Bài giảng môn Toán lớp 11 - Bài 3: Cấp số cộng

Trường THPT Hoà Bình§3CẤP SỐ CỘNGGV: Thạc Sĩ Trương Văn HùngKIỂM TRA BÀI CŨBiết bốn số hạng đầu tiên của một dãy số là 3,7,11,15 .Hãy chỉ ra quy luật của dãy số trên và viết tiếp năm số hạng của dãy số đã cho ?Quy luật của dãy số trên là : 7=3+4;11=7+4;15=11+4 .Năm số hạng tiếp theo của dãy số đã cho là :19,23,27,31,35BÀI GIẢI§3 CẤP SỐ CỘNGI/ ĐỊNH NGHĨACấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hoặc vô hạn ), trong đó kể từ số hạng thứ hai ,mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.Số d gọi là công saiKhi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi VD : 5,5,5,5,5,5,5 với U1=5 và d = 0Công thức truy hồi :ĐỊNH NGHĨA§3 CẤP SỐ CỘNGI/ ĐỊNH NGHĨAĐỊNH NGHĨAHOẠT ĐỘNG 1Mỗi nhóm hãy cho một ví dụ cấp số cộng Cấp số cộng U1d1,-3,-7,-11,-151-45,10,15,20,552,7 ;2,7 ;2,7 ;2,72,70Một số ví dụ về cấp số cộng§3 CẤP SỐ CỘNGHOẠT ĐỘNG KHÁM PHÁBạn An chơi trò xếp que diêm thành hình tháp ,cách xếp thể hiện như sau:Hỏi nếu có 100 tầng thì tầng đáy có bao nhiêu que diêm ?Tầng 1- - - - - - - - - - - - - Tầng 2Tầng 3Tầng 4Tầng 100 (tầng đáy)1 que 3 que 5 que 7 que Có bao nhiêu que ??§3 CẤP SỐ CỘNGII/SỐ HẠNG TỔNG QUÁTĐỊNH LÝ 1Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un, được xác định bởi công thức :với( * )§3 CẤP SỐ CỘNGĐỊNH LÝ 1Nếu cấp số cộng (Un) có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un, được xác định bởi công thức :II/SỐ HẠNG TỔNG QUÁTvới( * )CHỨNG MINHSử dụng phương pháp quy nạp :Khi n = 2 thì u2=u1+d (đúng).Giả sử công thức ( * ) đúng với n = k ,tức là uk = u1 + (k-1)d.Ta chứng minh ( * ) đúng với n = k+1,tức ta chứng minh :uk+1 = u1+ kd. ta có : uk+1 =uk+d ( định nghĩa cấp số cộng ) uk+1 = u1 + (k-1)d + d ( theo gt quy nạp ) uk+1 = u1 + kd -d + d uk+1 = u1 + kd ( điều phải chứng minh )Vậy : uk = u1 +(n-1)d với HOẠT ĐỘNG 2Bạn An chơi trò xếp que diêm thành hình tháp ,cách xếp thể hiện như sau:Hỏi nếu có 100 tầng thì tầng đáy có bao nhiêu que diêm ?Tầng 1?- - - - - - - - - - - - - Tầng 2Tầng 3Tầng 4Tầng 100 (tầng đáy)1 que 3 que 5 que 7 que Có bao nhiêu que ?Qua định lý 1 vừa học ta trở lại bài toán tính số que diêm của tầng đế ( tức là tính u100 ).Tóm tắt :Với u1=1,d = 2 .Tính u100Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát: u100 = 1+(100-1).2 = 199Vậy tầng đế có 199 que diêmBÀI GIẢI§3 CẤP SỐ CỘNGĐỊNH LÝ 1II/SỐ HẠNG TỔNG QUÁTvớiVÍ DỤ :Cho cấp số cộng (un) biết u1= -5,d = 3.a/ Tính u15.b/ Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng ?c/ Biểu diễn các số hạng u1,u2,u3,u4,u5 trên cùng trục số .Nhận xét vị trí của mỗi điểm u2,u3,u4 so với hai điểm liền kề a/ u15 = -5 +(15-1).3 = 37b/ un = -5 +(n-1).3 100 = -5 +(n-1).3 100 = -5 +3n -3 108 = 3n . n = 36GIẢIc/u1u2u3u5u4-5-2147u4 là trung điểm của đoạn u3u5 hay tương tự với u3 và u2§3 CẤP SỐ CỘNGIII/ TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG :ĐỊNH LÝ 2 :Trong cấp số cộng , mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối ) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó ,nghĩa là CHỨNG MINH : giả sử (un) là cấp số cộng với d là công sai Theo định nghĩa cấp số cộng : uk-1 = uk – d (1) uk+1 = uk+ d (2)Cộng (1) với (2): uk-1+ uk+1 = 2uk §3 CẤP SỐ CỘNGIII/ TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ CỘNG :ĐỊNH LÝ 2 :Trong cấp số cộng , mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối ) đếu là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó ,nghĩa là Câu hỏi :Cho cấp số cộng hữu hạn gồm 4 số hạng :3 ; x ; -5 ;-9 Áp dụng định lý 2, tìm x GIẢIÁp dụng định lý 2 : x = [3 + (-5)]:2 = -1.Vậy x = -1Ngoài ra ta có thể giải bằng cách khác : d = -9 – (-5) = -4 => x = 3 + (-4) = -1 §3 CẤP SỐ CỘNGIV/ TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG :ĐẶT VẤN ĐỀ: cho cấp số cộng 1;2;3;4;5;...;98;99;100. tính : Sn= 1+2+3+4+5+...+98+99+100 NHẬN XÉT:1+2+3+4+5+...+96+97+98+99+1001+100=1012+99=1013+98=1014+97=1015+96=101KẾT LUẬN : từ 1 đến 100 có 50 cặp ,mà mỗi cặp có tổng bằng 101 nên:số hạng đầu:u1số hạng cuối :unsố cặp:=> Tổng quát :Sn = ?§3 CẤP SỐ CỘNGIV/ TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG :ĐỊNH LÝ 3Cho cấp cộng (un) . Đặt Sn = u1 + u2 +u3 +...+un.Khi đó :(1)CHÚ Ý : thay un = u1 +(n-1)d vào (1) ta có : (2)Lưu ý : công thức (1) sử dụng khi biết n,u1,un công thức (2) sử dụng khi biết n,u1,dTuỳ theo điều kiện đề bài mà ta sử dụng hợp lý §3 CẤP SỐ CỘNGIV/ TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG :(1)(2) VÍ DỤ : cho cấp số cộng có 10 số hạng ,biết u1 = 3 và d = 5 .Tính S10GIẢI Áp dụng công thức (2)§3 CẤP SỐ CỘNGCỦNG CỐ :1/ Bạn Lan phát biểu :” theo định nghĩa cấp số cộng kể từ số hạng thứ hai , mỗi số hạng bằng số liền trước cộng với một số không đổi .Vậy cấp số cộng luôn là một dãy số tăng”. Theo em phát biểu trên đúng hay sai ? Vì sao ?2/ Cho cấp số cộng có u1 = 1011 , d = 200.Tính u6 ?.Kết quả bài toán này có liên quan đến ngày kỉ niệm nào trong năm ?+HỌC THUỘC CÁC CÔNGTHỨC+LÀM CÁC BÀI TẬP 1 ĐẾN 6 TRANG 97 VÀ 98Chúc các em luôn học tốt.Hẹn gặplại !