Bài tập ôn tập hè Toán 8 năm 2012 - 2013

PHẦN I: CÁC DẠNG BẠI TẬP CƠ BẢN: Bài tập 1 : Thực hiện các phép tính sau: a) (2x - y)(4x2 - 2xy + y2) b) (6x5y2 - 9x4y3 + 15x3y4): 3x3y2 c) (2x3 - 21x2 + 67x - 60): (x - 5) d) (x4 + 2x3 +x - 25):(x2 +5) e) (27x3 - 8): (6x + 9x2 + 4) Bài tập 2 : Thực hiện các phép tính sau:a) + b) c) + + d) Bài tập 3:Rút gọn: a) (x + y)2 - (x - y)2 b) (a + b)3 + (a - b)3 - 2a3 c) 98.28 - (184 - 1)(184 + 1) Bài tập 4 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a/ a2 – b2 – 4ab + b/ x2 + 2x – 3 c/ 4x2y2 – (x2 + y2)2 d/ 2a3 – 54b3 Bài tập 5 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2 - y2 - 2x + 2y b)2x + 2y - x2 - xy c) 3a2 - 6ab + 3b2 - 12c2 d)x2 - 25 + y2 + 2xy e) a2 + 2ab + b2 - ac - bc f)x2 - 2x - 4y2 - 4y g) x2y - x3 - 9y + 9x h)x2(x-1) + 16(1- x) n) 81x2 - 6yz - 9y2 - z2 m)xz-yz-x2+2xy-y2 p) x2 + 8x + 15 k) x2 - x - 12l Bài tập 6 : Cho biểu thức: a) Rút gọn A. b) Tính giá trị của biểu thức A tại x thoả mãn: 2x2 + x = 0 c) Tìm x để A= d) Tìm x nguyên để A nguyên dương. Bài tập 7 : Cho biểu thức : a) Rút gọn B. b) Tính giá trị của biểu thức B tại x thoả mãn: |2x + 1| = 5 c) Tìm x để B = d) Tìm x để B < 0. Bài tập 8 : Cho biểu thức a/ Rút gọn biểu thức A b/ Tính giá trị của A tại x, biết c/ Tìm giá trị của x để A < 0 Bài tập 9 : Giải các phương trình sau a/ b/ c/ Bài tập 10 : Giải phương trình Bài tập 11 : Giải các phương trình a/ b/ Bài tập 12 : Giải các ph ương trình a/ 3x2 + 2x – 1 = 0 b/ Bài tập 13 : Giải các phương trình sau: a) 2x(x – 3) + 5(x – 3) = 0 b) (x2 – 4) – (x – 2)(3 – 2x) = 0 c) (2x + 5)2 = (x + 2)2 d) x2 – 5x + 6 = 0 e) 2x3 + 6x2 = x2 + 3x Bài tập 14 : Giải các phương trình sau: Bài tập 15 : Giải các phương trình sau: a) |x - 5| = 3 b) |- 5x| = 3x – 16 c) |x - 4| = -3x + 5 d) |3x - 1| - x = 2 e) |8 - x| = x2 + x Bài tập 16 : .Giải các bất phương trình sau rồi biểu diễn tập nghiệm trên trục số: a) (x – 3)2 < x2 – 5x + 4 b) x2 – 4x + 3 ³ 0 c ) (x – 3)(x + 3) £ (x + 2)2 + 3 d) x3 – 2x2 + 3x – 6 < 0 Bài tập 18 : Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 25km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc 30km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút. Tính quãng đường AB Bài tập 19 : Một xí nghiệp dự định sản xuất 1500 sản phẩm trong 30 ngày. Nhưng nhờ tổ chức lao động hợp lý nên thực tế đã sản xuất mỗi ngày vượt 15 sản phẩm. Do đó xí nghiệp đã sản xuất không những vượt mức dự định 255 sản phẩm mà còn hoàn thành trước thời hạn. Hỏi thực tế xí nghiệp đã rút ngắn được bao nhiêu ngày. Bài tập 20 : Lúc 7 giờ sáng, một người đi xe đạp khởi hành từ A với vận tốc 10km/h. Sau đó lúc 8 giờ 40 phút, một người khác đi xe máy từ A đuổi theo với vận tốc 30km/h. Hỏi hai người gặp nhau lúc mấy giờ. Bài tập 21 : Lúc 6 giờ, một ôtô xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình 40km/h. Khi đến B, người lái xe làm nhiệm vụ giao nhận hàng trong 30 phút rồi cho xe quay trở về A với vận tốc trung bình 30km/h. Tính quãng đường AB biết rằng ôtô về đến A lúc 10 giờ cùng ngày. II)HÌNH HỌC 1)Cho hình bình hành ABCD có BC=2AB và góc A=600.Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của BC và AD a)Tứ giác ECDF là hình gì ? b)Tứ giác ABED là hình gì? Vì sao? c)Tính số đo của góc AED 2)Cho tam giác ABC, E và D lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB và AC.Gọi G là giao điểm của CE và BD;H và K là trung điểm của BG và CG a)Tứ giác DEHK là hình gì? Vì sao? b)Tam giác ABC cần thoả mãn điều kiện gì thì tứ giác DEHK là hình chữ nhật c)Trong điều kiện b hãy tính tỉ số diện tích của hình chữ nhật DEHK với diện tích tam giác ABC 3)Cho tam giác ABC.Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC.Gọi H là điểm đối xứng của N qua M a)Chứng minh các tứ giác BNCH và ABHN là hình bình hành b)Tam giác ABC thoả mãn điều kiện nào thì BCNH là hình chữ nhật 4)Cho tứ giác ABCD.Gọi O là giao điểm của hai đường chéo (không vuông góc)I và K lần lượt là các trung điểm của BC và CD.Gọi M và N theo thứ tự là điểm đối xứng của điểm O qua tâm I và K a)Chứng minh rằng: tứ giác BMND là hình bình hành b)Với điều kiện nào của hai đường chéo AC và BD thì tứ giác BMND là hình chữ nhật c)Chứng minh 3 điểm M, C, N thẳng hàng 5)Cho hình bình hành ABCD.Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và BC.Đường chéo AC cắt các đoạn thẳng BE và DF theo thứ tự P và Q a)Chứng minh tứ giỏc BEDF là hình bình hành b)Chứng minh AP=PQ=QC Gọi R là trung điểm của BP.Chứng minh tứ giác ARQE là hình bình hành PHẦN II:ĐỀ TỔNG HỢP Đề I Bài 1. (0,5 điểm) Tìm điều kiện của x để biểu thức sau là phân thức Bài 2. (0,5 điểm) Rút gọn phân thức với x≠0, với x≠1 Bài 3: Thực hiện phép tính. (2 điểm) a) b) Bài 4 : Cho biểu thức. (3 điểm) A= ( + - ) : (1 - ) (Với x ≠ ±2) a) Rút gọn A. b) Tính giá trị của A khi x= - 4. c) Tìm xÎZ để AÎZ. Bài 5: (3,5đ) Cho ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi I là trung điểm BC. Qua I vẽ IM AB tại M và IN AC tạ N. a/ Tứ giác AMIN là hình gì? Vì sao? b/ Gọi D là điểm đối xứng của I qua N. Chứng minh ADCI là hình thoi. c/ Đường thẳng BN cắt DC tại K. Chứng minh . Bài 6 : ( 0,5đ)Cho xyz = 2012 Chứng minh rằng : Đề 2 Câu 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. a/ 3a +3b – a2 – ab b/ x2 + x + y2 – y – 2xy c/ - x2 + 7x – 6 Câu 2: Cho biểu thức M = . a.Rút gọn M b.Tính giá trị của M khi . c.Tìm giá trị của x để M luôn có giá trị dương. Câu 3: Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của BC và AD. Gọi P là giao điểm của AM với BN, Q là giao điểm của MD với CN, K là giao điểm của tia BN với tia CD.a.chứng minh tứ giác MDKB là hình thang. b.Tứ giác PMQN là hình gì? Vì sao? c. ABCD có thêm điều kiện gì để PMQN là hình vuông?./. Câu 4: Cho ABC vuông ở A (AB < AC ), đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng của A qua H. Đường thẳng kẻ qua D song song với AB cắt BC và AC lần lượt ở M và N. Chứng minh: a) Tứ giác ABDM là hình thoi. b) AMCD .c) Gọi I là trung điểm của MC; chứng minh IN HN. Câu 5: Cho các số x, y thoả mãn đẳng thức . Tính giá trị của biểu thức Đề3 Bài 1 : Giải các phương trình sau ; a/ 4x + 20 = 0 b/ (x2 – 2x + 1) – 4 = 0 c/ = 2 Bài 2 : Giải các bất phương trình sau và biểu diện tập nghiệm của mỗi bất phương trình trên một trục số 1) 5( x – 1 ) £ 6( x + 2 ) 2) Bài 3 : Lúc 7giờ. Một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 36km rồi ngay lập tức quay về bến A lúc 11giờ 30 phút. Tính vận