Bài tập dành cho học sinh lớp 7

. Bài tập dành cho học sinh lớp 7 Bài tập bđt thuộc chương trình hình học lớp 7, chủ yếu xoay quanh quan hệ giữa các cạnh, các góc và giữa độ dài các đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác …trong tam giác. Phương pháp giải chủ yếu là sử dụng các bđt hình học như: bđt về quan hệ góc và cạnh đối diện, bđt về đường xiên và hình chiếu, bđt tam giác. Bài 1: Cho ABC, tia phân giác góc A cắt BC ở điểm D. So sánh độ dài DB, DC ? Bài 2: Cho ABC vuông tại A, tia phân giác góc B cắt AC ở điểm D. CMR: AD < min(DC , AB). Bài 3: Gọi điểm M là trung điểm cạnh BC của ABC. CMR: AC > AB . Bài 4: Cho ABC với , trên BC lấy các điểm H, D, M sao cho . CMR: AH < AD < AM. Với điều kiện nào của tam giác thì đẳng thức xảy ra ? Bài 5: Cho điểm M nằm trong ABC cân tại A. CMR: MB < MC . Bài 6: Cho ABC , các điểm H và M thuộc cạnh BC sao cho: AHBC, MB = MC . CMR: (AB + AC - BC )/2 < AH AM < ( AB + AC )/2. Bài 7: Cho ABC vuông tại A, với AH là đường cao. CMR: AB + AC - BC < AH BC/2 Bài 8: Cho ABC cân tại A, các điểm E, F thứ tự nằm trên các cạnh AB, AC sao cho: AE = AF. CMR: BC + EF < 2BF. Bài 9: Cho ABC với AB < AC , tia phân giác góc A cắt BC ở điểm D, lấy điểm E trên AD. CMR: EC - EB < AC - AB . Bài 10: Cho ABC cân ở A, trên các tia AB, AC lần lượt lấy các điểm Dvà E sao cho: AD + AE = AB + AC. CMR: BC < DE Bài 11:Cho ABC , trên tia phân giác ngoài của góc A lấy điểm E. CMR: AB + AC < EB + EC . Bài 12: Cho ABC với AB < AC , trên trung tuyến AM lấy điểm E CMR: . Bài 13: Cho ABC với AB < AC , về phía ngoài tam giác dựng các tam giác đều: , gọi M là trung điểm của BC . CMR: ME < MF Bài 14: Cho ABC có BC là cạnh nhỏ nhất, kẻ AH BC , điểm M là trung điểm AC sao cho: AH = BM . CMR: Bài 15: Cho ABC với AB < AC , kẻ các trung tuyến BB’ và CC’ . CMR: BB’ < CC’. Bài 16: Cho ABC với , AC = 2AB. CMR: a/ AB < BC b/ . Bài 17: Cho ABC với AB < AC , kẻ các đường cac BE và CF CMR: AB + CF < AC + BE. Bài 18: Cho ABC đều cạnh a. Các điểm E, F thứ tự thuộc BC , AC sao cho: BE = CF. CMR: EF a/2. Bài 19: Cho ABC có , trên BC lấy M, N sao cho: BM = CN. CMR: AB + AC > AM + AN. Bài 20: Cho ABC vuông tại A, kẻ AH BC , trên AB, AC thứ tự lấy các điểm E , D sao cho . CMR: DE AH. Bài 21: ChoABC với AB > AC , kẻ AH BC ( H thuộc BC ). Các đường phân giác trong của góc B, góc C cắt AH thứ tự ở E, F. CMR: BE > EF + FC. Bài 22: Cho ABC với AB > AC , kẻ các trung tuyến BM và CN. CMR: BM - CN < 3/2(AB - AC ) . Bài 23: Cho ABC với AB > AC trên hai cạnh đó lấy các điểm M, N sao cho AM = AN. Gọi K là giao điểm của BN và CM. CMR: KB > KC . Bài 24: Cho ABC cân tại A, trên BC lấy điểm D sao cho : CD = 2BD CMR: . Bài 25: Cho ABC với AB > AC , điểm M