Bài giảng Phép nhân vectơ với một số (tiếp)

Chủ đề VECTƠ Hình học 10 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... Tổ Toán THPT Phong Điền Chủ đề 2: PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ I- LÝ THUYẾT: 1) Định nghĩa: Cho 0a ≠

, 0 k≠ ∈ℝ ta có: b ka=

(gọi là phép một số thực với 1 vectơ). Khi đó: + b
cùng phương a
. + b
cùng hướng a
khi 0k > + b
ngược hướng a
khi 0k < + b k a=

Quy ước: 0. 0, .0 0 a k k= = ∀ ∈



ℝ 2) Tính chất: Cho a
, b
bất kì và ,h k ∈ℝ , khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * 1. 1 . * * * k a b ka kb k h a ka ha k ha kh a a a a + = + + = + = = − = −











* Tính chất trung điểm: Nếu I là trung điểm đoạn AB, M∀ : 2MA MB MI+ = 


* Tính chất trọng tâm tam giác: G là trọng tâm ∆ABC, M∀ : 3MA MB MC MG+ + = 



3) Điều kiện để hai vectơ cùng phương: a
cùng phương 0b ≠

⇔ 0 : k a kb∃ ≠ =

Hệ quả: Điều kiện để ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔ AB 
cùng phương AC 
⇔∃ 0≠k ∈ℝ : AB k AC= 

4) Phân tích (biểu diễn) một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ , a b

khác 0
và không cùng phương. Khi đó, x∀
bao giờ cũng tìm được hai số , m n (duy nhất) sao cho: x ma nb= +


. II- LUYỆN TẬP: Dạng toán: Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp: Sử dụng hợp lí các công thức, qui tắc và đặc biệt là kỹ năng “chêm” điểm. Bài tập 1: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh: 2MN AC BD= + 


. Bài giải: Sử dụng qui tắc chêm điểm (M, N) Ta có: ( ) ( )= + = + + + + + 







VT AC BD AM MN NC BM MN ND ( ) ( )= + + + + 




2MN AM BM MC MD (1) Do M là trung điểm AB⇔ + = 


0AM BM (2) và N là trung điểm CD⇔ + = 


0NC ND (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: = + = = 


2VT AC BD MN VP (đ.p.c.m) Bài tập 2: Cho hình bình hành ABCD với E là trung điểm AD. Chứng minh rằng: a) 2AB AC AD AC+ + = 



b) 2 3AB AC AD AC+ + = 



. c) 2 3EA EB EC AB+ + = 



d) 2 4EB EA ED EC+ + = 



Chủ đề VECTƠ Hình học 10 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... Tổ Toán THPT Phong Điền Bài giải: a) Ta có: ( ) 2VT AB AD AC AC AC AC VP= + + = + = = 





(đ.p.c.m) b) Ta có: ( ) 2 2 3VT AB AD AC AC AC AC VP= + + = + = = 





(đ.p.c.m) c) Ta có: ( )1 1 12 2 2 2 2 VT EA EB EC DA EA AB CE DA DA CA CD= + + = + + − = + − − 










3AB DC DC AB VP= + + = = 



(đ.p.c.m) d) Ta có: ( )2 4 2 2 2 2VT EB EA ED EB EA ED ED EB ED= + + = + + + = + 








( ) ( )2EC CB ED EC CB AD EC VP= + + = + + = = 






(đ.p.c.m) Bài tập 3: Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng: a) 2 0DA DB DC+ + = 



b) 2 4OA OB OC OD+ + = 



, với O tùy ý Bài giải: a) Do M là trung điểm của BC 2DB DC DM⇔ + = 


. Lúc đó: ( )2 2 2 2 0VT DA DB DC DA DM DA DM VP= + + = + = + = = 







(đ.p.c.m) b) Ta có: ( ) ( ) ( )2 2VT OA OB OC OD DA OD DB OD DC= + + = + + + + + 








( )4 2 4 0 4OD DA DB DC OD OD VP= + + + = + = = 






(đ.p.c.m) Bài tập 4: Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ thì 3 ' ' ' 'GG AA BB CC= + + 



