Bài tập Đường tròn – hình vuông

ĐƯỜNG TRÒN – HÌNH VUÔNG 1/ Cho hình vuông ABCD . Đường kính CD và đường tròn tâm A , bán kính AD cắt nhau tại M ( M không trùng với D ) . Chứng minh rằng đường thẳng DM đi qua trung điểm cạnh BC I C HƯỚNG DẪN M B O A D DM là dây chung của hai đường tròn Þ AO ^ DI Þ OAD = CDI ; AD = CD Þ D ADO = D DCI Þ IC = OD = ½ BC 2/Cho hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O , bán kính R . M là một điểm bất kỳ trên đường tròn . a/Chứng minh MA4 + MB4 + MC4 + MD4 = 24R4 b/ Chứng minh MA . MB . MC . MD < 6R2 M HƯỚNG DẪN K B C H O A D a/ MA4 + MC4 = ( MA2 + MC2 ) – 2MA2 .MC2 = AC4 – 2MH2 .AC2 = 16R4 – 8R2.MH2 Chứng minh tương tự ta có : MB4 + MD4 = 16R4 – 8R2.MK2 MA4 + MB4 + MC4 + MD4 = 32R4 – 8R2 ( MH2 + MK2 ) = 32R4 – 8R2.R2 = 24R4 b/ Aùp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có : (MA4 + MB4 ) + ( MC4 + MD4 ) ³ Vì MA4 + MB4 ³ MC4 + MD4 ³ Þ (MA4 + MB4 ) + ( MC4 + MD4 ) ³ (MA4 + MB4 ) + ( MC4 + MD4 ) ³ 4MA.MB.MC.MD 4MA.MB.MC.MD £ 24R4 MA.MB.MC.MD £ 6R4 Dấu “=” xảy ra Û MA = MB = MC = MD nhưng điều này không thể xảy ra nên : MA.MB.MC.MD < 6R4 3/Cho hình vuông ABCD . Dựng nửa đường tròn tâm I , đường kính AD và cung AC tâm D , bán kính DA . Tia DE gặp nửa đường tròn ( I ) tại K . Kẻ EF vuông góc với AB . Chứng minh EK = EF. HƯỚNG DẪN B A Nhận xét : EF ^ AB , EK ^ AK E Þ cần chứng minh AE là phân giác của góc BAD K C D Đường tròn (D ) tiếp xúc với AB tại A Þ ADE = 2FAE (1) ADE = KAF = FAE + EAK (2) Từ (1) và (2) ta có : FAE = EAK 3/ Cho hình vuông ABCD cạnh a . Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm di động E , F sao cho : AE + EF + FA = 2a . a/ Chứng tỏ rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định . b/ Tìm vị trí của E , F sao cho diện tích D CEF lớn nhất . A E B K HƯỚNG DẪN H F D C a/ Trên tia đối của BA lấy K sao cho BK = DF . Vẽ CH ^ EF , H Ỵ EF . D DFC = D DKC ( DF = BK ; FDC = KBC = 900 ; DC = BC ) CF = CK . Vì EF = 2a – ( EA + FA ) = ( AB + AD ) – ( EA + FA ) = AB – EA + AD – FA = EB + FD = EB + BK . Do đó D CEF = D CEK ( c.c.c) Suy ra các đường cao CH và CB bằng nhau . CH không đổi , C cố định , CH ^ EF Þ EF luôn tiếp xúc với đường tròn cố định ( C , a ) . b/ D HCF = D DCF ( H = D = 900  ; CF chung ; CH = CD = a ) Þ SHCF = SDCF . Chứng minh tương tự ta có : SHCE = SBCE do đó SHCF + SHCE = SDCF + SBCE Þ SCEF = ½ SCDFEB Þ SCEF = ½ ( a2 – SAEF ) SAEF ³ 0 Þ SCEF £ ½ a2 . Dấu “ = “ xảy ra Û SAEF = 0 Û E º B , F º A hoặc E º A , F º D . Vậy E º B , F º A hoặc E º A , F º D thì SCEF đạt giá trị lớn nhất . 5/ Trên đoạn AB lấy M tùy ý . Trên đoạn AM và MB dựng về một phía đối với AB các hình vuông AMEF và MBCD . Đường tròn ngoại tiếp 2 hình vuông cắt nhau tại điểm thứ hai là N . a/Chứng minh AN đi qua một đỉnh của hình vuông thứ hai . b/Tìm quỹ tích của N khi M di chuyển trên AB . c/Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn nối tâm hai hình vuông . . HƯỚNG DẪN F E N H C D I Q A M B a/ BD cắt AE tại H . D AHB có : HAB = HBA = 450 Þ HB ^ AH . Xét D AEB ta có : EM ^ AB ; BH ^ AE Þ AD ^ BE tại N . Mà DNB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) Þ DN ^ BE tại N ba điểm A , D , N thẳng hàng điều phải chứng minh . b/ Quĩ ttích của N là nửa đường tròn đường kính BD . c/ Quĩ tích của I là đường trung trực của đoạn thẳng PQ . Khi M trùng với B thì I trùng với tâm của hình vuông AMEF .