Ba con đường cắt nhau tạo thành tam giác.
Trong tam giác hoặc trên cạnh của nó, đặt xí
nghiệp ở đâu để tổng khoảng cách từ xí nghiệp
ra các con đường là ngắn nhất.
8 trang |
Chia sẻ: oanh_nt | Lượt xem: 3057 | Lượt tải: 4
Bạn đang xem nội dung tài liệu Bất đẳng thức cô si và cực trị hình học, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
1
BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI
VÀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC
A. BÀI TOÁN CÓ LỜI GIẢI:
Bài 1
B'
A'
C'
M
C B
A
Giả sử BC ≥ CA ≥ AB
( ) ( ) ( ) ( )S ABC S MAB S MBC S MCA
1( ) '. '. '.
2
S ABC MA BC MB CA MC AB
1( ) ' ' '
2
S ABC MA MB MC BC
2 ( )' ' ' S ABCMA MB MC
BC
Tổng khoảng cách nhỏ nhất khi dấu đẳng thức xảy ra.
có các trường hợp sau:
a)Nếu BC>CA: thì chọn MA’=MB’=0, M trùng C
(đỉnh đối diện cạnh ngắn nhất)
b)Nếu BC=CA>AB: thì chon MC’=0, M thuộc AB
(cạnh ngắn nhất)
c)Nếu BC=CA=AB: thì M chọn bất kỳ trong tam giác
ABC hoặc trên cạnh của nó.
Hệ quả:
Bài 2:
D
E
D
C
B
A
Giả sử CA≥CB.
Gọi D là đối xứng của B qua C.
Con đường ta (t) cần tìm phải cắt AB (tại E) hoặc AD
(tại F).
Đặt x=d(A,t) và y=d(B,t)
Nếu (t) cắt AB tại E:
2S(CAB)=2S(CAE)+2S(CBE)=(x+y)CE
Nếu (t) cắt AD tại E:
2S(CAD)=2S(CAF)+2S(CDF)=(x+y)CF
Vậy x+y nhỏ nhất khi mà CE hoặc CF lớn nhất.
Điều này xảy ra khi E hay F trùng với A (địa điểm
dân cư xa nhất đối với C).
Bài 3: (bài toán đẳng chu)
Gọi 2a là chu vi và kích thước hình chữ nhật là x và y
thì a=x+y
Diện tích hình chữ nhật là S=xy.
Ta có
2 2
2 4
x y aS xy
Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=a/2.
Bài toán được chứng minh.
Trong tất cả các hình chữ nhật có chu vi cho
trước thì hình vuông có diện tích lớn nhất..
C là vị trí thành phố. A và B là 2 điểm dân cư.
Hãy mở con đường qua thành phố C sao cho
tổng khoảng cách từ B và C tới con đường đó
ngắn nhất.
Trong hoặc trên cạnh của tam giác đều, tổng
khoảng cách từ điểm M đến các đường thẳng
qua các cạnh không đổi.
Ba con đường cắt nhau tạo thành tam giác.
Trong tam giác hoặc trên cạnh của nó, đặt xí
nghiệp ở đâu để tổng khoảng cách từ xí nghiệp
ra các con đường là ngắn nhất.
2
Bài 4: (bài toán cổ)
Gọi x là chiều dài cạnh khu vườn vuông góc với con
sông thì cạnh kia là S/x và độ dài hàng rào P của khu
vườn là:
2 2 2SP x S
x
Dấu đẳng thức xảy ra khi
2
Sx , suy ra cạnh còn
lại.
Giá trị nhỏ nhất của P là 2 2S .
Bài 5:
H-h
h
rR-r
r
Gọi r và h là bán kính đáy và chiều cao hình trụ.
Gọi R và H là bán kính đáy và chiều cao hình nón.
Ta có R H
r H h
Suy ra ( )Rr H h
H
Sxq của hình trụ là:
2 2 ( )RSxq rh h H h
H
2
2 2
2
R h H hSxq RH
H
( ) 2Max Sxq RH khi h=H-h
Tức là h=H/2. Bài toán được chứng minh.
Bài 6:
R
h
R
2r
Gọi r và h là độ dài bán kính đáy và chiều cao hình
trụ.
Gọi R là bán kính mặt cầu.
Ta có 2Sxq rh , 2 2 24 4r h R
Suy ra 2 2 2 24 2 4 4 SxqR r h rh
22Sxq R
2( ) 2Max Sxq R
Khi 4r2=h2 tức là h=2r. Bài toán được chứng minh.
Bài 7:
Gọi các kích thước hình chữ nhật là x và y.
Gọi S là diện tích hình chữ nhật.
2 2 2 2 2d x y xy S
2
( )
2
dMax S khi
2
dx y
Khi đó ta có hình vuông cạnh
2
dx y
Bài 8:
Gọi các kích thước hình chữ nhật là x và y.
