Bài tập nâng cao chương tứ giác

BÀI 1: Cho hình thang ABCD ( AB//CD). a/ Chứng minh rằng nếu hai tia phân giác của hai góc A và D cùng đi qua trung điểm F của cạnh bên BC thì cạnh bên AD bằng tổng hai đáy. b/ Chứng minh rằng nếu AD = AB + CD thì hai tia phân giác của hai góc A và D cắt nhau tại trung điểm của cạnh bên BC. Giải: a) ABCD : AB//CD; ; ; Chứng minh: AB + DC = AD. Gọi . (1) Ta có : ( c - g - c) Suy ra: ; Mặt khác : ( vì ) Nên ( cùng phụ với 2 góc bằng nhau ) + DF : cạnh chung Vậy ( g - c- g) DE = DC (2) Từ (1) và (2), suy ra: AB + DC = AD (đpcm) b) ABCD : AB//CD; ; ; AB + DC = AD. Chứng minh: Gọi . Suy ra : DE = DC. Nên ( c - g - c) ) ; BF = EF (*) Tương tự: ( c - g - c) ) ; EF = FC (**) Mặt khác : (***) Từ (*); (**) và (***), suy ra : Hay ba điểm B; F và C thẳng hàng và FB = FC Nên F là trung điểm của BC. Bài 2: Cho DABC cân ở A. Gọi I là một điểm bất kỳ thuộc đường cao AH. Gọi D là giao điểm của BI và AC. E là giao điểm của CI và AB. a. CMR: AD = AE b. BEDC là hình gì ? c. Xác định vị trí của I để BE = ED = DC Giải: a) Xét nên AH là trung trực của BC; Suy ra : BI = CI; Mặt khác : Nên Xét và Có ; BI = CI; Nên = ( g - c - g) ) BE = DC mà AB = AC nên AD = AC - DC = AB - BE = AE. b) Từ AD = AE. Ta có : cân. Nên ( Cặp góc đồng vị) Suy ra: DE // BC ( Dhnb) và Vậy BCDE là hình thang cân ( dhnb) c) Để BE = ED thì cân tại E Mà ( Cặp góc so le trong) Suy ra : hay BD là đường phân giác của góc B Vậy I là giao điểm ba đường phân giác của Thì BE = DE = DC. BÀI 3 : Cho DABC, trên tia BA lấy D sao cho A là trung điểm BD. Trên tia CB lấy điểm E sao cho B là trung điểm CE. Hai đường thẳng AC và DE cắt nhau tại I. Chứng minh rằng: Giải: Qua B, vẽ BJ // AC; Xét . Ta có : AB = AD ( gt) IA // JB ( vì BJ // AC) Suy ra : ID = IJ ( Định lí) Tương tự : JB là đương trung bình của Nên IJ = JE Vậy DI = IJ = JE hay DI = BÀI 4: Cho hình bình hành ABCD. Các điểm E, F thuộc đường chéo AC sao cho AE = EF = FC. Gọi M là giao điểm của BF và CD; N là giao điểm của DE và AB. Chứng minh rằng: a. M, N theo thứ tự là trung điểm của CD, AB. b. EMFN là hình bình hành. Giải: a) Xét và : AD = BC; ; AE = CF Nên = ( c- g- c) ; DE = BF. ( 1) Mà Suy ra : ( cặp góc đồng vị) Nên DN // BM ( dhnb) Xét : EF = FC; MF // DE Suy ra : DM = MC Hay MF là đường trung bình của nên MF // DE; (2) + Tương tự: EN là đường trung bình của Nên AN = NB; (3) Từ (1); (2) và (3), suy ra : EN = MF; EN // MF nên . EMFN là hình bình hành. BÀI 5: Cho hình bình hành ABCD trong đó có AD = 2AB. Kẻ CE AB. Gọi M là trung điểm của AD, nối EM, kẻ MF vuông góc với CE; MF cắt BC tại N. a. tứ giác MNCD là hình gì ? b. EMC là tam giác gì ? c. Chứng minh rằng: Giải: a) Xét AECD : AE // CD ( gt ) AM = MD (gt) MF // AE ( vì cùng vuông góc với CE) Suy ra : EF = FC ( đlí 3) + Xét : NF // BE ( cm trên) EF = FC Suy ra : BN = NC. Vậy MNCD : MD = NC = ; MD // NC Nên MNCD là hình bình hành ( dhnb) b) cân tại M Vì MF vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến ứng với cạnh EC. c) Ta có : ( cặp góc soletrong) (*) Mặt khác : ( cặp góc soletrong) Mà ( vì cân tại M) Suy ra : (**)từ (*) và (**) Ta có : Bài 6: Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau ở O. Hai đường thẳng d1 và d2 cùng đi qua O và vuông góc với nhau. Đường thẳng d1 cắt các cạnh AB và CD ở M và P. Đường thẳng d2 cắt các cạnh BC và AD ở N và Q. a/ Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi. b/ Nếu ABCD là