tốc của ca nô khi xuôi dòng. Biết rằng vận tốc nước chảy là 6km/h. Bài 4 : Cho hình chữ nhật có AB = 8cm; BC = 6cm. Vẽ đường cao AH của tam giác ADB. a/ Chứng minh tam giác AHB tam giác BCD b/ Chứng minh AD2 = DH.DB c/ Tính độ dài đoạn thẳng DH, AH Bài 5. Cho biểu thức a. Rút gọn biểu thức A b. Tính giá trị biểu thức /x/=0,5 c. Tìm giá trị của x để A<0 Bài 6. Cho tam giác ABC đường cao BQ và CP cắt nhau ở H a. Chứng minh: DAQBDAPC b.Qua B vẽ đường thẳng Bx vuông góc với AB, qua C vẽ đường thẳng Cy vuông góc với AC, D là giao điểm của hai đường thẳng Ax và By. Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành c.Chứng minh: DAQPDABC Đề 4Bài 1. Giải các phương trình sau a) 1 + = b) Bài 2: Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc trung bình 12km/h . Khi đi về từ B đến A. Người đó đi với vận tốc trung bình là 10 km/h, nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 15 phút. Tính độ dài quãng đường AB Bài 3 Giải bất phương trình và biểu diễn tập hợp nghiệm trên trục số Bài 4 . Cho tam giác ABC vuông tại A. AB = 15cm, AC = 20cm. Vẽ tia Ax//BC và tia By vuông góc với BC tại B, tia Ax cắt By tại D. a) Chứng minh ∆ ABC ~ ∆ DAB b) Tính BC, DA, DB. c) AB cắt CD tại I. Tính diện tích ∆ BIC Đề 5 Bài 1/ Giải phương trình: a/ ( x – )( 2x + 5 ) = 0 b/ 15 – 7x = 9 - 3x c/ Bài 2/ Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số : 3x + 4 > 2x +3 . Bài 3/ Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ, và ngược dòng từ bến B đến bến A mất 5h. Tính khoảng cách giữa hai bến , biết vận tốc dòng nước là 2km/h. Bài 4:Cho ABC vuông tại A, đường cao AH (H BC). Biết BH = 4cm ; CH = 9cm. Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC. Chứng minh rằng: Tứ giác AIHK là hình chữ nhật. b. Tam giác AKI tam giác ABC. c.Chứng minh rằng: + AB2 = BC.BH , + AC2 = BC.CH + BC2 = AB2 + AC2 + AH2 = BH.HC + AB.AC=AH.BC + d. Tính diện tích ABC. .PHẦN III : TOÁN NÂNG CAO Bài tập 1 : a/ Thực hiện phép chia 2x4 – 4x3 + 5x2 + 2x – 3) : (2x2 – 1) b/ Chứng tỏ rằng thương tìm được trong phép chia trên luôn luôn dương với mọi giá trị của x Bài tập 2 : Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số lẻ bất kỳ thì chia hết cho 8 Bài tập 3 : Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x,y A= (3x - 5)(2x + 11) - (2x + 3)(3x + 7) B = (2x + 3)(4x2 - 6x + 9) - 2(4x3 - 1) C = (x - 1)3 - (x + 1)3 + 6(x + 1)(x - 1) Bài tập 4: Chứng minh rằng: a) a2 + b2 – 2ab ³ 0 c) a(a + 2) < (a + 1)2 d) m2 + n2 + 2 ³ 2(m + n) (với a > 0, b > 0) Bài tập 5 :a.Chứng minh rằng: a2 + b2 + 1 ³ ab + a + b b. Cho a + b + c = 0. chứng minh: a3 + b3 + c3 = 3abc Bài tập 6 : Chứng minh rằng biểu thức luôn luôn dương với mọi x, y A = x(x - 6) + 10. B = x2 - 2x + 9y2 - 6y + 3 Bài tập 7 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A,B,C,F và giá trị lớn nhất của biểu thức D,E: A = x2 - 4x + 1 B = 4x2 + 4x + 11 C = (x -1)(x + 3)(x + 2)(x + 6) D = 5 - 8x - x2 E = 4x - x2 +1 .F = x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + 9 Bài tập 8 : Xác định a để đa thức: x3 + x2 + a - x chia hết cho(x + 1)2 Bài tập 9: Cho . Tính giá trị biểu thức A = Bài tập 10: Tìm GTNN của A = . Giải : A = . = = . Ta thấy (3x – 1)2 0 nên (3x – 1) 2 +4 4 do đó theo tính chất a b thì với a, b cùng dấu). Do đó A - minA = - x = . Vận dụng.1- Tìm GTLN của : HD : . 