Gọi P là chu vi hình chữ nhật.
Trong các hình chữ nhật có đường chéo d cho
trước. Tìm hình chữ nhật có chu vi lớn nhất..
Trong các hình chữ nhật có đường chéo d cho
trước. Tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất..
Chứng minh hình trụ nội tiếp mặt cầu cho
trước có Sxq lớn nhất khi chiều cao hình trụ
gấp đôi bán kính đáy của nó.
Chứng minh rằng hình trụ nội tiếp trong hình
nón có Sxq lớn nhất khi chiều cao hình trụ
bằng nửa chiều cao hình nón.
Bên cạnh một con sông (đường thẳng), người
ta làm một khu vườn hình chữ nhật có diện
tích cho trước là S. Người ta muốn rào khu
vườn bằng hàng rào ngắn nhất là bao nhiêu?
Biết rằng về phí sông thì không rào.
3
2
2 2 2 ( )
2
x yd x y
22( ) 2 2 2 2P x y d d
( ) 2 2Max P d khi 2
2
dx y
Khi đó ta có hình vuông cạnh 2
2
dx y
Bài 9:
RR
h-r
r
rr
2t
Gọi R và h là bán kính và chiều cao hình nón.
Gọi 2t là góc giữa đường sinh và đáy hình nón.
t là góc nhọn nhỏ hơn 450.
Thể tích khối nón là: 21
3
V R h
. tan
tan
rr R t R
t
2
r.tan2t 2tan 2t=
tant 1 tan
rh R
t
Suy ra:
3
2 2
2 1
3 tan (1 tan )
rV
t t
23 3
2 2
2 2 8
3 tan 1 tan 3
r rV
t t
38( )
3
rMin V khi 1tan
2
t
Suy ra 2R r và 2 411
2
rh r
Bài 10:
Gọi x=AC, BC=kx, góc ACB=t.
Chu vi P=2p=k+AB.
Ta có 2 2 2 2 . .cosAB AC BC AC BC t
2 2 2( ) 2 .( ).cosAB x k x x k x t
2 2 2 22 2 2 cos 2 cosAB x k kx kx t x t
2 2 2 ( )(1 cos )AB k x k x t
2 2 ( )(1 cos )P k k x k x t
P đạt nhỏ nhất khi tích x(k-x) lớn nhất
2 2
( )
2 4
x k x kx k x
Khi dấu đẳng thức xảy ra thì x=k/2, tức là
AC=BC=k/2, AB=k.sin(t/2)
Bài 11:
r
r
r
r
yx
x+y=c
r
yx K
BA
C
Giả sử cạnh huyền AB tiếp xúc đường tròn nội tiếp tại
K.
Đặt AK=x, BK=y.
Ta có AC=x+r, AB=y+r
Mà AB2=CA2+CB2 ta có:
2 2 2 2( ) ( ) ( )c x y x r y r
Suy ra 22 2 2 ( )xy r r x y
Suy ra
2 2
2
2 4
x y cr rc xy
Trong tất cả tam giác vuông có cạnh huyền c
cho trước, hãy tìm tam giác vuông có bán kính
đường tròn nội tiếp lớn nhất..
Nếu tổng 2 cạnh của một tam giác là k và góc
giữa 2 cạnh đó là t, hãy tìm độ dài các cạnh sao
cho tam giác có chu vi nhỏ nhất..
Tìm khối nón có thể tích nhỏ nhất ngoại tiếp
hình cầu bán kính r cho trước.
4
r lớn nhất khi r2+rc lớn nhất khi x=y=c/2
Giải phương trình
2
2
4
cr rc ta có
2 1max( )
2
r c .
Bài 12:
Ta có Q=3a2+3b2.
2 2 2
23 3 3
2 4 2 3 4
a Q a aSxq a b a
2 23 1 15 (4 15 )
4 15
Sxq a Q a
2 23 15 4 15
24 15 2 5
a Q a QSxq
( )
2 5
QMax Sxq khi 2
15 5
Q Qa b
Bài 13:
Đặt AB=x thì 2S=x.AC.sint 2
sin
Sb AC
x t
Và 2 2 2 2 2 . .cosc BC AB AC AB AC t
2
2 2
2 2
4. 4 .cot
sin
Sc x S t
x t
a) Đặt Q=AB+AC=x+b ta được:
2 22
sin sin
S SQ x
x t t
Suy ra 2 2( ) 2 ,
sin sin
S SMin Q x b
t t
b)
2
2 2
2 2
4. 4 .cot
sin
Sc x S t
x t
2 4 1 cos4 .cot 4 4 tan
sin sin 2
S t tc S t S S
t t
( ) 2 tan
2
tMin c S , 2
sin
Sx
t
c)
Chu vi tam giác là P=x+b+c
Vì x+b và c cùng nhỏ nhất khi 2
sin
Sx
t
nên P cũng
đạt nhỏ nhất tại đó 22 2 tan
sin 2
S tP S
t
Bài 14:
Gọi x là một cạnh đáy, cạnh còn lại là Q/x.
