Bài giảng số 3: Quan hệ vuông góc giữa hai mặt phẳng

Tặng Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang Bài giảng số 3: QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM  Định nghĩa: Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 090 .  Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu một trong hai mặt phẳng đó chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Như vậy:        :P Q a P a Q     .  Hệ quả 1: a. Nếu hai mặt phẳng  P và  Q vuông góc với nhau và A là một điểm nằm trên  P thì đường thẳng a đi qua A và vuông góc với  Q sẽ nằm trong  P . b. Nếu hai mặt phẳng  P và  Q vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào thuộc mặt phẳng  P , vuông góc với giao tuyến của  P và  Q sẽ vuông góc với mặt phẳng  Q .  Hệ quả 2: Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.  Hệ quả 3: Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng  P có duy nhất một mặt phẳng  Q vuông góc với mặt phẳng  P . B. CÁC VÍ DỤ MẪU Ví dụ 1: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là một hình thoi có cạnh a và có SA SB SC a   . Chứng minh rằng: a)    ABCD SBD . b) SBD là tam giác vuông. Giải: a) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD , ta có: BD AC . Vì SAC cân tại S nên SO AC . P a Q B C A D S O Tặng Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang Do đó  AC SBD    ABCD SBD  . b) Từ giả thiết, ta có: SAC BAC DAC    SO OB OD   1 2 SO BD  . Trong SBD trung tuyến SO thỏa mãn 1 2 SO BD nên nó là tam giác vuông tại S . Ví dụ 2: Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt  ABC ,  ABD cùng vuông góc với mặt phẳng  DBC . Vẽ các đường cao BE , DF của BCD và đường cao DK của ACD . a) Chứng minh rằng  AB BCD . b) Chứng minh rằng    ABE ADC và    DFK ADC . c) Gọi O và H lần lượt là trực tâm của BCD và ACD . Chứng minh rằng  OH ACD . Giải: a) Ta có:            à ABC ABD AB ABC BCD v ABD BCD        AB BCD  . b) Ta có: CD BE CD AB       ABE CD ACD      ABE ADC  . Ta có:   DF BC DF ABC DF AB     DF AC  Mặt khác DK AC Suy ra    DFK AC ACD     DFK ADC  . c) Vì  ABE CD nên AE CD AE DK H   . Ta có:               à ABE DFK OH OH ACD ABD ACD v DFK ACD        . Ví dụ 3: Cho hai mặt phẳng vuông góc  P và  Q có giao tuyến   . Lấy A , B cùng thuộc   và lấy  C P ,  D Q sao cho AC AB , BD AB và AB AC BD  . Xác định thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng   đi qua điểm A và vuông góc với CD . Tính diện tích thiết diện khi AC AB BD a   . Giải: Để xác định tứ diện, ta thực hiện: - Trong  ACD kẻ AK CD . - Trong  BCD kẻ HK CD . Suy ra thiết diện là AHK . B D A C EF O K H A D C B K H Tặng Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang Ta có: BD AC BD AB     BD ABC  BD AH   AH BCD  AH HK  AHK vuông tại H . Do đó 1 . 2AHK S AH HK . Ta có 2 2 aAH  . Vì hai tam giác CKH và CBD đồng dạng nên HK CK DB CB  . 6 6 DB CK aHK CB    . Vậy 21 2 6 3. . 2 2 6 12AHK a a aS   . Ví dụ 4: Cho ACD và BCD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau, AC AD BC BD a    và 2CD x . Gọi I , J theo thứ tự là trung điểm của AB và CD . a) Chứng minh rằng IJ vuông góc với AB và CD . b) Tính AB và IJ theo a và x . c) Xác định x sao cho    ABC ABD . Giải: a) Xét ACD và BCD , ta có: CD chung AC AD BC BD      AJ BJ  JAB cân tại J IJ AB  . Xét CAB và DAB , ta có: AB chung AC AD BC BD      DI CI  ICD cân tại I IJ CD  . b) Trong AJC vuông tại J , ta có: 2 2 2 2 2AJ AC CJ a x    2 2AJ a x   . Nhận xét rằng:         ACD BCD ACD BCD CD AJ CD         AJ BCD  AJ BJ  . Trong AJB vuông cân tại J , ta có:  2 22 2AB AJ a x   và  2 22 2 2 a xABIJ    . c) Nhận xét rằng:    ABC ABD AB DI AB      C B D A I J Tặng Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang Do đó, để    ABC ABD điều kiện là:  DI ABC DI CI  ICD vuông tại đỉnh I 1 2 IJ CD   2 22 1 .2 2 2 a x x    3a x  . Vậy với 3a x thì hai mặt phẳng  ABC và  ABD vuông góc với nhau. Ví dụ 5: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là một hình thoi tâm I cạnh a và có  060A  , cạnh 6 2 aSC  và SC vuông góc với mặt phẳng  ABCD . a) Chứng minh    SBD SAC . b) Trong SCA kẻ IK SA tại K . Hãy tính độ dài IK . c) Chứng minh  090BKD  và từ đó suy ra    SAB SAD . Giải: a) Ta có:   BD AC BD SAC BD SC        SBD SAC  . b) Trong ABD có  060A  nên nó là tam giác đều, do đó BD a , 3 2 aAI  3AC a  . Trong SAC vuông tại C , ta có:   2 222 2 2 6 93 2 2 a aSA SC AC a            3 2 2 aSA  . Vì hai tam giác AKI và ACS đồng dạng nên IK AI SC SA  . 