Bài tập Bất phương trình

GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN BÀI TP BT PHuchoaNG TRÌNH I -- BT PHuchoaNG TRÌNH A THuchoasacC A - LÝ THUYT Phương pháp giải : • Vân dụng ñịnh lí dấu tam thức bậc 2(ñịnh lí ñảo dấu tam thức bậc 2 ) • Tính chất của hàm số bậc nhất và bậc 2 B - BÀI TP Bài 1: Tìm a ñể bất pt : ax 4 0+ > ñúng với mọi x thỏa mãn ñiều kiện 4x < Bài giải : ðặt f(x) = ax +4 Ta có : ( )4;4( ) ax 4 0 ∈ −= + > ∀xf x ( 4) 0 4 4 0 1 (4) 0 4 4 0 1 − ≥ − + ≥ ≤   ⇔ ⇔ ⇔  ≥ + ≥ ≥ −   f a a f a a Vậy giá trị cần tìm là : 1 1a− ≤ ≤ Bài 2: Cho bpt : 2 2( 4) ( 2) 1 0m x m x− + − + < (1) 1) Tìm m ñể bpt vô nghiệm 2) Tìm m ñể bpt có nghiệm x = 1 Bài giải : 1) TH1: 2 2 4 0 2 m m m = − − = ⇔  = • Với m = -2 : 1(1) 4 1 0 2 4 x x m⇔ − + ⇒ = − (ktm) • Với m = 2 : (1) 1 0⇔ < vô nghiệm 2⇒ =m thỏa mãn . TH2: 2m ≠ ± (1) vô nghiệm 2 2( 4) ( 2) 1 0,⇔ − + − + ≥ ∀xm x m x 2 2 2 4 0 2 2 ( 2)(3 10) 0( 2) 4( 4) 0  − >  ⇔ ⇔  − + ≥∆ = − − − ≤  m m m m mm m 2 2 10 310 2 23   ≤ − ⇔ ⇔ − ≤ ∪ ≥ >  m m m m m m Từ 2 trường hợp trên ta thấy giá trị cần tìm là : 10 2 3 m m≤ − ∪ ≥ 2) Bất phương trình (1) có một nghiệm x = 1 2 2 1 21 1 21( 4).1 ( 2).1 1 0 5 0 2 2 − − − + ⇔ − + − + < ⇔ + − < ⇔ < <m m m m m Bài 3: ðịnh m ñể bpt : 2 22 1 0x x m− + − ≤ (1) thỏa mãn 1;2  ∈∀x Bài giải: Cách 1 : GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 2 2(1) 2 1 (2)⇔ − ≤ −x x m Xét f(x) = x2 – 2x trên [1;2] (2) thỏa mãn với mọi x thuộc [1;2] khi và chỉ khi Max f(x) 2 1m≤ − (3) Lập bảng bt của f(x) suy ra Maxf(x) = 0: Vậy (3) 2 10 1 1 m m m ≤ − ≤ − ⇔  ≥ Cách 2 : ðặt f(x) = x2 – 2x + 1 – m2, Ta có : f(x) 0≤ [ ]1;2x∈∀ 2 2 2 1. (1) 0 1 2.1 1 0 1 1 0 1. (2) 0 14 2.2 1 0 ≤ − + − ≤ ≤ −  ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ⇔  ≤ ≥ − + − ≤  f m m mf mm Bài 4: Với giá trị nào của a thì bất pt sau nghiệm ñúng với mọi giá trị của x : 2 2( 4 3)( 4 6) (1)x x x x a+ + + + ≥ Bài giải : ðặt : 2 24 3 4 6 3t x x x x t= + + ⇒ + + = + Ta có: 2( 2) 1 1 1 ( 3) (3)= + − ≥ − ⇒ ≥ − ⇔ + ≥t x t t t a Xét hàm số : f(t) = 2 3 , ( 1)t t t+ ≥ − (3) inf ( )M t a⇔ ≥ Lập bảng biến thiên của f(t): Suy ra Mìn(t) = -2 Vậy (3) 2a ≤ − Bài 5: Tìm m ñể bất phương trình sau ñúng với mọi x: 2 2 23 2(1) 1 x mx x x + − − ≤ ≤ − + Bài giải : Ta có : 2 1 0, xx x− + > ∀ Do ñó (1) 2 2 2 2 2 2 3( 1) 2 4 ( 3) 1 0(2) 2 2( 1) ( 2) 4 0(3)  − − + ≤ + − + − + ≥  ⇔ ⇔  + − ≤ − + − + + ≥   x x x mx x m x x mx x x x m x (1) ñúng với mọi x 2 (2) 2 (3) ( 3) 16 0 1 7 1 2 6 2( 2) 16 0 ∆ = − − ≤ − ≤ ≤ ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤  − ≤ ≤∆ = + − ≤  m m m mm BÀI TP V NHÀ Bài 1: Tìm m ñể bpt sau nghiệm ñúng với mọi x thỏa mãn ñiều kiên : 2 1x− ≤ ≤ 2 ( 1) 2( 1) 0m x m x x+ + − − > (1) Bài giải : 2(1) ( 2) 2 0(2)m m x m⇔ + − + + > ðặt f(x) = (m2 + m – 2 )x + m + 2 Bài toán thỏa mãn: 2 2 2 2 3( 2) 0 ( 2)( 2) 2 0 2 6 0 2 3 02(1) 0 2( 2)(1) 2 0 2 0 2 0  − > + − − + + > − − + > − < <    ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < <    > + − + + > + >      f m m m m m m mf m m m m m m m Bài 2: Tìm m ñể bpt sau nghiệm ñúng với mọi x : 2 22 1 0x x m− + − > Bài giải : GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN Do a = 1 > 0 Vậy bài toán thỏa mãn: 2 2 2' 1 1 0 2 0 2  < − ⇔ ∆ = − + < ⇔ − < ⇔  > m m m m Bài 3: Tìm a nhỏ nhất ñể bpt sau thỏa mãn [ ]0;1x∈∀ : 2 2 2( 1) ( 1)a x x x x+ − ≤ + + (1) Bài giải : ðăt : 2 1t x x= + + = f(x) Lập bbt f(x) trên [0;1] Suy ra f(x) 1 3t⇒ ≤ ≤ 2 2 1;3 1;3(1) ( 2) 2 0 (2)      ∈ ∈⇔ − ≤ ∀ ⇔ − + ≥ ∀t ta t t t at a ðặt f(t) = t2 – at + 2a 2 8 0 2 8 0 (2) 1. (1) 0 1 9 1 2 2 2 8 0 1. (3) 0 3 2 2                      ∆ = − ≤ ∆ = − > ⇔ ≥ ⇔ − ≤ ≤ − = < ∆ = − > ≥ − = > a a a a f a b a a a a f b a a Suy ra a cần tìm là : a = -1 BÀI TP TUYN SINH Bài 1:Tìm a ñể hai bpt sau tương ñương :( a-1).x – a + 3 > 0 (1) và (a+1).x – a + 2 >0 (2) Bài giải : TH1: a = 1± thay trực tiếp vào (1) và (2) thấy không tương ñương. TH2: a > 1 : 1 2 3 2(1) ; (2) 1 1 − − ⇔ > = ⇔ > = − + a a x x x x a a (1) 1 2(2) 5x x a⇔ ⇔ = ⇔ = TH3: a < -1 : 1 2 (1) (2) x x x x ⇔ < ⇔ < ðể 1 2(1) (2) 5x x a⇔ ⇔ = ⇔ = ( loại) TH4: -1 < a < 1 : (1) Và (2) không tương ñương Kết luận :a = 5 thỏa mãn bài toán . Bài 2: (ðHLHN): Cho f(x) = 2x2 + x -2 . Giải BPT f[f(x)] < x (1) Bài giải : Vì f[f(x)] – x = f[f(x)] – f(x) +f(x) – x = [2f2(x) + f(x) -2] – (2x2 + x – 2) + f(x) – x = = 2[f2(x) – x2 ] + 2 [f(x) – x ] = 2 [f(x) – x ][f(x) + x +1] = 2(2x2 – 2)( 2x2 +2x-1) GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN Vậy (1) 2 2 1 3 1 22(2 2)(2 2 1) 0 1 3 1 2  − − < < − ⇔ − + − < ⇔  − + < <  x x x x x Bài 3: (ðHKD-2009). Tìm m ñể ñường thẳng (d) : y = -2x + m cắt ñường cong (C): y = 2 1x x x + − tại 2 ñiểm pb A ,B sao cho trung ñiểm I của ñoạn AB thuộc oy Bài giải : Xét pt hoành ñộ : 2 12 (1)x xx m x + − − + = ðể (d) cắt (C) tại 2 ñiểm pb (1)⇔ có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 0 2(1) 3 (1 ) 1 0 ( )x m x f x⇔ + − − = = Do a .c = -3 <0 ,f(0) = -1 Vậy (1) luôn có 2 nghiệm phân biêt khác 0 . ðể I thuộc oy 1 2 10 0 1 2 6 x x m m + − ⇔ = ⇔ = ⇔ = Bài 4: Tìm m ñể (d) : y = -x + m cắt (C )y = 2 1x x − tại 2 ñiểm pb A,B sao cho AB = 4. Bài giải : Xét pt hoành ñộ : 2 1x x m x − − + = (1) ðể (d) cắt (C ) tại 2 ñiểm pb (1)⇔ có 2 nghiệm pb khác 0 22 1 ( ) 0x mx f x⇔ − − = = có 2 nghiệm pb khác 0. Do a.c = -2 < 0 , f(0) = -1 Vậy (1) luôn có 2 nghiệm pb x1 , x2 khác 0. ðể AB = 4 2 2 22 1 2 116 ( ) ( ) 16AB x x y y⇔ = ⇔ − + − = 2 2 2 2 1 2 1 1 2 12( ) 16 2 ( ) 4 2( 4.( )) 16 2 6 4 2  ⇔ − = ⇔ + − = − − = ⇔ = ±  m x x x x x x m GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN II -- BT PHuchoaNG TRÌNH CHuchoasacA TR TUYT  I A - LÝ THUT 1. 