Bài tập Toán 11 (đầy đủ)

PHẦN I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG THỂ NÀO QUÊN Hai cung đối nhau: -x và x 2. Hai cung bù nhau: và x 3. Hai cung phụ nhau: và x 4. Hai cung hơn kém nhau Pi: và x 5. Các hằng đẳng thức lượng giác 6. Công thức cộng lượng giác 7. Công thức nhân đôi 8. Công thức nhân ba: 9. Công thức hạ bậc: 10. Công thức biến đổi tích thành tổng 11 . Công thức biến đổi tổng thành tích A. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI I/. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Cho Cho 5cosa + 4 = 0 .Tính sina , tana, cota. Cho Tính biết Tính biết tanx = -2 Tính biết cotx = -3 Chứng minh: (sử dụng như 1 công thức) Chứng minh các đẳng thức sau: * Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x: II/. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG ĐẶC BIỆT * Biết 1 HSLG khác: Cho sinx = - 0,96 với a/ Tính cosx ; b/ Tính Tính: Đơn giản biểu thức: Đơn giản biểu thức: Đơn giản biểu thức: Chứng minh: Cho tam giác ABC.Chứng minh: III/. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Tính giá trị các HSLG của các cung sau: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: Tính biết Cho 2 góc nhọn có . a/ Tính b/ Tính Cho 2 góc nhọn x và y thoả : a/ Tính b/ Tính tanx , tany c/ Tính x và y. Tính biết và Tính theo . Áp dụng: Tính tg15o Tính: Tính: Chứng minh biểu thức sau độc lập đối với x: Chứng minh: Loại 5: Hệ thức lượng trong tam giác Cho tam giác ABC.Chứng minh: ( học thuộc kết quả ) Công thức biến đổi: BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh và học thuộc các kết quả sau : ( tiếp theo Loại 5- Trang 8) Chứng minh vuông nếu: Chứng minh cân nếu: Chứng minh đều nếu: Chứng minh cân hoặc vuông nếu: Hãy nhận dạng biết: B. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác Chú ý : 1) có nghĩa khi B (A có nghĩa) ; có nghĩa khi A 2) 3) 4) 5) Hàm số y = tanx xác định khi Hàm số y = cotx xác định khi Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau 1) y = cosx + sinx 2) y = cos 3) y = sin 4) y = cos 5) y = 6) y = 7) y = 8) y = tan(x + ) 9) y = cot(2x - 10) y = II. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx sin2(-x) = = (-sinx)2 = sin2x Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐ ; Kiểm tra Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau 1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2 4) y = tan2x 5) y = sin + x2 6) y = cos III. Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác Chú ý : Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng Hàm số y = cosx nghịch biến trên mỗi khoảng Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng Bài 3* Xét sự biến thiên của các hàm số 1) y = sinx trên 2) y = cosx trên khoảng 3) y = cotx trên khoảng 4) y = cosx trên đoạn 5) y = tanx trên đoạn 6) y = sin2x trên đoạn 7) y = tan3x trên khoảng 8) y =sin(x + ) trên đoạn Bài 4: * Xét sự biến thiên của các hàm số Hàm số Khoảng y = sinx y = cosx y = tanx y = cotx Chú ý Hsố y = f(x) đồng biến trên K y = A.f(x) +B Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số 1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đoạn 2) y = -2cos trên đoạn IV. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác Chú ý : ; 0 sin2 x 1 ; A2 + B B Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 1) y = 2sin(x-) + 3 2) y = 3 – cos2x 3) y = -1 - 4) y = - 2 5) y = 6) y = 5cos 7) y = 8) y = Chú ý : Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn thì Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn thì Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 1) y = sinx trên đoạn 2) y = cosx trên đoạn 3) y = sinx trên đoạn 4) y = cosx trên đoạn C.PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC. I:LÍ THUYEÁT . 1/Phöông trình löôïng giaùc cô baûn . sin u = sin v Û ( k Î Z ) cos u = cos v Û u = ± v + k2p. ( k Î Z ) tanu = tanv Û u = v + kp ( k Î Z ) cotu = cotv Û u = v + kp ( k Î Z ) 2/ Phöông trình ñaëc bieät : sinx = 0 Û x = kp , sinx = 1 Û x = + k2p ,sinx = -1 Û x = - + k2p cosx = 0 Û x = + k p , cosx = 1 Û x = k2p , cosx = -1 Û x = p + k2p . 3/ Phöông trình baäc nhaát ñoái vôùi sinx vaø cosx . Laø phöông trình coù daïng : acosx + bsinx = c (1) trong ñoù a2 + b2 ¹ 0 Caùch 1: acosx + bsinx = c Û = c vôùi asinx +bcosx = c Û = c vôùi . Caùch 2 : Xeùt phöông trình vôùi x = p + kp , k Î Z Vôùi x ¹ p + kp ñaët t = tan ta ñöôïc phöông trình baäc hai theo t : (c + b)t2 – 2at + c – a = 0 Chuù yù : pt(1) hoaëc pt( 2) coù nghieäm Û a2 + b2 - c2 ³ 0 . Baøi taäp :Giaûi caùc phöông trình sau: 1. , 2. 3. , 4. 5. , 6. 7. 8. 4/ Phöông trình chæ chöùa moät haøm soá löôïng giaùc : Phöông trình chæ chöùa moät haøm soá löôïng giaùc laø phöông trình coù daïng : f[u(x)] = 0 vôùi u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx. Ñaët t = u(x) ta ñöôïc phöông trình f(t) = 0 . Baøi taäp: Giaûi caùc phöông trình sau: 1. 2cos2x +5sinx – 4 = 0 , 2. 2cos2x – 8cosx +5 = 0 3. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4. 2(sin4x + cos4x) = 2sin2x – 1 5. sin42x + cos42x = 1 – 2sin4x 6. 7. 8. 5tan x -2cotx - 3 = 0 9. 10. 5/ Phöông trình ñaúng caáp theo sinx vaø cosx : a/ Phöông trình ñaúng caáp baäc hai : asin2x +b sinx cosx + c cos2x = 0 . Caùch 1 : Xeùt cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm . Xeùt chia hai veá cuûa phöông trình cho cos2x roài ñaët t = tanx. Caùch 2: Thay sin2x = (1 – cos 2x ), cos2x = (1+ cos 2x) , sinxcosx = sin2x ta ñöôïc phöông trình baäc nhaát theo sin2x vaø cos2x . b/ Phöông trình ñaúng caáp baäc cao : Duøng phöông phaùp ñaët aån phuï t = tanx sau khi ñaõ xeùt phöông trình trong tröôøng hôïp cos x = 0 hay x = + kp ,kÎZ. Baøi taäp : 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2 3sin2x + 8sinxcosx + ( 8 - 9)cos2x = 0 4sin2x +3 sin2x – 2cos2x = 4 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx. 6/ Phöông trình daïng : a( cosx sinx ) + b sinxcosx + c = 0 . Ñaët t = cosx + sinx , ñieàu kieän khi ñoù sinxcosx = Ta ñöa phöong trình ñaõ cho veà phöông trình baäc hai theo t . Chuù yù : neáu phöông trình coù daïng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0 Ñaët t = cosx - sinx , ñieàu kieän khi ñoù sinxcosx = Baøi taäp : Giaûi caùc phöông trình sau : 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0 sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1 sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0 cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0 7. Caùc phöông trình löôïng giaùc khaùc. Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos2x – 9sinx = 0, 4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg2x + 3 = , 6/ 4sin4 +12cos2x = 7 Baøi 2 : Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : ñaët t =sinx 2/ ÑS : x = k3p , x= ± +k3p , x = ± +k3p 3/ 1+ sinsinx - cos sin2x = 2cos2 ( ) ÑS: sinx =1 v sin = 1 4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : ñaët t = tanx , ÑS : x = - + k p 5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 = ÑS : x = k2p , x = ± +k2p 6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos2x ÑS : cosx = 0 , cos 2x = 7/ 2cos2 2x +cos 2x = 4sin22xcos2x 8/ cos 3x – cos 2x = 2 9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :ñaët t = tan 10/ sin2x+ 2tanx = 3 11/ sin2x + sin23x = 3cos22x HD :ñaët t =cos 2x 12/ tan3( x - ) = tanx - 1 ÑS : x = kp v x = + kp 13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Ñöa veà PT baäc hai theo sinx. 14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 ÑS : x = + kp 15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 II. PHÖÔNG TRÌNH ÑAÚNG CAÁP BAÄC n THEO SINX ,COSX. Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ sin2 x + 2sin 2x –3 +7cos2x = 0 . 2/ cos3x – sin3x = cosx + sinx. 3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos3x 4/ sin3x + cos3x = 2( sin5x + cos5x ) ÑS : x= + 5/ sin3(x - ) = sinx ÑS : x = +kp 6/ 3cos4x – sin2 2x + sin4x = 0 ÑS :x = ± + kp v x= + 7/ 3sin4x +5cos4x – 3 = 0 . 8/ 6sinx – 2cos3x = 5sin 2x cosx III. PHÖÔNG TRÌNH ÑOÁI XÖÙNG – PT PHAÛN ÑOÁI XÖÙNG . Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ cos3x + sin3x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos3x + cos 2x +sinx = 0 3/ 1 + sin3x + cos3x = sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0 5/ sin3x – cos3x = 1 + sinxcosx 6/ 7/ tanx + tan2x + tan3x + cotx+cot2x +cot3x = 6 8/ + 2tan2x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0 9/ 1 + cos3x – sin3x = sin 2x 10/ cos3x – sin3x = - 1 11/ 2cos 2x + sin2x cosx + cos2x sinx = 2( sinx + cosx ). IV.PHÖÔNG TRÌNH TÍCH VAØ PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC KHAÙC . Giaûi caùc phöông trình sau: 1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2 3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 4/ cos3x cos3x – sin3xsin3x = cos34x + 5/ sin4 + cos4 = 1 – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 7/ sin6x + cos6x = sin4x + cos4x 8/ sin4x + cos4x – cos2x = 1 – 2sin2x cos2x 9/ 3sin3x - cos 9x = 1 + 4sin3x. 10/ 11/ sin2tan2x – cos2 = 0 12/ cotx – tanx + 4sinx = 13 / sinxcosx + cosx = - 2sin2x - sinx + 1 4 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan2x + tan2x ) 15/ 16/ sin23x – cos24x = sin25x – cos26x 17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0. 18/ 19/ tanx +cosx – cos2x = sinx (1+tanx.tan) 20/ cotx – 1 = 21/ 3 –tanx(tanx + 2sinx)+ 6cosx = D. TOÅ HÔÏP Tóm tắt giáo khoa I. Quy tắc đếm 1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B. Phương án A có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện theo n + m cách. 2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể thực hiện bởi n cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện bởi n.m cách. II. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp 1. Hoán vị: a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A. b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3n 2. Chỉnh hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số mà . Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp chập k của n phần tử. b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu là: . 3. Tổ hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số mà . Một tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu là: c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp: III. Khai triển nhị thức Newton Nhận xét: Trong khai triển nhị thức Newton có n + 1 số hạng. Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n. Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau. Số hạng tổng quát thứ k + 1 kí hiệu Tk+1 thì: Chú ý: là khai triển theo số mũ của a giảm dần. là khai triển theo số mũ của a tăng dần. Các Dạng bài toán cơ bản Dạng 1: Bài toán về quy tắc đếm Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm được tiến hành theo phương án A hoặc B để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm công đoạn A và B để chọn quy tắc nhân. Bài 1: Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, thoe cỡ 40 hoặc 41. Cỡ 40 có 3 màu khác nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau. Hỏi X có bao nhiêu cách chọn? Bài 2: Cho tập . Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọn trong số các phần tử của A? Bài 3: Từ tập hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 3 lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần? Dạng 2: Thực hiện phép hoán vị Phương pháp giải: Sử dụng phép xếp đặt của n phần tử có thứ tự: Pn = n! = 1.2.3n Thực hiện quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân Bài 4: Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật. Bạn định xếp nam, nữ ngồi riêng trên các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài. Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt? Dạng 3: Thực hiện phép chỉnh hợp Phương pháp giải: Phép xếp đặt có thứ tự của k phần tử trong n phần tử: Bài 5: Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau. Có bao nhiêu vectơ nối hai điểm trong các điểm đó? Bài 6: Từ tập có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau? Dạng 4: Thực hiện phép tổ hợp Phương pháp giải: Phép xếp đặt không có thứ tự của k phần tử chọn trong n phần tử: Bài 7: Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng. Từ 7 điểm trên có thể lập được bao nhiêu tam giác? Dạng 5: Tìm trong phương trình chứa Phương pháp giải: Dùng các công thức: Bài 8: Tìm , nếu có: . Bài 9: Tìm , nếu có: Dạng 6: Tìm phần tử đặc biệt trong khai triển của (a + b)n. Phương pháp giải: Sử dụng công thức khai triển của nhị thức Newton: (khai triển theo lũy thừa của a tăng, b giảm) (Chú ý: khai triển theo lũy thừa của a giảm dần, b tăng dần) Bài 10: Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển (11 + x)11. Bài 11: Trong khai triển , (x > 0), hãy