Bài tập nâng cao Hình học 9

Bài tập Nâng cao Chương 1 Bài 1: a) Tìm x và y trong mỗi hình bên (a) (b) b) Tìm x, y, z trong hình c (c) Bài 2: a) Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ hình và thiết lập các hệ thức tính các tỉ số lượng giác của góc B. từ đó suy ra các hệ thức tính các tỉ số lượng giác của góc C. b) Không dùng bảng và máy tính, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau đây theo thứ tự từ nhỏ đến lớn: sin240 ; cos350 ; sin540 ; cos700 ; sin780. c) Không dùng bảng số và máy tính, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn: cotg250 ; tg320 ; cotg180 ; tg440 ; cotg620. Bài 3: a) Dựng góc nhọn , biết rằng . b) Dựng góc nhọn , biết rằng . c) Dựng góc nhọn , biết Bài 4: 1. Cho tam giác DEF có ED = 7 cm, . Kẻ đường cao EI của tam giác đó. Hãy tính: a) Đường cao EI. b) Cạnh EF. 2. Giải tam giác vuông ABC, biết rằng , AB = 5, BC = 7. 3. Hãy tính các góc nhọn của một tam giác vuông, biết tỉ số hai cạnh góc vuông là 13 : 21. Bài 5: Cho tam giác ABD vuông tại B, AB = 6 cm, BD = 8 cm. Trên cạnh BD lấy điểm C sao cho BC = 3 cm. Từ D kẻ Dx // AB, nó cắt đường thẳng AC tại E. a) Tính AD. b) Tính các góc BAD, BAC. Từ các kết quả đó, có thể kết luận rằng Ac là tia phân giác của góc BAD không ?. c) Chứng minh tam giác ADE cân tại D. d) Chứng minh AC là tia phân giác của góc BAD. Bài 6: Cho hình vuông ABCD, cạnh AB = 1 đơn vị độ dài. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, AD. a) Tính diện tích hình cánh diều AICJ bằng các cách khác nhau. b) Tính sinICJ. Bài 7: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) đường cao AH, AB = 8 cm, CD = 12 cm, AD = 10 cm. a) Tính AH. b) Tính số đo góc ADC, suy ra số đo góc ABC. c) Tính AC. Vì sao ta không có hệ thức Bµi 8. Cho h×nh thang ABCD vu«ng t¹i B vµ C, AC ^ AD. BiÕt = 580, AC = 8. a) TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh AD, BC b) Chøng minh AC2 = AB.DC Bài 9: Cho rABC có . Kẻ BH ^ AC và CK ^ AB. a) chứng minh KH = BC.CosA b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh rMKH là tam giác đều Bài 10: Cho rABC có là góc nhọn. Chứng minh diện tích của tam giác đó là S=AB.AC.sinA. Aùp dụng: a) Tính biết AB = 4 cm, AC = 7 cm và b) Biết = (cm2), AB = 4 cm, AC = 5 cm. Tính số đo của Bài 11: Cho hình bình hành ABCD có < 900. Chứng minh diện tích của hình đó là S =AB.AD.sinA. Aùp dụng: Biết (cm2) , AB = 4,5 cm, AD = 6 cm. Tính số đo các góc của hình bình hành ABCD. Bài 12: Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O, tạo thành góc nhọn AOD. Chứng minh: . Aùp dụng: Cho hình vuông ABCD ( ), AB = 12 cm, AD = 9 cm, DC = 18 cm. Hai đường chéo cắt nhau tại O. Tính . Bài 13: Cho rABC (< 900). Trên cạnh AB lấy điểm B’, trên cạnh AC lấy điểm C’. Chứng minh: . Bài 14: Cho rABC có 3 góc nhọn, các cạnh đối diện với các góc theo thứ tự là a, b, c. Chứng minh: . Bài 15: Tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 6 cm, = 1200. Kẻ đường phân giác AD của . Tính độ dài của AD. Bài 16: Cho rABC có = 700, AB = 10 cm. Số đo của các góc B và C tỉ lệ với 4 và 3. Tính độ dài của các cạnh CA, CB và S(ABC). Bài 17: Cho rABC có , AB.AC = , AB:AC = . Tính số đo cạnh BC; và S(ABC) Bài 18: Cho hình chữ nhật ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Biết đường chéo AC = 14 cm, . Tính và độ dài các cạnh hình chữ nhật. Bài 19: Cho tam vuông ABC (= 900), cạnh AB = 3 cm. Kẻ trung tuyến AM. Biết Tính tgB và S(ABC). Bài 20: Cho hình bình hành ABCD ( ). a) Chứng minh : . b) Nếu CD = 6 cm, CA = 4 cm, thì tứ giác ABCD là hình gì?. Tính diện tích của tứ giác đó. Bài 21: Cho tam giác cân ABC ( AB = AC; < 900 ). Kẻ BK ^ AC. a) Chứng minh : . b) Chứng minh : . c) Biết , tính sinA. Bài 22: Cho tam giác vuông ABC ( = 900 ). Lấy điểm M trên cạnh AC. Kẻ AH ^ BM, CK ^ BM. a) Chứng minh : . b) Chứng minh : . Bài 23: Cho rABC có = 600. Kẻ BH ^ AC và CK ^ AB. a) Chứng minh : KH = BC.cosA. b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh rMKH là tam giác đều. Bài 24: Cho tam giác ABC có BC = a. . Về phía ngoài của rABC, vẽ các hình vuông ABDE và ACFG. Giao điểm các đường chéo của hai hình vuông là Q và N. Trung điểm của BC và EG là M và P. a) Chứng minh rAEC = rABG. b) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông. c) Biết . Tính diện tích hình vuông MNPQ theo a và . Bài 25: Cho hình chữ nhật MNPQ có 4 đỉnh nằm trên 4 cạnh của hình thoi ABCD ( M Ỵ AB, N Ỵ BC, P Ỵ CD, Q Ỵ DA ). Các cạnh hình chữ nhật song song với các đường chéo của hình thoi. Biết AB = 7 cm. . a) Tính diện tích hình thoi ABCD. b) Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích hình chữ nhật MNPQ đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó. Bài 26: Cho hình bình hành ABCD có đ.chéo AC lớn hơn đ.chéo BD. Kẻ CH ^ AD và CK ^ AB. a) Chứng minh rCKH ~ rBCA. b) Chứng minh . c) Tính diện tích tứ giác AKCH biết , AB = 4 cm và AD = 5 cm. Bài 27: Cho rABC (= 900 ). Từ trung điểm E của cạnh AC kẻ EF ^ BC. Nối AF và BE. a) Chứng minh AF = BE.cosC. b) Biết BC = 10 cm, sinC = 0,6. Tính diện tích tứ giác ABFE. c) AF và BE cắt nhau tại O. Tính . Bài 28: Cho hình vuông ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 4 cm. Trung điểm của AB và BC theo thứ tự là M và N. Nối CM và DN cắt nhau tại P. a) Chứng minh CM ^ DN. b) Nối MN, tính các tỉ số lượng giác của góc . c) Nối MD, tính các tỉ số lượng giác của góc và diện tích tam giác MDN. Bài 29: Cho hình chữ nhật ABCD; = 0,8 ; AD = 42 mm, kẻ CE ^ BD và DF ^ AC. a) AC cắt BD ở O, tính . b) Chứng minh tứ giác CEFD là hình thang cân và tính diện tích của nó. c) Kẻ AG ^ BD và BH ^ AC, chứng minh tứ giác EFGH là hình chữ nhật và tính diện tích của nó. Bài 30: Cho đoạn thẳng MN = 6 cm. Vẽ đường tròn tâm M bán kính 3,6 cm. Vẽ đường tròn tâm N bán kính 4,8 