thuộc BC . Kẻ ME (E thuộc AB, F thuộc AC ). Dựng các đường cao CK, BH của tam giác. CMR: CK . Bài 26: Cho hai điểm A, B . Tìm điểm M trong mặt phẳng sao cho MA < MB. Bài 27: Cho góc xOy, tìm các điểm M thuộc miền trong của góc sao cho: MK < MH ( K, H thứ tự là hình chiếu của M xuống các tia Ox, Oy). Bài 28: Cho ABC , kẻ các trung tuyến AM, BN, CK. CMR: AM, BN, CK lập thành độ dài ba cạnh một tam giác. Bài 29: Cho ABC vuông tại A, kẻ AH BC. Gọi D, E thứ tự là trung điểm của BH và AH, K = CE AH . CMR: CK < AH. Bài 30: Cho ABC cân tại A, kẻ AD (H thuộc AC ). Gọi I là trung điểm DH và J = AI BH. CMR: AJ < AH. Hướng dẫn giải. Bài 1: Nếu AB = AC DB = DC Giả sử AB < AC , trên AC lấy E sao cho AE = AB Trong DEC có DC > DE = DB. Tương tự: AB > AC thì DC < DB. Bài 2: Trên BC lấy E sao cho: AB = AE. Trong ABD: AD < AB. Trong DEC có: AD = DE < DC. Vậy AD < min(AB, DC ). Bài 3: Kéo dài AM, trên đó lấy K sao cho: AM = MK Giả sử : AC > AB = KC suy ra trong AKC : Trường hợp thứ hai lý luận ngược lại. Bài 4: Từ gt suy ra các tia AH, AD, AM cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AC (1) Do AB < AC (2) Trong CAH có: (3). Từ các điều (2), (3) suy ra: (4). Từ (1)&(4) đpcm. Bài 5: Giả sử MB < MC , dựng đoạn AK ở ngoài ABC sao cho (Hình vẽ): Mặt khác do MAK cân tại A suy ra: (đpcm). Chú ý rằng ở bài này có thể thay giả thiết: MB < MC bằng gt M nằm trong AHB với AH là đường cao của ABC. Bài 6: + Sử dụng bđt tam giác trong các tam giác AHB và AHC ta có: (AB + AC - BC )/2 < AH +Từ bài 4 AH AM. +Ta chứng minh: AM < (AB + AC )/2. Kéo dài AM trên đó Lấy K sao cho: AM = MK (c-g-c) AB = KC , áp dụng bđt tam giác trong ACK ta có đpcm. Từ bài toán này suy ra bđt quen thuộc như sau: AM + BE + CF < AB + AC + BC (Với AM, BE, CF là độ dài ba đường trung tuyến của ) Ký hiệu G là trọng tâm ABC , sử dụng bđt tam giác trong các tam giác GBC, GAB, GAC thì ta có bđt sau đây: AM + BE + CF > 3/4(AB + AC + BC ). Bài 7: +Trên BC lấy E sao cho BE = AB, trên AC lấy K sao cho AK = AH CE = BC - AB và CK = AC - AH. Mặt khác có thể nhận thấy: Trong EKC ta có : CE > CK suy ra đpcm. +Ta đã biết AH AM với AM là độ dài đường trung tuyến. Khi đó : AM = BC/2 : thật vậy, kéo dài AM trên đó lấy N sao cho AM = MN . Từ bài này suy ra: nếu ABC vuông tại A thì: (AB + AC )/BC < 3/2 Bài 8: Trên tia đối tia CB lấy K sao cho CK = EF (c-g-c) Trong BFK : 2BF = BF + FK > BK = BC + EF Bài 9: Trên AC lấy K sao cho AB = AK Trong EKC : KC > EC - EK hay là AC - AB > EC - EK. Bài 10: Kẻ DH Qua bài toán có nhận xét như sau: trong tất cả các tam giác chung một góc và tổng hai cạnh kề góc đó không đổi thì tam giác cân có chu vi nhỏ nhất. Bài 11: Gọi d là đường thẳng chứa tia phân giác ngoài góc