tìm số hạng không chứa x. Bài 12: Tìm hệ số của x8 trong khai triển Bài 13: Cho khai triển: , có các hệ số . Tìm hệ số lớn nhất Bài 14: Tìm số hạng trong các khai triển sau Số hạng thứ 13 trong khai triển Số hạng thứ 18 trong khai triển Số hạng không chứa x trong khai triển 32) Số hạng không chứa x trong khai triển 33) Số hạng chứa a, b và có số mũ bằng nhau trong khai triển Bài 15: Tìm hệ số của số hạng trong các khai triển sau Hệ số của số hạng chứa trong khai triển Hệ số của số hạng chứa trong khai triển Hệ số của số hạng chứa trong khai triển Hệ số của số hạng chứa trong khai triển Hệ số của số hạng chứa trong khai triển Hệ số của số hạng chứa trong khai triển Hệ số của số hạng chứa trong khai triển: Hệ số của số hạng chứa trong khai triển: Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển . Dạng 7: Tìm tổng có chứa Phương pháp giải: Từ đề bài, ta liên kết với một nhị thức khai triển và cho x giá trị thích hợp, từ đó suy ra kết quả. Bài 16: Tính tổng: Bài 17: Tính tổng: Bài 18: Tính tổng: E. CAÁP SOÁ COÄNG Kieán thöùc caàn nhôù: 1. Ñònh nghóa: Caáp soá coäng laø moät daõy soá ( höõu haïn hay voâ haïn), trong ñoù, keå töø soá haïng thöù hai, moãi soá haïng ñeàu laø toång cuûa soá haïng ñöùng ngay tröôùc noù vôùi moät soá khoâng ñoãi goïi laø coâng sai. Goïi d laø coâng sai, theo ñònh nghóa ta coù: un+1 = un + d (n = 1, 2, ...). Ñaëc bieät: Khi d = 0 thì caáp soá coäng laø moät daõy soá trong ñoù taát caû caùc soá haïng ñeàu baèng nhau. Ñeå chæ raèng daõy soá (un) laø moät caáp soá coäng,ta kí hieäu u1, u2, ..., un, .... Soá haïng toång quaùt Ñònh lí: Soá haïng toång quaùt un cuûa moät caáp soá coäng coù soá haïng ñaàu u1 vaø coâng sai d ñöôïc cho bôûi coâng thöùc: un = u1 + (n - 1)d Tính chaát caùc soá haïng cuûa caáp soá coäng Ñònh lí: trong moät caáp soá coäng, moãi soá haïng keå töø soá haïng thöù hai ( vaø tröø soá haïng cuoái cuøng ñoái vôùi caáp soá coäng höõu haïn), ñeàu laø trung bình coäng cuûa hai soá haïng keà beân noù, töùc laø (k 2). Toång n soá haïng ñaàu cuûa moät caáp soá coäng Ñònh lí: Ñeå tính Sn tacoù hai coâng thöùc sau: Sn tính theo u1 vaø d Sn tính theo u1 vaø un BAØI TAÄP AÙP DUÏNG Baøi 1: Xaùc ñònh soá haïng caàn tìm trong moãi caáp soá coäng döôùi ñaây: tìm u15. tìmu20. ÑS: Baøi 2: Xaùc ñònh caáp soá coäng coù coâng sai laø 3, soá haïng cuoái laø 12 vaø coù toång baèng 30. Baøi 3: Cho caáp soá coäng: Tìm soá haïng ñaàu vaø coâng sai cuûa noù. Baøi 4: Tìm caáp soá coäng coù 5 soá haïng bieát toång laø 25 vaø toång caùc bình phöông cuûa chuùng laø 165. Baøi 5: Tìm 3 soá taïo thaønh moät caáp soá coäng bieát soá haïng ñaàu laø 5 vaø tích soá cuûa chuùng laø 1140. Baøi 6: Tìm chieàu daøi caùc caïnh cuûa moät tam giaùc vuoâng bieát chuùng taïo thaønh moät caáp soá coäng vôùi coâng sai laø 25. Baøi 7: Cho caáp soá coäng u1, u2, u3, ... Bieát u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147. Tính u1 + u6 + u11 + u16. Baøi 8: Moät caáp soá coäng (an) coù a3 + a13 = 80. Tìm toång S15 cuûa 15 soá haïng ñaàu tieân cuûa caáp soá coäng ñoù. Baøi 9: Moät caáp soá coäng coù 11 soá haïng. Toång cuûa chuùng laø 176. Hieäu cuûa soá haïng cuoái vaø soá haïng ñaàu laø 30. Tìm caáp soá ñoù. Baøi 10: cho caáp soá coäng (an) coù a1 = 4, d = -3. Tính a10. Baøi 11: Tính u1, d trong caùc caáp soá coäng sau ñaây: ÑS: 1/ u1 = vaø d = ; 2/ u1 = 3 vaø d = 4. 