Bài giảng Tiết 40, 41: Bất dẳng thức và chứng minh bất đẳng thức (tiếp)

Ngày soạn: Tiết theo PPCT: 40-41 Tên bài: BẤT DẲNG THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I) Mục tiêu : 1. Kiến thức : Hiểu khái niệm bất đẳng thức Nắm vững các tính chất của bất đẳng thức 2. Kỹ năng : Chứng minh được một số bất đẳng thức đơn giản . II) Chuẩn bị : Giáo án , sgk III) Các hoạt động trên lớp : Nội dung Hoạt động của thầy Hoạt động của trò 1)On tập và bổ sung tc của bđt: a) So sánh các số thực : luôn xảy ra một trong ba khả năng : *a = b a-b = 0 *a > ba-b > 0 *a < ba-b < 0 Nếu aba-b 0 Mệnh đề phủ định của mệnh đề “a>b” là mệnh đề “ab” Tính chất: *Tổng của hai số dương là một số dương *Tích hoặc thương của hai số cùng dấu là một số dương *Bình phương một số thực là một số không âm b) Khái niệm bất đẳng thức: Các mệnh đề : “a >b”, “a < b”, “ab”, “ab” gọi là các bđt a là vế trái, b là vế phải c) Tính chất cơ bản của bđt : Tính chất 1: a > b và b > ca > c Tính chất 2: a > ba+c > b+c Hệ quả: (quy tắc chuyển vế) a+c > ba > b-c Tính chất 3: a > b d) Bđt với các phép toán: Hệ quả 1: (phép cộng) a + c > b + d Hệ quả 2: (phép nhân) a.c > b.d Hệ quả 3 : (phép nâng lên lũy thừa) a > b ≥ 0, nN*an>bn Hệ quả 4: (phép khai căn) a > b ≥ 0Û a > b Û 3) Củng cố : Các đn và tc của bđt. 4) Dặn dò : Các bài tập sgk 1-9 trang 109,110 Gv giải thích (a-b không âm) Không CM: a > ba-b > 0 b > cb-c > 0 a-c = (a-b)+(b-c) > 0 Vậy a > c Phát biểu bằng lời : Nếu nhân 2 vế của một bất đẳng thức với cùng một biểu thức dương thì ta được một bđt cùng chiều và tương đương Nếu nhân 2 vế của một bđt với cùng một biểu thức ậm thì ta được một bđt ngược chiều và tương đương Nếu cộng các vế tương ứng của hai bđt cùng chiều thì được một bđt cùng chiều Nếu nhân các vế tương ứng của2 bđt cùng chiều có các vế dương thì được một bđt cùng chiều Ví dụ 1: (hướng dẫn hs giải) Không dùng bảng số hoặc máy tính hãy so sánh hai số và số 3 Ví dụ 2: CMR: x2 > 2(x-1) với xR Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì : (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) abc Cho hs đọc lời giải sgk Ghi các định nghĩa và tính chất Không đúng với phép toán trư Không đúng với phép toán chia Giải: Nếu Bình phương hai vế : Û Û ÛÛ64 vô lý Vậy : Giải : x2 > 2(x-1)x2 >2x-2 x2-2x+2 > 0 (x2 -2x +1)+1 > 0 (x – 1)2+1 > 0 luôn luôn đúng Giải: Ta có : a2a2-(b-c)2= (a-b+c)(a+b-c) >0 b2b2-(c-a)2= (b-c+a)(b+c-a) >0 c2c2-(a-b)2= (c-a+b)(c+a-b) >0 Nhân các vế tương ứng của ba bất đẳng thức trên, ta được : a2b2c2(b+c-a)2(c+a-b)2(a+b-c)2 (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) abc 1) b 0 2) p-a =vì b+c > a Do đó : p > a Tương tự : p > b, p > c 3) a2+b2+c2ab+bc+ca2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca0 (a-b)2+(b-c)2+(c-a)20 Đẳng thức xảy ra a-b = b-c = c-a = 0 a = b = c 6) CMR nếu a0 và b0 thì a3+b3ab(a+b). Khi nào đẳng thức xảy ra ? 