Bài tập chương 2 lớp 11

Chương 2. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT §1. HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN Phương pháp giải toán trong phép đếm B1. Phân tích và quản lí giả thiết Chẳng hạn có m cách chọn đối tượng a và n cách chọn đối tượng b, cần phân biệt: TH1: Bất kỳ cách chọn nào trong m cách chọn đối tượng a đều không trùng ( không phụ thuộc) với bất kỳ cách chọn nào đó trong n cách chọn đối tượng b => sử dụng quy tắc cộng m + n cách chọn thoả ycbt TH2: Bất kỳ cách chọn nào trong m cách chọn đối tượng a đều tương ứng ( phụ thuộc) vào bất kỳ cách chọn nào đó trong n cách chọn đối tượng b => sử dụng quy tắc nhân m.n cách chọn thoả ycbt TH3: Khi bài toán phép đếm phức tập, ta kết hợp cả hai quy tắc và ghi nhớ: Phải thực hiện quy tắc nhân trước và quy tắc cộng sau =>m1.n1 + m2.n2 cách chọn theo ycbt. B2. Thực hiên các phép tính cụ thể => ycbt Bài 1. Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ hai chữ số mà hai chữ số của nĩ đều chẵn ? HD: Gọi số tự nhiên cĩ hai chữ số đều chẵn cĩ dạng là , với và . Chọn a cĩ m1 = 4 cách chọn và chọn b cĩ m2 = 5 cách chọn . Cách chọn hai đối tượng a và b cĩ quan hệ phụ thuộc, nên ta cĩ: M = m1. m2 = 4.5 = 20 số thoả ycbt Bài 2. Cho tập nền . Cĩ thể lập được từ B: Bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau? Bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau? Bao nhiêu số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau ? HD: Gọi số gồm 4 chữ số khác nhau là ; khi đĩ chọn các đối tượng Chọn => cĩ m1 = 5 cách chọn Chọn => cĩ m2 = 4 cách chọn Chọn => cĩ m3 = 3 cách chọn Chọn => cĩ m4 = 2 cách chọn Để ý: Bốn cách chọn các đối tượng (a; b; c; d) ở trên cĩ quan hệ phụ thuộc, nên bài tốn giải theo quy tắc nhân. Vậy cĩ M = m1. m2. m3. m4 = 5.4.3.2 = 120 số thoả ycbt. Trên B các số chẵn thành lập được phải tận cùng là 2 hoặc 4. Xét các trường hợp sau: TH1. Dạng số cần tìm là . Khi đĩ chọn , chọn a cĩ 4 cách, chọn b cĩ 3 cách và c cĩ 2 cách chọn. Tương tự như trên cĩ M1 = 4.3.2 = 24 số chẵn tận cùng bằng 2. TH2. Dạng số cần tìm là . Khi đĩ chọn , chọn a cĩ 4 cách, chọn b cĩ 3 cách và c cĩ 2 cách chọn. Tương tự như trên cĩ M1 = 4.3.2 = 24 số chẵn tận cùng bằng 4. Cách chọn các đối tượng cĩ quan hệ độc lập nhau, nên ta kết hợp TH1 và TH2. Ta cĩ: M = M1 + M2 = 24 + 24 = 48 số thoả ycbt Ta đã cĩ: M = 120 số gồm bốn chữ số khác nhau trên B và M’ = 48 số gồm 4 chữ số chẵn khác nhau trên B, nên ta cĩ: M” = M – M’ = 120 – 48 = 72 số lẻ thoả ycbt.( Áp dụng cách giải câu b tương tự cho câu c, ta cũng cĩ kết quả 72 số ) Bài 3. Cho tập nền . Cĩ thể lập được từ B: Bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau? (Đs: 18 số thoả ycbt) Bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau? (Đs: 10 số thoả ycbt) Bao nhiêu số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau ? (Đs: 8 số thoả ycbt) HD: Áp dụng cách giải như bài 2, nhưng lưu ý : Chọn số cần tìm thì Bài 4. Mợt kết sắt cĩ 5 núm khố riêng biệt , mỗi núm khố đều cĩ vịng đánh số 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9. Một dãy 5 chữ số cho một cách mở két. Cĩ bao nhiêu phương án