Chiều cao hình hộp là
2
2
2
Qh x
x
2
2
22 2
Q Q QSxq x h x x
x x x
2 2
2 2
2 22 2
Q QSxq x x Q
x x
Sxq đạt nhỏ nhất khi
2
2
2
Qx
x
đạt nhỏ nhất
2 2
2 2
2 22 . 2
Q Qx x Q
x x
( ) 4 2Min Sxq Q khi x Q
Nghĩa là đáy hình hộp là hình vuông.
Bài 15:
Hãy tìm đoạn thẳng ngắn nhất chia một tam
giác thành 2 phần có diện tích bằng nhau.
Từ những hình hộp chữ nhật với diện tích đáy
bằng Q và chiều cao hình hộp bằng đường
chéo mặt đáy, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của diện
tích xung quanh.
Cho diện tích S và góc A=t (cho trước) của
tam giác ABC. Tìm giá trị lớn nhất của:
a) AB+AC.
b) BC
c) Chu vi tam giác
Trong một hình tứ diện có đáy là tam giác đều
cạnh a, các cạnh bên bằng b, tổng bình
phương các cạnh bằng Q. Hãy tìm giá trị lớn
nhất của Sxq của tứ diện.
5
C'
B'
m
y
x
C
BA
Đoạn thẳng định thành tam giác AC’B’.
AB’=x, AC’=y, B’C’=m, S là diện tích ABC.
2 2 2 2 cosm x y xy A
Theo giả thiết S(ABC)=2S(AB’C’)
sinS xy A
Suy ra 2 2 (1 cos )2 (1 cos )
sin
S Am xy A
A
m ngắn nhất là 2 (1 cos )
sin
S Am
A
khi
sin
Sx y
A
Bài 16:
Xét trong mặt phẳng: với O(0;0), A(a1,a2),
B(a1+b1;a2+b2), …,M(a1+b1+…+m1;a2+b2+…+m2)
Ta có:
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2
1 1 1 2 2 2
...
( ... ) ( ... )
a a b b m m
a b m a b m
Mở rộng cho không gian n chiều:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2
1 1 1 2 2 2
... ... ... ...
( ... ) ( ... ) ... ( ... )
n n n
n n n
a a a b b b m m m
a b m a b m a b m
Ghi chú: có thể hiểu trên ý nghĩa của véc tơ:
1 2 1 2... ...n na a a a a a
Bài 16:
x=AB thì cạnh huyền BC=kx.
Suy ra 2 2( ) ( 2 )AC k x x k k x
Diện tích 1 ( 2 ) ( 2 )
2 2
kS x k k x xx k x
3 22
2 3 6 3
k x x k x kS
2
( )
6 3
kMax S khi
3
kx
(khi đó 01cos 60
2
AB xB B
BC k x
)
Bài 17:
( )( )( )S p p a p b p c
32 33( )( )( )
3 27
S p a b c pp a p b p c
p
Vậy S lớn nhất là
2
3 3
p khi a=b=c=2p/3
Bài 18:
Tam giác ABC vuông tại B có CD là đường cao.
Đặt AD=x, ta có AC2=AD.AB=x.2R.
CB2=4R22Rx.
CD.AB=CA.CB
22 (4 2 ) (2 )
2
Rx R RxCD x R x
R
. . (4 2 )AC CD Rx x R x
3/ 2 24 2 8 3.
3 9
x x R x RAC CD R
Trên nửa đường tròn đường kính AB=2R, hãy
tìm điểm C của sao cho AC.CD đạt lớn nhất.
(CD vuông góc AB tại D).
Tam giác vuông ABC có chu vi 2p (cho trước).
Hãy xác định các cạnh của tam giác ABC để
diện tích ABC lớn nhất.
Tam giác vuông ABC có A là góc vuông,
BC+AB=k (cho trước). Hãy xác định góc B
của tam giác ABC để diện tích ABC lớn nhất.
(Bất đẳng thức Minkovski). Cho các điểm liên
tiếp O,A,B,C,…,Q,M. Độ dài đường gấp khúc
OA+AB+BC+…+QM ≥ OM. Hãy đặt tọa độ
các điểm O và A,B,C,…,Q,M để có bất đẳng
thức số.
6
28 3( . )
9
RMax AC CD
Khi x=4R/3.
Bài 19:
Đặt AB=x thì cạnh AC=2pax
( ) ( )( )( )S a p p a p x a x p
( )( ) ( ).