hình vuông thì tứ giác MNPQ là hình gì? Chứng minh. a) Vì O là tâm đối xứng của hình bình hành nên M và P; N và Q đối xứng với nhau qua O. Suy ra : OM = OP; ON = OQ. Nên ( CGV - CGV) Hay MNPQ là hình thoi. b) Nếu ABCD là hình vuông thì MNPQ là hình vuông. Vì nên Mà Nên Suy ra : Nên MNPQ là hình vuông. ( dhnb) BÀI 7. Cho tam giác ABC và O là một điểm thuộc miền trong của tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và L, M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn OA, OB, OC. Chứng minh rằng: Các đoạn thẳng EL, FM và DN đồng qui. Giải: Xét DFNM . Ta có : Vì DM là đường trung bình của Nên DM // AO; .Tương tự : NF // AO; Vậy DFNM là hình bình hành Gọi . Ta có : J là trung điểm của DN và MF. Chứng minh tương tự : EFLM là hình bình hành nên J cũng là trung điểm chung của MF và LE Hay EL, FM và DN đồng qui. Bài 8. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo ; E là điểm đối xứng của A qua B ; F là giao điểm của BC và ED ; G là giao điểm của BC và OE ; H là giao điểm của EC và OF. Chứng minh rằng A, G, H thẳng hàng. Giải: Vì O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD nên OA = OC AQ BQ CQ DQ OQ GQ EQ FQ HQ suy ra EO là trung tuyến của DEAC. Vì E đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của EA suy ra CB là trung tuyến của DEAC. Vì G là giao điểm của CB và EO nên G là trọng tâm của DEAC. (1) Mặt khác, ABCD là hình bình hành nên CD // AB, CD = AB, mà B là trung điểm của AE suy ra CD // BE, CD = BE. Do đó BECD là hình bình hành. Từ đó F là trung điểm của hai đường chéo ED và BC của hình bình hành BECD. Ta có OF là đường trung bình của DCAB nên OF // AB Þ OH // AE Þ HE = HC. Do đó AH là trung tuyến của DEAC. (2) Từ (1) và (2) suy ra A, G, H thẳng hàng (đpcm). Bài 9. Cho hình chữ nhật ABCD (AB < BC) có O là giao điểm của hai đường chéo. Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho CE = CD. Gọi F là hình chiếu của của D trên BE ; I là giao điểm của AB và CF ; K là giao điểm của AF và BC. Chứng minh rằng ba điểm O, K, I thẳng hàng Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD, AC = BD và OA = OB = OC = OD. Ta có CB ^ AI (vì ABCD là hình chữ nhật) Þ CB là đường cao của DCAI. (1) + DFBD vuông tại F (vì F là hình chiếu của D lên BE) có FO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BD nên OF = BD Þ OF = AC.+ DFAC có FO là đường trung tuyến ứng với cạnh AC mà FO = AC nên DFAC vuông tại F. Suy ra AF ^ CI hay AF là đường cao của DCAI. (2) + K là giao điểm của AF và CB nên từ (1) và (2) suy ra K là trực tâm của DCAI. Do đó IK ^ AC. (3) Mặt khác, tứ giác ABEC có AB = CE (cùng bằng CD) và AB // CE (vì AB // CD) nên là hình bình hành Þ BE // AC Þ BF //AC Þ ABFC là hình thang. Lại có DFDE vuông tại F, FC là trung tuyến ứng với cạnh DE (vì CD = CE) nên CF = CD Þ CF = AB (vì AB = CD). Suy ra BAC = FCA (cạnh huyền – cạnh góc vuông) Þ AF = BC. Hình thang ABFC có hai đường chéo AF và BC bằng nhau nên là hình thang cân. Suy ra Þ DIAC cân tại I Þ IO là trung tuyến đồng thời là đường cao. Hay IO ^ AC. (4) Từ (3) và (4) suy ra I, K, O thẳng hàng (đpcm). Bài 10: Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Trên AB lấy điểm E, trên CD lấy điểm F sao cho AE = CF. a. Chứng minh E đối xứng với F qua O b. Từ E dựng Ex // AC cắt BC tại I, dựng Fy // AC cắt AD tại K. Chứng minh rằng: EI = FK; I và K đối xứng với nhau qua O. Giải: a) Xét tứ giác AECF có :AE = CF; AE // CF Nên