mở két khác nhau? HD: Gọi là một phương án mở kết tuỳ ý cần tìm. Để ý các đối tượng a,b,c,d,e cĩ số cách chọn như nhau ở từng ví trí thứ tự mà nĩ đứng và các cách chọn đối tượng này cĩ quan hệ phụ thuộc. Chọn cĩ 10 cách chọn, tương tư như vậy b,c,d,e đều cĩ 10 cách chọn. Như vậy số cần tìm là : M = 105 = 100000 phương án mở két. Bài 5. Cĩ bao nhiêu số gồm ba chữ số trong đĩ chỉ cĩ đúng chữ số 5 ? HD: Gọi số cần tìm cĩ dạng và . Để số thoả ycbt cĩ ba khả năng xảy ra: TH1. Các số cĩ dạng , khi đĩ ta cĩ 9 cách chọn b và 9 cách chọn b. Vậy cĩ 9.9 = 81 số dạng TH2. Các số cĩ dạng , khi đĩ ta cĩ 8 cách chọn a và 9 cách chọn c. Vậy cĩ 8.9 = 72 số dạng TH3. Các số cĩ dạng , khi đĩ ta cĩ 8 cách chọn a và 9 cách chọn b. Vậy cĩ 8.9 = 72 số dạng Tĩm lại ta cĩ: 81 + 72 + 72 = 225 số thoả ycbt. Bài 6. Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đơi một khác nhau ? HD: Gọi dạng số cần tìm là , Chọn cĩ m1 = 5 cách chọn Chọn cĩ m2 = 4 cách chọn Chọn cĩ m3 = 3 cách chọn Chọn cĩ m4 = 2 cách chọn Chọn cĩ m5 = 1 cách chọn Vậy cĩ M = m1.m2.m3.m4.m5 = 5.4.3.2.1 = 120 số thoả ycbt Bài 7. Cĩ bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau được tao nên từ các chữ số 3,5,7,8 ? HD: Gọi dạng số cần tìm là , . Chọn a cĩ 4 cách , chọn b cĩ 3 cách, chọn c cĩ 2 cách và chọn d cĩ 1 cách. Vậy cĩ 4.3.2.1 = 24 số thoả ycbt. Bài 8. Với 10 chữ số từ 0 đến 9, cĩ thể lập được bao nhiêu số chẵn cĩ 4 chử số mà các chữ số đĩ đều khác nhau? HD: Gọi 4 số cần tìm cĩ dạng , ;a4 chẵn nên . Khi đĩ ta chia bài tốn thành 5 trường hợp các số cĩ dạng: TH1: , chọn a1 cĩ 9 cách, chọn a2 cĩ 8 cách, chọn a3 cĩ 7 cách. Vậy cĩ 9.8.7 = 504 cách chọn số cĩ dạng . Tương tự như vậy cho các TH2, TH3, TH4, TH5 và cĩ cùng một kết quả: 448 cách chọn Vậy ta cĩ : 504 + 4.448 = 2296 cách chọn số thoả ycbt. Bài 9. Cho 8 chữ số 0;1;2;3;4;5;6;7. Từ 8 chữ số trên cĩ thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số đơi một khác nhau và khơng chia hết cho 10 ? HD: Gọi 4 số cần tìm cĩ dạng , .Trong đĩ và do bốn số khơng chia hết cho 10 nên . Chọn cĩ 7 cách chọn, chọn cĩ 6 cách chọn, chọn cĩ 6 cách chọn, chọn cĩ 5 cách chọn. Vậy cĩ : 7.6.6.5 = 1260 cách chọn số thoả ycbt. Bài 10. Từ 5 chữ số 0;1;3;5;7 cĩ thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau và khơng chia hết cho 5? HD: Gọi 4 số cần tìm cĩ dạng , .Trong đĩ và do bốn số khơng chia hết cho 5 nên . Chọn cĩ 3 cách chọn, chọn cĩ 3 cách chọn, chọn cĩ 3 cách chọn, chọn cĩ 2 cách chọn. Vậy cĩ : 3.3.3.2 = 54 cách chọn số thoả ycbt. Bài 11. Cĩ bao nhiêu số chẵn gồm 6 số khác nhau đơi một trong đĩ chữ số đầu tiên là chữ số lẻ ? HD: Gọi số cĩ 6 chữ số cần tìm cĩ dạng: , , trong đĩ . Do chữ số đầu tiên là số lẻ nên và vì lá số chẵn nên . Khi đĩ: Chọn a1 cĩ 5 cách chọn, chọn a6 cĩ 5 cách chọn, chọn a2 cĩ 8 cách chọn, chọn a3 cĩ 7 cách chọn, chọn a4 cĩ 6 cách chọn và chọn a5 cĩ 5 cách chọn. Vậy ta cĩ: 5.5.8.7.6.5 = 42000 số chọn thoả ycbt. Bài 12. Cho 5 chữ số 0;1;2;3;4. Từ 5 chữ số đĩ cĩ thể lập đượcbao nhiêu số chẵn cĩ 5 chữ số sao cho trong mỗi chữ số đĩ, mỗi chữ số trên cĩ mặt đúng một lần ? HD: Gọi số cần tìm cĩ dạng là , ( và e là số chẵn nên . Khi đĩ ta xét 3 trường hợp của e. TH1. Số cĩ dạng . Chọn thì ta cĩ: 4.3.2.1 = 24 số chẵn dạng TH2. Số cĩ dạng , cĩ 2 cách chọn, chọn cĩ 3 cách chọn, chọn cĩ 3 cách chọn, chọn cĩ 2 cách chọn và chọn cĩ 1 cách chọn. Vậy: 2.3.3.2.1 = 36. Vậy cĩ: 24 + 36 = 60 số thoả ycbt Bài 13. Một trường tiểu học cĩ 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, trong đĩ cĩ bốn cặp anh em sinh đơi. Nhà trường cần chọn một nhĩm 3 học sinh trong 50 học sinh trên dự Đại hội cháu ngoan Bác Hồ sao cho trong nhĩm khơng cĩ cặp anh em sinh đơi nào. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn ? HD: Một nhĩm 3 học sinh sao cho khơng cĩ cặp em học sinh sinh đơi nào, nên ta cĩ các TH sau: TH1. Trong nhĩm cĩ 3 người cĩ 1 người trong bốn cặp sinh đơi. Chọn 1 người trong bốn cặp sinh đơi cĩ 8 cách chọn người thứ nhất, cĩ 50 – 8 = 42 cách chọn người thứ 2 và cĩ 41 cách chọn người thứ 3. Vậy cĩ 8.42.41 = 13776 cách chọn. TH2. Trong nhĩm 3 người khơng cĩ ai trong bốn cặp sinh đơi. Cĩ 42 cách chọn người thứ nhất, 41 cách chọn người thứ hai và 40 cách chọn người thứ ba. Vậy cĩ 42.41.40 = 68880 cách chọn Tĩm lại cĩ: 13776 + 68880 = 82656 cách chọn Bài 14. Cĩ 5 con đường nối hai thành phố X và Y, cĩ 4 con đường nối 2 thành phố Y và Z. Muốn đi từ X đến Z phải qua Y. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn đi từ X đến Z qua Y ? Cĩ bao nhiêu cáh chọn đường đi và về từ X đến Z rồi về lại X bằng những con đường đi khác nhau ? HD: Cĩ 5 cách chọn đường đi từ X đến Y và cĩ 4 cách chọn đường đi từ Y đến Z. Do đĩ cĩ 4.5 = 20 cách chọn đường đi từ X đến Z qua Y. Khi trở về từ Z đến Y thì cịn 3 con đường để chọn: cĩ 3 cách chọn. Từ Y trở về X thì cĩ 4 con đường để chọn: cĩ 4 cách chọn. Do đĩ cĩ 3.4 = 12 cách chọn đường đi về khơng qua con đường đã đi. Vậy cĩ tất cả: 20 . 12 = 240 cách chọn đường đi và về trê tuyến đường từ X đến Z qua Y bằng những con đường khác nhau. Bài 15. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số cĩ 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau? HD: Số cĩ 6 chữ số và chữ số 2 đứng cạnh số 3. Ta xem (23) là số a. Khi đĩ gọi số cần tìm là thay vì cĩ 6 chữ số), trong đĩ . Ta cĩ: 4 cách chọn a, 4 cách chọn b, cĩ 3 cách chọn c, cĩ 2 cách chọn d và cĩ 1 cách chọn e, mà chữ số 2, 3 đứng cạch nhau nên nĩ là hốn vị cho nhau. Vậy cĩ : 4.3.2.1.2 = 192 số thoả ycbt. Bài 16. Mỗi người sử dụng mạng máy tình đều có mật khẩu. Giả sử mỗi mật khẩu gồm 6 kí tư, mỗi kí tự hoặc là m cột chữ số ( trong 10 chữ số từ 0 đến 9) hoặc là một chữ cái ( trong bảng 26 chữ cái tiếng Anh) và mật khẩu phải có ít nhất là một chữ số. Có bao nhiêu dãy số gồm 6 kí tự , mỗi kí tự hoặc là một chữ cái( trong bảng 26 chữ cái) hoặc là một chữ số ( trong 10 chữ số từ 0 đế 9) Có bao nhiêu dãy gồm 6 kí tự nói ở câu a) không phải là mật khẩu? Có thể lập được bao nhiêu mật khẩu? HD: Gọi dãy kí tự thoả ycbt là: . Vì mỗi kí tự cĩ 26 + 10 = 36 cách chọn nên chọn các kí tự a1, a2, …a6 đều cĩ 36 cách chon. Vậy theo quy tắc nhân, ta cĩ thể lập được 366 dãy kí tự như vậy. Dãy cĩ 6 kí tự khơng phải là một mật khẩu nếu tất cả 6 kí tự đều là chữ cái. Tương tự như trên, mỗi kí tự cĩ 