2 2
a p p ap x a x pS a p p a
( )( ( ))
2
a p p aMax S a khi
2
px
Khi có ( )( )
2
a p p aS a
3/ 22 2( ) (2 2 )
32 2 2 2
p p a a p aS a aa p a
22 2( )
2 2 3 3 3 3
p p p pS a
2
( ( ))
3 3
pMax S a khi a=2p/3
Bài 20:
r
y
K
1
x-a
a
O
K
H
M
FE
DC
BA
Đặt OE=r, OH=a, OK=x, KF=y (như hình vẽ)
Suy ra 2 2y r x (0<x<r)
Diện tích hình chữ nhật CDFE là :
2 22( )S x a r x
2
( )( )( )( )
4
S x a x a r x r x
Ta thêm vào 2 biến tham số u,v:
2
( )( )( )( )
4
S x a x a ur ux vr vx
uv
42 (2 ) 2
4 4
S x u v a ur vr
uv
Ta chọn u,v sao cho:
2 0
( ) ( )
u v
x a u r x v r x
2
( ) ( 2)( )
v u
x a u r x u r x
2
( 2)( )
v u
x au
r x
x a u r x
2
2 ( )
v u
x au
r x
x ax a r x
r x
2 2
2
2 0
v u
x au
r x
x ax r
Giải ra
2 28
4
a a rx
Ta chỉ nhận x>0 nên
2 28
4
a a rx
Ta kiểm tra x<r
2 28
4
a a r r
2 28 4a r r a 8 ( ) 0r r a (đúng)
Có x=OK dựng được CDFE.
Bài 21:
Trong một mảnh của hình tròn cắt bởi một dây
cung. Hãy dựng một hình chữ nhật nội tiếp
mảnh này mà nó có diện tích lớn nhất.
Tam giác ABC có chu vi 2p và BC=a. Định độ
dài 2 cạnh AB và AC để ABC có diện tích lờn
nhất. Với giá trị nào của a thì diện tích đó lớn
nhất.
7
Gọi 3 kích thước là x,y,z (z là chiều cao)
S=2(x+y)z+xy=2xz+2yz+xy
2 3 233 4( ) 27.4S xyz S V
3
2
108
SV
V đạt lớn nhất là
6 3
S SV khi:
32 2
1
2 2 3
Sx y
xz yz xy
y Sz
B. BÀI LÀM THÊM:
Bài 22:
Bài 23:
Bài 24:
Bài 25:
Bài 26:
Bài 27:
Bài 28:
Bài 29:
Bài 30:
Cho góc tam diện đỉnh O và số a. Hãy tìm các
điểm A,B,C trên các cạnh của tam diện sao cho
OA+OB+OC=a và thể tích OABC lớn nhất.
Với một điểm bất kỳ M trong tứ diện ABCD,
với h1,h2,h3,h4 là khoảng cách từ X tới các mặt
của tứ diện. Với vị trí nào của X thì tích số 4
khoảng cách đó lớn nhất.
Trong tam giác ABC (AB=c, BC=a, CA=b)
cho điểm X và với x,y,z là khoảng cách từ X
tới BC,CA,AB. Gọi ha, hb, hc là độ dài các
đường cao kẻ từ A,B,C. Tìm vị trí X sao cho:
a) a b c
x y z
nhỏ nhất
b) a b ch h h
x y z
nhỏ nhất
Cho 2 điểm A,B ở 2 phía của mp(P). Qua A,B
hãy dựng mặt cầu cắt (P) theo thiết diện có
diện tích nhỏ nhất.
Trong tất cả các tứ diện đỉnh S mà tổng độ dài
6 cạnh bằng k (cho trước) và 3 góc đỉnh S của
các mặt bên đều vuông, hãy tìm khối tứ diện
có thể tích lớn nhất.
CMR trong các hình hộp có cùng thể tích V thì
hình lập phương có diện tích toàn phần nhỏ
nhất.
Cho tứ diện DABC và điểm M trên đáy ABC.
Gọi P,Q,R là các hình chiếu vuông góc của M
trên các mặt bên của tứ diện. Định vị trí M để
tứ diện MPQR có thể tích lớn nhất.
Một bình hình bán cầu, có bán kính R chứa
đầy nước. Nhúng hẳn vào bình nước một hình
hộp chữ nhật có kích thước cạnh đáy là a,b và
chiều cao x. Định các kích thước ấy để thể tích
nước tràn ra là nhiều nhất?
Trong các hình hộp chữ nhật không có nắp và
tổng diện tích các mặt là S (cho trước), hãy tìm
khối hộp có thể tích lớn nhất.
8
Trong các khối trụ có thể tích V cho trước,
hãy tìm kích thước của khối trụ để diện tích
toàn phần đạt nhỏ nhất.
File đính kèm:
- bdt & cT HINH HOC.pdf