2. 3. ( )( ) 0 A B B A B A B A B A B A B A B A B < ⇔ − < < > > ⇔  < − > ⇔ − + > Các tính chất : , , 1. 2. . 0 3. , 4. ( ). 0 A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B B + ≤ + ∀ + < + ⇔ < − ≥ − ∀ − > − ⇔ − > B - BÀI TP Bài 1:Giải các bpt sau : 2 2 2 2 2 1) 2 3 3 3 2) 3 2 2 5 43) 2 5 7 4 4) 1 4 − − ≤ − − + + > − + + > − ≤ − x x x x x x x x x x x x Bài giải : 2 2 2 2 2 3 3 3 6 0 3 2(1) 2 5 0 52 3 3 3 5 0  − − ≥ − + + − ≥ ≤ − ∪ ≥  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤   ≤ ≤ − − ≤ − − ≤    x x x x x x x x xx x x x x 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 5 2 0(2) 3 2 2 2 03 2 2 1 12 2 2 2 2  − + > −  − + > ⇔ − + > − ⇔ ⇔  − > − + < −    < ⇔ ⇔   > >  x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN [ ][ ]2 2 2 2(3) (2 5) (7 4 ) (2 5) (7 4 ) 0 (2 5) (7 4 ) (2 5) (7 4 ) 0 1(12 2 )(6 2) 0 (6 )(3 1) 0 6 3 ⇔ + > − ⇔ + − − > ⇔ + + − + − − > ⇔ − − > ⇔ − − > ⇔ < < x x x x x x x x x x x x x (4). ðk: x 2≠ ± 2 2 2 2 2 2 2(4) 5 4 4 ( 5 4) ( 4) (8 5 )(2 5 ) 0 80 5 5 2 ⇔ − + ≤ − ⇔ − + ≤ − ⇔ − − ≤  ≤ ≤ ⇔   ≥  x x x x x x x x x x x Bài 2:Giải các bpt sau : 2 2 2 2 4 3 1) 1 2) 1 2 8 5 − + ≥ − ≤ − + + − x x x x x x x Bài giải: 1) Bảng xét dấu : x −∞ 0 +∞ 4 5 X2 – 4x + - + + X - 5 - - - + +) Xét : 0 4 5 x x <  ≤ < 2 2 2 4 3 3 2 2(1) 1 0 5 5 3 − + + ⇔ ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ − − + − + x x x x x x x x (do 2 5 0, x Rx x ∈− + > ∀ ) +) Xét : 0 4x≤ < : 2 2 2 4 3 1(1) 1 2 5 2 0 2 5 2 − + + ⇔ ≥ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤ − + x x x x x x x +) Xét : 5x ≥ : 2 2 2 4 3 5 8 1 21 8 1 21(1) 1 0 5 5 2 5 2 − + − − − − + ⇔ ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ∪ ≤ ≤ + − + − x x x x x x x x x (ktm) Vậy nghiệm bpt là : 2 3 1 2 2 x x − ≤   ≤ ≤  2. ðặt t = , 0x t ≥ : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 7 02 8 1 9(2) 1 2 8 9 21 2 8 2  − + ≥− + − ≤ −  ⇔ − ≤ − + ⇔ ⇔ ⇔ ≤  ≤− ≤ − +   t tt t t t t t t tt t t Vì 9 9 9 90 0 2 2 2 2 ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤t x x Bài 3: Giải và biện luận bpt sau : 2 23 4 (1)x x m x x m− − ≤ − + Bài giải: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 22 2 2(1) 3 4 2 7 2 0 2 7 2 0⇔ − − ≤ − + ⇔ − − ≤ ⇔ − − ≤x x m x x m x x x m x x x m GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN Ta có : 7(2 7)( 2 ) 0 2 0 2 x x x m x m x x− − = ⇔ = ∪ = ∪ = +) Nếu 2m < 0 : Có trục xác ñịnh dấu: Kết luận : 2 70 2 x m x ≤   ≤ ≤  +) Nếu 2m = 0 Kết luận: 7 2 x ≤ +) Nếu 7 70 2 0 2 4 m m< < ⇔ < < Kết luận: 0 72 2 x m x ≤   ≤ ≤  +) Nếu 2m = 7 2 7 4 m⇔ = Kết luận: 0 7 2 x x ≤   =  +) Nếu 7 72 2 4 m m> ⇔ > Kết luận: 0 7 2 2 x x m ≤   ≤ ≤  B - BÀI TP V NHÀ Bài 1: Giải các bpt sau : 2 2 2 2 1) 1 2 2) 1 4 2 1 3) 2 2 2 2 4) 3 3 9 2 − < − ≥ + + − ≤ − − − − > − x x x x x x x x x x x Bài giải : Kết quả : 1.) 