. Bài giải: Ta có: ( ) ( ) ( )' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 'VT AA BB CC AG GG G A BG GG G B CG GG G C= + + = + + + + + + + + 











( ) ( )' ' ' ' ' ' 3 'AG BG CG G A G B G C GG= + + + + + + 






(1) Do G là trọng tâm tam giác ABC 0 0GA GB GC GA GB GC⇔ + + = ⇔ − − − = 







0AG BG CG⇔ + + = 



(2) Tương tự, do G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’ ' ' ' ' ' ' 0G A G B G C⇔ + + = 



(3) Từ (1), (2), (3) suy ra: ' ' ' 3 'VT AA BB CC GG VP= + + = = 



(đ.p.c.m) Bài tập 5: Cho ∆ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý. Chứng minh: 0a) b) AM BN CP OA OB OC OM ON OP+ + = + + = + + 









Bài giải: a) Ta có: ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 VT AM BN CP AB AC BA BC CB CA= + + = + + + + + 








( ) ( ) ( )1 1 1 0 2 2 2 AB BA AC CA BC CB VP= + + + + + = = 






(đ.p.c.m) b) Ta có: ( ) ( ) ( )VT OA OB OC OM MA ON NB OP PC= + + = + + + + + 








Chủ đề VECTƠ Hình học 10 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... Tổ Toán THPT Phong Điền ( ) ( )OM ON OP MA NB PC= + + + + + 





(*) Theo câu a) 0 0AM BN CP MA NB PC+ + = ⇔ + + = 







. Từ đó, (*) trở thành: VT OA OB OC OM ON OP VP= + + = + + = 





(đ.p.c.m) Bài tập 6: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF. Chứng minh: a) 2AD BC EF+ = 


b) 0OA OB OC OD+ + + = 




c) 4MA MB MC MD MO+ + + = 




(với M tùy ý) d) Xác định vị trí của điểm M trên ∆ sao cho: MA MB MC MD+ + + 



nhỏ nhất. Bài giải: a) Sử dụng qui tắc chêm điểm (E, F) Ta có: ( ) ( )= + = + + + + + 







VT AD BC AE EF FD BE EF FC ( ) ( )= + + + + 




2EF AE BE FD FC (1) Do E là trung điểm AB⇔ + = 


0AE BE (2) và F là trung điểm CD⇔ + = 


0FD FC (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: = + = = 


2VT AD BC EF VP (đ.p.c.m) b) Ta có: ( ) ( ) ( )2 2 2 0VT OA OB OC OD OE OF OE OF VP= + + + = + = + = = 








(đ.p.c.m) c) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )VT MO OA MO OB MO OC MO OD= + + + + + + + 







( )4 4MO OA OB OC OD MO VP= + + + + = = 





(đ.p.c.m) d) Theo câu c), ta có: 4MA MB MC MD MO+ + + = 




4 4MA MB MC MD MO MO⇒ + + + = = 




Suy ra: min minMA MB MC MD MO MO+ + + ⇔ ⇔ ⊥ ∆ 



, tức là là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng ∆ . Bài tập 7: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý. Chứng minh: a) 0AF BG CH DE+ + + = 




b) MA MB MC MD ME MF MG MH+ + + = + + + 







c) 4AB AC AD AG+ + = 



(với G là trung điểm FH) Bài giải: a) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2 2 2 VT AF BG CH DE AB AC BC BD CA CD DA DB= + + + = + + + + + + + 











( ) ( )1 1 0 2 2 AC CA BD DB AB BC CD DA AB BC CD DA VP= + + + + + + + = + + + = = 












(đ.p.c.m) b) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )MA MB MC MD MF FA MG GB MH HC ME ED+ + + = + + + + + + + 