26 cách chọn nên ta cĩ: 266 cách chọn thoả ycbt. Từ câu a), b) Số mật khẩu cần tìm là: 366 – 266 = 1 867 866 560 mật khẩu được lập. Bài 17. Biển số xe máy của tỉnh A ( nếu không kể mã số tỉnh) có 6 kí tự, trong đó kí tự vị trí đầu tiên là một chữ cái (trong bảng 26 chữ cái tiếng Anh), kí tự ở vị trí thứ 2 là một chữ số thuộc tập , mỗi kí tự ở bốn vị trí tiếp theo là một chữ số thuộc tập . Hỏi nếu chỉ dùng một mã số tỉnh thì tỉnh A có thể làm được nhiều nhất bao nhiêu biển số xe khác nhau? HD: Gọi các kí tự lập nên bảng số xe cần tìm là: , trong đĩ a1 lấy một chữ cái trong 26 chữ cái tiếng Anh, và . Chọn a1 cĩ 26 cách chọn, Chọn a2 cĩ 9 cách chọn, chọn các kí tự cĩ 10 cách chọn cho mỗi kí tự. Vậy cĩ: 26.9.104 = 2 340 000 biển số xe. Bài 18. Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ. Nhà trường cần chọn một học sinh khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn? Nhà trường cần chọn hai học sinh trong đó có một nam, một nữ đi dự trại hè của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn? HD: Nhà trường cần chọn một học sinh nên: Chọn nam cĩ 280 cách chọn và cĩ 325 cách chọn nữ. Vậy cĩ: 280 + 325 = 605 cách chon. Nhà trường cần chọn hai học sinh trong đĩ cĩ một nam và một nữ, nên cĩ: Chọn nam cĩ 280 cách chọn và ứng với cách chọn nam ta cĩ 325 cách chọn nữ. Vậy cĩ: 280.325 =91000 cách. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- §2. HỐN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP GIAI THỪA Cho , tích số 1,2,…,n được gọi là n giai thừa. Kí hiệu n!. Vậy n! = 1.2.3…n với Qui ước 0! = 1. 1! = 1 Ta suy ra các kết quả sau: n! = n.(n – 1)! = n.(n – 1).(n – 2)! = n.(n – 1)(n – 2)…2.1 Nếu và n > m thì: Ví dụ: 5! = 5.4.3.2.1 =120; 10! = 10.9! = 10.9.8! = 10.9.8.7! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 HỐN VỊ Định nghĩa: Cho tập hợp A cĩ n phần tử . Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hốn vị các phần tử của tập A( gọi tắt là hốn vị của A) Số hốn vị của n phần tử: Kí hiệu Pn. Phương pháp giải tốn: Cơ bản qua hai bước sau: B1. Phân tích và quãn lí giả thiết để nhận dạng bài tốn Bài tốn hốn vị cần cĩ ba dấu hiệu đồng thời để nhận dạng nĩ: Số phần tử phải bằng số vị trí Một phần tử phải đựơc xếp vào một vị trí và một vị trí cũng chỉ luơn phải chứa một phần tử Hai hốn vị là khác nhau khi trong hai dãy sắp xếp tương ứng sai khác nhau ít nhất một vị trí sắp xếp. B2. Thực hiện phép tính số hốn vị của n phần tử là : để suy ra ycbt Vận dụng Bài 1. Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp 4 học sinh vào ngồi trong một cái bàn dài đủ chỗ ngồi ? HD: Mỗi cách sắp xếp 4 học sinh vào 4 chỗ ngồi là hốn vị của 4 phầ tử. Vậy số cách sắp xếp là: Pn = 4! = 4.3.2.1 = 24 cách. Bài 2. Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 người khách vào mười ghế kê thành một dãy ? HD: Mỗi cách sắp xếp chỗ ngồi của 10 khách theo hàng ngang cho một hốn vị của 10 và ngược lại. Vậy cĩ 10! cách sắp xếp Bài 3. Cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau từ các chữ số 1,2,3,4 ? HD: Trên tập nền . Gọi số cần tìm cĩ dạng . Để thành lập số gồm bốn chữ số đĩ ta cần xếp 4 chữ số của tập nền B vào 4 vị trí hàng nghìn a, hàng trăm b, hàng chục c và hàng đơn vị d. Vậy cĩ tất cả: P4 = 4! = 24 số thoả ycbt. (Dùng quy tắc đếm để giải bài này) Bài 4. Cĩ thể lập được bao nhiêu chữ số lẻ gồm năm chữ số khác nhau từ tập? HD: Gọi số cần tìm cĩ dạng . Ta xét hai trường hợp: TH1. Dạng số: . Chọn cĩ 3 cách chọn, chọn thì số cách chọn là số cách sắp xếp ba số tuỳ ý của tập vào nghìn b, hàng trăm c và hàng chục d. Nên cĩ P3 = 3! = 6 cách. Vậy cĩ :3.6 = 18 số dạng TH2, Dạng số .Lí luận tương tự ta cĩ 18 số dạng Tĩm lại, ta cĩ: 18 + 18 = 36 số thoả ycbt. Bài 5. Trong một vịng loại Olympic, trên tám đường bơi, 8 vận động viên khơng cùng một lúc về đích. Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp hạng xảy ra ? HD: Tất cả 8 vận động viên đều về đích nhưng khơng cùng một lúc( khơng ai đến đích cùng với một người khác) trên 8 đường bơi, thì cách sắp xếp hạng 8 vận động viên là một hốn vị của 8 phần tử khi sắp xếp vào 8 vị trí ( thứ hạng) phân biệt, khơng lặp. Nên ta cĩ: P8 = 8! = 40320 kết quả. Bài 6. Tính tổng S của tất cả các số gồm 4 chữ số khác nhau và số đã lập được từ nền bằng phép hốn vị ? HD: Phép hốn vị trên nền B cho ta thành lập các số gồm bốn số khác nhau là: P4 = 4! = 24 số Để ý rằng, tất cả các số đều viết dưới dạng cặp đơi như sau: cĩ tổng tất cả 24 số, sắp xếp như trên từng cặp trong 12 cặp cĩ tổng là 5555. Vậy tổng S = 12.5555 = 66660. Bài 7. Chứng minh rằng trên tập cĩ thể lập thành được các số gồm bảy chữ số khác nhau mà tổng của chúng thì chia hết cho 720. HD: Phép hốn vị P7 = 7! = 5040, cho ta số các số gồm 7 chữ số khác nhau thành lập được từ B. Để ý rằng trong 5040 số tìm được, ta luơn viết được: cặp số cĩ tổng là 8 888 888 Như Nên tổng S của chúng là: S = 2520.8888888 Mà 720 = 90.8 và .Vậy S chia hết cho 720 (thoả ycbt) Bài 8. Cĩ bao nhiêu cách xếp năm bạn học sinh A,B,C,D và E vào một chiếc ghế dài đủ năm chỡ ngời sao cho: Bạn C ngồi chính giữa? Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế? HD: a) Xếp C ngồi chính giữa cĩ 1(cách), Xếp A, B, D, E vào bốn chỗ cịn lại cĩ P4 = 4! = 24 (cách). Vậy cĩ tất cả là 24 cách xếp thoả ycbt. b)Xếp A, E ngồi ở hai đầu ghế cĩ 2! = 2 (cách), xếp B, C, D vào ba chỗ cịn lại cĩ 3! = 6 (cách). Vậy cĩ tất cả là 2.6 = 12 cách thoả ycbt. Bài 9. Trong một phịng học cĩ hai bàn dài, mỗi bàn cĩ 5 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi cĩ bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi, nếu: Tất cả các học sinh ngồi tuỳ ý ? Tất cả học sinh nam ngồi một bàn và học sinh nữ ngồi một bàn? HD: a) Hai cái bàn và 10 ghế, nên khi xếp 10 học sinh ngồi tuỳ ý, đĩ là hốn vị của 10 học sinh ứng với 10 ghế. Vậy cĩ P10 = 10! = 3 628 800 cách thoả ycbt. b) Ta cĩ: 5 ghế xếp cho 5 học sinh nam cĩ: 5! cách xếp và 5 ghế xếp cho 5 học sinh nữ cĩ : 5! cách xếp. Vậy hai cái bàn cĩ: 2.(5!)