7.a) CMR a2+ab+b20 a, bR 8) CMR nếu a,b,c là ba cạnh của một tam giác thì : a2+b2+c2<2(ab+bc+ca) 9) CMR nếu a0 và b0 thì : 6) Ta có : a3+b3ab(a+b)(a+b)(a2-ab+b2) -ab(a+b) 0 (a+b)(a2 -2ab +b2) 0 (a+b)(a-b)2 0 luôn luôn đúng 7.a) a2+ab+b2 = 8) Giả thiết rằng : abc . Khi đó : 0 a-b < c nên (a-b)2< c2a2+b2< c2+2ab (1) 0 b-c < a nên (b-c)2< a2b2+c2< a2+2bc (2) 0 a-c < b nên (a-c)2< b2a2+c2< b2+2ac (3) Cộng (1),(2) và (3) ta được : 2(a2+b2+c2) < a2+b2+c2+2(ab+bc+ca) a2+b2+c2 < 2(ab+bc+ca) Cách khác: a0 nên a2<ab+ac tương tự b0 nên b2<bc+ba c0 nên c2<ca+cb nên a2+b2+c2 < 2(ab+bc+ca) 9)a3+ab2+a2b+b32a3+2b3 a3-ab2-a2b+b3 0 (a-b)(a2-b2)0 (a-b)2(a+b) 0 Ngày soạn: Tiết theo PPCT: 42-43 Tên bài: BẤT DẲNG THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I) Mục tiêu: * Kiến thức: - Nắm được các bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối . - Nắm vững bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của hai số không âm. - Nắm được bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân của ba số không âm * Kỹ năng : - Chứng minh được một số bất đẳng thức đơn giản bằng cách áp dụng các bđt nêu trong bài học . - Biết cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số hoặc một biểu thức chứa biến II) Chuẩn bị: Giáo án , sách giáo khoa III) Các hoạt động trên lớp: Nội dung Hoạt động của thầy Hoạt động của trò 2) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối Tính chất 1: . . . Tính chất 2: (a,bR) Các đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab0 3) Bđt giữa trbình cộng và tb nhân: a) Đối với hai số không âm: Định lý : Với mọi a 0, b 0 ta có Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b Ví dụ 4: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : Hệ quả 1: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi hai số đó bằng nhau . Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi , hình vuông có diện tích lớn nhất Hệ quả 2: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích , hình vuông có chu vi nhỏ nhất. Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất & giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = (x+1)(7-x) với -1x7 b) Đối với ba số không âm : Định lý 3: Với mọi a0, b0, c0 , ta có Đthức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Ví dụ 6: Cmr nếu a,b,c là 3 số dương thì (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9 Khi nào xảy ra đẳng thức ? 3)Củng cố: Bđt về gttđ và bđt giữa tb cộng và tb nhân. 4)Dặn dò : Bài tập còn lại của sgk. HD: Cminh định lý bằng cách bình phương hai vế Tương tự HĐ1:Cho hs làm hđ 1 Giải thích:Trung bình cộng của hai số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Trung bình cộng của hai số không âm bằng trung bình nhân của chúng khi và chỉ khi 2 số đó bằng nhau Gọi hs chứng minh định lý HĐ2: Gọi hs thực hiện h động 2 HD: Ap dụng bđt tbc & tbn cho 3 cặp số : , , CM:sgk Gọi hs phát biểu ý nghĩa hình học CM:sgk Gọi hs phát biểu ý nghĩa hình học HD: Ap