Bài tâp Hình học 9

Bài 99: Cho có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R.. Các phân giác của các góc , lần lượt cắt đường tròn tại E, F. 1) CMR: OF AB và OE AC. 2) Gọi M là giao điểm của của OF và AB; N là giao điểm của OE và AC. CMR: Tứ giác AMON nội tiếp và tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác 3) Gọi I là giao điểm của BE và CF; D là điểm đối xứng của I qua BC. CMR: ID MN. 4) CMR: Nếu D nằm trên (O) thì = 600. Hướng dẫn: 1. 2.. Tứ AMON nội tiếp. AMON nội tiếp đường tròn đường kính OA . 3. I và D đối xứng nhau qua BC (1) . MN là đường trung bình củaMN //BC(2). Từ (1) và (2) . 4. CMR: Nếu D nằm trên (O) thì = 600: + I và D đối xứng qua BC BC là đường trung trực của ID, suy ra: - IBD cân tại B ( BC là đường trung trực đồng thời là đường cao). - ICD cân tại C ( BC là đường trung trực đồng thời là đường cao). + Khi D nằm trên (O,R) thì: mà Mặc khác: (1). mà - Mặc khác: (2). - (3). - Từ (1), (2), (3) . Bài 100: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M là điểm trên cạnh BC và N là điểm trên cạnh CD sao cho BM = CN. Các đoạn thằng AM và BN cắt nhau tại H. CMR: Các tứ giác AHND và MHNC là những tứ giác nội tiếp. Khi BM = . Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác AHND theo a. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn MN theo a. Hướng dẫn: 1. CMR: Tứ giác AHND và MHNC nội tiếp: + ABM = BCN (c.g.c) + (ĐL tổng 3 góc của AHB) tại H . + Tứ giác AHND có: AHND là tứ giác nội tiếp. + Tứ giác MHNC có: MHNC là tứ giác nội tiếp. 2. Khi BM = . Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác AHND theo a: + Khi BM = CN = DN = . + AND vuông tại D = . + Diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác AHND:. 3. + Đặt x = BM = CN CM = a – x . + MCN vuông tại CMN2 = CM2 + CN2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = MN2 đạt giá trị nhỏ nhất là khi MN đạt giá trị nhỏ nhất là khi Vậy giá trị nhỏ nhất của MN là khi BM = . Bài 101: Cho có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Đường cao BH và CK lần lượt cắt (O) tại E và F. 1) CMR: Tứ giác BKHC nội tiếp. 2) CMR: OA EF và EF // HK. 3) Khi là tam giác đều có cạnh bằng a. Tính diện tích hình viên phân chắn cung nhỏ BC của (O). Hướng dẫn: a) = = 900 B, H, C, K đường tròn đường kính BC BKHC nội tiếp. b); (1) Mặc khác: OE = OF = R (2) Từ (1) và ( 2) OA là đường trung trực của EF . + (3). (4) Từ (3) và (4) . c) Gọi R là bán kính của (O) và h là chiều cao của đều, ta có:h = - O là trọng tâm của R = OA = h = - S(O) = R2 = (đvdt) - SABC = a.h = (đvdt) - Svp = ( S(O) – SABC ) = ( - )= (đvdt). Bài 102: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E là một điểm bất kỳ trên cạnh BC. Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với tia DE tại H, đường thẳng này cắt tia DC tại F. CMR: Năm điểm A, B, H, C, D cùng nằm trên một đường tròn. CMR: DE.HE = BE.CE. Tính độ dài đoạn thẳng DH theo a khi E là trung điểm của BC. CMR: HC là tia phân giác của . Hướng dẫn: a) = = = 900A, B, H, C, D đường tròn đường kính BD. b) DEC vàBEH có: DEC BEH DE.HE = BE.CE. c) Khi E là trung điểm của BC . - DEC vuông tại C DE =. - Từ: DE.HE = BE.CE (cmt) . - DH = DE + EH = + = . d) Mà: + Mặc khác: (2) + Từ (1) và (2) HC là tia phân giác của . Bài 103: Một hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn ( O; R). Điểm M di động trên cung ABC, M không trùng với A, B và C, MD cắt AC tại H. CMR:Tứ giác MBOH nội tiếp được trong đường tròn và DH.DM = 2R2 . CMR: MD.MH = MA.MC. MDC và MAH bằng nhau khi M ở một vị trí đặc biệt M’. Xác định điểm M’. Khi đó M’D cắt AC tại H’. Đường thẳng qua M’ và vuông góc với AC cắt AC tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của H’C . Hướng dẫn: 1. CMR: Tứ giác MBOH nội tiếp dược đường tròn: + ABCD là hình vuông BD ^ AC (1) + (O) có: nội tiếp chắn đường tròn (2) + Từ (1) và (2)Þ MBOH nội tiếp đường tròn đường kính BH. * CMR: DH.DM = 2R2: có:và DOH DMB (g.g) (đpcm). 2. CMR: MD.MH = MA.MC: CD = AD (ABCD là hình vuông) . + MDC và MAH có:; MDC MAH (g.g). 3. Chứng minh rằng I là trung điểm của H’C: + DMDC = DMAH Þ MD = MA + MD = MA (1). Do: CD = BA (2) Từ (1); (2)M là điểm chính giữa . Hay M’là điểm chính giữa . + DMDC = DMAH DM’DC = DM’AH’ Þ M’C = M’H’Þ DM’H’C cân tại M (3) + Do M’I AC M’I H’C (4) Từ (3) và (4) M’I là đường là đường trung tuyến của DM’H’C Þ IH’ = IC Hay I là trung điểm của H’C (đpcm). Bài 104: Cho hai đường tròn (O; 20cm) và (O’; 15cm) cắt nhau tại A và B. Biết AB = 24cm và O và O’ nằm về hai phía so với dây chung AB. Vẽ đường kính AC của đường tròn (O) và đường kính AD của đường tròn (O’). CMR: Ba điểm C, B, D thẳng hàng. Tính độ dài đoạn OO’. Gọi EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’) (E, F là các tiếp điểm). CMR: Đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng EF. Hướng dẫn: : a) (O) cónội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AC = 900 (1) + (O’) cónội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AD = 900 (2) + Từ (1) và (2) = + = 1800 Ba điểm C, B, D thẳng hàng. b) (O) và (O’) cắt nhau tại A và B OO’ là đường trung trực của AB. + Gọi H là giao điểm của OO’ và AB OO’ AB tạiH;HA =HB = AB = 12 (cm) + AHO vuông tại H = (cm). + AHO’ vuông tại H = (cm). Suy ra: OO’ = OH + O’H = 16 + 9 = 25 (cm). c) Gọi K là giao điểm của AB và EF. + OEK vuông tại E (1) + OHK vuông tại H (2) + Từ (1) và (2) KE2 = (OH2 + HK2) – OE2 = 162 + HK2 – 202 = HK2 - 144 (*). + O’FK vuông tại F (3) + O’HK vuông tại H (2) + Từ (3) và (4) KF2 = (O’H2 + HK2) - O’F2 = 92 + HK2 – 152 = HK2 - 144 (**). +Từ (*); (**) Mà: AB đi qua trung điểm của EF (đpcm). Bài 105: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Từ A và B lần lượt kẻ hai tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại C và D. 1. CMR: a) Tứ giác AOMC nội tiếp. b) CD = CA + DB và = 900. c) AC. BD = R2. 2. Khi = 600. Chứng tỏ là tam giác đều và tính diện tích của hình quạt tròn chắn cung MB của nửa đường tròn đã cho theo R. Hướng dẫn: 1a) Ax là tiếp tuyến tại A= 900 (1). CD là tiếp tuyến tại M= 900 (2) Từ (1) và (2) + = 1800 AOMC là tứ giác nội tiếp đường tròn 1b) CMR: CD = CA + DB và = 900: + CA = CM và OC là tia phân giác của (T/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) (1) + DB = DM và OD là tia phân giác của (T/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) (2) Suy ra: CD = CM + MD = CA + DB . . Mà và = 900. 