( ) ( )ME MF MG MH FA GB HC ED= + + + + + + + 







(1) Theo câu a) 0 0AF BG CH DE FA GB HC ED+ + + = ⇔ + + + = 









(2) Chủ đề VECTƠ Hình học 10 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... Tổ Toán THPT Phong Điền Từ (1), (2) suy ra: VT MA MB MC MD ME MF MG MH VP= + + + = + + + = 







(đ.p.c.m) c) Ta có: ( ) 2 2 2VT AB AC AD AF AD AF AH= + + = + = + 






( )2 4AF AH AG VP= + = = 


(đ.p.c.m) Dạng toán: Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức véctơ Phương pháp: Sử dụng các khẳng định và các công thức sau: + 0AB A B= ⇔ ≡ 

+ Cho điểm A và a
. Có duy nhất M sao cho: AM a= 

+ ;AB AC B C AD BD A B= ⇔ ≡ = ⇔ ≡ 



Bài tập 1: Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Xác định vị trí của G biết 2AG GD= 

. Bài tập 2: Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho: a) 2 0IA IB+ = 


b) 3 2 0IA IB+ = 


Bài tập 3: Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm G sao cho: 0GA GB GC GD+ + + = 




Bài tập 4: Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho: 2 0MA MB MC+ + = 



Dạng toán: Tìm tập hợp điểm thỏa đẳng thức cho trước Bài tập: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn từng điều kiện sau : a) MA MB= 

b) 0MA MB MC+ + = 



c) MA MB MA MC+ = + 



d) 3 2 MA BC MA MB+ = − 



e) MA BC MA MB+ = − 



Kỹ năng: PHÂN TÍCH 1 VECTƠ THEO 2 VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG CHO TRƯỚC 1) Phương pháp: Cho 3 vectơ , , a b c


khác 0
. Dựng , , OA a OB b OC c= = = 





. Từ A dựng hình bình hành OB’AC’. Lúc đó: ' 'OA OB OC= + 


(1) Do , 'OB OB 

cùng phương : 'm OB mOB⇔ ∃ ∈ = 

ℝ và , 'OC OC 

cùng phương : 'n OC nOC⇔ ∃ ∈ = 

ℝ Từ (1) suy ra: OA mOB nOC= + ⇔ 


a mb nc= +


. 2) Các bài tập minh họa: Bài tập 1: Cho tam giác ABC với M là trung điểm BC và G là trọng tâm. Phân tích các vectơ sau theo hai vectơ , u AB v AC= = 



. a) BC 
b) BM 
c) AM 
d) AG 
Bài giải: a) Ta có: BC AC AB v u= − = − 




. b) Ta có: ( )1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 BM BC AC AB AC AB v u= = − = − = − 







. O C' B' C B A G M A B C Chủ đề VECTƠ Hình học 10 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... Tổ Toán THPT Phong Điền c) Ta có: ( )1 1 1 2 2 2 AM AB AC u v= + = + 




. d) Ta có: ( )2 2 1 1 1 3 3 2 3 3 AG AM AB AC u v = = + = +   





. Bài tập 2: Cho tam giác ABC với M thuộc cạnh BC sao cho 2BM MC= . Phân tích vectơ AM 
sau theo hai vectơ , u AB v AC= = 



. Bài giải: Ta có: AM AC CM= + 


(1) Mặt khác: ( )1 1 3 3 CM CB AB AC= = − 



(2) Từ (1) và (2) ta có: ( )1 1 2 1 2 3 3 3 3 3 AM AC AB AC AB AC u v= + − = + = + 







