Bài tập về nhân đa thức – Hằng đẳng thức

Bài tập về nhân đa thức – Hằng đẳng thức Bài 1 : Thực hiện các phép nhân các đa thức sau : a. ( 2x + 4) ( x2 – 3x + 5) b. ( x2 – x + 1 )(x2 + x + 1) c. ( x2 – 2x + 1)(x2 + 2x + 1) d. ( 2x2 + x – 1)(x2 – 2x + 3) e. ( x + 1)(x + 2)(2x – 1) f. (2x3 + 3y)(2x4y – 3x2y2 + 4y3) h. (a + b + c – d)(a + b – c + d) g. (x – a)2 – (2x – 3a)2 + ( x + 2a)(3x + 4a) Bài 2 : Rút gọn các biểu thức sau : 3x(2x – 5y) + (3x – y)(-2x) – ½ (2 – 26xy) (2x + 3)(x – 1) + (x –3)2 – 3(x +4)(x – 4) (3 – 2x )(x + 3) – (7x – 2)(x + 5) + (3x + 2)2 2x2 +3(x –1)(x + 1) – 5x(x + 2) (8 – 5x)(x + 2) + 4(x – 2)(x + 1) + 2(x – 2)(x + 2) + 10 4(x – 1)(x + 5) – (x + 2)(x + 5) – 3(x –1)(x + 2) (y – 3)(y + 3)(y2 + 9) – (y2 + 2)(y2 – 2) (a + b – c)2 – (a – c)2 – 2ab + 2bc (a + b + c)3 + (a – b – c)3 – 6a(b + c)2 Bài 3 : Chứng minh các đẳng thức sau : (x – 2)(x2 – 5x + 1) – x(x2 + 11) = - 7x2 – 2 (a + b)(b + c) – (c + d)(d + a) – (a + c)(b – d) = b2 – d2 (a – 1)(a – 2) + (a – 3)(a + 4) – (2a2 + 5a – 34) = - 7a + 24 (a + c)(a – c) – b(2a – b) – (a – b + c)(a – b – c) = 0 (5x – 11)2 + (4 – 5x)2 + 2(5x – 11)(4 – 5x) = 49 ½ (a + b + c )[(a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2] = a3 + b3 + c3 – 3abc (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a +b)(b + c)(c + a) Bài 4 : Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức 2x(x – 3y) – 4y(x + 2) – 2(x2 – 3y – 4xy) tại x = -2/3 ; y = ¾ (2x2 + x – 1)(3x – 2) + (x – 3)(5 – 6x2) với x = - 2 (4m3 – 3m2 + 2m – 7)(2m2 – ½ ) – (m + ½ )(8m2 – 2/3m – 4/7) tại m = - ½ 5(x + 2y)2 – (3y + 2x)2 + (4x – y)2 + 3(x – 2y)(x + 2y) tại x = - ½ , y = 0,725 (x – a)2 – (2x – 3a)2 + (x + 2a)(3x + 4a) tại x = 0,004 , a = 225 Bài 5 : Chứng minh rằng nếu x + y = a , xy = b thì x2 + y2 = a2 – 2b x3 + y3 = a3 – 3ab (x – y)2 = a2 – 4b Bài 6 : Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức A = (x + y + x)2 + (x – y)2 + ( x – z)2 – 3(x2 + y2 + z2) không phụ thuộc vào các biến . B = (3x – 5)(2x + 11) – (2x + 3)(3x + 7) không phụ thuộc vào x C = (x + y)3 + (x – y)3 – 6xy2 không phụ thuọc vào y D = (1 – x + y)2 + 2(1 – x + y)(x – y) + (x – y)2 không phụ thuộc vào biến . E = (15x – 1)2 + 3(7x + 3)(x + 1) – (x2 - 73) luôn dương với mọi x F = (6x + 1)2 – ( 3x – 4)(3x + 4) – 1,5(18x2 + 1) + 2,5 luôn chia hết cho 6 với mọi x là số nguyên . Bài 7 . Tìm x biết (3x – 5)(7 – 5x) – (5x + 2)(2 – 3x) = 4 5(2x + 3)(x + 2) = 75 + 2(5x – 4)(x – 1) (5x + 1)2 – (5x + 3)(5x – 3) = 30 (x + 3)(x2 – 3x + 9) – x(x – 2)(x + 2) = 15 (x + 2)(x + 3) + (x – 2)(x + 5) = 2(x + 3)2 – 18 (x + 2)3 + (x – 2)3 = 2x(x – 2)(x + 2) + 56 (x + 3)3 – x(3x + 1)2 + (2x + 1)(4x2 – 2x + 1) – 3x2 = 54 (x – 3)3 – (x –3)(x2 + 3x + 9) + 6(x + 1)2 = -33 Bài 8 : Cho biết a + b + c = 2y . Chứng minh rằng 2bc + b2 + c2 – a2 = 4y(y – a) (y – a)2 + (y – b)2 + (y – c)2 = a2 + b2 + c2 – p2 Bài 9. Cho biết x – y = 7 . Hãy tính giái trị của các biểu thức sau : A = x(x + 2)+ y(y – 2) - 2xy + 37 B = x3 – 3xy(x – y) – y3 - x2 + 2xy – y2 + 7x – 7y C = x2)x + 1) – y2(y – 1) + xy – 3xy(x – y + 1) – 95 Bài 10 : Cho x + y = 3 và x2 + y2 = 5 . Tính x3 + y3 Cho x – y = 5 và x2 + y2 = 15 . Tính x3 – y3 ; x3 + y3 Cho x + y = a , xy = 1 . Hãy tính x2 + y2 ; x3 + y3 ; x4 + y4 ? Bài 11 . Cho x + y = 5 . Hãy tính giá trị của các biểu thức sau P = 3x2 – 2x + 3y2 – 2y + 6xy – 100 Q = x3 + y3 – 2x2 – 2y2 + 3xy(x + y –2) + 4xy + 3(x + y) + 10 Bài 12 : Chứng minh rằng với mọi giá trị của x thì biểu thức sau : 4x2 – 12x + 12 luôn dương – 5 + 4x – x2 luôn âm x2 – x + 1 luôn dương Bài 13 . Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau có giá trị lớn nhất ( hoặc nhỏ nhất ) ? a. 2x(4 – 2x) + 17 b. 9x2 – 6x + 5 c. 3x2 + 5x + 3 Bài 14 . Cho 3 số lẻ liên tiếp . Tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 180 . Timd mỗi số ? Có hai cái sân hình chữ nhật và hình vuông . Sân hình chữ nhật có chiều dài hơn cạnh của hình vuông là 3 m , chiều rộng kém cạnh hình vuông 8 m . Diện tích của sân hình vuông lớn hơn diện tích của sân hình chữ nhật là 149 m2 . Tính cạnh của hình vuông ? Tìm ba số tự nhiên liên tiếp , biết rằng tổng các tích của hai trong ba số ấy bằng 74 ? Bài 15 . Cho hai số A = 332 ; B = (3 + 1)(32 + 1)(34 + 1) (38 + 1)(316 + 1) . Hãy so sánh A và B ? Bài 16 : Cho x 2 = y2 + z2 . Chứng minh rằng : (5x – 3y + 4z)(5x – 3y – 4z) = ( 3x – 5y)2 Bài 17 . Tính giá trị của các biểu thức sau a. 1232 + 2. 123 . 77 + 772 b. 2342 – 234 . 68 + 342 c. 20072 – 2010 . 2004 d. 1002 – 992 + 982 – 972 + 962 – 952 + ….. + 22 – 12 e. 10002 + 10032 + 10052 + 10062 –10012 – 10022 – 10042 – 10072 f. Bài 18 : Tính giá trị của biểu thức sau x17 - 80x16 – 80x15 – 80x14 - ……. – 80x – 1 tại x = 79 x17 – 12x16 + 12x15 – 12x14 + 12x13 - ……+ 12x3 – 12x2 + 12x – 1 tại x = 11 . Bài 19 . Chứng minh rằng : 55554 . 55559 . 55552 – 55556 . 55551 . 55558 = 66665 . 66670 . 66663 – 66667 . 66662 . 66669 . Bài 20 . Tính bằng cách hợp lý : Bài 21 : Chứng tỏ rằng (a – b)2 + (ab + 1)2 = (a2 + 1)(b2 + 1) (x – 2)(x – 3)(x + 3)(x + 2) + x2 = (x2 – 6)2 Nếu a + c = 2b thì a2 + 8bc = ( 2b + c)2 Nếu a + b = ab thì (a3 + b3 – a3b3)3 + 27a6b6 = 0 Nễu x = a – b thì x3 + 3abx + b3 – a3 = 0 Bài 22 . Nếu x = a + 5b , y = 5a – b , f = 3a – 2b , t = 2a + 3b thì ta có đẳng thức x2 + y2 = 2(f2 + t2) Bài 23 : Biết x = y2 – 16x2 ; y = f2 – 4x2 ; t = x – 1 . Hãy tìm x ? Bài 24 : Biết a + b = 1 . Hãy tính giá trị của biểu thức M = 2(a3 + b3) - 3(a2 + b2) Bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử I/ Phương pháp đặt nhân tử chung Bài 1 : Phân tích thành nhân tử bằng phương pháp đắt nhân tử chung a. 21x2y – 12xy2 + 15xy b. x3 + 22 – 2x c. 9x2y2 + 15x2y – 21xy2 d. x2y2z3 + x3y2z2 + x2y3z2 e. 3x(x- 1) + 7(x – 1)2 f. 3x(x – a) + 4a (a – x) g. x(x2 – 4) + 4(x + 2) h. (4x(x – 2y) – 8y(2y – x) k. 3x(x + 1)2 – 5x2(x + 1) + 7(x + 1) Bài 2 . Tìm x biết a. x2 – 5x = 0 b. 2x(x – 4) + 5(x – 4) = 0 c. x(x – 7) = 14 – 2x d. x2(x + 1) + 2x(x + 1) = 0 e. 2(2x – 3) – 2(3 – 2x) = 0 Bài 3 . Phân tích thành nhân tử a. 40a3b3c2x + 12a3b4c2 – 16a4b5cx b. ( b – 2c)(a – b) – (a + b)(2c – b) Bài 4. Tính bằng cách hợp lý : a. 3,71 . 34 + 66 . 3,71 b. 170 . 22,89 - 128,9 . 17 c. 1,43 . 141 – 14,3 . 4,1 + 100 . 59 d. 1212 . 75 + 121 . 150 . 79 + 75 . 792 II/ Phương pháp dùng hằng đẳng thức Bài 1 . Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 4x2 + 4xy + y2 9x4 – 30x2y + 25y2 – 9a2 + 12ab – 4b2 0,25a6 + 0,25a3b2 + 1/16b4 x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3 8x3 – 36x2y + 54xy2 – 27y3 9x2 – 25y4 (2x _ 1)2 – 9x2 (x2 + 1)2 – 4x2 16x2 – (5x +y)2 16(x – y)2 – 25(x2 + 2xy + y2) x3 + 64 27x3 – 8y3 (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 (x – y + 4)2 – (2x + 3y – 1)2 49(y – 4)2 – 9y2 – 36y – 36 (x + y)3 – x3 – y3 Bài 2 . Tìm x biết x3 – 16x = 0 (2x + 1)2 = (2 – x)2 28 – ( 2x – 3)2 = 5 12x2 + 12 = 36x (x – 5)2 – 9x2 – 12x – 4 = 0 (x + 2)3 + 2x – 3)3 = 0 Bài 3 : Tính giá trị của các biểu thức sau : a. b. III/ Phương pháp nhóm các hạng tử Bài 1 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a. 3a2c2 + bd + 3abc + acd b. x3 – 2x2 – x + 2 c. 8x2 + 4xy – 2ax – ay d. a2c – a2d – b2d + b2c e. a2x + a2y – 7x – 7y f. 8xy3 – 5xyz – 24y2 + 15z g. 5xy3 + 30x2z2 – 6x3yz – 25y2z h. 15m3n2p – 28p2nq3 + 35mn3q2 – 12m2p3q k. 8abc3 – 3a2b2c – 15a3b3 + 40a2b2c2 m. 2x3 + 7x2 – 8x – 28 Bài 2 . Nhóm các số hạng để xuất hiện các dạng của các hằng đẳng thức , rồi phân tích thành nhân tử a. 4x2 – 9y2 + 4x – 6y b. x2 + 3x + 3y + 2xy + y2 c. 4x2 – 6x - 4xy + 3y + y2 d. x2 – y2 + 2x + 1 e. 4x2 – 4 – 4y – y2 f. x2 – y2 + 2yz – z2 g. 3a2 – 6ab + 3b2 – 12c2 h. 1 – 2a + 2bc + a2 – b2 – c2 k. (x + y)3 – x3 – y3 m. a3 + b3 + c3 – 3abc n. 4a2b2 – (a2 + b2 – c2)2 l. 81 – x4 – 12x3 – 36x2 Bài 3 : Sử dụng nhận xét sau : a – b = - [(b – c) + (c – a)] để phân tích các biểu thức sau thành nhân tử bc(b – c) + ac(c – a) + ab(a – b) a2b2(b – a) + b2c2(c – b) + a2c2(a – c) a3(b – c) + b3(c – a) + c3(a – b) ab(a – b) - ac(a + c) + bc(2a + c – b) (a – b)3 + (b – c)3 + ( c – a)3 Bài 4 . Phân tích thành nhân tử ab(a + b) + ac(a + c) + bc(b + c) + 2abc ab(a + b) + ac(a + c) + bc(b + c) + 3abc IV / Một số phương pháp khác Bài 1 . Tách một số hạng thành nhiều hạng tử , rồi phân tích thành nhân tử a. x2 – 7xy + 10y2 b. 5x2 + 6xy + y2 c. x2 – 5xy – 14y2 d. 2x2 – 5x + 2 e. x2 – x – 6 e. x2 + 2xy – 15y2 g. x3 – 7x + 6 h. 4x2 + 4xy – 8y2 k. x2 – 5x + 4 Bài 2 . Thêm hoặc bớt một hạng tử rôi phân tích thành nhân tử a. 64a4 + 1 d. x4 4y4 b. x4 + 324 e. x5 + x + 1 c. x4 + x2 + 1 f. x3 + y3 + z3 – 3xyz Bài 3 . Đặt một biểu thức là ẩn phụ , rồi phân tích thành nhân tử a. (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 d. (x2 + 8x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15 b. (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1 e. (x + 2)(x + 3)(x + 5)(x + 4) – 24 c. (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x + 2) - 6 f. 