(5!) = 28800 cách xếp thoả ycbt. Bài 10. Cĩ thể lập được bao nhiêu số chẵn cĩ 5 chữ số khác nhau lấy từ 0; 2;3;6;9? HD: Tập nền . Số chẵn là những số cĩ tận cùng là 0; 2 và 6 từ tập nền B Nếu mơt số cĩ 5 chữ số tận cùng là 0 thì bốn chữ số đầu là hốn vị của 2; 3; 6 ;9. tacĩ P4 = 4! số như vậy. Nếu một số cĩ 5 chữ số tận cùng là 2 thì bốn chữ số đầu là hốn vị của 0; 3; 6; 9 trong đĩ loại bỏ đi các hốn vị đầu là 0. Ta cĩ: P4 = 4! Trong đĩ P3 = 3! hốn vị bắt đầu là 0. Vậy cĩ 5 chữ số tận cùng là 2 là: P4 – P3 = 4! – 3! Tương tự cho 5 chữ số tận cùng là 6 là: P4 – P3 = 4! – 3!. Tĩm lại cĩ tất cả là: 4! + 4! – 3! + 4! – 3! = 60 thoả ycbt. Bài 11. Một tổ học sinh cĩ 5 nam và 5 nữ xếp thành một hàng dọc. Cĩ bao nhiêu cách xếp khác nhau ? Cĩ bao nhiêu cách xếp sao cho khơng cĩ học sinh cùng giới tính đứng kề nhau ? HD: a) Cách xếp 10 học sinh thành một hàng dọc là: 10! = 3 628 800 cách b) Giả sử học sinh nam xếp vào vi trị chẵn cĩ: 5! (cách), học sinh nữ xếp váo vị trí lẻ cĩ: 5! (cách). Sau đĩ đổi chỗ: chẵn cho nữ và lẻ cho nam nên cĩ: 2!(cách) Vậy cĩ: 5!.5!.2! = 28800(cách) Bài 12. Cĩ bao nhiêu số gồm 7 chữ số khác nhau đơi một được lập bằng cách dùng bảy chữ số 1;2;3;4;5;7;9 sao cho 2 chữ số chẵn khơng nằm liền nhau ? HD: Các số cĩ 7 chữ số lấy từ tập là một hốn vị của 7 phần tử. Vậy số cần tìm là: P7 = 7! (số). Các số cĩ 7 chữ số mà 2 chữ số chẵn 2; 4 đứng kề nhau là: 2!.6! (số). Vậy số thoả ycbt: 7! – 2!.6! = 3600(số) Bài 13. Cĩ bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn, trong đĩ cĩ An và Bình, vào 10 ghế kê thành hàng ngang, sao cho: Hai bạn An và Bình ngồi cạnh nhau ? Hai bạn An và Bình khơng ngồi cạnh nhau? HD: a) Cĩ 2.9 = 18 cách xếp chỗ cho An và Bình ngồi cạnh nhau, 8 bạn kia được xếp vào 8 chỗ cịn lại. Vây cĩ 8! Cách xếp 8 bạn còn lại và do đĩ cĩ 18.8! cách xếp sao cho An và Bình ngồi cạnh nhau. b) Cĩ 10! Cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn. Từ đĩ cĩ 10! – 18.8! = 72.8! cách xếp chỗ cho 10 bạn mà An và Bình khơng ngồi cạnh nhau. Bài 14. Cĩ 6 học sinh được xếp ngồi vào 6 chỗ đã ghi số thứ tự trên mặt bàn dài. Tìm số cách sắp xếp 6 học sinh này ngồi vào bàn ? Tìm số cách sắp xếp 6 học sinh này sao cho hai học sinh A và B khơng ngồi cạnh nhau ? HD: a) Mỗi một cách sắp xếp 6 học sinh ngồi vào 6 chỗ cĩ ghi số thứ tự là một hốn vị 6 phần tử. Vậy số cách sắp xếp là: P6 = 6! = 720(cách). b) Mỗi một cách sắp xếp A và B hoặc B và A theo thứ tự đĩ ngồi cạnh nhau là một hốn vị của 5 phần tử. Vậy cách xếp A và B ngồi cạnh nhau là: 2.P5 = 2.5!(cách) Vậy số cách sắp xếp cần tìm là: 720 – 2.5! = 480(cách) ------------------------------------------------------------------------------ CHỈNH HỢP ĐN: Cho tập hợp A cĩ n phần tử. Khi lấy ra k phần tử của A () và sắp xếp k phần tử này theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A(gọi tắt là chỉnh hợp chập k của A) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: Kí hiệu Nếu k = n thì . Vậy một chỉnh hợp n chập n được gọi là một hốn vị của n phần tử, từ đĩ suy ra: Phương pháp giải tốn B1. Quan sát, phân tích và quản lý giả thiết: Sự sắp xếp k phần tử của n phần tử của tập A thành dãy hở phải thoả hai điều kiện: - ( khi k = n ta giải quyết ở phần hốn vị) - Tính thứ tự các phần tử khi sắp xếp vào dãy được đảm bảo. Chẳng hạn: Kiểu dãy : cĩ tính thứ tự Kiểu dãy : khơng cĩ tính thứ tự. B2. Sử dụng cơng thức chỉnh hợp chập k của n phần tử tính tốn, suy ra ycbt. Bài 1. Từ ba đỉnh của tam