Bài tập hàm biến phức

BÀI TẬP HÀM BIẾN PHỨC 1.5 Xét sự hội tụ của các chuỗi : i=1neiπn Giải: Ta có: i=1 ne-iπn = i=1ncosn +isinnn = i=0ncosnn +isinnn Xét chuổi : i=1ncosnn +isinnn = i=1ncosnn2+sinnn2 = i=n1n Mà chuỗi i=1n1n phân kì nên i=1neiπn phân kì . b) i=0nn2in Xét chuỗi : i=0nn2in = i=0nn2n Ta có :d =limn→∞an+1an = limn→∞n+12n+1 : n2n =limn→∞n+1.2nn.2n+1 =limn→∞n+12n = 12 <1 nên chuỗi i=0nn2in hội tụ. i=1ncosin2n = i=0nen + e-n2.2n =12 i=0ne2n+ 12en Xét : * i=0ne2n phân kì vì e2 >1 1 * i=0n12en hội tụ vì 12e <1 2 Từ 12 →chuỗi i=1ncosin2n phân kì. i=0nnsinin2n= i=0nnen - e-n22n=12 i=0nn.en2n+ n2en Xét : * i=0nn.en2n Ta có : d = limn→∞an+1an = limn→∞n+1.en+12n+1n.en2n = limn→∞n+1.en+1.2nn.en.2n+1 = limn→∞e.n+12n=e2 >1 →chuỗi i=0nn.en2n phân kì. 1 Xét : * i=0nn2en Ta có : d = limn→∞an+1an = limn→∞n+12en+1:n2en = limn→∞n+1.2enn.2en+1 =limn→∞n+12n = 12 <1 Nên chuỗi i=0nn2en hội tụ. 2 Từ 12 →chuỗi i=0nnsinin2n phân kì. 1.7 Cho hàm w = 1z .Hãy tìm : a) * Ảnh của các đường x = c Giải : Đặt z =x +iy →w= 1x+iy = xx2 + y2 -iyx2 +y2 Ta có :* ux,y=xx2 + y2 , vx,y= -yx2 + y2 TH1: c=0 → u=ov=-1y .Vậy ảnh của đường thẳng x=0 là trục ảo trừ gốc tọa độ. TH2: c ≠0 →u=cc2 + y2v=-yc2 + y2 vì u2 +v2=1c2 + y2 mà c2+y2=cu Nên u2+v2= uc → u2+v2-uc =0.Vậy ảnh của đường thẳng x=c≠0 là đường tròn tâm 12c;0, bán kính 12c trừ gốc tọa độ. * Ảnh của z-1=1 Ta có : z-1=1 ↔x+iy-1=1↔x-1+iy=1 ↔x-12+y2 =1 ↔x-12+y2=1↔x2+y2=2x Thay x2+y2=2x vào ux,y=xx2 + y2 ta được u= 12 .Vậy ảnh là đường thẳng u=12. *Tạo ảnh của đường u=c Giải :muốn tìm tạo ảnh thì thế u = c vào biểu thức ux,y=xx2 + y2. Ta được: c = xx2+y2 *TH1:c =0→x=0.Vậy tạo ảnh là trục ảo. *TH2:c≠0 →x2+y2-xc=0.Vậy tạo ảnh là đường tròn tâm 12c;0,bán kính 12c . 1.7 Tìm fz biết phần thực và phần ảo: a) ux,y= 1x ,vx,y= 1y Giải: Đặt z=x+iy→z=x-iy Ta có: =12z+z , y=-i2z-z *Thế x=12z+z vào ux,y= 1x ta được ux,y=112z+z → ux,y=2z+z 1 *Thế y=-i2z-z vào vx,y= 1y ta được vx,y=2-iz-z 2 Từ 12→fz= ux,y+ivx,y= 2z+z +2i-iz-z = 2z+z -2z-z = 1x -22x+iy =1x +xx2+y2 -iyx2+y2 . ux,y= x2-y2-2y+1 , vx,y=2xy+2x Đặt z=x+iy→z=x-iy Ta có: =12z+z , y=-i2z-z *Thế x=12z+z, y=-i2z-z vào ux,y= x2-y2-2y+1 và vx,y=2xy+2x rồi suy ra fz. 1.12 Giải các phương trình: a) ez=2 Giải: ez=2↔z=Ln2↔z=ln2+ik2π,k∈Z.