2 SC AI aIK SA    . c) Trong KBD trung tuyến KI thỏa mãn: 1 2 KI BD KBD vuông tại K  090BKD  . Ta có: SA BD SA IK     SA KBD  SA KB SA KD            0, , 90SAB SAD KB KD      SAB SAD  . Ví dụ 6: Cho ABC vuông tại A , AB a , 2BC a . Hai tia Bx và Cy cùng vuông góc với mặt phẳng  ABC và nằm về một phía đối với mặt phẳng đó. Trên Bx , Cy lần lượt lấy các điểm B , C sao cho BB a  , CC m  . a) Với giá trị nào của m thì AB C  là tam giác vuông? A D B C S I K Tặng Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang b) Khi AB C  vuông tại B , kẻ AH BC . Chứng minh rằng B C H  là tam giác vuông. Tính góc giữa hai mặt phẳng  ABC và  AB C  . Giải: a) Kẻ B D BC  , suy ra 2B D BC a   và C D m a   . Với AB C  , ta lần lượt có: 2 2 2 2 2 22AB AB BB a a a      , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 3AC AC CC BC AB CC a a m a m            ,  22 2 2 24B C B D C D a m a        . Khi đó, để AB C  là tam giác vuông ta có các trường hợp: - AB C  là tam giác vuông tại A , điều kiện là: 2 2 2B C AB AC      22 2 2 24 3 2a m a a m a      0m  . - AB C  là tam giác vuông tại B , điều kiện là: 2 2 2AC B C AB      22 2 2 23 4 2a m a m a a      2m a  . - AB C  là tam giác vuông tại C , điều kiện là: 2 2 2AB B C AC      22 2 2 22 4 3a a m a a m       2 23 0 *m am a    Phương trình  * ẩn m có biệt số 2 2 212 11 0a a a      nên vô nghiệm. Vậy với 0m  hoặc 2m a thì thỏa mãn điều kiện đề bài. b) Trong ABC , ta có: 2 2 AB aBH BC   , 32 2 2 a aCH BC BH a     . Với B C H  , ta lần lượt có: 2 2 2 2 2 2 5 4 4 a aHB HB BB a      , 2 2 2 2 2 29 254 4 4 a aHC HC CC a      ,  22 2 24 2 5B C a a a a      . Suy ra 2 2 2HC B C HB     B C H  vuông tại B . Gọi     ,ABC AB C   , ta có: 1 . 302cos 1 10. 2 ABC AB C AB ACS S AB B C            . C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật  3AB a, AD a ,SA ABCD .   a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) với SA a . ĐS: 30o C B C' A H y x B'D Tặng Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang b) Tìm x SA để góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 060 . ĐS: 3x a Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, 2 aSA  và SA ( ABC ) . Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC). HD: Lấy I là trung điểm BC, ĐS: 030 Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA (ABCD), SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SDC) tạo với nhau góc 60o HD: Kẻ BH SC , ĐS: x a Bài 4: Cho tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC nằm trên mặt phẳng (P). Gọi , lần lượt là góc hợp bởi hai đường thẳng AB, AC và mặt phẳng (P). Gọi  là góc hợp bởi (ABC) và (P). Chứng minh rằng 2 2 2sin sin sin .     Bài 5: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi  ,, lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng 1. cos cos cos 222  Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O,  AB a,SO ABCD  và 2 aSO . Gọi I ,J lần lượt là trung điểm của các đoạn AD,BC. Chứng minh rằng: a)    SAC SBD b)    IJS SBC c)    SAD SBC Bài 7: Cho hai tam giác ACD, BCD nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AC=AD=BC=BD= a, CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Tính AB, IJ theo a và x. b) Với giá trị nào của x thì hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc? Bài 8: Cho hình vuông ABCD. Dựng đoạn thẳng AS vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông ABCD. a) Hãy nêu tên các mặt phẳng lần lượt chứa các đường thẳng SB, SC, SD và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). b) Chứng minh rằng )SBD()SAC(  . Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD . Gọi M,N lần lượt là hai điểm trên hai cạnh BC,DC sao cho 3 2 4 a a BM ,DN .  Chứng minh rằng hai mặt phẳng  SAM và  SMN vuông góc với nhau. Bài 10: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB,SC. Tính diện tích tam giác AMN biết rằng hai mặt phẳng (AMN) và( SBC) vuông góc . Tặng Khóa học: Quan hệ vuông góc trong không gian Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi Biên soạn: Th.S. Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, 2 aSA  và )ABC(SA  . Tính diện tích tam giác SBC. Bài 12: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng a. a) Chứng minh rằng AC’ vuông góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’) b) Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục giác đều. Tính diện tích thiết diện đó. Bài 13: Cho hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) có giao tuyến  . Lấy A, B cùng thuộc  và lấy C(P), D(Q) sao cho AC AB, BD AB, và AB = AC = BD. Xác dịnh thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng ( ) đi qua điểm A và vuông góc với CD. Tính diện tích thiết diện khi AC = AB = BD = a.