cm, chúng cắt nhau tại A và B. a) Chứng minh : b) Tính số đo các góc của rMAB. Bài 31: Cho tam giác vuông ABC ( = 900 ). Kẻ đường thẳng song song với cạnh BC cắt các cạnh góc vuông AB và AC tại M và N. Biết MB = 12 cm và NC = 9 cm, trung điểm của MN và BC là E và F . a) Chứng minh ba điểm A, E, F thẳng hàng. b) Trung điểm của BN là G. Tính độ dài các cạnh và số đo các góc của rEFG. c) Chứng minh rEFG ~ rABC. Bài 32: Cho rABC, kẻ AH ^ BC, biết BH = 9 cm, HC = 16 cm, tgC = 0,75. Trên AH lấy điểm O sao cho OH = 2 cm. a) Chứng minh rABC là tam giác vuông. b) Trên cạnh AB lấy điểm M, trên OB lấy điểm P và trên OC lấy điểm N sao cho . Tính độ dài các cạnh và số đo các góc của rMPN. Bài tập Nâng cao Chương 2 1. Định nghĩa và sự xác định đường tròn Bài1: Cho đường tròn (O; R) và 1 điểm M nằm trên (O; R). dựng điểm N sao cho MN vuông góc với OM đồng thời MN có độ dài bằng a cho trước. a) Tìm tập hợp điểm N. b) Tìm tập hợp chân đường vuông góc hạ từ M xuống ON. c) Tìm hệ thức giữa a và R để cho đường tròn (O; R) là tập hợp trọng tâm của rMON. Bài 2: Cho 1 đoạn thẳng cố định AB có độ dài bằng 2a. Gọi I là trung điểm của AB. K là trung điểm của IB Trên tia Kx kẻ tuỳ ý, lấy 1 điểm M sao cho . a) So sánh hai tam giác KMB và MAB. b) Tìm tập hợp điểm M. c) Dựng điểm M với a = 3 cm. (không dùng thước đo góc). Bài 3: Cho một hình vuông ABCD, cạnh bằng a. Một đoạn thẳng MN có độ dài thay đổi, M chạy trên AB, N chạy trên CD sao cho chu vi tam giác AMN luôn luôn không đổi và bằng 2a. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ C xuống MN. Chứng minh rằng H luôn nằm trên một đường tròn cố định. Bài 4: Cho bốn điểm A, B, C, D nằm trên cùng một đường thẳng theo thứ tự đó. a) Hãy dựng đường tròn (O), (O1), (O2), (O3) có đường kính là AD, AB, BC, CD. b) CMR mọi điểm nằm trên (O1), (O2), (O3) không kể hai điểm A và D đều nằm trong (O). c) CMR mọi điểm nằm trên (O2) không kể hai điểm B và C đều nằm ngoài (O1) và (O3) Bài 5: Cho hai điểm A và B cố định. Một đ.thẳng d đi qua A. Gọi P là điểm đối xứng của B qua d. a) Tìm quĩ tích các điểm P khi d quay xung quanh điểm A. b) Xác định vị trí của d để BP có độ dài lớn nhất, có độ dài bé nhất. Bài 6: Cho hình thang cân ABCD (AD // BC); . a) Chứng minh A, B, C, D nằm trên cùng một đường tròn. Hãy xác định tâm O và bán kính của đường tròn này. b) Chứng minh AC ^ OB. Bài 7: Cho rABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AH, AB, AC. Chứng minh OPNQ là hình bình hành. Bài 8: Cho rABC, các góc đều nhọn. Vẽ đường tròn tấm đường kính AB, vẽ đường tròn tâm O đường kính AC. Đường thẳng OS cắt đường tròn (S) tại D và E, cắt đường tròn (O) tại H và K (các điểm xếp đặt theo thứ tự D, H, E, K). a) Chứng minh BD, BE là những đường phân giác của góc ; CK, CH là những đường phân giác của góc . b) Chứng minh BDAE, AHCK là những hình chữ nhật. Bài 9: Cho đường tròn (O) dường kính AB. Vẽ bán kính OC vuông góc với AB tại O. Lấy điểm M trên cung AC. Hạ MH ^ OA. Trên bán kính OM lấy điểm P sao cho OP = MH. a) Tìm quĩ tích các điểm P khi M chạy trên cung AC.. b) Tìm quĩ tích các điểm P lấy trên bán kính OM sao cho OP bằng khoảng cách từ M đến AB khi M chạy khắp đường tròn (O). 