúng đắn cuối cùng. - Nhận xét dãy số 1, 2, 3, và có số hạng nhỏ nhất, lớn nhất không? Giá trị LN, NN? - Gv minh hoạ trên trục số. - Gv giới thiệu khái niệm dãy số bị chặn. - Hs suy nghĩ, xác định tính tăng, giảm. - 1 Hs trả lời, các Hs khác phát hiện sai và sửa. - Hs suy nghĩ, có thể thảo luận theo từng nhóm. - Đại diện nhóm lên bảng trình bày. Các Hs còn lai theo dõi và nhận xét. - Hs suy nghĩ và trả lời. - Hs tiếp nhận và dần hiểu rõ tính bị chặn. - Hs suy nghĩ và thảo luận theo nhóm. - Đại diện từng nhóm lên trình bày, các Hs còn lại theo dõi và nhận xét. Hoạt động 4: HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS . Dãy số bị chặn: ĐỊNH NGHĨA 3: a) Dãy số được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số sao cho . b) Dãy số được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số sao cho . c) Dãy số được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; nghĩa là, tồn tại một số và một số sao cho . - Hs tiếp nhận khái niệm mới. Ví dụ 7: (SGK) Tiết 51: Hoạt động 5: Kiểm tra bài cũ. HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS - Hướng dẫn cho Hs hiểu rõ khái niệm mới qua vd7 trong SGK. - Yêu cầu mỗi nhóm tự cho 1vd đơn giản về các khái niệm này rồi trao đổi có sự hướng dẫn của Gv. - Gv giúp HS củng cố các khái niệm đã được học trong bài. Hãy chọn những khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây: a) Mỗi hàm số là một dãy số. b) Mỗi dãy số là một hám số. c) Mỗi dãy số tăng là một hàm số bị chặn dưới. d) Mỗi dãy số giảm là một dãy số bị chặn dưới. e) Nếu là một dãy số hữu hạn thì tồn tại các hăng số m và M, với sao cho tất cả các số hạng của đều thuộc đoạn . - Gv theo dõi cả lớp. - Gv nhận xét và đưa ra kết quả chính xác cuối cùng (b, c, d, e) Hoạt động 2: Luyện tập HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS Sau 1 phút học sinh không giải được thì gợi ý lấy I là trung điểm AMn. Tính AI. Giao nhiệm vụ, đánh giá kết quả của học sinh làm. Bài 1: Cho dãy số (Un), biết: Tìm U4 Bài 2: Tìm 5 số hạng đầu của dãy số (Un) biết: Bài 3: Viết 5 số hạng đầu của dãy số gồm các số tự nhiên chia cho 3 dư 1 và viết số hạng tổng quát của Un VD5: Cho dãy số (Un) với Un là độ dài của dây AMn trên hình vẽ bên (OA = 1) H1: Tính AMn H2: Un = ? Gọi 3 học sinh lên bảng làm, mỗi em làm 1 câu, các em khác theo dõi góp ý đúng - sai và có cách nào làm hay hơn không? CỦNG CỐ, DẶN DÒ: Dặn HS học thuộc các bước chứng minh bằng quy nạp. Làm các bài tập ở nhà trong SGK. Xem trước nội dung bài học tiết sau: “Cấp số cộng”. Tên bài dạy: CẤP SỐ CỘNG – BÀI TẬP. Tiết PPCT: 52-53 Ngày soạn: 16-01-2009 MỤC TIÊU: Kiến thức: Nắm được khái niệm cấp số cộng, biết được các công thức tìm số hạng tổng quát, tìm tổng n số hạng đầu trong một cấp số cộng. Giải đựơc một số bài tập đơn giản về cấp số cộng. Nắm được tính chất đơn giản về ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng ; Nắm vững công thức xác định số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng. Kỹ năng: Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về cấp số cộng. Biết dựa vào định nghĩa để nhận biết một cấp số cộng; Biết cách tìm số hạng tổng quát và cách tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng trong các trường hợp không phức tạp. Biết vận dụng các kết quả lý thuyết đã học để giải quyết các bài