1 2 1 2x− + < < + 2.) 0 1 x x ≤  ≥ 3.) 2 0 1 x x = −  ≤ ≤ 4.) GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 2 2 2 2 2 3 9 2 3 3 3 9 2 3 3 9 2 4 19 3 8 1 0 3 3 10 5 0 4 19 3 − + − < − ⇔ − < − + ⇔  − < − +  −  ⇔ ⇔  − +   x x x x x x x x x x x x x x x Bài 2: Giải các bpt sau : 2 2 4 21) 1 2 3 2) 1 1 3) ( 3)( 1) 5 ( 1) 11 ≤ − − ≤ + + − − ≤ + − x x x x x x x Bài giải : 1.ðặt : 2 , 0x t t= > . Ta ñược : 2 2 2 2 2 2 02 21 2 0 1 2 2 0  − ≤ − + − ≤ −≤ − ⇔ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ⇔ ⇔ < ≤  − ≥ − + ≤  t t t tt t t t t t t t t t t t Vậy 2 1 1 0 1 0 x x x − ≤ ≤ < ≤ ⇔  ≠ 2.ðk : 1x ≠ − TH1 : 0≥x 2 2 2 2 3(2) 1 2 3 1 (2 3 ) (1 ) 1 1 38 14 3 0 4 2 − ⇔ ≤ ⇔ − ≤ + ⇔ − ≤ + + ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤ x x x x x x x x x (tm) TH2: 0 1 x x <  ≠ − 2 2 2 2 3(2) 1 2 3 1 (2 3 ) (1 ) 1 3 18 10 3 0 4 2 + ⇔ ≤ ⇔ + ≤ + ⇔ + ≤ + + ⇔ + + ≤ ⇔ − ≤ ≤ − x x x x x x x x x ( tm ) 3. 2 4 2 4(3) 2 3 5 ( 1) 11 ( 1) 9 ( 1) 11⇔ + − − ≤ + − ⇔ + − ≤ + −x x x x x ðặt : 2( 1) , 0t x t= + ≥ . Ta ñược : 2 2 2 2 2 9 11 2 0 9 11 11 9 20 0 1 2 5 5 4 4  − ≤ − − − ≥  − ≤ − ⇔ ⇔  − + ≤ − + − ≥   ≤ − ∪ ≥ ≤ −  ⇔ ⇔ ≤ − ∪ ≥ ≥  t t t t t t t t t t t t t t t t Vậy 4t ≥ ( tm ) 2 1( 1) 4 ( 1)( 3) 0 3 ≥ ⇔ + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔  ≤ − x x x x x Bài 3: Giải và biện luận bpt sau theo tham số m. 2 22 3x x m x x m− + ≤ − − GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN Bài giải : ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 (3) 2 3 2 (2 5 ) 0 (2 5)( 2 ) 0 ⇔ − + ≤ − − ⇔ + − ≤ ⇔ + + ≤ x x m x x m x m x x x x x m Nếu : 5 52 2 4 m m− thì 2 (3) 5 0 2 x m x ≤ − ⇔  − ≤ ≤  Nếu : 5 52 2 4 m m− = − ⇔ = thì (3) 0x⇔ ≤ Nếu 5 52 0 0 2 4 m m− < − < ⇔ < < thì 5 (3) 2 2 0 x m x  ≤ −⇔  − ≤ ≤ Nếu 2 0 0m m− = ⇔ = thì 5(3) 2 x⇔ ≤ − Nếu m < 0: thì 0 2 5 2 x m x ≤ ≤ −   ≤ −  Kết luận : Bài 4: Với giá trị nào của m thì bpt sau thỏa mãn với mọi x : 2 2 2 2 0x mx x m− + − + > Bài giải : 2 2(4) ( ) 2 2 0x m x m m⇔ − + − + − > ðặt : , 0x m t t− = ≥ Ta ñược : t2 + 2t + 2 – m2 > 0 (5) ðể tmbt 2 2 0( ) 2 2 tf t t t m ≥⇔ = + > − ∀ 2inf( ) 2(6)M t m⇔ > − Lập bbt của f(t) : Suy ra Minf(t) = 0 : Vậy 2(6) 0 2 2 2m m⇔ > − ⇔ − < < Bài 5: Với giá trị nào thì bpt sau có nghiệm: 2 22 1 0x x m m m+ − + + − ≤ Bài giải : 2 2 2 2 2( ) 1 0( ) (5) 2( ) 1 0( ) x x m m m I x m x x m m m II x m  + − + + − ≤  ≥⇔  − − + + − ≤  < (5) có nghiệm khi và chỉ khi (I) có nghiệm Hoặc (II) có nghiệm: 2 2( ) 2 ( ) 1 x m I x x f x m m ≥ ⇔  + = ≤ − + + Có f(m) = m2 + 2m (I) có nghiệm 2 2 2 11 2 2 1 0 1 2 ⇔ − + ≥ + ⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ ≤m m m m m m m GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN (II) 2 22 ( ) 3 1 x m x x g x m m < ⇔  − = ≤ − − + (II) có nghiệm 2 2 2 12 3 1 2 1 0 1 2 ⇔ − < − − + ⇔ + − < ⇔ − < <m m m m m m m Kết luận : 11 2 m− ≤ ≤ Cách 2: ðặt : 0t x m= − ≥ ,phải tìm m ñể f(t) = 2 2 2 1 0t t mx m+ + + − ≤ có nghiệm 0t ≥ .Parabol y = f(t) quay bề lõm lên trên và có hoành ñộ ñỉnh là t = -1< 0 nên phải có f(0) = 2mx + m - 1 0≤ .Khi t = 0 thì x = m suy ra 2 12 1 0 1 2 m m m+ − ≤ ⇔ − ≤ ≤ Bài 6: Tìm a ñể với mọi x : 2( ) ( 2) 2. 3= − + − ≥f x x x a Bài giải : Bài toán thỏa mãn : 2 2 2 1 2 ( ) 0 (2) 6 1 2 ( ) 0 (3) x a x a x x a f x x x a g x ≥ <  − + − = ≥ ∀ ⇔  − + + = ≥ ∀ 2 ' 0 0 0' 0(2) 1. ( ) 0 4 1 0 2 3 11 2 a a o a f a a a a b a a ∆ ≤  ≤    > ≤ ∆ > ⇔ ⇔ ⇔   ≥ − + ≥ ≥ +     < − < (3) 2 ' 0 8 2 0 8 2 0 4' 0 1. ( ) 0 4 1 0 2 3 3 2 a a a g a a a a b a a a ∆ ≤  − ≤    − > ≥ ∆ > ⇔ ⇔ ⇔   ≥ − + ≥ ≤ −     <  < − Vậy ñể thỏa mãn bài toán : 0 4 a a ≤  ≥ Bài 7: Tìm a ñể bpt:Ax + 4 > 0 (1) ñúng với mọi giá trị của x thỏa mãn ñiều kiện 4x < Bài giải : Nhận thấy trong hệ tọa ñộ xoy thì y = ax + 4 với -4 0 ( 4) 0 1 1 1(4) 0 1 y a a y a − ≥ ≥ −  ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤ ≥ ≤  Bài 8: Tìm a ñể bpt sau nghiệm ñúng với mọi x : 2 2( 4 3)( 4 6)x x x x a+ + + + ≥ Bài giải : ðặt : 2 24 3 ( 2) 1 1 1= + + = + − ≥ − ⇒ ≥ −t x x x t Bài toán thỏa mãn : 1( 3) ( ) tt t f t a ≥−⇔ + = ≥ ∀ Xét f(t) với t 1≥ − Suy ra Min f(t) = -2 Vậy bài toán thõa mãn 2a⇔ ≤ − GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN III — BT PHuchoaNG TRÌNH CHuchoasacA C"N THÚC A — LÝ THUYT Phương pháp 1: Sử dụng phép biến ñổi tương ñương : GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 2 2 2 2 0 1. 0 0 2. 0 00 3. 0 00 4. 0 A A B B A B A A B B A B BB A B A A B BB A B A A B  ≥    <  ≥ ≤ ⇔ ≥  ≤ ≥<  > ⇔ ∪ ≥ >  >≤  ≥ ⇔ ∪ ≥ ≥  Bài 1: Giải các bpt sau : 2 2 1) 3 2 1 2) 1 3 3) 3 2 4 3 4) 3 4 1 − < − − + ≤ + − > − + − ≥ + x x x x x x x x x x Bài giải : 1. 2 2 1 2 1 0 2 3 0 3 3 3 (2 1) 4 5 4 0  > − >  ⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥    −    x x x x x x x x x 2. 2 2 2 1 0 83 0 7 1 ( 3) x x x x x x x  − + ≥  ⇔ + ≥ ⇔ ≥ −  − + ≤ + 3. 2 2 3 4 3 04 3 0 23 4 1 3 2 0 3 33 2 (4 3) 1 4  ≤ < − ≥− <  ⇔ ∪ ⇔ ⇔ ≤ <  − ≥ − > −  ≤ <  x xx x x x x x 4. 2 2 2 1 0 4 3 4 0 3 1 0 1 41 43 4 ( 1) x x x x x x x x x  + ≤  ≤ −+ − ≥ ⇔ ⇔ + > +  ≥  + − ≥ + Bài 2: Giải các bpt sau : 2 2 2 1) 1 2( 1) 2) ( 5)(3 4) 4( 1) 3) 2 3 5 2 4) ( 3) 4 9 + ≥ − + + > − + − − < − − − ≤ − x x x x x x x x x x x Bài giải : GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 1. 2 2 2 2 2( 1) 0 1 1 1 1 0 1 1 3 2( 1) ( 1) 2 3 0  − ≥ ≤ − ∪ ≥ = −  ⇔ + ≥ ⇔ ≥ − ⇔   ≤ ≤  − ≤ + − − ≤ x x x x x x x x x x x . 2. 