3/ u1 = 0 vaø d = ; 4/ u1 = vaø d = . Baøi 12: Cho caáp soá coäng (un) coù u3 = -15, u14 = 18. Tính toång cuûa 20 soá haïng ñaàu tieân. Baøi 13: Cho caáp soá coäng (un) coù u1 = 17, d = 3. Tính u20 vaø S20. ÑS: u20 = 74, S20 = 910 Baøi 14: Cho caáp soá coäng (un) coù a10 = 10, d = -4. Tính u1 vaø S10. ÑS: u1 = 46, S10 = 280 Baøi 15: Cho caáp soá coäng (un) coù u6 = 17 vaø u11 = -1. Tính d vaø S11. ÑS: d = vaø S11 = 187 Baøi 16: Cho caáp soá coäng (un) coù u3 = -15, u4 = 18. Tìm toång cuûa 20 soá haïng ñaàu tieân. ÑS: S20 = 1350 CAÁP SOÁ NHAÂN Kieán thöùc caàn nhôù: Ñònh nghóa: Caáp soá nhaân laø moät daõy soá ( höõu haïn hay voâ haïn), tronh ñoù keå töø soá haïng thöù hai moãi soá haïng ñeàu laø tích cuûa soá haïng ñöùng ngay tröôùc noù vôùi moät soá khoâng ñoãi goïi laø coâng boäi. Goïi q laø coâng boäi, theo ñònh nghóa ta coù un+1 =un.q (n = 1, 2, ...). Ñaëc bieät: Khi q = 0 thì caáp soá nhaân laø moät daõy soá daïng u1, 0, 0, ..., 0, ... Khi q = 1 thì caáp soá nhaân laø moät daõy soá daïng u1, u1, ..., u1, ... Neáu u1 = 0 thì vôùi moïi q, caáp soá nhaân laø daõy soá 0, 0, ..., ... Ñeå chæ daõy soá (un) laø moät caáp soá nhaân ta thöôøng duøng kí hieäu u1, u2, ..., un, .... Soá haïng toång quaùt Ñònh lí: Soá haïng toång quaùt cuûa moät caáp soá nhaân ñöôïc cho bôûi coâng thöùc: un = u1 (q) Tính chaát caùc soá haïng cuûa caáp soá nhaân Ñònh lí: Trong moät caáp soá nhaân, moãi soá haïng keå töø soá haïng thöù hai (tröø soá haïng cuoái ñoái vôùi caáp soá nhaân höõu haïn) ñeàu coù giaù trò tuyeät ñoái laø trung bình nhaân cuûa hai soá haïng keà beân noù, töùc laø: Toång n soá haïng ñaàu cuûa moät caáp soá nhaân. Cho moät caáp soá nhaân vôùi coâng boäi q 1 u1, u2, ...,un, ... Ñònh lí: Ta coù: (q 1) BAØI TAÄP AÙP DUÏNG Baøi 1: Tìm caùc soá haïng cuûa caáp soá nhaân bieát: 1/ Caáp soá nhaân coù 6 soá haïng maø u1 = 243 vaø u6 = 1 2/ Cho q = , n = 6, S6 = 2730. Tìm u1, u6. Baøi 2: Cho caáp soá nhaân coù: u3 = 18 vaø u6 = -486. Tìm soá haïng ñaàu tieân vaø coâng boäi q cuûa caáp soá nhaân ñoù Baøi 3: Tìm u1 vaø q cuûa caáp soá nhaân bieát: Baøi 4: Tìm u1 vaø q cuûa caáp soá nhaân (un) coù: u3=12, u5=48. Baøi 5: Tìm u vaø q cuûa caáp soá nhaân (un) bieát: Baøi 6: Tìm caáp soá nhaân (un) bieát caáp soá ñoù coù 4 soá haïng coù toång baèng 360 vaø soá haïng cuoái gaáp 9 laàn soá haïng thöù hai. Baøi 7: Toång 3 soá haïng lieân tieáp cuûa moät caáp soá coäng laø 21. Neáu soá thöù hai tröø ñi 1 vaø soá thöù ba coäng theâm 1 thì ba soá ñoù laäp thaønh moät caáp soá nhaân. Tìm ba soá ñoù. PHẦN II. HÌNH HỌC CHƯƠNG 1: PHÉP BIẾN HÌNH Caâu 1: Trong maët phaúng oxy,pheùp tònh tieán theo vectô bieán ñieåm M(x;y) thaønh M’(x’;y’) . Tìm toïa ñoä ñieåm M' Caâu 2:Trong maët phaúng oxy cho ñieåm M (1;2) .Pheùp tònh tieán theo vectô bieán ñieåm M thaønh ñieåm N. Tìm toïa ñoä ñieåm N. Caâu 3: Trong maët phaúng oxy cho ñieåm A(4;5). Tìm ñieåm B(x,y) sao cho A laø aûnh cuûa ñieåm B qua pheùp