2. Tính chất đối xứng của đường tròn Bài 1: Cho hai đường tròn bằng nhau (O ; R) và (O’; R) và hai dây AB, CD bằng nhau theo thứ tự thuộc hai đường tròn ấy sao cho B và C nằm giữa A và D và AB < 2R. a) Chứng minh rằng AD // OO’. b) Chứng minh rằng AC = OO’ = BD. c) Gọi I là trung điểm của AD, chứng tỏ rằng điểm I nằm trên một đường cố định khi các dây AB, CD thay đổi vị trí sao cho AB, CD luôn luôn bằng nhau và B, C luôn nằm giữa A, D. Bài 2: Cho bốn điểm A, B, C, D nằm trên một đường tròn (O) sao cho AB là đường kính. Gọi I, K lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ A và B xuống đường thẳng CD. Chứng minh CI = DK. Bài 3: Cho đường tròn (O ; R) và đường kính CD vuông góc với dây AB tại điểm I. a) Tìm công thức tính R theo AI, CI. b) Miệng của một tháp nước hình vành khăn bị vỡ gần hết, chỉ còn sót lại một mảng cung tròn. Hãy tìm cách đo đạc trên mảng còn lại đó để tính đường kính của miệng tháp ấy. Bài 4: Cho đường tròn (O ; R) và hai điểm A, B với AB < 2R. Dựng qua A, B hai đường thẳng song song sao cho chúng tạo thành với đường tròn (O ; R) hai dây bằng nhau. Bài 5: Cho hình thang cân ABCD (AD // BC) và giao điểm I của hai đường chéo. Chứng minh rằng I là điểm chung duy nhất của đường tròn (O ; R) đi qua ba điểm I, A, D với đường tròn (O’ ; R’) đi qua I, B, C. Bài 6: Cho rABC cân tại A có ba đỉnh nằm trên đường tròn (O ; R). Các đường phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau tại E và lần lượt cắt đường tròn tại D và F. Chứng minh ADEF là hình thoi. Bài 7: Cho góc . Lấy điểm I cố định trên tia phân giác Ot của góc xOy làm tâm vẽ đường tròn sao cho nó cắt Ox tại A, Oy tại B (A và B không đối xứng nhau qua Ot). Hạ ID ^ Ox, IE ^ Oy. a) Chứng minh DA = EB. b) Gọi T là tâm đường tròn qua A, I, B. Chứng minh rTAI, rTBI là các tam giác đều. Xác định vị trí của T một cách nhanh nhất. c) Tìm quĩ tích điểm T khi đường tròn tâm I có độ lớn bán kính thay đổi (nhưng vẫn cắt Ox, Oy). d) Tìm quĩ tích điểm H, trực tâm của rAIB (theo điều kiện câu c). Bài 8: Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) đường cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy điểm K rồi dựng hình chữ nhật AHKO. Lấy O làm tâm, vẽ đường tròn bán kính OK, đường tròn này cắt cạnh AB tại D, cắt cạnh AC tại E. Gọi F là giao điểm thứ hai của đường tròn (O) với đường thẳng AB. Chứng minh: a) rAEF là tam giác cân. b) DO ^ OE. c) D, A, O, E nằm trên cùng một đường tròn. Bài 9: Cho hai điểm A, B ở ngoài đường tròn tâm O. Hãy dựng một đường kính CD sao cho CA = DB. 3. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Tiếp tuyến của đường tròn Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’). Một tiếp tuyến chung ngoài MM’, một tiếp tuyến chung trong NN’ (M, N nằm trên (O) ; M’, N’ nằm trên (O’)). Các đường thẳng MM’ , NN’ cắt nhau tại tiếp điểm P và các dây MN, M’N’ cắt PO, PO’ tương ứng tại các điểm Q, Q’. a) Chứng minh rằng các tam giác MPO, M’O’P đồng dạng, suy ra . b) Chứng minh rằng . c) Kéo dài MQ, M’Q’ cắt nhau tại điểm I. Chứng minh rằng ba điểm O, I, O’ thẳng hàng. Bài 2: Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O ; R). Kẻ tiếp tuyến MA và cát tuyến MBC đi qua O. a) Chứng minh rằng các tam giác MAB, MCA đồng dạng. Suy ra: MA2 = MB.MC. bính R, biết MA = 20 cm ; MB = 8 cm. Bài 3: Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O ; R). Các tiếp tuyến MA, MB có độ dài bằng a và tạo với nhau một góc . a) Tính bán kính R theo a và . b) Dựa vào câu a, hãy nêu tên phương pháp tính bán kính đáy của một chiếc cột hình trụ, của một cái chum đang đựng đầy nước. Bài 4: Cho góc xAy và một điểm M nằm trong góc ấy. Tìm trên Ax một điểm I sao cho khoảng cách từ I đến Ay bằng IM. Bài 5: Cho tam giác cân OAB trong đó OA = OB và , một đường tròn (O ; R) với R < OA. Hạ đường cao OH của tam giác OAB và kẻ từ A, B các tiếp tuyến AM, BN với đường tròn (O ; R) sao cho chúng không đối xứng với nhau qua OH. Gọi giao điểm của các đường thẳng AM với BN là I. Chứng minh rằng độ lớn góc AIB không phụ thuộc vào R. Bài 6: Cho tam giác cân có cạnh đáy bằng 10 cm, các cạnh bên bằng 13 cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác. Bài 7: Tìm cạnh đáy của một tam giác cân, nếu tâm đường tròn nội tiếp chia đường cao thành hai đoạn từ tâm dến chân đường cao và từ tâm đến đỉnh theo tỉ số . Bài 8: Tìm đường kính của đường tròn nội tiếp một tam giác vuông nếu cạnh huyền bằng c và tổng các cạnh góc vuông bằng m. Bài 9: Cho góc . Một đường tròn tâm I bán kính R = 5 cm, tiếp xúc với Ox tại A, tiếp xúc với Oy tại B. Từ M thuộc cung nhỏ AB vẽ tiếp tuyến thứ ba, nó cắt Ox tại E, cắt Oy tại F. a) Tính chu vi rOEF. Chứng tỏ rằng chu vi đó có giá trị không đổi khi M chạy trên cung nhỏ AB. b) Chứng minh có số đo không đổi khi M chạy trên cung nhỏ AB. Bài 10: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và một dây AC tạo với AB góc 300. Tiếp tuyến của đường tròn tại C cắt đường thẳng AB tại D. Chứng minh rằng: a) rOAC ~ rCAD. b) DB.DA = DC2 = 3R2. Bài 11: Cho rABC vuông tại A, đường cao AH. Đường tròn tâm I đường kính BH cắt AB tại E, đường tròn tâm J đường kính HC cắt AC tại F. Chứng minh rằng: a) AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (J) tại H. b) EF là tiếp tuyến của (I) tại E, tiếp tuyến của (J) tại F. Bài 12: Cho rABC cân tại A. Đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh: a) Đường tròn đường kính AI đi qua K. b) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI. Bài 