2. Tìm GTLN của BT : HD : 3- Tìm GTNN và GTLN của A = Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức về dạng bình phương của một số : A = = - 1 -1 Min A= -1 x = 2 Tìm GTLN A = = 4 - 4 Chúc các em ôn tập tốt! -------------------------------------- PHẦN III : TOÁN NÂNG CAO I/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC 1/ Cho biểu thức f( x ,y,...) a/ Ta nói M giá trị lớn nhất ( GTLN) của biểu thức f(x,y...) kí hiệu max f = M nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn: Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì : f(x,y...) M ( M hằng số) (1) Tồn tại xo,yo ... sao cho: f( xo,yo...) = M (2) b/ Ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x,y...) kí hiệu min f = m nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn : Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì : f(x,y...) m ( m hằng số) (1’) Tồn tại xo,yo ... sao cho: f( xo,yo...) = m (2’) 2/ Chú ý : Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1’) thì chưa có thể nói gì về cực trị của một biểu thức chẳng hạn, xét biểu thức : A = ( x- 1)2 + ( x – 3)2. Mặc dù ta có A 0 nhưng chưa thể kết luận được minA = 0 vì không tồn tại giá trị nào của x để A = 0 ta phải giải như sau: A = x2 – 2x + 1 + x2 – 6x + 9 = 2( x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + 2 2 A = 2 x -2 = 0 x = 2 Vậy minA = 2 khi chỉ khi x = 2 II/ TÌM GTNN ,GTLN CỦA BIỂU THƯC CHỨA MỘT BIẾN 1/ Tam thức bậc hai: Ví dụ: Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c . Tìm GTNN của P nếu a 0. Tìm GTLN của P nếu a 0 Giải : P = ax2 + bx +c = a( x2 + x ) + c = a( x + )2 + c - Đặt c - =k . Do ( x + )2 0 nên : - Nếu a 0 thì a( x + )2 0 , do đó P k. MinP = k khi và chỉ khi x = - -Nếu a 0 thì a( x + )2 0 do đó P k. MaxP = k khi và chỉ khi x = - 2/ Đa thức bậc cao hơn hai: Ta có thể đổi biến để đưa về tam thức bậc hai Ví dụ : Tìm GTNN của A = x( x-3)(x – 4)( x – 7) Giải : A = ( x2 - 7x)( x2 – 7x + 12) Đặt x2 – 7x + 6 = y thì A = ( y - 6)( y + 6) = y2 - 36 -36 minA = -36 y = 0 x2 – 7x + 6 = 0 x1 = 1, x2 = 6. 3/ Biểu thức là một phân thức : a/ Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai: Ví dụ : Tìm GTNN của A = . Giải : A = . = = . Ta thấy (3x – 1)2 0 nên (3x – 1) 2 +4 4 do đó theo tính chất a b thì với a, b cùng dấu). Do đó A - minA = - 3x – 1 = 0 x = . Bài tập áp dụng: 1. Tìm GTLN của BT : HD giải: . 2. Tìm GTLN của BT : HD Giải: b/ Phân thức có mẫu là bình phương của nhị thức. Ví dụ : Tìm GTNN của A = . Giải : Cách 1 : Viết A dưới dạng tổng hai biểu thức không âm A = = 2 + 2 minA = 2 khi và chi khi x = 2. Cách 2: Đặt x – 1 = y thì x = y + 1 ta có : A = = 3 - + = ( -1)2 + 2 minA = 2 y = 1 x – 1 = 1 x = 2 c/ Các phân thức dạng khác: Ví dụ : Tìm GTNN và GTLN của A = Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức về dạng bình phương của một số : A = = - 1 -1 Min A= -1 khi và chỉ khi x = 2 Tìm GTLN A = = 4 - 4 III/ TÌM GTNN, GTLN CỦA BT CÓ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN Ví dụ : Tìm GTNN của A = x3 + y3 + xy biết rằng x + y = 1 sử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2 Đến đây ta có nhiều