1c) 2. Khi = 600. Chứng tỏ là tam giác đều và tính diện tích của hình quạt tròn chắn cung MB của nửa đường tròn đã cho theo R: + ( cùng chắn ) (1) có DB = DM cân tại D (2). Từ (1) và (2) đều. + ( hệ quả góc nội tiếp) Squạt = (đvdt). Bài 106: Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA và MB đến đường tròn (O), ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D. 1) CMR: MA2 = MC. MD. 2) Gọi I là trung điểm của CD. CMR: 5 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên một đường tròn. 3) Gọi H là giao điểm của AB và MO. CMR: Tứ giác CHOD nội tiếp được đường tròn. Suy ra AB là phân giác của . 4) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). CMR: 3 điểm A, B, K thẳng hàng. HD: a) + và có: ; (g.g) (đpcm)). b) - I là trung điểm của dây CD nhìn đoạn OM(1) - (T/c tiếp tuyến) nhìn đoạn OM (2) - (T/c tiếp tuyến) nhìn đoạn OM (3) Từ (1), (2) và (3) 5 điểm M, A, I, O, B đường tròn đường kính OM. c) + vuông tại AMA2 = MO. MH. Mà: MO. MH = MC. MD + và có: (c.g.c) . Suy ra: Tứ giác CHOD nội tiếp được đường tròn * CMR: AB là phân giác của : + có OC = OD = R cân tại O (1) + Mặc khác: (2) Từ (1) và (2) Suy ra: HA là tia phân giác của AB là tia phân giác của (đpcm). d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). CMR: 3 điểm A, B, K thẳng hàng: + Gọi K là giao điểm của 2 tiếp tuyến tại C và D của (O) + (T/c tiếp tuyến) nhìn đoạn OK (1) + (T/c tiếp tuyến) nhìn đoạn OK (2) Từ (1), (2) Tứ giác OCK nội tiếp đường tròn đường kính OK . Tứ giác OKCH nội tiếp đường tròn đường kính OK = 900(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 3 điểm A, B, K thẳng hàng Bài 107: Cho hình vuông cạnh a, lấy điểm M bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B,C). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng DM tại H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC tại K. 1. Chứng minh: BHCD là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh: KM ^ DB. 3. Chứng minh: KC . KD = KH . KB. 4. Kí hiệu SABM , SDCM là diện tích của tam giác ABM, tam giác DCM. CMR: (SABM + SDCM ) không đổi. Xác định vị trí của M trên BC để S2ABM + S2DCM đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó theo a. HD: 1. = = 900 B, H, C, D đường tròn đường kính BD. 2. có : và M là trực tâm của KM ^ DB 3. Chứng minh: KC . KD = KH . KB: + và có: (g.g) KC . KD = KH . KB (đpcm). 4. CMR: (SABM + SDCM ) không đổi: + vuông tại B SABM = = (1) + vuông tại C SDCM = = (2) Từ (1) và (2) SABM + SDCM = + = + Vì a là không đổi không đổi (SABM + SDCM ) không đổi. * Xác định vị trí của M trên BC để S2ABM + S2DCM đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó theo a: + Đặt x = BM CM = a – x + Ta có: = = = = = = + Giá trị nhỏ nhất của là khi : = 0 Vậy khi M là trung điểm của BC thì đạt giá trị nhỏ nhất là . Bài 108: Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O, R). Gọi AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (B và C là hai tiếp điểm). Từ A vẽ một tia cắt đường tròn tại E và F (E nằm giữa A và F). CMR: và đồng dạng. Suy ra AC2 = AE. AF. Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh 5 điểm A, B, O, I, C cùng nằm trên một đường tròn. Từ E vẽ đường thẳng vuông góc với OB cắt BC tại M. Chứng minh tứ giác EMIC nội tiếp được trong đưởng tròn. Suy ra tứ giác MIFB là hình thang. Giả sử cho OA = R. Tính theo R phần diện tích tứ giác ABOC nằm ở ngoài hình tròn (O) a)và có: (g.g) AC2 = AE. AF (đpcm). b) Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh 5 điểm A, B, O, I, C cùng nằm trên một đường tròn: I là trung điểm của dây EF nhìn đoạn OA (1) (T/c tiếp tuyến) nhìn đoạn OA (2) (T/c tiếp tuyến ) nhìn đoạn OA (3) Từ (1), (2) và (3) 5 điểm , A,B, O, I, C đường tròn đường kính OA. c) Từ E vẽ đường thẳng vuông góc với OB cắt BC tại M. Chứng minh tứ giác EMIC nội tiếp được trong đưởng tròn. Suy ra tứ giác MIFB là hình thang: Bµi 109: Cho hình thang cân ABCD (AB > CD, AB // CD) nội tiếp trong đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và D chúng cắt nhau ở E. Gọi M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. 1. Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp được trong một đường tròn. 2. Chứng minh AB // EM. 3. Đường thẳng EM cắt cạnh bên AD và BC của hình thang lần lượt ở H và K. Chứng minh M là trung điểm HK. 4. Chứng minh Hướng dẫn: 1. Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp. Ta có : sđ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây) Tương tự: sđ (Dx là tia đối của tia tiếp tuyến DE) Mà AC = BD (do ABCD là hình thang cân) nên Do đó . Vậy tứ giác AEDM nội tiếp được trong một đường tròn. 2. Chứng minh AB // EM. Tứ giác AEDM nội tiếp nên (cùng chắn cung ED) Mà (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung ) Suy ra:. Do đó EM // AB. 3. Chứng minh M là trung điểm HK. có HM // AB . có MK // AB Mà (định lí Ta let cho hình thang ABCD) Nên . Do đó MH = MK. Vậy M là trung điểm HK. 4. Chứng minh . ADB có HM // AB ta được: (1) (hệ quả định lí Ta let ) BCD có KM // CD ta được: (2) (hệ quả định lí Ta let ) Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được: Suy ra: , mà MH = MK nên 2HM = 2KM = HK Do đó: . Suy ra: (đpcm) Bài 110: Cho ABC với ba góc nhọn nội tiếp (O). Có H là trực tâm, BH cắt AC tại D cắt (O) tại M. CH cắt AB tại E cắt (O) tại N. Cmr: 1) ED // MN 2) OAED 3) Gọi P là điểm chính giữa cung nhỏ . Cmr: AP là phân giác của 4) Cho BC cố định A di động trên cung lớn . a) CMR: bán kính đường tròn ngoại tiếp AED luôn không đổi b) Tìm điều kiện của ABC sao cho OH//BC c) Tìm vị trí A để diện tích ABC lớn nhất d) Tìm vị trí của A để HA + HB + HC lớn nhất Bài 111: Cho nửa đường tròn đường kính AB, C trên cung AB. Kẻ CH AB. I, K là tâm đường tròn ngọai tiếp CAH, BCH,đường thẳng IK cắt CA, CB tại M, N 1) CMR: CM =CN 2) Xác định vị trí của C để tứ giác ABNM nội tiếp. 3)Kẻ . Cmr: khi C di động trên thì CD luôn đi qua một điểm cố định. 4) Tìm vị trí C để diện tích CMN lớn nhất . 5) CMR: . Trong đó lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp ABC; CHA; CHB. Bài 112: Cho 2 đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại hai điểm A; B. Kẻ tiếp tuyến chung của hai đường tròn ( tiếp điểm là D và E ), DE cắt tia AB tại M. Cmr: 1) . 2) M là trung điểm của DE. 3) Gọi N là điểm đối xứng của B qua M. Cmr: tứ giác ADNE nội tiếp . 