13: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy điểm D trên bán kính OB. Gọi H là trung điểm của AD. Đường vuông góc tại H với AB cắt nửa đường tròn tại C. Đường tròn tâm I đường kính DB cắt CB tại E. a) Tứ giác ACED là hình gì ? b) Chứng minh rHCE cân tại H. c) Chứng minh HE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I. Bài 14: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Lấy M là một điểm tùy ý trên nửa đường tròn, vẽ đường tiếp tuyến, nó cắt Ax tại C, cắt By tại D. Gọi A’ là giao điểm của BM với Ax, B’ là giao điểm của BM với By. Chứng minh rằng: a) rA’AB ~ rABB’ , suy ra AA’.BB’ = AB2. b) CA = CA’ ; DB = DB’. c) Ba đường thẳng B’A’, DC, AB đồng qui. Bài 15: Cho đường tròn tâm O, tiếp tuyến Ax tại điểm A của đường tròn. Trên Ax chọn hai điểm B, C tùy ý (C nằm giữa A và B) vẽ hai tiếp tuyến BD, CE với đường tròn đã cho. a) Chứng minh: . b) Giả sử B, C ở về hai phía đối với điểm A, chứng minh rằng trong trường hợp này =1800. 4. Vị trí tương đối của hai đường tròn Bài 1: Cho hai đường tròn (O ; 4 cm) và (O’ ; 3 cm) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B. biết OO’ = 5 cm. Từ B vẽ 2 đường kính BOC và BO’D. a) Chứng minh 3 điểm C, A, D thẳng hàng; b) Chứng minh tam giác OBO’ là tam giác vuông; c) Tính diện tích các tam giác OBO’ và CBD; d) Tính độ dài các đoạn AB, CA, AD. Bài 2: Hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại điểm A. Đường thẳng OO’ cắt hai đường tròn (O) và (O’) lần lượt ở B và C (khác điểm A). DE là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn, D Ỵ (O) ; E Ỵ (O’). Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng BD và CE. Chứng minh rằng: a) ; b) MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’); c) MD.MB = ME.MC. Bài 3: Cho đường tròn (O ; R), một điểm A nằm trên đường tròn và một điểm B không nằm trên đường tròn ấy. a) Hãy nêu cách dựng qua B một đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn đã cho tại A. b) Không cần dựng, hãy căn cứ vào các dữ kiện sau đây để xác định xem trường hợp nào dựng được, trường hợp nào không dựng được đường tròn (O’) đi qua B tiếp xúc trong với (O) (hoặc tiếp xúc ngoài (O)) tại A. · R = 2 cm ; AB = 4 cm ; BO = 4,5 cm. · R = 5 cm ; AB = 12 cm ; BO = 13 cm. · R = 3 cm ; AB = 4 cm ; BO = 3,5 cm. Bài 4: Cho một đường tròn (O ; R), một đường tròn (O1 ; r1) tiếp xúc trong với (O ; R) và một đường tròn (O2 ; r2) vừa tiếp xúc trong với (O ; R) vừa tiếp xúc ngoài với (O1 ; r1). a) Tính chu vi tam giác OO1O2 theo R. b) Dựng hai đường tròn (O1 ; r1) và (O2 ; r2) biết R = 3 cm ; r1 = 1 cm. Bài 5: Cho đường tròn (O ; R), đường thẳng d và điểm A nằm trên d. Dựng đường tròn tiếp xúc với (O ; R) đồng thời tiếp xúc với d tại A. Bài 6: Cho hình vuông ABCD, đường tròn tâm A, bán kính AB cắt đường tròn đường kính CD tại điểm M (M ≠ D). Chứng minh rằng đường thẳng DM đi qua