cách giải Cách 1: sử dụng điều kiện đã cho làm xuất hiện một biểu thức có chứa A x + y = 1 x2 + 2xy + y2 = 1 (1) Mà (x – y)2 0 Hay: x2 - 2xy + y2 0 (2) Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 ) 1 x2 + y2 minA = khi và chỉ khi x = y = Cách 2: Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đối với x. Thay y = x – 1 vào A A = x2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 - )2 + minA = khi và chỉ khi x = y = Cách 3/ Sử dụng điều kiện đã cho để dưa về một biến mới Đặt x = + a thì y = - a . Biểu thị x2 + y2 ta được : x2 + y 2 = ( + a)2 + ( - a)2 = +2 a2 => MinA = a = 0 x=y = Bài tập 1: Tìm Min A = Cách 1 Ta có: A= Min A = 2011 khi Cách 2: Min 2A = 4022 khi => Min A = 2011 BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ: Bài 1 CMR : Min P = 0 Với P = Bài 2 CMR: không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn ĐT: Hướng dẫn Ta có: Bài 3: Có hay không các số x,y,z thỏa mãn mỗi đẳng thức sau: 1) 2) Hướng dẫn Ta có: Bài 4: CMR: Min A=2 Với A = Hướng dẫn Ta có: Bài 5: CMR: Max B = 4 Với Hướng dẫn Ta có: Bài 6: Tìm GTNN của a) ( Gợi ý ) b) ( Gợi ý ) c) ( Gợi ý ) d) ( Gợi ý ) Bài 7: Tìm các số a, b, c, d thỏa mãn : (*) Ta có : Dấu “=” sảy ra khi : IV Các chú ý khi giải bài toán cực trị : 1, Chú ý 1: Khi tìm bai toán cực trị ta có thể đổi biến Ví dụ : Tìm GTNN của ( x – 1)2 + ( x – 3)2 ta đặt x – 2 = y, biểu thức trở thành (y + 1)2 + (y – 1)2 =2y2 +22minA= 2y=0x=2 2 Chú ý 2, Khi tìm cực trị của biểu thức , nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị chẳng hạn : -A lớn nhất A nhỏ nhất lớn nhất B nhỏ nhất với B > 0 Ví dụ : Tìm GTLN của (Chú ý A> 0 nên A lớn nhất khi nhỏ nhất và ngược lại) Ta có : = .Vậy 1 min = 1 khi x = 0 .Do đó maxA =1 khi x = 0 3,Chú ý 3 Khi tìm GTLN, GTNN của 1 biểu thức ,người ta thường sử dụng các BĐT đã biết Bất đăng thức có tính chất sau a ) a > b , c > d với a, b, c, d > 0 thì a.c > b. d b) a > b và c > 0 thì a.c > b.c c) a > b và c < 0 thì a.c < b.c d) a > b và a, b, n > 0 thì an > bn Bất đẳng thức Cô si: a + b 2 ; a2 + b2 2ab ; (a + b)2 4ab ; 2( a2 + b2) ( a+ b)2 Bất đẳng thức Bu- nha -cốp –xki : (a2 + b2) ( c2 + d2) (ac + bd)2 Ví dụ Cho x2 + y2 = 52 . Tìm GTLN của A = 2x + 3y Giải :Áp dụng BĐT BCS ta có ( 2x + 3y )2 ( 22+32 ).52 ( 2x + 3y )2 13.13.4 2x + 3y 26. Vậy maxA = 26 Thay y = vào x2 + y2 = 52 ta được 4x2 + 9x2 = 52.4 x2 = 16 x=4 hoặc x= -4 Với x = 4 thì y =6 thoả mãn 2x +3y 0 x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y 0 Vậy Max A = 26 x =4 , y = 6 3/ Trong các bất đẳng thức cần chú ý đến các mệnh đề sau - Nếu 2 số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau - Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó bang nhau Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của tích xy, biết x,y thoả mãn x + y = 2005 Giải : Ta có 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 - (x – y)2 xy lớn nhất x – y nhỏ nhất ; xy nhó nhất x – y lớn nhất giả sử x > y ( không thể xảy ra x = y) Do 1 y x 2004 nên 1 x-y 2003 Ta có min(x –y) = 1 khi x = 1003 ; y =1002 max(x –y) = 2003 khi x =2004 , y = 1 Do đó max(xy) = 1002.1003 khi x = 1003 , y = 1002 Min ( xy) = 2004 khi x = 2004 , y = 1 ------------------------------------