tònh tieán theo : Caâu4 : Trong caùc hình sau ñaây, hình naøo coù ba truïc ñoái xöùng: A) tam giaùc ñeàu B) hình chöõ nhaät C) Hình vuoâng D)Hình thoi Caâu5: Trong maët phaúng oxy Cho ñieåm M(2;3). Pheùp ñoái xöùng qua truïc ox bieán ñieåm M thaønh M’. Tìm toïa ñoä ñieåm M' Caâu 6: Trong maët phaúng oxy cho ñöôøng thaúng d coù phöông trình : x+y -5=0 .Tìm aûnh cuûa ñöôøng thaúng d qua pheùp tònh tieán vectô ? Caâu 6: Trong maët phaúng oxy cho ñöôøng thaúng d coù phöông trình : 3x+5y-4=0.Tìm aûnh cuûa ñöôøng thaúng d qua pheùp ñoái xöùng truïc ox. Caâu 8 :Trong maët phaúng oxy Cho ñieåm M(2;3).Pheùp ñoái xöùng qua goác toaï ñoä bieán ñieåm M thaønh ñieåm N. Tìm toïa ñoä ñieåm N? Caâu 8 :Trong maët phaúng oxy cho ñöôøng thaúng d coù phöông trình : x+y -5=0 3x+4y-6=0, pheùp ñoái xöùng qua goác toaï ñoä bieán d thaønh d’. Tìm phöông trình d' Caâu 7: Trong maët phaúng oxy cho ñöôøng troøn (C) coù phöông trình (x-5)2 +(y-4)2 =36 . Pheùp tònh tieán theo vectô bieán (C) thaønh (C’). Tìm phöông trình (C') Caâu 7: Trong maët phaúng oxy cho ñöôøng troøn (C) coù phöông trình (x-5)2 +(y-4)2 =25 . Pheùp ñoái xöùng qua goác toaï ñoä bieán (C) thaønh (C’). Tìm phöông trình (C') Caâu 12 :Trong caùc pheùp bieán hình sau pheùp naøo khoâng phaûi laø pheùp dôøi hình ? A) pheùp ñoàng daïng vôùi tæ soá k=1 ; B) pheùp vò töï tæ soá k= ; C) pheùp tònh tieán ; D)pheùp chieáu vuoâng goùc Caâu 13 : Trong maët phaúng oxy cho ñöôøng troøn (C) coù phöông trình (x-1)2 +(y-3)2 =16 . Pheùp dôøi hình coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp ñoái xöùng qua goác toaï ñoä bieán (C) thaønh (C') vaø pheùp tònh tieán bieán (C') thaønh (C’'). Tìm phöông trình cuûa (C''). Caâu 14 :Cho hình vuoâng ABCD .Goïi O laø giao ñieåm cuûa hai ñöôøng cheùo .Thöïc hieän pheùp quay taâm O bieán hình vuoâng ABCD thaønh chính noù. Tìm soá ño cuûa goùc quay ñoù? Caâu 15 : Pheùp vò töï taâm O tæ soá k (k0) laø moät pheùp bieán hình bieán ñieåm M thaønh ñieåm M’ sao cho : A) = k B) = k C) OM’ =k OM D) = Caâu 16 : trong mp oxy cho ñieåm M( -2;4 ). Pheùp vò töï taâm O tæ soá k = -2 bieán ñieåm M thaønh ñieåm N. Tìm toïa ñoä ñieåm N Caâu 17 : trong mpoxy cho ñöôøng thaúng d coù PT: 2x + y – 4 = 0. Pheùp vò töï taâm O tæ soá k = 3 bieán d thaønh ñöôøng thaúng d'. Tìm phöông trình d'? Caâu 18 : trong mpoxy cho ñöôøng troøn (C) coù phöông trình : ( x -1 )2 + y2 = 16. pheùp vò töï taâm O tæ soá k = 2 bieán (C) thaønh ñöôøng troøn (C'). Tìm phöông trình (C') Caâu 19 : Thöïc hieän lieân tieáp hai pheùp ñoái xöùng truïc coù hai truïc ñoái xöùng song song laø pheùp naoø sau ñaây: A) pheùp ñoái xöùng truïc B) pheùp tònh tieán C) pheùp quay D) pheùp ñoái xöùng taâm Caâu 20 : Trong mp oxy cho ñieåm M(1;2) . pheùp ñoàng daïng coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp vaø pheùp ñoái xöùng qua truïc oy bieán M thaønh ñieåm N. Tìm N? Caâu 21 :Trong maët phaúng oxy cho ñöôøng thaúng d coù phöông trình : x+ y+2=0 . pheùp ñoàng daïng coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp vò töï taâm O tæ soá vaø pheùp ñoái xöùng qua truïc ox bieán d thaønh d’. Tìm phöông trình d'? Caâu 22 : Trong caùc pheùp bieán hình