trung điểm I của BC. Bài 7: Cho đường tròn (O ; R) tiếp xúc trong đường tròn (O’ ; R’) , R’ > R, tại điểm A. Đường thẳng OO’ cắt hai đường tròn ấy lần lượt tại điểm thứ hai B, B’. Chứng minh rằng tiếp tuyến chung ngoài của các đường tròn đường kính OO’, BB’ đi qua A. Bài 8: Cho hai đường tròn có bán kính bằng nhau cắt nhau tại A và B. Trong cùng nửa mặt phẳng bờ OO’, vẽ hai bán kính OC và O’D song song với nhau. Gọi D’ là điểm đối xứng của D qua O’. a) Chứng minh AB, OO’, CD’ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. b) Chứng minh A là trực tâm của tam giác BCD. Bài 9: Cho hình bình hành ABCD (AB > AD). Lấy A làm tâm vẽ đường tròn bán kính AD, nó cắt AB tại E. Lấy B làm tâm vẽ đường tròn bán kính BE, nó cắt tiếp đường thẳng DE tại F. a) Chứng minh hai đường tròn (A ; AD) và (B ; BE) tiếp xúc nhau. b) Chứng minh F, B, C thẳng hàng. Bài 10: Cho đường tròn tâm O và điểm A cố định thuộc đường tròn (O). Cho đường thẳng d ở ngoài đường tròn. Hãy dựng đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng d đồng thời tiếp xúc với (O) tại A. Bài 11: Cho hai đường tròn (O) và (O’) bán kính lần lượt là 3R và R tiếp xúc ngoài nhau tại A. Đường thẳng d1 qua A cắt (O) tại B, cắt (O’) tại B’. Đường thẳng d2 vuông góc với d1 tại A cắt (O) tại C, cắt (O’) tại C’. a) Chứng minh BC’, CB’ và OO’ đồng qui tại một điểm M cố định. b) Chứng minh các tiếp tuyến chung ngoài PP’ và TT’ cắt nhau tại M. c) Gọi I là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC’. Tìm quĩ tích điểm I khi d1 và d2 thay đổi vị trí (vẫn qua A và vuông góc với nhau). Bài 12: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại A. Góc vuông xAy quay xung quanh điểm A, Ax cắt (O) tại B, Ay cắt (O’) tại C. a) Chứng minh OB // O’C. b) Gọi C’ là điểm đối xứng của C qua O’. Chứng minh B, A, C’ thẳng hàng. c) Qua O vẽ d ^ AB, nó cắt BC tại M. Tìm quĩ tích điểm M khi các dây AB, AC thay đổi vị trí nhưng vẫn vuông góc với nhau. Bài 13: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp rABC có bán kính lần lượt là R và r. Tính diện tích rABC biết rằng . Bài 14: Cho tam nhọn ABC, phân giác CD. Lấy D làm tâm vẽ nửa đường tròn bán kính R tiếp xúc với AC tại E, tiếp xúc với CB tại F. Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với nửa đường tròn (D) tại K, và tiếp xúc với hai cạnh AC và BC của rABC. a) Chứng minh C, O, D thẳng hàng. b) Tính bán kính đường tròn tâm O biết AC = b, BC = a, . 5. ôân tập chương II Bµi 1: Cho ®­êng trßn (O) vµ (O’) tiÕp xĩc ngoµi nhau t¹i A. Gäi BC lµ tiÕp tuyÕn chung ngoµi cđa (O) vµ (O’); B, C lµ hai tiÕp ®iĨm. TiÕp tuyÕn chung trong cđa hai ®trßn t¹i A c¾t BC t¹i M. Chøng minh r»ng A, B, C thuéc ®­êng trßn ( M ; BC/2 ) §­êng th¼ng OO’ cã vÞ trÝ g× ®èi víi ®­êng trßn ( M ; BC/2 ) X¸c ®Þnh t©m cđa ®­êng trßn ®i qua 3 ®iĨm O, O’, M. Chøng minh r»ng BC lµ tiÕp tuyÕn cđa ®­êng trßn ®i qua 3 ®iĨm