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) – 3x2 Bài 4 . Chứng minh rằng với mọi x, y, z là các số nguyên thì biểu thức sau là bình phương của một số nguyên : M = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 . V / Một số dạng toán liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử Bài 1 : Tìm x biết a. 2x3 – 50x = 0 f. x2 – 5x + 4 = 0 m. x3 + 27 + (x + 3)(x-9) = 0 b. 2x3 – 3x2 – 8x + 12 = 0 g. x3 + x2 – 4x = 4 l. x4 – 9x3 + 81 x – 81 = 0 c. x2 – 3 = 2x h. x3 – 4x2 + 4x = 1 n. x4 – 6x3 + 54x – 81 = 0 d. 5x2 – 3(x + 1)2 – 5 = 0 i. x3 – 4x2- 8x – 8 = 0 p. x4 – 4x3 + 16x – 16 = 0 e. x2 + 2x – 16 = 0 k. 4x2 – 25 – (2x – 25)(2x + 7) = 0 Bài 2 . Chứng minh rằng với mọi x là số nguyên lẻ thì biểu thức x3 + 3x2 – x - 3 luôn chia hết cho 48 Bài 3 . Chứng minh biểu thức có dạng : 2(3a – 2)2 – 3a(3a – 2) + 1 luôn không âm với mọi giá trị của a . Bài tập về phép chia đa thức 1/ Chia đơn thức cho đơn thức Bài 1. Chia các đơn thức sau a. 15a2b3c : (-3a2b) c. e. (-3m3n2p)2 : (27m3np . 2m3n2) b. – 21xy5z3 : 7xy2z3 d. f. Bài 2 : Làm các phép chia sau : a. 4x2(y + z)5 : 2x(y + z)3 c. xm+1(y + 2)3:xm-1(y +2)3 e. 30(x –y)7 : 5(x –y)5 b. – x2(y –1)3(z +2)2 : ½ x2(y-1)2 d. f. Bài 3 : Tìm x biết x5(3x – 1)m + 3 : x5(3x – 1)m - 1 – 56 : 52 = 0 ( x ¹ 0 , x ¹ 1/3 ) 3a3(x2 – 1)4 : 3a3(x2 – 1)3 = 15 ( x ¹ ± 1) x3(2x – 1)m + 2 : x3(2x – 1)m – 1 = 35 : 32 Bài 4 : Điền vào dấu * cho hợp nghĩa : a. 4×y5 : ×x2× = 1/3 x3y2 b. 20xn+2× : ×xn – 1 = 5×yn –1 Bài 5 : Tìm số tự nhiên n để phép chia sau thực hiện được : a. 12x4yn : 16x3y7 b. c. d. xn + 3y4 : x7yn e. (x +y)6n(x –y)5 : (x+y)18(x –y)n 2/ Chia đa thức cho đơn thức Bài 1 : Làm các phép chia sau (21a4b2x3 – 6a2b3x5 + 9a3b4x4) : 3a2bx2 ( 81a4x4y3 – 36x5y4 – 18x6y5) : ( - 9x3y3) (10x3y2 + 12x4y3 – 6x5y4) : ( - ½ x3y2) [15(x – y)5 – 10(x – y)4 + 20(x – y)3] : 5(x – y)3 [3(x + y)7 + 5(x + y)5 – 10(x + y)4] : (x + y)4 [(x4 + 1)5 – 2(x4 + 1)4 + 3(x4 + 1)3] : (x4 + 1)3 Bài 2 : Thực hiện phép tính sau : ( 2 .37 – 5 . 34 + 33 ) : 33 ( 15 . 311 + 4 . 274) : 97 (2710 – 5 . 814 . 312 + 4. 98 . 38) : (41 . 324) (1012 + 511 . 29 – 513 . 28) : 4 . 55 . 106 (930 – 2719) : 357 + ( 1259 – 2512) : 524 Bài 3 : Tìm x biết (5ax3 – 3ax2) : ax2 = 7 (3x6 – 4x3) : x3 – (3x + 1)2 : (3x + 1) – 3x7 : x5 = 0 (5a2x4 – 3a2x2) : a2x2 = 42 (5x3 – 7x2 + 12x) :x + (x3 – 11x2) : x2 = 0 (x2 + ½ x) : ½ x – (2x + 1)3 : (2x + 1)2 + (x + 1)5 : (x + 1)2 = 0