toán đơn giản liên quan đến cấp số cộng ở các môn học khác , cũng như trong thực tế cuộc sống . Thái độ: Biết khái quát hoá , tương tự . Tích cực hoạt động, trả lời câu hỏi CHUẨN BỊ: Giáo viên: SGK, Giáo án, cần chuẩn bị trước ở nhà bảng tóm tắt nội dung của bài toán ở ví dụ 2 và các câu hỏi . Học sinh: Học thuộc bài cũ .Xem trước bài CSC, SGK , dụng cụ học tập . HOẠT ĐỘNG DẠY VÀ HỌC: Tiết 52: Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ. HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS Thầy nhắc lại quan hệ của số tự nhiên lẻ đứng sau và số đứng ngay trước. Xong kết luận dãy STN lẻ dược gọi là một CSC có công sai d=2. 1.Định nghĩa : SGK + Vậy, tổng quát CSC là một dãy số như thế nào? + Một h/s phát biểu hình thành định nghĩa CSC. Hoạt động 2: HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS Ví dụ 1: SGK Tr 110 H2: Trong các dãy số sau , dãy nào là cấp số cộng ? Vì sao? a) -5 ; -2 ; 1 ; 4 ; 7 ; 10. b) 3,5 ; 5 ; 6,5 ; 9 ; 10,5 ; 12 . 2.Tính chất : Từ VD1 cho học sinh nhận xét kể từ số hạng thứ hai , mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đ/v CSN hữu hạn) có quan hệ thế nào với hai số hạng kề nó trong dãy ? Hãy phát biểu tính chất nêu trên ? Định lý 1: SGK Tr 110 . Chứng minh : SGK H3: Cho CSC (u n) mà u1= -5 và u 3 = 3. Hãy tìm u2 và u4 ? hàng a) Dãy số là cấp số cộng ; vì kể từ số hạng thứ hai , mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với 3 . b) không là cấp số cộng + HS nhận ra t/c số hạng đứng giữa là trung bình cộng của 2 số hạng liền kề. u 2 = (-5 + 3) /2 = -1 u 4 = u 3 + d = 3 + 4 = 7 u n = 1+ (n -1).2 u n = u 1 + (n -1).d u21 = 25 + 20.(-5) = -75 * Cho HS quan sát bảng như trong SGK để thấy tổng 2 số trong cùng một cột luôn bằng nhau và bằng Hoạt động 3: HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS 3. Số hạng tổng quát: * Từ công thức tổng quát số tự nhiên lẻ thứ n là u n = 2n – 1 hãy biểu diễn theo số hạng đầu u 1 = 1 và công sai d=2 ? * H4: Tổng quát CSC (u n) có số hạng đầu u1 và công sai d, thì có số hạng tổng quát u n = ? Định lý 2 : SGK TR 111 . H5 : Cho CSC (u n ) có u1 = 25 và d= - 5. Hãy tính u 21 ? Ví dụ 2: SGK trang 111. Tiết 53: Hoạt động 1: Hướng dẫn HS nắm công thức tính tổng n số hạng đầu trong một CSC. HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS 4.Tổng n số hạng đầu tiên của một CSC * Cho CSC (u n) có số hạng đầu u1 và công sai d . Xét n số hạng đầu tiên của CSC đó . Thầy vẻ lên bảng như SGK. Định lý 3: SGK trang 112. Ví dụ 3: SGK trang 113. CHÚ Ý: Từ định lý 2 và định lí 3 , dễ dàng suy ra: S n = n.[u1 + (n – 1)d/2 ] H6: Cho CSC (u n) có số hạng đầu u1= -2 và công sai d = 2. Hãy tính S17 ? H7: ( H5 SGK ) S17 =17.(-2 + 16.1) = 238 + Nếu làm trong3 năm trở lại thì theo ph / án 1 ; nếu làm hơn 3 năm thì nên theo ph / án 2 Hoạt động 2: Luyện tập. HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS Ví dụ 3: Ba góc A, B, C của tam giác vuông ABC theo thứ tự lập thành CSC. Tính 3 góc đó. trang 113 SGK. Giải: Gọi un là mức lương ở quý thứ n thì: u1= 4,5 và d=0,3 u12=4,5+(12-1).0,3=7,8. triệu. HS tự làm. Nếu làm trên 3 năm thì chọn PA 2, dưói 3 năm thì chọn PA 1. + uk-1= uk-d uk+1= uk+d suy ra +Giả sử ABC,ta có: A=300; B=600 và C=900. Hoạt động 3: Luyện tập. HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS Bài19: un+1-un= 19, n 1 (un) là CSC. un+1-un= a, n 1 (un) là CSC. Bài 20: Ta có: , n 1 (un) là CSC Bài 21: Trắc nghiệm: a) Tăng; b) Giảm. Bài 22: 28=u1+u3=2u2 u2=14 40=u3+u5=2u4 u4=20 u3=(u2+u4)/2=17 u1=28-u3=11 và u5=40-u3=23. Bài 23: ĐS: un=-3n+8. Bài 24: um=u1+(m-1)d và uk=u1+(k-1)d um-uk=(m-k)d um=uk+(m-k)d. Bài 25: ĐS: un=5-3n. Bài 26:CM bằng quy nạp: HD: Bài 27: HS tự làm. HD: Bài 28:là ví dụ 3 trong phần bài học. Chú ý: Để CM (un) là CSC ta cần CM un+1-un không đổi, n 1 . Áp dụng: HS tự làm. ĐS: d=5. CỦNG CỐ, DẶN DÒ: Củng cố: Nắm được các công thức và cách áp dụng. Chú ý kết quả bài 24. Bài về nhà: Hết tiết 45: Bài tập SGK trang114, 115. Hết tiết 46: Bài 1: CM các dãy số sau là CSC: a) un=3n-7 b) un=(3n+2)/5. Bài 2: Xác định số hạng đầu và công sai CSC (un) biết: (ĐS: u1=3, -17; d=2). Bài 3: Bốn số lập thành CSC. Tổng của chúng bằng 22 và tổng bình phương thì bằng 166. Tìm 4 số đó. (ĐS: 1, 4, 7, 10). Tiết 54, 55, 56 CẤP SỐ NHÂN – BÀI TẬP. Ngày soạn: 7-02-2009 MỤC TIÊU: Kiến thức: Giúp học sinh Nắm vững khái niệm và tính chất về ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân. Nắm vững công thức xác định số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân. Kỹ năng: Biết vận dụng định nghĩa để nhận biết một cấp số nhân. Biết cách tìm số hạng tổng quát và cách tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân. Biết vận dụng các kiến thức cấp số nhân vào giải các bài toán liên quan đến cấp số nhân ở các môn học khác, cũng như trong thực tế. Thái độ: Chú ý, tích cực tham gia xây dựng bài. Cẩn thận, chính xác và linh hoạt. CHUẨN BỊ: Giáo viên: Soạn giáo án. Chuẩn bị một số đồ dùng dạy học như: thước kẻ, phấn màu Bảng phụ: tóm tắt nội dung của bài toán mở đầu và bài toán đố vui. Học sinh: Đọc kỹ bài học trước khi đến lớp. HOẠT ĐỘNG DẠY VÀ HỌC: Tiết 54, 55,: Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ. HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS Gọi học sinh nhắc lại định nghĩa, tính chất, số hạng tổng quát và tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng? Đáp án: + CSC là một dãy số mà kể từ số hạng thứ hai trở đi mỗi số hạng đều bằng tổng của một số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi d Hoạt động 2: Hình thành đ\n của cấp số nhân từ một bài toán thực tế. HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS GV treo bảng phụ tóm tắt nội dung của bài toán mở đầu : ...Giả sử có 1 người gửi 10 triệu đồng với kỳ hạn một tháng vào ngân hàng nói trên và giả sử lãi suất của loại kỳ hạn này là 0,04%. a) Hỏi nếu 6 tháng sau , kể từ ngày gửi , người đó đến ngân hàng để rút tiền thì số tiền rút được (gồm cả vốn và lãi ) là bao nhiêu ? b) Cùng câu hỏi như trên , với thời điểm rút tiền là 1 năm kể từ ngày gửi ? 1. Định nghĩa: a. Bài toán mở đầu: (G\v treo bảng phụ) Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu un là số tiền người đó rút được (gồm cả vốn và lãi) sau n tháng kể từ ngày gửi. khi đó, theo giả thiết bài toán ta có: un= un-1+un-1.0,004= un-1.1,004 Như vậy, ta có dãy số (un) mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với 1,004. b. Định nghĩa: SGK (un) là CSN Số q được gọi là công bội của CSN. Vd 1: Vd 2: SGK 2. Tính chất: Đlí 1: SGK C\m: SGK Vd 3: Cho CSN (un) với công bội q>0. Biết u1 = 1 và u3 = 3, hãy tìm u4. + Một HS làm câu