A, kẻ đường thẳng vuông góc với d cắt AC kéo dài tại D, khi đó d là đường trung trực của BD Bài toán này có thể phát biểu dưới dạng toán cực trị như sau: Tìm điểm E trên phân giác ngoài góc A của ABC sao cho chu vi EBC nhỏ nhất. Bài 12: Xét các có AM là cạnh chung, MB = MC , AB < AC . Từ đó trong các tam giác: (đpcm). Bài toán đảo của bài toán12 như sau: Cho điểm E nằm trên đường trung tuyến AM của ABC thoả mãn: . CMR: AB < AC Bài 13: Kéo dài AM, trên đó lấy điểm I sao cho MA = MI từ đó: Trong các . Xét các Bài 14: Để giải bài này trước hết ta cần có ba định lý sau đây: ĐL1: Trong một tam giác đường thẳng đi qua trung điểm cạnh thứ nhất, song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh còn lại. ĐL2: Trong một tam giác đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh thì song song và bằng nửa cạnh còn lại. ĐL3:Trong tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc nhọn ứng với cạnh đó bằng . Chứng minh các ĐL trên (bằng kiến thức lớp7) được trình bày trong cuốn sách “Nâng cao và phát triển toán7” của NGND Vũ Hữu Bình. Giải bài toán: Kẻ MI//AH và MN//BC (I thuộc BC , N thuộc AB). MI = 1/2AH = 1/2BM Bởi vì : MN = 1/2BC Bài 15: Kẻ B’J//CC’ và B’I//AB, B’H BC. IB’ = BC’ = 1/2AB JB’ = CC’, C’B’= CJ = BI CB’ = 1/2AC > 1/2AB = BC’ = IB’ HC > HI BH = BI + IH < BI + HC = CJ + HC = HJ BB’ < JB’ = CC’. Bài toán này chính là định lý: Trong các đường trung tuyến của một tam giác, đường trung tuyến nào ứng với cạnh nhỏ hơn sẽ lớn hơn Bài 16: a/ Sử dụng phản chứng. b/ Dựng trung trực MN của AC (N thuộc BC ). do ABM cân tại A Xét các tam giác: ta có: Bài 17: Trên AC lấy I sao cho AB = AI thì ABI cân tại A. Kẻ (J và H thứ tự thuộc AB, CF ) IJ = BE = FH (1), trong IHC : HC < IC (2). Từ các điều (1)&(2) : AC + BE = AI + IC + FH > AB + HC + FH = AB + CF (đpcm) Vấn đề đặt ra: khai thác bài toán này như thế nào?. Từ bđt AB + CF < AC + BE , nhân hai vế của bđt với tích BE.CF suy ra: 2S.BE + ( S là số đo diện tích ABC ) Vậy ta có bài toán mới: Cho ABC có AB < AC , kẻ các đường cao BE và CF ký hiệu S là số đo diện tich tam giác . CMR : CF.BE < 2S Bài 18: Kẻ các đường vuông góc: MA = 1/2AF, tương tự : BN = 1/2BE khi đó : AM + BN = 1/2(AF + BE ) = a/2 MN = AB - MA - BN = a/2 Kẻ EK Bài 19: Trên tia đối tia MA lấy điểm K sao cho: AN = MK. Xét các tam giác: nhận thấy: . AB + BK > AK AB + AC > AB + BK > AK = AM + AN. Sau khi giải xong bài toán nên đặt câu hỏi: giả thiết góc B tù có ý nghĩa gì trong lời giải trên đây?.Liệu có thể tìm một lời giải khác không?. Bài 20: Gọi O là trung điểm ED, khi đó AO là trung tuyến của EAD AO = 1/2DE , tương tự OH = 1/2DE Ta có DE = EO + OD = AO + OH AH Bài toán này có thể phát biểu dưới dạng bài toán cực trị