. Bài tập 3: Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. Gọi I là trung điểm của đoạn AG và K là điểm trên cạnh AB sao cho 1 . 5 AK AB= a) Hãy phân tích , , , AI AK CI CK 



theo , u CA v CB= = 



. b) Chứng minh rằng: C, I, K thẳng hàng. Bài giải: Biểu diễn: AB CB CA v u= − = − 




và AC v= − 

. * Ta có: ( )1 1 1 1 1 3 3 2 6 6 AI AM AB AC AB AC = = + = +   





( ) ( )1 1 1 1 6 6 3 6 v u u u v= − + − = − +




. * Ta có: ( )1 1 1 1 . 5 5 5 5 AK AB v u v u= = − = − 





* Ta có: ( )1 1 2 1 3 6 3 6 CI AI AC u v u u v = − = − + − − = +    







. * Ta có: ( )1 1 4 1 5 5 5 5 CK AK AC u v u u v = − = − − − = +    







. b) Ta có: ( ) ( ) 2 1 1 4 (1) 3 6 6 4 1 1 4 (2) 5 5 5 CI u v u v CK u v u v  = + = +   = + = +  









Từ (1), (2) suy ra: 5 6 CI CK= ⇔ 

CI 
và CK 
cùng phương⇔ C, I, K thẳng hàng (đ.p.c.m) Bài tập 4: Cho AK, BM lần lượt là đường trung tuyến của tam giác ABC. Phân tích các vectơ , , AB BC CA 


sau theo hai vectơ , u AK v BM= = 



. Bài giải: CB A M K I CB A M G Chủ đề VECTƠ Hình học 10 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... Tổ Toán THPT Phong Điền Ta có: 1 1 2 2 AK AB AC= + 


và 1 1 2 2 BM BA BC= + 


. Suy ra: ( ) 1 1 1 1 1 1 (1) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 (2) 2 2 2 2 2 AB AC u AB AC u AB AC u AB BC v AB AC AB v AB AC v   + = + = + =     ⇔ ⇔     − + = − + − = − + =      


















Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta có: 3 2 2 2 3 3 AB u v AB u v= − ⇔ = − 





. Lấy (1) nhân 2 rồi cộng với (2) vế theo vế, ta có: 3 4 2 4 2 2 2 3 3 3 3 AC u v AC u v CA u v= + ⇔ = + ⇔ = − − 








. Ta có: 2 2 4 2 2 4 3 3 3 3 3 3 BC AC AB u v u v u v   = − = − − − − = +        








. Cách khác: Ta có: (1)AB AK KB= + 


Mặt khác: 1 (2) 2 KB KM MB AB BM= + = − − 




Từ (1) và (2), ta có: 1 3 2 2 AB AB BM AK AB BM AK= − − + ⇔ = − + 






2 2 2 2 3 3 3 3 AB BM AK u v⇔ = − + = − 




Tương tự, phân tích được các vectơ còn lại. Bài tập 5: Trên đường thẳng BC của tam giác ABC lấy 1 điểm M sao cho 3MB MC= 

. Phân tích các vectơ AM 
sau theo hai vectơ , u AB v AC= = 



. Bài giải: Ta có: 3 2 AM AB BM AB BC= + = + 




( )3 1 3 2 2 2 AB AC AB AB AC= + − = − + 




1 3 2 2 AM u v⇔ = − + 


. III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài tập 1: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho 2 .NA NC= Gọi K là trung điểm của MN. Phân tích vectơ AK 
theo 2 vectơ AB 
và AC 
. Bài tập 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Đặt u AE= 

, v AF= 

. Hãy phân tích các vectơ , , AG DE DC 


theo 2 vectơ u
và v
. Bài tập 3:Cho tam giác ABC và G là trọng tâm, M là trung điểm BC. a) Hãy biểu diễn các véctơ AM 
qua hai véc tơ 

, AB AC . CB A K M M A B C Chủ đề VECTƠ Hình học 10 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... Tổ Toán THPT Phong Điền b) Hãy biểu diễn các véctơ CG 
qua hai véc tơ 

, AB AC . Bài tập 4: Cho tam giác ABC, E là trung điểm AB và F, N, J lần lượt là các điểm sao cho = − = − = − 





3 2 , 2 , 2 FA FC NB NC JE JF . Chứng minh rằng: A, J, N thẳng hàng.