4) Qua D kẻ đường thẳng // với AE, qua E kẻ đường thẳng // AD. Hai đường thẳng này cắt nhau tại S. Cmr: Bài 113: Cho (O) đường kính AB =2R trên OA lấy một điểm bất kì kẻ đường thẳng d vuông góc AB tại I. Cắt (O) tại hai điểm M; N trên IM lấy một điểm E (E khác M; I) nối AE cắt (O) tại K, BK cắt d tại D. 1) Cmr : IE. ID = MI2 2) Gọi B’ là điểm đối xứng củaB qua I. Cmr: tứ giác B’AED nội tiếp 3) Cmr : AE.AK + BI. BA = 4R2 4) Tìm vị trí I để chu vi MIO lớn nhất Bài 114: Cho điểm A ở ngoài đường tròn tâm O. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC (M B; M C). Gọi D, E, F tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các đờng thẳng AB, AC, BC; H là giao điểm của MB và DF; K là giao điểm của MC và EF. 1) Chứng minh : a) MECF là tứ giác nội tiếp . b) MF vuông góc với HK . 2) Tìm vị trí của M trên cung nhỏ BC để tích MD . ME lớn nhất . Bài 115: Cho ABC nội tiếp (O) có AC >AB. Gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ BC. P là giao điểm của AB và CD. Tiếp tuyến của đường tròn tại C cắt tiếp tuyến tại D và AD tại E và Q. Chứng minh : Tứ giác PACQ nội tiếp . DE//PQ. Nếu F là giao điểm của AD và BC thì : Bài 116: Từ một điểm S ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB và cát tuyến SCD của đường tròn đó. Gọi E là trung điểm của dây CD. Chứng minh 5 điểm S, A, E, O, B cùng thuộc một đường tròn Nếu SA = AO thì SAOB là hình gì? tại sao? c) Chứmg minh rằng: Bài 117: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R)( AB < CD). Gọi P là điểm chính giữa của cung nhỏ AB; DP cắt AB tại E và cắt CB tại K; CP cắt AB tại F và cắt DA tại I. Chứng minh: Tứ giác CKID nội tiếp Chứng minh: IK // AB. Chứng minh: Tứ giác CDFE nội tiếp Chứng minh: AP2 = PE .PD = PF . PC Chứng minh : AP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp DAED. Gọi R1, R2 là các bán kính đường tròn ngoại tiếp DAED và DBED.Chứng minh: R1 + R2 = Bài 118: Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M khác B, C). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DM, đường thẳng này cắt các đường thẳng DM và DC theo thứ tự tại H và K. 1. Chứng minh: Các tứ giác ABHD, BHCD nội tiếp đường tròn; 2. Tính ; 3. Chứng minh KH.KB = KC.KD; 4. Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC tại N. Chứng minh . Bài 119: Hình thang ABCD có đáy AD, BC ( AD > BC)nội tiếp (O). Kéo dài AB và CD cắt nhau tại I. Các tiếp tuyến của (O) tại B và D cắt nhau tại K. 1) Chứng minh BIKD nội tiếp và IK // BC 2) Vẽ hình bình hành BDKM. Đường tròn ngoại tiếp BKM cắt (O) fại N. Chứng minh: D, N, M thẳng hàng 3) Hình thang ABCD cần có thêm điều kiện gì để AIKD là hình bình hành? Khi đó chứng minh IC. IE = ID. CE với E là giao điểư của BK và ID. Hướng dẫn: 3) ( Hướng dẫn: ) Bài 120: Cho đường tròn (O) với dây BC cố định và một điểm A thay đổi trên cung lớn BC sao cho AC > AB và AC> BC. Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Các tiếp tuyến của (O) tại D và C cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB với CD; AD với CE. Chứng minh rằng: DE//BC Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp đường tròn. Gọi giao điểm của các dây AD và BC là F. Chứng minh: = + Hướng dẫn: 1) = Sđ = Sđ DE// BC (2 góc ở vị trí so le trong) 2) = sđ Tứ giác PACQ nội tiếp (vì ) 3) Tứ giác APQC nội tiếp (cùng chắn ) (cùng chắn ) Suy ra Ta có : = (vì DE//PQ) (1) , = (vì DE// BC) (2) Cộng (1) và (2) : (3) ED = EC (t/c tiếp tuyến); từ (1) suy ra PQ = CQ Thay vào (3) ta có : Bài 121: Cho đường tròn tâm O và ABC đều nội tiếp đường tròn đó. M là 1 điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC. a) Chứng minh MA = MB + MC b) Qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của ABC: Đường thẳng song song với BC cắt AB ở D; Đường thẳng song song với AC cắt Bc ở E; Đường thẳng song song với AB cắt AC ở F. Chứng minh các tứ giác MCFE và BDME nội tiếp. c) Chứng minh 3 điểm D, E, F thẳng hàng d) Gọi P là giao điểm của MA với BC. Chứng minh: Bài 122: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O). Đường thẳng BD và các tiếp tuyến với (O) tại A, C đồng qui tại S. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng: a) AB.DC = AD.BC b) HD: a) ΔSAB ΔSDA nên: (1) ΔSCB ΔSDC nên: (2) Do SA = SB và từ (1) và (2): Þ AB.DC = AD.BC b) Từ (1) và (2): . Tương tự phần a) Từ ΔIAB ΔIDC và ΔICB ΔIDA Þ Þ đpcm Bài 123: Cho ΔABC vuông cân ở A. AD là trung tuyến thuộc cạnh huyền, M là một điểm thay đổi trên đoạn AD. Gọi N, P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống AB và AC. H là hình chiếu vuông góc của N xuống đường thẳng PD. a) Xác định vị trí của N để ΔAHB có diện tích lớn nhất. b) CmR: Khi M thay đổi, HN luôn đi qua một điểm cố định. HD: a) Kẻ BE // AC cắt PD tại E Þ BE = PC = BN Þ . Mặt khác: Þ , HN là phân giác của . Þ . Dấu “=” xảy ra Û AH = BH Û H ≡ D ≡ M. b) HN luôn đi qua điểm chính giữa của nửa đường tròn đường kính AB (HN là phân giác ). Bài 124: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Một góc quay xung quanh B sao cho Bx cắt cạnh AD tại M, By cắt cạnh CD ở N (M, N không trùng với D). Gọi E, F tương ứng là giao điểm của BM, CN với AC. a) CmR: các tứ giác ABFM, BCNE, MEFN nội tiếp. b) CmR: MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định và chu vi ΔMND không đổi. c) Tìm vị trí của M, N và nêu cách dựng các điểm đó để ΔMND có diện tích lớn nhất. HD: a) Þ ABFM nội tiếp. Tương tự: BCNE nội tiếp. Þ. Tương tự: Þ đpcm b) Lấy điểm K trên tia đối của tia AD sao cho AK = CN: Þ BK = CN và Þ ΔKMB = ΔNBM (c.g.c)Þ BA = BL Þ MN tiếp xúc với (B, a) Lại có: ΔKBM = ΔNMB Þ KM = MN. Từ đó, suy ra: PΔMND = MN + ND + MD = KA + AM + MD + DN = CD + ND + MD + MA = 2a. c) Có: MD + ND + MN = 2a Þ MD + ND + = 2a Þ 4a2 = Mà: MD.ND = 2SMND Þ SMND . Dấu “=” xảy ra Û MD = ND Û Bài 125: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, M là một điểm bất kì trên nửa đường tròn (M khác A và B). Hạ MH ^ AB tại H. Gọi P, Q, I lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác MAH, MBH, AMB. a) Chứng minh điểm I là trực tâm của DMPQ b) Tìm quĩ tích điểm I khi điểm M di động trên nửa đường tròn c) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn để chu vi DPHQ lớn nhất HD: a) Dễ thấy: A, P, I thẳng hàng và B, Q, I thẳng hàng. Gọi K ≡ MP Ç AB: , Mặt khác: và Suy ra: ∆BMK cân tại B có BI là phân giác Þ BI ^ MK L ≡ AB Ç MQ Þ ∆AML cân Þ AI ^ ML Þ đpcm b) Thuận: Vậy