AECF là hình bình hành ( dhnb) Mà O là trung điểm của AC Nên O cũng là trung điểm của EF Vậy E và F đối xứng với nhau qua O. b) Xét EIFK : EI // KF ( cùng song song với AC) Mặt khác : Xét và : DF = EB ( Vì AE = CF) ( Vì ABCD là hình bình hành) + ( Cặp góc đồng vị) + ( Cặp góc đồng vị) Mà ( Cặp góc soletrong) Nên Suy ra : = ( g - c - g) EI = KF Vậy EIFK là hình bình hành ( dhnb) Suy ra : EI = FK và O là trung điểm của IK hay I và K đối xứng qua O. Bài 11: Cho hình chữ nhật ABCD, nối C với một điểm E bất kỳ trên đường chéo BD, trên tia đối của EC lấy điểm F sao cho EF = EC. Vẽ FH và FK lần lượt vuông góc với AB và AD. Chứng minh rằng: a) Tứ giác AHFK là hình chữ nhật b) AF song song với BD và KH song song với AC c) Ba điểm E, H, K thẳng hàng. Giải: a) Xét AHFK : nên AHFK là hình chữ nhật. b) * Xét OA = OC; EC = EF nên OE là đường trung bình của nên OE // AF hay AF // BD. * Tương tự : EJ là đường trung bình của Nên EJ // AC Mặt khác : cân tại J + ( cặp góc đồng vị) hay cân Suy ra : nên K; J và E thẳng hàng. Mà K; J và H thẳng hàng. Nên K; H và E cũng thẳng hàng và HK // AC. Bài tập 12. Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy hai điểm E và F sao cho BE = DF. Kẻ EH ^ AB, FK ^ CD (H Î AB, K Î CD). Gọi O là trung điểm của EF. Chứng minh rằng ba điểm H, O, K thẳng hàng. GIẢI Vì EH ^ AB, FK ^ CD và AB // CD nên EH // FK (1) Xét HBE và KDF có BE = DF, , Þ HBE = KDF (cạnh huyền – góc nhọn) Þ HE = KF (2) Từ (1) và (2) suy ra HEKF là hình bình hành ÞVì O là trung điểm của EF cũng là trung điểm của HK. Vậy O, H, K thẳng hàng (đpcm). Bài tập 13: Trong hình vuông ABCD lấy điểm E sao cho Trên nửa mặt phẳng bờ CD không chứa điểm E vẽ tam giác đều CDF. Chứng minh rằng B, E, F thẳng hàng. GIẢI: Xét :  = 1800 - ( 150 + 150) = 1500 ( Hoặc ( cùng bằng CD) Nên cân tại C ; Vậy Ta có : hay B, E, F thẳng hàng. Bài tập 14: Cho tam giác ABC vuông cân tại A .Điểm M thuộc cạnh BC .Gọi E và F theo thứ tự là hình chiêu của M trên AB ,AC.Chứng minh rằng khi M chuyển động trên BC thì a/ Chu vi của tứ giác MEAF không đổi . b/Đường thẳng đi qua M và vuông góc với EF luôn đi qua điểm K cố định . c/ Tam giác KEF có diện tích nhỏ nhất khi M là trung điểm của BC Giải: a) Xét MEAFL : Là hình chữ nhạt. Mặt khác : vuông cân Nên vuông cân Nên Cvi MEAF = AE + EM + FM + AF = 2( AF + FM) = 2( AF + FC) = 2AC không đổi vì AC không đổi. b) Gọi K là điểm đối xứng của A qua BC. Vì vuông cân nên AK cũng là đường trung trực của BC Suy ra : ABKC là hình vuông. Gọi ; H là hình chiếu của M xuống EF. Suy ra : + MPKQ là hình chữ nhật. + MFCQ; MEBP là hình vuông. Xét và : FM = KP ( = MQ); ME = MP ( 2 cạnh của hình vuông MEBP); Nên = ( c - g - c) Suy ra: Mặt khác : Nên hay M; H và K thẳng hàng. Vậy HM luôn đi qua điểm K cố định hay đường thẳng đi qua M vuông góc với EF luôn đi qua điểm K cố định. c) mà = Vậy nhỏ nhất khi lớn nhất. Mặt khác : = đạt giá trị lớn nhất khi AE = AF ( bđthức Cô si) Hay Max = Nên Min = Bài tập 15: Cho hình vuông ABCD, M Î đương chéo AC. Gọi E,F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AD, CD. Chứng minh rằng: a) BM ^ EF b) Các đường thẳng BM, AF, CE đồng quy. GIẢI : a) Tứ giác DEMF : Là hình chữ nhật. Xét và : EM = BK ( vì vuông cân) MF = MK ( = KC) Nên = ( c - g - c) Mặt khác : ( cặp góc đối đỉnh) Nên Vậy hay . b) Gọi Ta có : ( c - g - c) Nên hay Tương tự : Suy ra : Vậy BH; EJ và FI là ba đường cao của Nên đồng quy tại 1 điểm.