dụng bđt tbc & tbn cho hai số x+1 &7-x để tìm gtln Giải thích:Trung bình cộng của ba số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Trung bình cộng của ba số không âm bằng trung bình nhân của chúng khi và chỉ khi 3 số đó bằng nhau Gọi hs làm ví dụ 6 Gọi hs thực hiện hđộng 3 * (a+b)2a2+2+b2 a2+2ab+b2a2+2+b2 ab luôn luôn đúng *= Û Chứng minh định lý: (a+b-2) = luôn luôn đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b HĐ2: OD = , HC = Vì OD HC nên Giải : Ta có : (1) (2) (3) (1)+(2)+(3) ta được : Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi , hình vuông có diện tích lớn nhất Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích , hình vuông có chu vi nhỏ nhất. Giải: Ta có : -1x7 (x+1)+(7-x)2 8 2 (x+1)(7-x) 16 Nên gtln của f(x) = 16 khi và chỉ khi : x+1 = 7-x2x = 6 x = 3 Ta có f(x) = (x+1)(7-x) Dấu bằng xảy ra khi x = -1 hoặc x = 7 nên gtnn của f(x) là : f(-1) = f(7) = 0 HĐ3: Nếu ba số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi ba số đó bằng nhau . Nếu ba số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi ba số đó bằng nhau . Hướng dẫn hs làm các bài tập 10,11,12,13,14,17,18,19,20,21 10.a) CMR: nếu x≥y≥0 thì b) CMR a, b ta có: 11) CMR: a) Nếu a, b là hai số cùng dấu thì : b) Nếu a, b là hai số trái dấu thì : 12) Tìm gtln & gtnn của hàm số : f(x) = (x+3)(5-x) với -3x5 13) Tìm gtnn của hàm số : f(x) = với x > 1 14) CMR nếu a, b, c là ba số dương thì 16) CMR với mọi số nguyên dương n , ta có : a) b) 17) Tìm gtln & gtnn của biểu thức : A = 18) CMR với mọi số thực a, b, c ta có: (a + b + c)23(a2 + b2 + c2). 19) CMR nếu a, b, c & d là 4 số không âm thì 20) CMR với mọi số thực a, b, c & d ta có : (ab + cd)2(a2+ c2)(b2+ d2) Ap dụng , chứng minh rằng : a)Nếu x2+ y2 = 1 thì b)Nếu 4x-3y = 15 thì x2+ y29 10.a) Với x≥y≥0 ta có Ûx(1+y)≥y(1+x) Ûx≥y (đúng) b) Û= ≤ 11. a) Nếu a, b là hai số cùng dấu thì là hai số dương nên b) Nếu a, b là hai số trái dấu thì -và vì vậy 12) Kết quả : Gtln của f(x) = 16 khi và chỉ khi x = 1 Gtnn của f(x) = 0 khi và chỉ khi x = -3 hoặc x = 5 13) Gtnn của f(x) = 1+2khi và chỉ khi x = 1+ 14) 16) a) = = 1 - b) Ta có : +< < 1+ = 2 - < 2 17) A2= = 3+2 A Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x-1 = 4-x x = Vậy gtln của A là A2 = 3+2 mà A 0 nên A A2= 3 khi x =1 hoặc x= 4 nên A = khi x =1 hoặc x =4 Vậy gtnn của A là 18) (a+ b + c)23(a2 + b2 + c2) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca3(a2 + b2 + c2) 2ab + 2bc + 2ca 2(a2+ b2 + c2) (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 0 19) 20) (ab + cd)2 = a2b2 + 2abcd + c2d2 a2b2 + a2d2 + b2c2 +c2d2 = (a2 + c2)(b2 + d2) a)(x + y)2 = (x.1 + y.1)2 (x2 + y2)(12 + 12) = 1.2 = 2 Cách khác: (x + y)2 = x 2+y2 +2xy≤2(x 2+y2)=2 nên b)152 = (4x -3y)2 (x2 + y2)[ 42 + (-3)2] = 25(x2 + y2) x2 + y2 9 Cách khác : Vì 4x-3y=15 nên y= 4x/3-5. Do đó x2 + y2= x2 + (4x/3-5)2= x2 + 16x2/9-40x/3+25 = 25x2/9 – 40x/3+25= (5x/3-4)2 + 9 9.