như sau: Cho ABC vuông tại A, trên các cạnh AB, AC thứ tự lấy các điểm E, D sao cho (AH là đường cao của tam giác). Tìm minDE ?. Mặt khác nghiên cứu lời giải trên, nhận thấy khi thay đổi giả thiết: bằng các điều kiện: thì kết quả bài toán vẫn không thay đổi. Bài 21: Giả sử BE cắt CF tại điểm I , AB > AC suy ra: I nằm giữa B, E : BE = AI + IE . Do I, C là khác phía so với AH IC = IF + FC . Cũng từ giả thiết : . BE = BI + IE > IC + IE = (IF + FC ) + IE = FC + (IE + IF ) > FC + EF . BE > EF + FC Bài 22: Giả sử BM, CN giao nhau tại G Do AB > AC cho nên: . Dựng ra phía ngoài ABC sao cho: AC = AF, Vậy AG là đường trung trực của FC GF = GC. Gọi giao GF và AB là E , trong các tam giác: ta có: AB + GF = (BE + EG ) + ( EF + EA ) > BG + AF AB + GC > BG + AC AB - AC > BG - GC = 2/3(BM - CN) Vậy BM - CN <3/2(AB - AC ). Bài 23: Trên AB lấy I sao cho: AI = AC (c-g-c) IN = MC , AIC cân tại A (1). Mặt khác tia NI nằm giữa tia NM, NB (2) Từ (1)&(2) suy ra: BK + NK > MK + KC Hay là : BK > (MK - NK ) + KC > KC Bài 24: Gọi M là trung điểm của DC trên tia đối của tia MA lấy E sao cho AM = ME khi đó : Một câu hỏi đặt ra: hãy tổng quát hoá bài toán? Bài 25: Theo giả thiết AB > AC BH > CK Kẻ MI . Nhận thấy MF = HI (1) Trong MJ ME (2) Từ (1)&(2) ME + MF < IH + IB = BH Tương tự: CK < ME + MF Bài 26: Dựng đường trung trực của AB là (d) Giả sử d cắt AB ở N, gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên AB. Theo giả thiết : MA < MB M thuộc nửa mặt phẳng chứa A bờ d (không kể đường thẳng d) Bài 27: Kẻ MN//Oz, NI MH (N thuộc Ox, I thuộc MH) NM là tia phân giác KNI Do I nằm giữa các điểm H và M: MH = MI + HI > MI = MK Vậy nếu điểm M thuộc góc xOz thì MH > MK Từ bài toán này có thể giải được những bài toán sau đây: BT1: Cho ABC tìm tập hợp các điểm M trong tam giác sao cho: MA < MB < MC BT2: Tìm tập hợp các điểm M trong ABC sao cho: MK < MH < MI với K, H, I thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên các cạnh AB, BC , AC Bài 28: Gọi I là trung điểm của GC , trong GMI ta có: GM = 1/3AM , GI = 1/2GC = 1/3CK Mặt khác trong BGC , I và M là trung điểm của GC, BC suy ra: MI//BG, MI = 1/2BG MI = 1/3BN, bởi vì GM, GI, MI là ba cạnh của GMI suy ra AM, BN, CK cũng lập thành độ dài ba cạnh một tam giác. Một vấn đề cần nghiên cứu đối với HS, nếu thay giả thiết các đường trung tuyến AM, BN, CK là các đường cao hoặc đường phân giác khi đó kết quả bài toán như thế nào? Hãy chỉ ra phản ví dụ để chứng tỏ nói chung bài toán không còn đúng?. Bài 29: Sử dụng các ĐL trong bài 14 (về đường trung bình của tam giác) suy ra DE//AB Bài 30: Do ABC cân tại A gọi E là trung điểm HC tương tự như vậy IE//DC Mà I là trực tâm của ADE trong AJH vuông tại J: AJ < AH (đpcm)