điểm I thuộc cung chứa góc 1350 vẽ trên đoạn AB (thuộc cùng một nửa mặt phẳng chứa M) Đảo lại: Giả sử I’ là điểm bất kì thuộc cung chứa góc Þ Kẻ I’N ^ AB, vẽ (I’, I’N) kẻ hai tiếp tuyến AA’ và BB’ với (I’, I’N) gọi M’ là giao của AA’ và BB’. Ta cần chứng minh M’ Î (O) hay . Ta có: . c) Ta có: (Góc có cạnh t/ư vuông góc). Þ ∆MPH ∆BQH (g.g) nên: . Lạicó: Þ ∆HPQ ∆MAB(c.g.c). Ta có: Þ BHQF nội tiếp. Từ đó suy ra: ∆MEF cân tại M nên: ME = MF. ∆MQF = ∆MQH (c.g.c) Þ: MF = MH và QF = QH. PH = PE Þ CPQH = PH + QH + QP = EP + PQ + QF = EF = Vậy: CPQH lớn nhất Û MH lớn nhất Û H ≡ O. Khi đó: M là điểm chính giữa nửa đường tròn (O) Bài 126: Cho đường tròn (O ; R) và P là một điểm nằm bên trong đường tròn. Qua P vẽ hai dây AB và CD vuông góc với nhau. a) Chứng minh rằng PA2 + PB2 + PC2 + PD2 không đổi b) Gọi I là trung điểm của BC. Tìm quĩ tích điểm I HD: a) Kẻ đường kính BE. Ta có AE // CD Þ AC = DE. Áp dụng ĐL Pitago cho Dv.BED: BD2 + DE2 = BD2 + AC2 = BE2 = 4R2 Suy ra: PA2 + PB2 + PC2 + PD2 = AC2 + BD2 = 4R2 = Const c) Thuận: Gọi K là trung điểm của OP ta có: . Dv.PBC có PI là trung tuyến Þ IP = IB Þ OI2 + IB2 = OI2 + IP2 = OB2 = R2 Þ IK = Þ I thuộc đường tròn Đảo lại: Lấy điểm I’ thuộc đường tròn (K). Qua I’ dựng một đường thẳng vuông góc với OI’ gọi giao của đường thẳng này với (O) là B’, C’. Gọi giao điểm của B’P và C’P với (O) là A’, D’. Ta cần chứng minh A’B’ ^ C’D’. IK là trung tuyến của DOPI nên: mà: 2.IK2 = Þ = OB2. Mặt khác: OI2 + IB2 = OB2 Suy ra: IP = IB. Hay: IP = BC. Þ DPCB vuông tại P. Vậy: A’B’ ^ C’D’ Bài 127: Cho ba điểm A, B, C theo thứ tự nằm trên một đường thẳng d sao cho AB = 2, BC = 4. Một đường tròn di động (O) có tâm O và đi qua B, C. Gọi AT, AT’ là hai tiếp tuyến kẻ từ A đến (O), với T, T’ là hai tiếp điểm. a) Tìm quĩ tích các điểm T và T’ b) Vẽ đường kính MB của (O). Gọi P ≡ AM ∩ (O). Chứng minh: AM.AP = AO2 − OC2 c) Tìm quĩ tích các điểm M và P HD: a) Thuận: Ta chứng minh T’A2 = AT2 = AB.AC = Suy ra: T và T’ thuộc đường tròn (A; ) Đảo: Lấy một điểm T1 bất kì thuộc (A; ). Qua T1 vẽ một đường thẳng vuông góc với AT1 cắt trung trực của BC tại O’. Ta cần chứng minh AT1 là tiếp tuyến của (O’ ; O’B): Kẻ tiếp tuyến AT2 Ta có: AT22 = AB.AC = AT12 Þ O’T1 = O’T2 Þ OT1 là bán kính (O’). Suy ra: AT1 là tiếp tuyến của (O’). b) Ta có: AT2 = AM.AP. Mà AT2 = OA2 − OT2 hay: AT2 = OA2 − OC2 Þ AM.AP = OA2 − OB2 c) Quĩ tích M: Thuận: DBCM vuông tại C Þ CM ^ d Þ M thuộc đường thẳng c vuông góc với d tại C Đảo: Giả sử M’ thuộc đường thẳng c qua trung điểm I của BC kẻ một đường thẳng vuông góc với d giao với MB tại O1 Vẽ đường tròn (O1 ; O1B). Ta cần chứng minh M thuộc (O1 ; O1B). Ta có: OI // BC Þ OI là đường trung bình của DBMC Þ OB = OM Þ M Î (O1 ; O1B). * Quĩ tích P: Thuận: Ta có: Þ P thuộc đường tròn đường kính AB Đảo: Lấy một điểm P’ bất kì trên đường tròn đường kính AB. Qua C vẽ một đường thẳng vuông góc với d giao với AP tại M. Gọi O2 là giao của đường trung trực BC với BM, vẽ (O2 ; O2B) ta cần chứng minh: P và M thuộc (O2 ; O2B): OI là đường trung bình của DBMC nên OM = OB Þ M thuộc đường tròn. Ta có: = 900 nên P thuộc đường tròn đường kính BM hay: OP = OB. Bài 128: Cho hai đường