2 2 14( 1) 0 54( 5)(3 4) 0 5 43 1 31 0 1 1 4( 5)(3 4) 16( 1) 13 51 4 0  <  − <  ≤ −   + + ≥ ≤ − ∪ ≥ −  ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ < − ≥   ≥  ≤ −  − − < x x x x x x x x x x xx x x x x Kết luận : 45 4 5 x x≤ − ∪ − ≤ < 3. ðk: 2 0 53 0 2 2 5 2 0 x x x x + ≥  − ≥ ⇔ − ≤ ≤  − ≥ 25 2 3 2 2 11 15 2 3Bat phuong trinh ⇔ − + − > + ⇔ − + > −x x x x x x (*) +) Xét : 32 2 x− ≤ < (*) luôn ñúng. +) Xét : 3 5 2 2 x≤ ≤ 2 2 2 3; (*) 2 11 15 (2 3) 2 6 0 2 2 ⇔ − + > − ⇔ − − < ⇔ − < <x x x x x x Do 3 5 2 2 x≤ ≤ nên nghiệm của bpt là : 3 2 2 x≤ < Kết luận : 2 2x− ≤ < 4. ðk: 2 4 0 2 2x x x− ≥ ⇔ ≤ − ∪ ≥ Nhận xét x = 3 là nghiệm bpt . +) Xét x > 3: ( )22 2 13 4 3 4 3 6 Bat phuong trinh ⇔ − ≤ + ⇔ − ≤ + ⇔ ≥ −x x x x x Suy ra x > 3 là nghiệm bpt +) Xét : 2 2 3x x≤ − ∪ ≤ < ( ) 2 22 2 3 03 0 4 3 4 0 4 3 33 3 13 132 2 6 13 0 63 6 Bat phuong trinh + >+ ≤  ⇔ − ≥ + ⇔ ∪  − ≥ − ≥ +  ≤ −≤ − > −  ⇔ ∪ ⇔ ⇔ ≤ −  ≤ − ≥ + ≤ − < ≤ −   ∪ xx x x x x x x x x x x x x x Vậy kêt luận : 13 6 3 x x  ≤ −  ≥ BÀI TP V NHÀ Bài 1: Giải các bpt sau : GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 2 2 1) 2 1 8 2) 2 6 1 2 0 3) 6 5 8 2 4) 3 2 8 7 5) 2 1 − ≤ − − + − + > − + − > − + ≥ − + − + − + < x x x x x x x x x x x x x x Bài giải : 1. 2 2 88 0 1 1(1) 2 1 0 5 2 2 2 1 (8 ) 18 65 0 ≤  − ≥    ⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤ ≤    − ≤ −  − + ≥ x x x x x x x x x 2. ( ) ( )2 222 2 2 02 0(2) 2 6 1 2 2 6 1 22 6 1 0 2 3 7 2 3 7 32 22 3 0 3 7 2 − ≥ − <  ⇔ − + > − ⇔ ∪  − + > −− + ≥  <   − ≥ − ≤⇔ ∪ ⇔ ≤ ∪ >  − − > + ≥  xx x x x x x xx x x xx x x x x x 3. Tương tự : 3 5x< ≤ 4. ðk: 3 0 2 8 0 4 7 7 0 x x x x + ≥  − ≥ ⇔ ≤ ≤  − ≥ ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 (4) 3 2 8 7 3 1 2 2 8 7 2 2 8 7 5 4 2 22 56 11 30 0 6 ⇔ + ≥ − + − ⇔ ≥ − + − − ⇔ ≥ − − ≤ ⇔ ≥ − + − ⇔ − + ≥ ⇔  ≥ x x x x x x x x x x x x x Kết luận : 4 5 6 7 x x ≤ ≤  ≤ ≤ 5. ðkiện : 2 0 1 0 0 0 x x x x + ≥  + ≥ ⇔ ≥  ≥ ( )2 (5) 2 1 2 2 1 2 ( 1) 1 2 ( 1) 3 2 3 3 2 3 1 01 3 3 1 0 1 4 ( 1) 3 2 3 3 2 31 3 3 ⇔ + < + + ⇔ + < + + + ⇔ − < +  + + < − < −  − ≥ − ∪ ⇔ ≥  − < + − + − +  < ≤ <    x x x x x x x x x x x xxx o x x x x x x x GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN Kết luận : 3 2 3 3 x − + > Bài 2: Giải các bpt sau : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1) ( 3 ). 2 3 2 0 22) 21 3) 4 3 9 2 1 1 − − − ≥ − − + + + x x x x x x x x x x Bài giải : 1. 2 2 2 122 3 2 0 21(1) 22 3 2 0 2 33 0 1 2 2 0 3      = ≤ −  − − =   ⇔ ⇔ = − ⇔ = − − >    ≥ − ≥     ≤ ∪ ≥ x x x x x xx x xx x x x x x 2. ðk : 99 2 0 2 3 9 2 0 0 x x x x + ≥ ≥ −  ⇔  − + ≠  ≠ Khi ñó : ( )22 2 2 3 9 2 7(2) 21 9 2 4 4 2 + + ⇔ < + ⇔ + < ⇔ < x x x x x x Kết luận : 9 7 2 2 0 x x  − ≤ <   ≠ 3. ðk: 1 0 1x x+ ≥ ⇔ ≥ − Nhận xét : x = 0 là nghiệm của bpt +) Xét 0x ≠ : ( ) ( ) 22 2 2 1 1 (3) 4 1 1 4 2 2 1 4 1 3 1 9 8 − + ⇔ > − ⇔ − + > − ⇔ − + > − ⇔ + < ⇔ + < ⇔ < x x x x x x x x x x Kết luận : 1 8x− ≤ < Chú ý : Dạng ( ) 0 ( ). ( ) 0 ) ) 0 ( ) 0  =  ≥ ⇔ >  ≥ g x f x g x g x f x GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN Bài 3: Giải bpt sau : 23 4 2 2− + + + <x x x Bài giải : ðk : 41 3 0 x x  − ≤ ≤   ≠ : +) Xét : 40 3 x< ≤ : 2 23 4 2 2 3 4 2 2Bpt − + + +⇔ < ⇔ − + + < −x x x x x x ( )2 22 2 2 0 1 9 77 9 03 4 2 2 − ≥ ≥ ⇔ ⇔ ⇔ >  − >− + + < −  x x x x xx x x Vậy bpt có nghiệm : 9 4 7 3 x< ≤ +) Xét: 1 0 :x− ≤ < bpt luôn ñúng Kết luận nghiệm của bpt: 1 0 9 4 7 3 x x − ≤ <   < ≤  Bài 4: 2 2 2 2 2 2 2 1) 3 2 4 3 2 5 4 2) 8 15 2 15 4 18 18 3) 1 1 2 4 − + + − + ≥ − + − + + + − ≤ − + + + − ≤ − x x x x x x x x x x x x x x x Bài giải : 1. ðk: 2 2 2 3 2 0 4 3 0 1 4 5 4 0 x x x x x x x x  − + ≥  − + ≥ ⇔ ≤ ∪ ≥  − + ≥ ( )( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 1 3 2 1 4Bpt ⇔ − − + − − ≥ − −x x x x x x (*) Nhận xét x = 1 là nghiệm +) Xét x <1 : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )(*) 1 2 1 3 2 1 4 2 3 2 4⇔ − − + − − ≥ − − − + − ≥ −x x x x x x x x x Ta có : 12 3 4 4 2 4 , <− + − < − + − = − ∀xx x x x x Suy ra x < 1 bpt vô nghiệm . +) Xét : 4 :x ≥ (*) 2 3 2 4⇔ − + − ≥ −x x x Ta có : 42 3 4 4 2 4, ≥− + − ≥ − + − = − ∀xx x x x x Suy ra : 4 :x ≥ , bất pt luôn ñúng . Vậy nghiệm của bpt là : 1 4 x x =  ≥ 2. GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN ðiều kiện: 2 2 2 8 15 0 3 2 15 0 5 5 4 18 18 0 x x x x x x x x x  − + ≥ =  + − ≥ ⇔  ≤ − ∪ ≥ − + ≥ ( )( ) ( )( )5 3 5 3 (4 6)( 3)Bpt ⇔ − − + + − ≤ − −x x x x x x (*) Nhận xét x = 3 là nghiệm của bpt +) Xét : 5x ≤ − ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )22 2 2 (*) 5 3 5 3 6 4 3 5 5 6 4 175 5 2 25 6 4 25 3 25 3 3 ⇔ − − + − − − ≤ − − ⇔ − + − − ≤ − ⇔ − − − + − ≤ − ⇔ − ≤ − ⇔ − ≤ − ⇔ ≤ x x x x x x x x x x x x x x x x x x Suy ra : 5x ≤ − là nghiệm của bpt +) Xét : 5≥x 2 2 17(*) 5 5 4 6 5 5 2 25 4 6 25 3 3 ⇔ − + + ≤ − ⇔ − + + + − ≤ − ⇔ − ≤ − ⇔ ≤x x x x x x x x x x Suy ra : 175 3 x≤ ≤ là nghiệm của bpt . Kết luận : Nghiệm của bpt ñã cho là : 5 3 175 3 x x x   ≤ −  =  ≤ ≤  3. ðk: 1 0 1 1 1 0 x x x + ≥ ⇔ − ≤ ≤ − ≥ : Khi ñó : ( ) ( ) [ ] 4 4 2 2 2 2 42 2 1;1 1 1 2 1 4 1 2 1 1 0 16 16 1 1 0 16 Bpt ∈ − ⇔ + + − + − ≤ − + ⇔ − − − + + ≥ ⇔ − − + ≥ ∀ x x x x x x x x x x x Vậy nghiệm của bpt là : 1 1x− ≤ ≤ GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN PHuchoaNG PHÁP %T &N PHuhoanang Bài 1: Giải bpt sau : ( ) ( ) 21 4 5 5 28 (1)+ + < + +x x x x Bài giải : ðặt : 2 5 28, 0t x x t= + + > ( Do 2 5 28 0, )x Rx x ∈+ + > ∀ Khi ñó : 2 2(1) 24 5 5 24 0 0 8⇔ − 0 ) 2 20 5 28 8 5 36 0 9 4⇔ < + + < ⇔ + − < ⇔ − < <x x x x x Kết luận : -9 < x < 4 Bài 2: Giải bpt sau : 27 7 7 6 2 49 7 42 181 14 (1)+ + − + + − < −x x x x x Bài giải : ðk: 7 7 0 6 7 6 0 7 x x x + ≥ ⇔ ≥ − ≥ : ðặt : ( ) ( ) ( )( ) 