sau ñaây pheùp bieán hình naøo khoâng coù tính chaát “bieán moät ñöôøng thaúng thaønh moät ñöôøng thaúng song song hoaëc truøng vôùi noù”: A) pheùp ñoái xöùng taâm B) pheùp tònh tieán C) pheùp vò töï D) pheùp ñoái xöùng truïc Caâu 23: Cho ñöôøng troøn (C ) coù phöông trình (x-1)2 + (y-2)2 =4 .Pheùp ñoàng daïng coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp vò töï taâm O tæ soá k=3 vaø pheùp tònh tieán theo vectô bieán (C) thaønh (C'). Tìm (C') ? Caâu 24 : Cho ñöôøng troøn (C ) coù phöông trình (x-1)2 + (y-2)2 =4 . Pheùp ñoàng daïng coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp vò töï taâm O tæ soá k=3 vaø pheùp ñoái xöùng qua goác toaï ñoä bieán (C) thaønh (C'). Tìm (C')? Caâu 25 : Choïn khaúng ñònh sai trong caùc khaúng ñònh sau : A)pheùp tònh tieán bieán ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn coù cuøng baùn kính B) pheùp ñoái xöùng truïc bieán ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn coù cuøng baùn kính C) pheùp ñoái xöùng taâm bieán ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn coù cuøng baùn kính D) pheùp vò töï bieán ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn coù cuøng baùn kính CHÖÔNG 2. QUAN HEÄ SONG SONG Vấn đề 1 : TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG a VÀ b : Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng a và b ta đi tìm hai điểm chung I ; J của a và b ” a ÇÈ b = I J Khi tìm điểm chung ta chú ý : ­ Cách gọi tên hai mặt phẳng để phát hiện điểm chung ­ M Î d và d Ì a ” M Î a ­ ” M là điểm chung 1. 1: 1)Cho tứ diện ABCD có E là trung điểm của AB. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (ECD) với các mặt phẳng (ABC) ; (ABD) ; (BCD) ; (ACD) 2)Cho tứ diện SABC và một điểm I trên đoạn SA; d là đường thẳng trong (ABC) cắt AB; BC tại J ; K. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (I,d) với các mặt phẳng sau : (SAB) ; (SAC) ; (SBC) 1. 2: 1)Cho tứ giác lồi ABCD và điểm S không nằm trong mặt phẳng chứa tứ giác. Tìm giao tuyến của : a) (SAC) và (SBD) b) (SAB) và (SCD) c) (SAD) và (SBC) 2)Cho hình chóp S.ABCDE. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAC) với các mặt phẳng (SAD) ; (SCE) 1. 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi ; M là điểm trên cạnh CD. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng : a)(SAM) và (SBD) b)(SBM) ; (SAC) 1. 4: Cho tứ diện ABCD; M là điểm nằm trong DABC; N là điểm nằm trong DACD. Tìm giao tuyến của : a) (AMN) và (BCD) b) (CMN) và (ABD) 1. 5: Cho tứ diện ABCD .M nằm trên AB sao cho AM = MB ; N nằm trên AC sao cho AN = 3NC; điểm I nằm trong DBCD. Tìm giao tuyến của : a) (MNI) và (BCD) b) (MNI) và (ABD) c) (MNI) và (ACD) 1. 6: Cho tứ diện ABCD ; gọi I ; J lần lượt là trung điểm của AD; BC . a) Tìm giao tuyến của : (IBC) và (JAD) b)M là điểm trên AB; N là điểm trên AC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN) 1. 7: Cho hai đường thẳng a ; b Î (P) và điểm S không thuộc (P). Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng chứa a và S với mặt phẳng chứa b và S ? 1. 8: Cho tứ diện ABCD ; trên AB ; AC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho : . Tìm giao tuyến củ