giác ABC cĩ thể lập được bao nhiêu vectơ khác vectơ HD: Hai điểm bất kì phân biệt xác định được hai vectơ khác vectơ . Từ ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC thì khơng cĩ điểm nào thẳng hàng và hai điểm tuỳ ý thì luơn phân biệt nhau. Do đĩ ta lấy hai điểm tuỳ ý trong ba điểm thì số vectơ lập được là chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử Vậy: (vectơ) Bài 2. Cho một đa giác lồi cĩ 15 cạnh. Hỏi cĩ bao nhiêu vectơ khác vectơ với điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của đa giác ? HD: Đa giác lồi cĩ 15 cạnh nên cĩ 15 đỉnh , hai đỉnh thì luơn phân biệt nhau và cứ 3 đỉnh thì khơng thẳng hàng. Do đĩ ta lấy 2 điểm tuỳ ý trong 15 điểm thì số vectơ lập được là một chỉnh hợp chập 2 của 15 phần tử. Vậy số vectơ là: (vectơ) Bài 3. Một câu lạc bộ Tốn học lúc thành lập cĩ 14 thành viên, cần bầu chọn ra một thành viên làm gíam đốc CLB, một thành viên làm phĩ giám đốc CLB và một thành viên làm kế tốn trưởng CLB. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn để bầu mà khơng cĩ ai kiêm nhiệm ? HD: Khi bầu chọn 3 thành viên trong 14 thành viên ra làm giám đốc, phĩ giàm đốc và kế tốn trưởng (k < n) thì thứ tự cần đảm bảo. Nên cách số cách chọn đểu bầu người khơng kiêm nhiệm là: (cách) Bài 4. Cĩ bao nhiêu số nguyên dương gồm 5 chữ số khác khơng và khác nhau đơi một ? HD: Mỗi số cần tìm cĩ dạng: , trong đĩ và . Như vậy ta cĩ thể coi mỗi số dạng trên là một chỉnh hợp chập 5 của 9 chữ số. Vậy số cần tìm là: (số) Bài 5. Giả sử cĩ bảy bơng hoa màu khác nhau và bo lọ khác nhau. Hỏi cĩ bao nhiêu cách cắm ba bơng hoa vảo ba lọ đã cho ( mỗi lọ cắm một bơng)? HD: Vì bảy bơng hoa màu khác nhau và ba lọ cắm hoa khác nhau nên mỗi lần chọn ra ba bơng hoa để cắm vào ba lọ, ta cĩ một chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử. Vậy số cách cắm hoa vào ba lọ khác nhau là: (cách) Bài 6. Cĩ bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bĩng đèn được chọn từ 6 bĩng đèn khac nhau? HD: Mắc nối tiếp 4 bĩng đền từ 6 bĩng đèn khác nhau là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử. Vậy số cách mắc là: (cách) Bài 7. Từ nền cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm ba chữ số khác nhau ? HD: Gọi số cần tìm cĩ dạng: và xét hai thường hợp TH1. Chọn => cĩ 4 cách chọn TH2. Chọn tương đương việc sắp xếp 2 chữ số tuỳ ý của vào hai vị trí cịn lại (k cĩ cách chọn Vậy số cần tìm là: 4.12 = 48 (số) Cách khác: Số cĩ nghĩa và khơng cĩ nghĩa gồm ba chữ số lập được từ B là một chinh hợp chập 3 của 5 phần tử trong B. (số). Số các số nghĩa: cần loại bỏ đi tương đương việc sắp xếp vào hai vị trí cị lại và tình thứ tự phải bảo đảm. Số đĩ là chỉnh hợp chập 2 của 4 phần tử: (số). Vậy số cần tìm là: 60 – 12 = 48 số Bài 8. Cho tập nền . Cĩ thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau ? HD: Gọi số cần tìm là: và . Xét các trường hợp: TH1. Dạng số , Chọn cĩ (số dạng ) TH2. Dạng số . Chọn đều cĩ 4 cách chọn, chọn cĩ số. Vậy số dạng cĩ 2.4.24 = 192(số) Vậy số cần tìm là: 120 + 192 = 312 (số ) Bài 9. Với tập nền , ta cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau và trong đĩ phải cĩ mặt chữ số 5 ? HD: Gọi số cần tìm cĩ dạng: . Số cĩ 5 chữ số phải cĩ mặt chữ số 5 ta xét các trường hợp: TH1. Dạng , chọn cĩ (số) TH2. Dạng các . Chọn cĩ 5 cách chọn, chọn cĩ (số). Cĩ bốn số dạng trên nên cĩ 4.60 =1200 (số) Vậy cĩ 360 + 1200 = 2560 số thoả ycbt. Bài 10. Với các chữ số 1;2;3;4;5 cĩ thể lập được bao nhiêu số: Là số chẵn cĩ ba chữ số khác nhau? Gồm ba chữ số khác nhau và khơng lớn hơn 345? Là số chẵn cĩ ba chữ số khác nhau và khơng lớn hơn 345 ? HD: a) Gọi số cần tìm gồm ba chữ số cố dạng và là số chẵn: Chọn cĩ 2 cách chọn, chọn cĩ cách chọn. Vậy số cần tìm là: 2.12 = 24 (số) b) Số cần tìm cĩ dạng . Ta xét các khả năng sau: TH1. Khi . Lúc đĩ cĩ thể tuỳ ý chọn , ta cĩ (số) TH2. Khi . Lúc đĩ cĩ thể tuỳ ý chọn , ta cĩ (số) TH3. Khi . Lúc đĩ ta chọn cĩ 3 cách chọn, chọn cĩ 3 cách chọn. Vậy cĩ 3.3 = 9 (số) Tĩm lại, cĩ: 12 + 12 + 9 = 33 số thoả ycbt. c) Số cần tìm cĩ dạng . Ta xét các khả năng sau: TH1. Khi . Chọn cĩ 2 cách chọn, chọn cĩ 3 cách chọn. Ta cĩ 2.3 = 6 số dạng TH2. Khi . Chọn cĩ 1 cách chọn, chọn cĩ 3 cách chọn. Ta cĩ 1.3 = 3 số dạng . TH3. Khi . Chọn cĩ 2 cách chọn. Ta cĩ 2 số dạng TH3. Khi .Chọn cĩ 2 cách chọn. Ta cĩ 2 số dạng Tĩm lại cĩ: 6 + 3 + 2 + 2 = 13 số thoả ycbt. Bài 11. Từ 7 chữ số 0;1;2;3;4;5;6 cĩ thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau? HD: Số cần tìm cĩ dạng và là số chẵn. TH1. Dạng . Chọn cĩ số dạng TH2. Dạng các . Chọn cĩ 5 cách chọn, chọn cĩ (số). Vậy cĩ 5. 60 = 300 số dạng Cĩ ba số dạng trên nên cĩ: 3.300 = 900 số Tĩm lại cĩ: 360 + 900 = 1260 số thoả ycbt. Bài 12. Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau chia hết cho 10 (chữ số hàng vạn khác 0)? HD: Số cĩ 5 chữ số khác nhau chia hết cho 10 cĩ dạng: trong đĩ do , khi đĩ ta cĩ số thoả ycbt. Bài 13. Cho 6 chữ số 1;2;3;4;5;6. Cĩ thể tạo ra bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau? Trong đĩ cĩ bao nhiêu số chia hết cho 5 ? HD: Số gồm bốn chữ số khác nhau cĩ dạng trong đĩ nên ta cĩ: (số). Số chia hết cho 5 khi d = 5 và chọn cĩ (số ) Bài 14. Từ tập nền cĩ thể lập được : Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau ? Bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau ? HD: a) Nếu kể cả trường hợp số 0 đứng đầu, thì ta cĩ: số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau. Trong các số đĩ gồm cĩ số gồm 5 chữ số mà chữ số 0 đứng đầu. Vậy số gồm 5 chữ số khác nhau lập từ tập nền B là: (số) b) Xem bài 11 Bài 15. Xét các chữ số gồm 9 chữ số, trong đĩ cĩ 5 chữ số 1 và 4 chữ số cịn lại là 2,3,4,5. Hỏi cĩ bao nhiêu số như thế, nếu: 5 chữ số 1 được xếp kề nhau ? Các chữ số được xếp tuỳ ý ? HD: a) Gọi nhĩm 11111 là số a. Bài tốn yêu cầu ta cần sắp xếp năm số : a,2,3,4,5 vào 5 vị trí khác nhau. Số cách sắp xếp là: P5 = 5! = 120 số thoả ycbt. b) Lập một số cĩ 9 chữ số thoả mãn yêu cầu, thực chất là việc xếp bốn số 2,3,4,5 vào 4 vị trí tuỳ ý trong 9 vị trí, cịn 5 vị trí cịn lại thì chữ số 1 lặp 5 lần. Vậy cĩ: số thoả ycbt. Bài 16. Cho tập nền . Cĩ thể lập được bao nhiêu số n gồm 5 chữ số khác nhau đơi một từ X (chữ số đầu tiên phài khác 0)trong mỗi trường hợp sau: n là số chẵn? Một trong ba số đầu tiên phải bằng 1 ? HD: Xét tập nền