2 2 7 7 7 6, 0 7 7 7 6 2 7 7 7 6 14 2 7 7 7 6 1 = + + − ≥ ⇒ = + + − + + − ⇒ + + − = − t x x t t x x x x x x x t Khi ñó : 2 2 2 2 (1) 7 7 7 6 14 2 49 7 42 181 1 181 182 0 0 13( 0) 7 7 7 6 13 6 12 649 7 42 84 7 67 76 ⇔ + + − + + + − < ⇔ + − < ⇔ + − < ⇔ ≤ < ≥ ⇔ + + − <  ≤ < ⇔ + − < − ⇔ ⇔ ≤ <  < x x x x x t t t t t t x x x x x x x x Kết luận : 6 6 7 x≤ < GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN Bài 3: Giải bpt sau : 3 13 2 7 (1) 22 + < + −x x xx ðk : x > 0: 1 1(1) 3 2 7(2) 42 x x xx     ⇔ + < + −      ðặt : 2 21 1 1 12 . 2 1 1 4 42 2 = + ≥ = ⇒ = + + ⇒ + = −t x x t x x t x xx x Khi ñó : ( )2 2 1(2) 3 2 1 7 2 3 9 0 3( 2) 3(3) 2 ⇔ ⇔ > ≥ + >t t t t t t x x ðặt : , 0= >u x u ( ) 21 3 7 3 73 3 2 6 1 0 0 2 2 2 3 7 3 7 8 3 7 8 3 70 0 2 2 2 2 − + ⇔ + > ⇔ − + > ⇔ − + − + ⇔ ⇔ u u u u u u x x x x Kết luận : 8 3 7 8 3 70 2 2 x x − + BÀI TP V NHÀ Bài 1: Giải các bpt sau : 2 2 2 2 2 2 1) 3 6 4 2 2 2) 2 4 3 3 2 1 3) 3 5 7 3 5 2 1 + + < − − + + − − > + + − + + ≥ x x x x x x x x x x x x Bài giải : 1.ðặt : 2 2 2 2 2 2 43 6 4, 0 3 6 4 3( 2 ) 4 2 3 − = + + ≥ ⇒ = + + = + + ⇒ + = tt x x t t x x x x x x Khi ñó : ( ) 2 2 241 2 3 10 0 0 2( 0) 0 3 6 4 2 3 − ⇔ < − ⇔ + − < ⇔ ≤ < ≥ ≤ + + <tt t t t t x x 2 2 23 6 4 4 ( 3 6 4 0) 3 6 0 2 0⇔ + + ⇔ + < ⇔ − < <x x do x x x x x 2.ðặt : 2 2 2 2 23 2 , 0 3 2 2 3= − − ≥ ⇒ = − − ⇒ + = −t x x t t x x x x t Khi ñó : ( ) ( )2 2 52 2 3 3 1 2 3 5 0 0 (do t 0)2⇔ − + > ⇔ − − < ⇔ ≤ < ≥t t t t t 2 2 3 150 3 2 3 1252 3 2 4 − ≤ ≤  ⇔ ≤ − − < ⇔ ⇔ − ≤ ≤ − − < x x x x x x 3. ðặt : 2 2 23 5 2, 0 3 5 2= + + ≥ ⇒ + = −t x x t x x t Ta ñược : ( )22 2 2 25 1 5 1 5 1 2 4 2 0 3 5 2 2+ − ≥ ⇔ + ≥ + ⇔ + ≥ + ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ + + ≤t t t t t t t t x x 2 2 2 2 113 5 2 0 3 2 113 5 2 4 2 3 33 − − ≤ ≤ −≤ − ∪ ≥  + + ≥  ⇔ ⇔ ⇔ −   ≤ ≤+ + ≤  − ≤ ≤  xx x x x xx x x Bài 2: Giải các bpt sau : GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 31) 2 1 2 1 2 5 12) 5 2 4 22 13) 2 3 1 + − + − − > + < + + + − > + x x x x x x xx x x x x Bài giải : 1. ( ) ( ) ( )2 2 31 1 1 1 1 2x x⇔ − + + − − > ðk : 1x ≥ : 3Bpt 1 1 1 1 2 ⇔ − + + − − >x x ðặt : 1, 0t x t= − ≥ Khi ñó : 31 1 (2) 2 3 3) 1: (2) 2 1 1 (do t 1) 2 2 4 3) 0 1: (2) 2 2 ⇔ + + − > + ≥ ⇔ > ⇔ > ⇔ − ≥ ≥ ⇔ ≥ + ≤ t t t t t x x t Vậy : 1 0 1 1 2 x x x ≥ ≤ − ≤ ⇔  ≤ Kết luận : 1x ≥ 2. ðk : x > 0. ( ) 1 12 5 2 4(3) 22 x x xx   ⇔ + < + +    ðặt : 21 1 12 . 2, 2 1 42 2 = + ≥ = ≥ ⇒ + = −t x x t x t xx x Khi ñó : ( ) ( )2 2 1 3 5 2 1 4 2 5 2 0 2 2  ⇔  > t t t t t t Do ñk: Ta có 1 2 2 4 1 0 2 + > ⇔ − + >x x x x ðặt : , 0u x u= > Ta ñược : 2u2 – 4u + 1> 0 2 2 2 2 3 2 20 0 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2    − − − < < < < <     ⇔ ⇔ ⇔   + + + > > >      u x x u x x 3. ðk: 1 0 :x x ðặt: 2 1 1 , 0 1 + = > ⇒ = + x x t t x