a) . Sau đó một HS khác trả lời câu b) . + Biểu diễn u2 theo u1, u3 theo u2,...,un theo un-1? (u n) là cấp số nhân a. Dãy số (un) với là một CSN với số hạng đầu u1=2 và công bội q=2 b. Dãy số -2, 6,-18, 54, -162 là một CSN với số hạng đầu u1 = -2 và công bội q = -3. Vì sao dãy số -2, 6,-18, 54, -162 là một CSN? tìm công bội của nó? + HS thực hiện HĐ1 trong SGK theo nhóm đã phân công. Hoạt động 3: G\v hướng dẫn h\s lĩnh hội tính chất CSN HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS Cho CSN (un) có u1=-2 và . a. Viết 5 số hạng đầu tiên của nó? b. so sánh với u1.u3 và với u2.u4? Nêu nhận xét tổng quát + G\v cho h\s thực hiện hđ 2 SGK Giải: Ta có: (1) (2) Từ (1), do u2 > 0 (vì u1 > 0 và q > 0), suy ra . Từ (2) suy ra: 3. Số hạng tổng quát: Đlí 2: SGK Vd4: Trở lại bài toán mở đầu. Hoạt động 4: Hình thành công thức số hạng tổng quát của CSN HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS Tìm số hạng đầu và công bội của CSN (un)? + G\v cho h\s thực hiện hđ 3 theo nhóm đã phân công (G\v treo bảng phụ: tóm tắt nội dung của bài toán đố vui) H: Em có nhận xét gì về sự giống nhau của bài toán này với bài toán mở đầu? Tiết 56: Hoạt động 1: Hình thành công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của CSN. HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS Nêu phương pháp tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân? Giả sử có cấp số nhân (un) với công bội q. Với mỗi số nguyên dương n, gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên của nó: Sn = u1 + u2 + ... + un Nếu q=1 thì un = u1 với mọi. Khi đó: Sn = nu1. Nếu q, ta có kết quả: Đlí 3: SGK với C/m: SGK Vd 5: SGK + HS thảo luận theo bài toán đố vui nhóm đã phân công. + Hoạt động 2: HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS a) Dãy số là cấp số nhân ; vì kể từ số hạng thứ hai , mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với 1,5 . b) không là cấp số nhân . c) là cấp số nhân , công bội q = 0 . + Đối với CSN 1b) + Đối với CSN 1a) + Nếu (u n) CSN thì u k2 = u k - 1 .u k +1 , + u k = u k - 1 . q () () Nhân các vế tương ứng , ta có (đpcm) + Gọi u n là số tiền mà nhà tỉ phú phải trả cho nhà toán học ở ngày thứ n .Ta có u 1 = 1 và q = 2 . a) S 30 = (đ) b) Số tiền mà nhà toán học đã bán cho nhà tỉ phú sau 30 ngày : 10.106 .30 = 300.000.000 (đồng) . c) Sau cuộc mua - bán nhà tỉ phú "lãi" 300.000.000 - 1.073.741.823 = - 773.741.823 (đ) + Không tồn tại , vì nếu ngược lại ta sẽ có : u 2100= u 99. u 101= - 99 .101 < 0 + vn = q.vn -1 , + vn = u n - = 3u n - 1 - 1 - = 3vn -1 , + u 1 = 10 7 .1,004 ; u 2 = u 1 .1,004 ; u 3 = u 2 .1,004 = u 1 .(1,004)2 ; ... u n = u n - 1.1,004 = u 1 . (1,004) n - 1 , + u n = u 1 . ( q ) n - 1 , + u n= 10 7 .1,004.(1,004) n - 1 = 10 7 .(1,004) n , + u n = 3.10 6 .(1 + 0,02) n = 3.10 6 . (1,002) n . + Khi q = 1 thì u n= u 1 và S n= n.u 1. + Khi q 1 : q S n = u 1+ u 2+ . . . + u n+ u n + 1 . S n - q S n = u 1 - u n + 1 = u 1(1 - q n ) (1 - q) S n = u 1 (1 - q n ) với q 1 Suy ra đpcm . + Tìm u 1 và q . u 1 = u 4 : u 3 = 2 ; 24 = u 3= u 1 .2 2 u 1 = 6 S 5 = 186 . Hoạt động 3: Hướng dẫn HS làm các bài tập áp dụng HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS Ví dụ 1: SGK Tr 116 Trong các dãy số sau , dãy nào là cấp số nhân ? Vì sao? a) 4 ; 6 ; 9 ; 13,5 . b) -1,5 ; 3 ; -6 ; -12 ; 24 ; - 48 ; 96 ; -192 c) 7 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 . Ví dụ 2: SGK Tr 116 . C/m:Gọi q là công bội của CSN (u n) .Xét 2 trường hợp : + q = 0 : hiển nhiên . + q 0 : Viết u k qua số hạng đứng trước và ngay sau nó ? Ví dụ 4: Từ bài toán mở đầu , tìm u 6 và u 12 ? SGK Tr 119 . *Gọi HS đứng tại chỗ giải ( có thể gợi ý xét sự tương đồng giữa BT này và BT mở đầu để làm ) ? * CSN (u n) có số hạng đầu u 1 và công bội q .Mỗi số nguyên dương n , gọi S n là tổng n số hạng đầu tiên của nó . Tính S n (S n = u 1+u 2+.....+ u n ) ? Khi q = 1 , khi q 1 ? Ví dụ 5: CSN (u n) có u 3 = 24 , u 4 = 48 . Tính S 5 ? * Gọi từng HS đứng tại chỗ với mỗi VD Từ VD1b) sau đó là 1a) cho học sinh nhận xét kể từ số hạng thứ hai , bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đ/v CSN hữu hạn) liên hệ thế nào với hai số hạng kề nó trong dãy ? * Hãy phát biểu tính chất nêu trên ? Có hay không CSN (u n) mà u 99= -99 và u101 = 101 ? * Tính S 5 ta phải tìm gì ? * PP c/minh dãy số là CSN ? Áp dụng ? * Từ bài toán mở đầu , biểu diễn các số hạng u n () theo u 1 và công bội q = 1,004 ? * Tổng quát CSN (u n) có số hạng đầu u1 và công bội q 0 có số hạng tổng quát u n = ? CỦNG CỐ, DẶN DÒ: Dặn HS về nhà học kỹ nội dung bài học, các tính chất và các định lý trong bài “Cấp số nhân”. Chuẩn bị nội dung bài học tiết sau: “Ôn tập chương III” Làm tất cả các bài tập trong SGK. Ngày 17/02/2009 Tên bài dạy: ÔN TẬP CHƯƠNG III. Tiết PPCT: 57 -58 MỤC TIÊU: Kiến thức: Nắm được các kiến thức về dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân và mạch kiến thức của cả chương. Hiểu và vận dụng được các định nghĩa, tính chất, định lý và công thức trong chương. Kỹ năng: Biết cách chứng minh một mệnh đề bằng phương pháp quy nạp. Biết các cách cho một dãy số; xác định tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số. Biết cách xác định các yếu tố còn lại của cấp số cộng (cấp số nhân) khi biết một số yếu tố xác định cấp số đó, như: u1, d (q), un, n, Sn. Thái độ: Biết khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự. Biết quy lạ thành quen. Tích cực hoạt động, trả lời câu hỏi. CHUẨN BỊ: Giáo viên: Bài tập và câu hỏi trắc nghiệm, các slide, computer và projecter. Học sinh: Ôn tập và làm bài tập trước ở nhà (ôn tập lại các kiến thức của chương và làm các bài tập phần ôn tập chương). HOẠT ĐỘNG DẠY VÀ HỌC: Tiết 57: Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ. HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS Bảng 1: PHƯƠNG PHÁP CM QUY NẠP TOÁN HỌC Bài toán: Cho p là một số nguyên dương. Hãy c/m mệnh đề A(n) đúng với mọi np. Chứng minh quy nap: Bước 1: CM A(n) đúng khi n=p Bước 2: Giả sử A(n) đúng với nk (với kp) Ta cần CM A(n) đúng với n=k+1 Bài 44: CMR 1.22+2.32++(n-1).n2 = , (1) Bài 45: Cho dãy số (un) xác định bởi: u1=2, un=, CMR: un=, (2) - Nhắc lại các bước chứng minh quy nạp Giải: Bước 1: Với n=2, ta có: VT(1)=1.22=4; VP(1)=4 suy ra (1) đúng Bước 2: Giả sử (1) đúng với n=k (k2), tức là ta có: 1.22+2.32++(k-1).k2 = Ta cần CM (1) cũng đúng n=k+1, tức là: 1.22+2.32++(k-1).k2 +k.