O, O’, M. Bµi 2: Cho ®o¹n th¼ng AB vµ trung ®iĨm O cđa AB. Trªn mét nưa mỈt ph¼ng bê AB kỴ hai tia Ax, By vu«ng gãc víi AB. Mét gãc vu«ng cã ®Ønh lµ O cã hai c¹nh c¾t Ax vµ By t¹i C vµ D. Gäi C’ lµ giao ®iĨm cđa tia CO víi tia ®èi cđa tia By. Chøng minh: Tam gi¸c CDC’ lµ tam gi¸c c©n. §­êng th¼ng CD lµ tiÕp tuyÕn cđa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. §­êng trßn ngo¹i tiÕp rCOD lu«n tiÕp xĩc víi mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh khi gãc vu«ng t¹i O thay ®ỉi Bµi 3: Cho hai ®­êng trßn (O) vµ (O’) ngoµi nhau. C¸c tiÕp tuyÕn chung ngoµi MN, PQ ( M,P n»m trªn (O); N, Q n»m trªn (O’) ). CMR: MN ®èi xøng víi PQ qua ®­êng th¼ng OO’. CMR: 4 ®iĨm M, N, P, Q n»m trªn mét ®­êng trßn. Nèi MQ c¾t (O), (O’) t­¬ng øng t¹i c¸c ®iĨm thø hai A, B. Chøng minh MA = QB. Bµi 4: Cho ®­êng trßn (O) vµ tiÕp tuyÕn xy t¹i tiÕp ®iĨm C n»m trªn (O). CMR nÕu d©y AB song song víi xy th× CA = CB. CMR nÕu mét ®­êng th¼ng d song song víi xy ®ång thêi tiÕp xĩc víi (O) t¹i mét ®iĨm D th× 3 ®iĨm C, O, D th¼ng hµng. Cho hai ®­êng th¼ng song song d1 , d2 c¸ch nhau mét kho¶ng b»ng 3 cm, mét ®iĨm M n»m gi÷a hai ®­êng th¼ng d1 , d2 vµ c¸ch d1 mét kho¶ng b»ng 1 cm. H·y dùng mét ®­êng trßn ®i qua M vµ tiÕp xĩc d1 , d2. Bµi 5: Cho 2 ®­êng trßn (O) vµ (O’) tiÕp xĩc víi nhau t¹i A. Qua A kỴ ®­êng th¼ng a c¾t (O) t¹i C, c¾t (O’) t¹i C’ vµ ®­êng th¼ng b c¾t (O) t¹i B, c¾t (O’) t¹i B’. Chøng minh BC // B’C’. Bài tập Nâng cao Chương 3 (Góc với đường tròn) §1. Góc ở tâm - Số đo của cung - Liên hệ giữa cung và dây Bài 1: Trên đường tròn (O ; R) có 5 điểm A, B, C, D, E trong đó AB là đường kính; C là điểm chính giữa của cung AB; Tia OE nằm giữa các tia OA, OC và dây CD bằng R. Ngoài ra, D và E không thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và . Tính độ lớn của tất cả các góc ở tâm nhỏ hơn 3600 có chứa OC. Bài 2: Gọi điểm chính giữa của một cung của một đường tròn (O ; R) là I, trung điểm của dây trương cung ấy là K. Chứng minh rằng đường thẳng IK đi qua O. Bài 3: Chứng minh rằng trong một đường tròn với hai cung nhỏ hơn 1800, cung nào lớn hơn thì có khoảng cách giữa điểm chính giữa của cung với trung điểm của dây lớn hơn, và đảo lại. Bài 4: Cho đường tròn (O ; r). Tìm hai cung không lớn hơn nửa đường tròn, biết rằng cung này lớn gấp ba lần cung kia đồng thời có dây trương cung lớn gấp đôi dây trương cung nhỏ. Bài 5: Cho đường tròn (O). Hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau tại I. Trung điểm của các dây cung BC và AD theo thứ tự là M, N. Chứng minh rằng . Bài 6: Trên nửa đường tròn đường kính EF, tâm O, người ta lấy ba điểm A, B, C theo thứ tự E, A, B, C, F. Gọi M là điểm thuộc cung BC mà . a) Chứng minh . b) Chứng minh Bài 7: Cho tam giác nhọn ABC. Đường tròn tâm I, đường kính AB, và đường tròn tâm K đường kính AC cắt nhau tại H (AB < AC). a) Chứng minh điểm H nằm trên cạnh