tròn (O, R) và tiếp xúc ngoài tại A. Trên đường tròn (O) lấy điểm B sao cho AB = R và điểm M trên cung lớn AB. Tia MA cắt đường tròn (O’) tại điểm thứ hai là N. Qua N kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường thẳng MN tại Q và cắt đường tròn (O’) tại P. a) Chứng minh ΔOAM ΔO’AN. b) Chứng minh độ dài đoạn NQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M. c) Tứ giác ABQP là hình gì? tại sao? d) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác ABQN đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị đó theo R. HD: a) chứng minh được ΔOAM ΔO’AN. b) Từ a) suy ra: . Mặt khác: AB // NQ Þ c) ABQP là hình thang vì AB // NQ. sđsđ Mà: Þ Þ ABQP là hình thang cân. d) Kẻ AH ^ QN. Ta có: S = SABQN = (AB + QN).AH = (1,5R + R).AH = 2,5R.AH. Do đó: S max Û AH max. Mà AH ≤ AN Û H º N Û AN ^ NQ Û AN ^ AB tại A Û Û M là điểm đối xứng của điểm B qua điểm O. Khi đó, ΔAMB vuông tại A: AM2 = MB2 – AB2 = 4R2 – R2 = 3R2 Þ AM = . Do . Vậy: Max SANQB = Bài 129: Cho đường tròn (I ; R) nội tiếp DABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại các điểm A’, B’, C’. a) Gọi các giao điểm của (I) với các đoạn IA, IB, IC lần lượt là M, N, P. Chứng minh rằng các đường thẳng A’M, B’N, C’P đồng qui. b) AI kéo dài cắt đường tròn ngoại tiếp DABC tại D (khác A). chứng minh rằng: . HD: a) Chứng minh: A’M, B’N, C’P là ba phân giác của DA’B’C’. b) Gọi H là trung điểm của BI. Ta có: . Mặt khác: Suy ra: Þ DDBI cân tại D Þ DH là phân giác Þ Þ DHDI DA’CI. Suy ra: Þ IB.IC = ID.2IA’ = ID.2R Þ Bài 130: Cho DABC vuông ở A (AC > AB) hạ AH ^BC tại H. Đường tròn (H, HA) cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại P và Q (P, Q ≠ A). a) Chứng minh P, H, Q thẳng hàng và tứ giác BPCQ nội tiếp b) Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh: AM ^ PQ HD: a) , PQ là đường kính (A, HA) Þ Ba điểm P, H, Q thẳng hàng. ∆AHQ cân tại H: mà (Cùng phụ với ) Nên: Þ BPCQ nội tiếp. b) DMAB cân Þ = , . Mà Þ Do đó: Þ Vậy: PQ ^ AM tại E. Bài 131: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính BC và một điểm A trên nửa đường tròn (A khác B và C). Hạ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Trên nửa mặt phẳng có bờ BC chứa điểm A dựng hai đường tròn đường kính HB và HC, chúng lần lượt cắt AB và AC tại E và F. a) Chứng minh AE. AB = AF. AC. b) Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn đường kính HB và HC c) Gọi I và K lần lượt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC. Chứng minh ba điểm I, A, K thẳng hàng. d) Đường thẳng IK cắt tiếp tuyến kẻ từ B của nửa đường tròn (O) tại M. Chứng minh MC, AH, EF đồng qui. HD: a) DBEH có trung tuyến O’E ứng với cạnh BH bằng nên DBEH vuông tại E. Suy ra: HE ^ AB. Tương tự: HF ^ AC. Áp dụng hệ thức lượng với hai tam giác vuông AHB và AHC, ta có: AH2 = AE. AB, AH2 = AF. AC. Suy ra: AE. AB = AF. AC. b) Tứ giác AFEH là hình chữ nhật vì có ba góc vuông. Gọi D là giao điểm của AE và EF, ta có: DA = DH = DE = DF. DO1ED = DO1HD (c.c.c). Suy ra: . Do đó: EF ^ O’E tại E nên: EF là tiếp tuyến của đường tròn (O1). Tương tự: EF là tiếp tuyến (O2) Þ EF là tiếp tuyến chung c) Theo tính chất đối xứng ta có: Þ Þ Ba điểm I, A, K thẳng