(k+1)2 = (1’) Thật vậy: VT(1’)=; VP(1’)= Vậy VT(1’)=VP(1’). Giải: Bước 1: Với n=1, từ (2) suy ra: u1=2 (đúng với giả thiết) Bước 2: Giả sử (2) đúng với n=k (k1), tức là ta có: uk= Ta cần CM (2) cũng đúng với n=k+1, tức là uk+1= Thật vậy: Từ giả thiết ta có uk+1=== (đpcm) Hoạt động 2: Ôn tập về dãy số. HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS Bảng 3: ÔN TẬP VỀ DÃY SỐ Bài toán: Hoàn thành bảng sau: Cách cho DS SHTQ của dãy số đó Là DS tăng Là DS giảm Là DS bị chặn Cho bằng CT Cho bằng PP mô tả Cho bằng PP truy hồi -Trao đổi nhóm về bài tập 44 và 45 -Cử đại diện trả lời câu hỏi khi GV yêu cầu và nêu câu hỏi thắc mắc cho các nhóm khác và cho GV cùng trao đổi -Các nhóm trao đổi để đưa ra phương án trả lời -Theo dõi và nhận xét phương án trả lời của các nhóm khác -Từng nhóm trao đổi và phác thảo sự so sánh lên giấy và cử đại diện trả lời -Từng nhóm trao đổi thực hiện yêu cầu của GV -Cử đại diện trả lời và nhận xét câu trả lời của nhóm khác. Hoạt động 3: Ôn tập về CSC, CSN HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS Bảng 4: ÔN TẬP VỀ CSC, CSN CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN 1. ĐN: Dãy số (un) là CSC nếu: un+1=un+d; d: Công sai 2. Số hạng tổng quát: un=u1+(n-1)d; n2 3. Tính chất CSC: 4. Tổng của n số hạng đầu tiên: Sn=u1+u2+.+un 1. ĐN: Dãy số (un) là CSN nếu: un+1=un.q; q: Công bội 2. Số hạng tổng quát: un=u1.qn-1; n2 3. Tính chất CSN: Hay: 4. Tổng của n số hạng đầu tiên: Sn=u1+u2+.+un HS nêu lại định nghĩa, các tính chất của cấp số cộng, cấp số nhân, + Công thức biểu diễn số hạng tổng quát, tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng. Tiết 58: Hoạt động 1: Hướng dẫn HS giải các bài tập áp dụng. HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS + Gọi HS làm tại chỗ bài 38 + a: sai Vì + b: đúng Dễ dàng c/m được + c: sai. Vì Hoạt động 2: Bài 39 HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS + Từ giả thiết hãy rút ra quan hệ giữa các biểu thức rồi tìm x,y x+6y; 5x+2y; 8x+y là CSC x-1; y+2; x-3y là CSN. Tìm x,y. ĐS: x=-6; y=-2. *2(5x+2y)=(x+6y)+(8x+y) x=3y (1) * (y+2)2=(x-1)(x-3y) (2) Giải bằng pp thế ta có: x=-6 và y=-2 Hoạt động 3: Bài 40 và 41 HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS + Gọi HS nói cách làm sau đó GV hướng dẫn để các em làm ở nhà. + HD: Nhận thấy u1.u2 0 vì nếu ngược lại thì hai trong ba số u1, u2, u3 bằng 0 (sẽ mâu thuẫn với gt CSC có d 0). Ta thấy q 1. + Gọi hs lập luận để suy ra q 0,1 và u2 0 Bài 40: +(un) là CSC với d 0. + u1.u2; u2.u3; u3.u1 lập thành CSN với q 0. Tìm q. Kết hợp (un) là CSC nên: 2u2=u2q+u2q2 (u2 0) q2+q-2=0 q=-2 (loại q 1). + HS trả lời. Bài 41: * u1, u2, u3 lập thành CSC với d 0; * u2, u1, u3 lập thành CSN. Tìm q. HD: Lập luận để có q 0,1 và u2 0. Ta có q2+q-2=0 q=-2 (loại q 1). Hoạt động 4: B ài 42 HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS + Lập các mối liên hệ giữa u1, u2, u3 + Gọi u1, u2, u3 là 3 số hạng của CSN theo thứ tự đó, q là công bội. Gọi d là công sai của CSC nói trong đề. Dễ dàng thấy u1 0. Từ (1), (2) TH1: q=1 u1= u2= u3 =148/27 và d=0. TH2: q1: q=u2/u1=4/3 ( kết hợp (3)) u1=4; u2=16/3; u3= 64/9 và d=4/9. CỦNG CỐ, DẶN DÒ: Nắm được các công thức và cách áp dụng. Chú ý kết quả bài 24. Bài về nhà: Ôn lại tất cả kiến thức của chương III, lập bảng tóm tắt đối với mỗi bài trong chương. Bài tập thêm: Cho dãy số (un) với u1=m và un+1=aun+b (m, a, b là hằng số, a 0,1). a) Tìm số c sao cho dãy số (vn) với vn=un+c là CSN với q=a. b) Tìm số hạng tổng quát của dãy (un). c) Áp dụng: Tìm số hạng tổng