Bất đẳng thức, cực trị đại số trong toán học THCS

BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ ĐẠI SỐ TRONG TOÁN HỌC THCS ---------------------------------------------------- I.ỨNG DỤNG CỦA MỘT BĐT ĐƠN GIẢN. Chứng minh BĐT luôn là những bài toán hấp dẫn. Với bài viết này chúng ta sẽ khám phá một số bài BĐT hay và khó nhờ một BĐT đơn giản trong chương trình toán THCS. Bài toán xuất phát: Cho a, b là hai số bất kì và x, y là hai số dương. Chứng minh rằng: (*) Chứng minh: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với BĐT sau cùng hiển nhiên đúng. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Sử dụng BĐT (*) hai lần, ta được (**) với ba số a, b, c và ba số dương x, y, z bất kì. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Bây giờ, ta sẽ áp dụng hai BĐT trên để chững minh một số bài toán sau.Bài toán 1. Cho hai số a, b, c bất kì. Chứng minh rằng Chứng minh. Sử dụng BĐT (*) hai lần ta có : Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b. Bài toán 2. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn Chững minh rằng: . Chứng minh: Sử dụng BĐT (*) hai lần, ta có: Tương tự, ta có: Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên, chú ý tới giả thiết dẫn đến điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = . Bài toán 3. Cho 3 số dương a, b, c . Chứng minh rằng: . (Bất đẳng thức Nasơbit) Chứng minh: Sử dụng BĐT (**) ta có: Bây giờ chúng ta cần chứng minh BĐT: Nhưng BĐT này tương đương với Đây là BĐT luôn đúng. Từ đó suy ra BDT cần phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Bài toán 4. Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: ( Vô địch Quốc tế năm 1995 tổ chức tại Canađa ) Chứng minh: Sử dụng BĐT (**) với lưu ý rằng = 1 ta có: Vì thế ta chỉ cần chứng minh ab + bc + ca 3. Thật vậy, áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương a, b, c kết hợp với giả thiết abc = 1 ta suy ra điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Bài tập vận dụng: Bài 1. Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng: Bài 2. Cho các số dương x, y, z. Chứng minh rằng: a) ; b) Bài 3. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn 3(ab + bc+ ca) = 1. Chứng minh rằng: Bài 4. Cho các số dương a, b, c, d, e . Chứng minh rằng: Bài 5.Cho 3 số dương x, y, z. Chứng minh rằng : . II. TỪ MỘT BẤT ĐẲNG THỨC ĐƠN GIẢN, CƠ BẢN ĐỂ PHÁT TRIỂN THÀNH CÁC BÀI TOÁN MỚI. ( Xem toán tuổi thơ 2 tháng 5/2011) Khi chứng minh BĐT, ta thường phải dùng đến nhiều phương pháp khác nhau. Đôi khi, việc ta sử dụng những BĐT đơn giản, quen thuộc lại mang đến hiệu quả bật ngờ. Bài toán cơ sở. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: (1) Nhân 2 > 0 vào hai vế của BĐT (1) vào rồi chuyển vế, biến đổi tương đương ta được một BĐT đúng. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Bây giờ, vận dụng kết quả trên, ta chứng minh một số BĐT sau. Bài toán. Cho a, b, c là các số thực dương: thỏa mãn điều kiện a + b + c = abc. Chứng minh rằng: (2) Chứng minh rằng: (3) thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng: (4) d) thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = Lời giải: a) Ta có: (2) ( Do giả thiết a + b + c = abc) Bất đẳng thức cuối cùng đúng do (1). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = . b) Áp dụng trực tiếp (1), ta có: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. c) Ta có: (4) ( do giả thiết ab + bc + ca = 1) Đặt x = ; y = ; z = với x, y, z > 0. Bất đẳng thức cuối được chuyển về dạng của (1). Suy ra điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = . d) ( do áp dụng (1)) ( Do giả thiết a2 + b2 + c2 = 1) Mà S > 0 nên S . Min S = khi và chỉ khi a = b = c = Nhận xét. Trong ví dụ a) và c), ta thay thế giả thiết vào bất đẳng thức cần chứng minh một cách thích hợp để chúng có những hân thức mà tử và mẫu cùng bậc. Giả thiết ab + bc + ca = 1 thường được dùng trong bài toán chứng minh BĐT hay tìm cực trị mà dạng biến đổi thông thường của nó là a2 + 1 = a2 + ab + bc + ca = (a + b)(a + c). Bây giờ, hãy vận dụng BĐT (1) trên để chứng minh hoặc tìm cực trị của các bài toán dưới đây. Bài tập vận dụng. Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: Bài 2. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = . Bài 3. Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = . Bài 4. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- III. ĐỔI BIẾN ĐỂ CHỨNG MINH BĐT. Có rất nhiều phương pháp chứng minh BĐT. Mỗi bài toán cũng có nhiều phương pháp để chứng minh. Bài viết này trình bày về một phương pháp được cho là khá thú vị và nếu tinh ý, chúng ta có thể sáng tạo thêm các bài toán khó hơn. Bài toán 1. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc. (1) Lời giải: Đặt a + b – c = x; b + c – a = y; c + a – b = z. (x; y; z là các số tự nhiên > 0) Suy ra a = ; b = ; c = . Thay vào (1), ta được: xyz (2) Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy cho bộ 2 số dương, ta có: ; ; . Nhân từng vế các BĐT trên ta suy ra (2). Nghĩa là (1) được chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hay tam giác đó đều. Chú ý: Ta có thể sử dụng phương pháp khác để chứng minh BĐT (1). Hầu hết các bài toán có dạng a + b – c; b + c – a; c + a – b đều có chung một hướng giải là đổi biến. Bất đẳng thức (1) có thể mở rộng thành bài toán khó hơn bằng cách xem a; b; c là 3 số thực dương. Bài toán 2. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 7(ab + bc + ca) 2 + 9abc. (3) Lời giải: Đặt x = 1 – a; y = 1 – b; z = 1 – c. Khi đó x, y, z là các số không âm và x + y + z = 2. Bất đẳng thức (3) được viết về dạng như sau : (4) Áp dụng BĐT Cauchy, ta có : > 0 > 0 Nhân các vế tương ứng của hai BĐT trên thì được (4), nghĩa là (4) đúng. Vậy BĐT (3) được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z, suy ra a = b = c = . Bài toán 3. Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = . Lời giải : Đặt x =  ; y =  ; z = thì x, y, z > 0 và xyz = 1. Khi đó P = ( BĐT Cauchy cho 3 số dương, kết hợp với giả thiết xyz = 1). Min P = khi và chỉ khi x = y = z = 1, tức là a = b = c = 1. Bài toán 4. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: . ( Bất đẳng thức Nêsơbit ) Đây là bài toán cơ bản, là BĐT được sử dụng không nhiều trong chương trình toán THCS. Có nhiều cách để chứng minh nó. Xin giới thiệu phương pháp: Đổi biến! Lời giải: Đặt x = b + c; y = c + a; z = a + b. Ta có : a =  ; b =  ; c = . Bất đẳng thức trên chuyển về dạng sau Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Bài tập vận dụng : Bài 1. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng : Bài 2. Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = Bài 3. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng : Bài 4. Cho ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng: 3abc( a+ b + c) 1 Nếu a, b, c dương thì: Nếu a, b, c dương thì: ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- IV. VẬN DỤNG LINH HOẠT CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CHỨNG MINH HOẶC TÌM CỰC TRỊ. Trong chứng minh BĐT, việc vận dụng một cách linh hoạt các BĐT phụ khác cho ta đến một hiệu quả bất ngờ. Chúng ta cùng xét các ví dụ sau: Bài toán 1. Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c, d ta có: f(a, b, c, d) = . Lời giải: Bằng cách cộng 4 vào mỗi vế của BĐT trên, ta được: Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Suy ra điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d. Bài toán 2. Hai số dương a, b có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: a) ; b) . Nhận xét: Để làm được bài toán này, chúng ta cần xác định được điểm rơi và cách biến đổi chúng cũng như sử dụng các BĐT phụ khác. Lời giải: a) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0,5. b) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0,5. Bài toán 3.Cho n số dương bất kì a1; a2; ...; an > 0. Chứng minh rằng: ( 1 + a1)(1 + a2)...(1 + an) ) Lời giải: Áp dụng BĐT Cauchy, ta nhận được: Bất đẳng thức, cực trị............................................................................................................................ Cộng các vế tương ứng của hai BĐT này thì được điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các số trên bằng nhau. Bài toán 4. Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương ta có: * * Trường hợp còn lại xin dành bạn đọc. Bài toán 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: abc = 1. Chứng minh rằng: . ( Xem toán tuổi thơ 2 tháng 8 + 9 / 2011) Lời giải: Đặt S = a + b + c. Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số thức dương ta có: S. Do đó: = = = = 2S2 – 7S + 3 = (2S – 1)(S – 3) 0. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Dấu “=” khi và chỉ khi a = b = c = 1. Bài toán 6. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: ( Xem toán học và tuổi trẻ tháng 2/2012) Lời giải: Đặt A = Suy ra điều phải chứng minh. Dấu “=” khi và chỉ khi a = b = c. Nhận xét: Việc vận dụng BĐT Cauchy và các BĐT phụ khác đem lại một hiểu quả bất ngờ! * Trong giải toán, một số BĐT cần phải chứng minh mới sử dụng được. Bất đẳng thức, cực trị đại số................................................................................................................. V. MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC Bài toán 1. a. Víi a,b, c > 0. Chøng minh: b. Cho a ³ c > 0, b ³ c. Chøng minh: Lời giải: a. a2 +b2 + c2 ³ 2 (bc + ac - ba) (V× abc > 0) a2 + b2 + c2 - 2bc - 2ac + 2ab ³ 0 (a + b - c)2 ³ 0 (hiÓn nhiªn ®óng). VËy: b. Bạn đọc tự giải. Bài toán 2. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn và 3a – 4b + c = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = ( Xem toán tuổi thơ 2 tháng 2/2011) Lời giải: Vì nên: M = = M = 0 khi và chỉ khi a = b. Vì 3a – 4b + c = 0 nên a = b = c. Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng 0. Bài toán 3. Cho a, b, c, d > 0. Chøng minh r»ng kh«ng thÓ ®ång thêi x¶y ra c¸c bÊt ®¼ng thøc sau: a + b < c + d ; (a + b) (c + d) < ab + cd ; (a + b) cd < (c + d) ab. Lời giải: Gi¶ sö x¶y ra ®ång thêi c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn. Tõ hai bÊt ®¼ng thøc ®Çu ta cã: (a + b)2 cd > (a + b)2 - ab ³ 3ab => cd > 3ab (1) MÆt kh¸c, ta cã: (a + b) cd (a + b)2 cd < (c + d) ab (a + b) < ab (ab + cd) => 4abcd £ (a + b)2 cd < ab (ab + cd) = a2b2 +abcd => a2b2 > 3abcd => ab > 3cd (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: ab >3cd > 9ab, v« lý! VËy ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. Bài toán trên còn có các biến đổi phức tạp hơn. Ở đây xin trình bày ngắn gọn, tóm tắt! Bài toán 4.Cho ak , bk là các số dương thay đổi luôn thỏa mãn điều kiện: a1 + a2 + ... + an = b1 + b2 + ... + b n = 1. Tìm giá trị lớn nhất của tổng: P = Lời giải: Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: hay Cho k = 1, 2, ..., n, rồi cộng các vế tương ứng của n BĐT nhận được, ta có: P. Hơn nữa nếu chọn ak = bk = với mọi 1 thì P = 0,5. Vậy giái trị lớn nhất của P là 0,5. Bài toán 5. Cho S = a2 + b2 + c2 + d2 + ac + bd trong ®ã ad - bc =1. Chøng minh r»ng S ³ . Lời giải: (ac + bd)2 + (ad - bc)2 = a2c2 + 2abcd + b2d2 + a2d2 - 2abcd + b2c2 = a2 (c2 + d2) + b2 (c2 + d2) = (a2 + b2) (c2 +d2) V× ad - bc = 1 nªn: 1 + (ac + bd)2 = (a2 + b2)(c2 +d)2 Áp dông bÊt ®¼ng thøc C« si, ta cã: S = (a2 + b2) + (c2 + d2) + ac + bd ³ 2 . Đến đây bạn đọc tự giải tiếp. Bài toán 6. Cho các số dương a, b, c, d. Biết . Chứng minh rằng: abcd . Lời giải: Từ giả thiết suy ra: . Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương, ta có: . Tương tự, ta có: ; Nhân từng vế bốn BĐT, ta được 1 . Nên abcd . Vậy: BĐT đã được chứng minh. Dấu “=” khi và chỉ khi a = b = c = d = Bài toán 7. Cho tam gi¸c ABC vµ mét ®iÓm Q nµo ®ã ë trong tam gi¸c. Qua Q kÎ ®­êng th¼ng song song víi AB c¾t AC ë M vµ c¾t BC ë N. Qua Q kÎ ®­êng th¼ng song song víi AC c¾t AB ë F vµ c¾t BC ë E. Qua Q kÎ ®­êng th¼ng song song víi BC c¾t AC ë P vµ c¾t AB ë R. Ký hiÖu S1 = dt (QMP), S2 = dt(QEN), S3 = dt(QFR) vµ S = dt (ABC). Chøng minh r»ng: b. Lời giải: a. Ta cã DQMP ~ DBAC (Tû sè ) , suy ra: (Bạn đọc tự vẽ hình) T­¬ng tù, ta có: Suy ra: Do ®ã: Suy ra: b. Áp dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki, ta cã: S = (12 + 12 +12)(S1 +S2 + S3) Suy ra: S1 + S2 + S3 . DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi: S1 = S2 = S3 Q lµ träng t©m DABC. Bài toán 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau đây với mọi x thuộc R. B = |x| + |2x + 1| + |3x + 2| +...+ |99x + 98| Lời giải : Để ý rằng |70x + 69| = |70(x + )| |50(x + )|. Vì vậy : B = |– x| + | – 2x – 1| + ... + |– 69x – 68| + |70x + 69| + |71x + 70| +...+ |99x + 98| |– x| + |– 2x – 1| + ... + |– 69x – 68| + + |71x + 70| + ... +|99x + 98| | –x + (–2x – 1) + ... + (–69x – 68) – 50(71x + 70) + ... + (99x + 98)| = . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = –. Vậy, giá trị nhỏ nhất của B là min B = . Cơ sở đâu, nguyên nhân nào và tại sao lại biến đổi được như vậy ? Có cách nào khác nữa hay không ? Cách giải trên dùng tính chất gì của giá trị tuyệt đối ? Bài toán 9. Cho x là số thực thay đổi trên đoạn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A = . Lời giải : Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có : A = Hay : A Hơn nữa, A = 16 khi và chỉ khi x = . Vậy, giá trị lớn nhất của A là max A = 16. Bài toán 10. Cho 3 số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng Lời giải: Đặt a = y + z, b = z + x ; c = x + y. Khi đó x = ; y = ; z = . Ta chứng minh được rằng VT 12. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi : 5b + 5c = 5a, suy ra x = 0, vô lý. Dấu đẳng thức không xảy ra, suy ra điều phải chứng minh. Bài toán 11. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn: a + b + c 3. Chứng minh rằng: Lời giải: Ta có, (1) Mặt khác: 3(ab + bc + ca) suy ra : (2) Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1. Bài toán 12. Cho hai dãy số sắp thứ tự: và . Chứng minh rằng: (a + b + c)(x + y + z) 3(ax + by + cz) ( BĐT Trê – bư - sép)* Lời giải: Xét hiệu: (a + b + c)(x + y + z) – 3(ax + by + cz) = a(x + y + z) – 3ax + b(x + y + z) – 3by + c(x + y + z) – 3cz = a(y + z – 2x) + b(x + z – 2y) + c(x + y – 2z) = a = (y – x)(a – b) + (x – z)(c – a) + (z – y)(b – c) ( Vì theo giả thiết, ta có và ) Nên suy ra điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z và a = b = c. * Trê – bư – sép (1821 – 1894), nhà toán học Nga. Bài toán 13. Cho a, b, c, d là các số dương. Chứng minh rằng: Lời giải: Áp dụng BĐT với mọi x, y là các số dương, ta có: . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d. Cũng có thể dùng BĐT Bunhiacopxki để chứng minh như sau: Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Nhận xét: * Việc áp dụng linh hoạt nhiều BĐT hoặc một BĐT nhiều lần giúp ta chứng minh bài toán thuận lợi hơn. * Trong bài toán BĐT, việc xác định điểm rơi của biến là rất cần thiết. Nó góp một phần nhỏ vào việc áp dụng các BĐT phụ. Bài toán 14. Cho a > b là các số không âm. Chứng minh rằng: a + . Chúng ta thử xác định điểm rơi của bài toán. Ta có: 2a – 1 = 3b suy ra a – b = . Lời giải: Áp dụng BĐT Cauchy cho 4 số thực không âm, ta có: (a – b) + = 4. Từ đây suy ra điều phải chứng minh. *Xem dòng trên, tại sao lại có “2a – 1 = 3b suy ra a – b = ” ? Đó chính là một quá trình suy luận? Bạn đọc hãy thử tìm tòi, khám phá xem? HD: Chú ý tới giả thiết và vế cần phải chứng minh. Bài toán 15. Cho a, b, c là các số thực không âm có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = . ( Xem toán tuổi thơ 2 tháng 1/2011) Lời giải: Dễ dàng chứng minh được BĐT sau với a, b, c là các số thực không âm tùy ý: (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc (1) Từ (1) kết hợp với giả thiết a + b + c = 1, ta có: abc (1 – 2c)(1 – 2a)(1 – 2b) = 1 – 2(a + b + c) + 4(ab + bc + ca) – 8abc 9abc 4(ab + bc + ca) – 1 P = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) - = (a + b + c)2 - = 1 - = . Min P = khi và chỉ khi (1) trở thành đẳng thức. Suy ra a = b = c, hoặc (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) = abc . a = b = c = hoặc (a , b , c) là một hoán vị của bộ số . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 0,5. Bài toán 16. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức trong đó x, y, z là các số dương thỏa mãn a + b + c = 2001. ( Xem Toán học và Tuổi trẻ tháng 11/2001) Lời giải: Áp dụng BĐT Cauchy cho 20 số, trong đó có 11 số y và 8 số 667, ta có: Tương tự: Cộng theo từng vế các BĐT trên và bằng biến đổi đơn giản, ta thu được BĐT: (9(x + y + z) – 3.8.667).6678 = 3.6679 với BĐT xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 667. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức cần tìm là 3.6679. Bài toán 17. Gọi x là số lớn nhất trong 3 số thực dương x, y, z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = . (Xem Toán học và Tuổi trẻ tháng 12/2001) Lời giải: Sử dụng BĐT Cauchy cho các số trong căn, ta có: A = (1) Sử dụng BĐT Cauchy cho 11 số, ta có: (2) Mặt khác theo giả thiết đã cho x = max(x , y , z), cho nên và vì nên từ (1) và (2) ta có: A Đẳng thức xảy ra khi x = y = z. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là . Bài toán 18. Tìm giá trị nhỏ nhất của BT: Q = Lời giải: Sử dụng BĐT Cauchy cho 4 số, ta có: ; . Suy ra: . Q = Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là . * Bạn có thắc mắc gì không? Tại sao lại dùng BĐT Cauchy cho 4 số? HD: Phát hiện từ giả thiết bài toán bằng cách quan sát thật kĩ. Sỡ dĩ dùng BĐT Cauchy cho 4 số là để đưa biểu thức Q về dạng lớn hơn hoặc bằng biểu thức trừ. Từ đó chuyển vế, chú ý giả thiết ta suy ra được kết quả cần tìm. Nếu biết quan sát kĩ bài toán trên ta sẽ thấy điều đặc biệt và dẫn đến lời giải. Bài toán 19. Cho x, y là những số thực lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của BT: P = Lời giải: Viết P về dạng: P = = Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương, ta có: P . P = 8 khi và chỉ khi x = y = 2. Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 8 khi x = y = 2. Bài toán 20. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: . Tìm min abc ? Lời giải: Ta có: . (1) Mặt khác (2) Ta có: (3) Từ (1); (2) và (3) ta có: . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 2; b = 35; c = 57/2. Vậy min abc = 1995 khi và chỉ khi a = 2; b = 35; c = 57/2. Bài toán 21. Cho x, y là hai số thỏa mãn đồng thời: và . Tìm max và min của biểu thức K = x2 – 2x – y. Lời giải: Từ 2x + 3y suy ra y K = x2 – 2x – y Suy ra min K = khi x = . Ta có: 2x2 + xy ( x ). Suy ra: x2 – 2x – y y = 0 y = 0 Suy ra max K = 0 khi và chỉ khi hoặc x = 0 x = 2 * Nhiều khi việc tìm trực tiếp GTNN của biểu thức K gặp khó khăn. Tuy nhiên, ta có thể bắc cầu K qua biểu thức B (bé hơn)theo sơ đồ ‘‘ bé dần’’ : KB. Rồi đi tìm GTNN của B, từ đó suy ra GTNN của biểu thức K. Các mối liên hệ gữa K và giả thiết sẽ chỉ dẫn chúng ta đến tìm B. * Chắc chắn bạn còn thắc mắc bài toán có hai giả thiết, thế nhưng khi giải lại chỉ sử dụng đến một giả thiết mà thôi (!) * Trong quá trình đánh giá có thể tìm được nhiều biểu thức B. Gọi Bk là một trong những biểu thức đó và có min Bk = mà ta cũng có K = Bk thì mới có min K = min Bk = . Trong trường hợp đó biểu thức Bk được gọi là ‘‘ kết’’. Trong bài toán trên, sử dụng giả thiết còn lại không dẫn tới ‘‘ kết’’. * Trong bài toán trên, hình thức các giả thiết trên chưa đủ để chỉ dẫn bắt mạch sử dụng giả thiết này hay giả thiết kia. Nhiều bài toán phức tạp phải liên kết sử dụng tất cả các giả thiết mới tìm được ‘‘ kết’’. Bài toán 22. Cho 3 số dương x, y, z có tổng bằng 1. Chứng minh rằng : P = Lời giải : Với x, y, z là các số bất kì, ta có BĐT luôn đúng : (x + y + z)2 3(xy + yz + zx) Vì x + y + z = 1 nên suy ra . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = . Ta có : . (1) x = y = z = 1/3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2(xy + yz + zx) = x2 + y2 + z2 Hệ này vô nghiệm nên BĐT không trở thành đẳng thức. Vậy BĐT được chứng minh. * Bài toán này có ‘‘ kết’’ là ở (1). * Việc vận dụng hai BĐT phụ trên và áp dụng giả thiết, đó là con đường đi tìm‘‘ kết’’ nhanh nhất. Bài toán 23. Số thực x thay đổi và thỏa mãn điều kiện x2 + (3 – x)2 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Q = x4 + (3 – x)4 + 6x2(3 – x)2. Lời giải : Đặt y = 3 – x, bài toán đã cho trở thành : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x4 + y4 + 6x2y2, trong đó x, y là các số thực thay đổi thỏa mãn   Từ các hệ thức trên, ta có : x2 + y2 + 2xy = 9 x2 + y2 5 Suy ra (x2 + y2) + 4(x2 + y2 + 2xy) 5 + 4.9 = 41 5(x2 + y2) + 4(2xy) 41 Mặt khác : 16(x2 + y2)2 + 25(2xy)2 40(x2 + y2)(2xy) (1) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4(x2 + y2) = 10xy Cộng hai vế của (1) với 25(x2 + y2)2 + 16(2xy)2 ta có : 41 hay (x2 + y2)2 + (2xy)2 41 khi và chỉ khi Q 41. Min Q = 41, đạt được khi và chỉ khi x = 1 hoặc x = 2. Bài toán 24. Cho a, b, c thỏa mãn a + 2b + 3c = 2. Tìm max M = a2 + 2b2 + 3c2. Lời giải: Đây là bài toán thuộc dạng tìm cực trị có điều kiện, hay và khó trong chương trình toán THCS nói chung và BĐT nói riêng. Chúng ta sử dụng giả thiết để đi tìm “kết”. Vì: a, b, c suy ra: (a + 2)(a – 3) 0 a2 – a – 6 0 a2 a + 6. Tương tự : b2 b + 6 2b2 2b + 12; c2 c + 6 3c2 3c + 18 . Từ các BĐT trên, suy ra: M = a2 + 2b2 + 3c2 a + 2b + 3c + 36 = 38. Max M = 38 khi và chỉ khi a = 3; b = 3; c = 3. Bạn hãy giải bài toán tìm cực trị có điều kiện dưới đây xem: Bài toán 25. Cho a, b, c . Chứng minh rằng: HD: Biết được vai trò của các biến là như nhau. Vì vậy ta có thể giả sử và đi xét các trường hợp cần thiết cho bài toán, ta suy ra điều phải chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi trong 3 số có 1 số bằng 0 và 2 số kia bằng 1. Bài toán 26. Cho hàm số: f(x;y) = (1 + x)(1 + ) + (1+ y)(1 + ) với x, y > 0 và x2 + y2 = 1. Tìm min f(x ;y) ? Lời giải : f(x ;y) = (1 + x)(1 + ) + (1+ y)(1 + ) = 1 + + x + 1 + + y = 2 + (x + ) + (y + ) + () + () = 2 + . Mặt khác : Suy ra f(x ;y) . Min f(x ;y) = Bài toán 27. Cho biểu thức P = Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của P biết x nằm trong khoảng từ 0 cho đến 3. Lời giải : * Giá trị nhỏ nhất : Vì 0 x 3 nên Đẳng thức xảy ra khi x = 3 hoặc x = 0. Đẳng thức xảy ra khi x = 3 hoặc x = 0. P x.x = 3 hoặc x = 0. Vậy Min P = 3. khi và chỉ khi x = 0 hoặc x = 3. * Giá trị lớn nhất: Dễ thấy P > 0 và P lớn nhất khi P2 lớn nhất. Ta có: P2 = x2 .(5 – x) + (3 – x)2 . (2 – x) + 2. = x2 – 3x + 18 + 2 = 18 + x(3 – x) . ( 2) Ta có : 0 x(3 – x) = , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1,5. Vì ()2 . Đẳng thức xảy ra khi x = 1,5. Mặt khác 2. P2 . Mà P > 0 nên P . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1,5. Vậy giá trị lớn nhất của P là . Bài toán 28. Cho biểu thức : P = . Với giá trị nào của các số nguyên dương x, y, z thì P đạt giá trị dương bé nhất ? (Thi HSG Quốc gia 1988 – 1989, Bảng A) Lời giải : Vì P > 0 suy ra . Đặt Q = . Do đó : Pmin khi và chỉ khi Qmax khi và chỉ khi xmin. Ta có : (Vì x nhỏ nhất) Khi x = 3 Vì không đổi nên Qmax khi và chỉ khi ymin . Mà : (Vì y nhỏ nhất) Khi y = 4 . Qmax khi zmin. Suy ra z = 36 (Vì z nhỏ nhất) Suy ra . Min P = (x, y, z) = (3, 4, 36). Vậy : Giá trị nhỏ nhất của P là . Bài toán 29. Cho a, b, c là các số dương a + b + c = abc. Chứng minh rằng : a5(bc – 1) + b5(ca – 1) + c5(ab – 1) HD: Bằng cách khai triển VT vủa BĐT trên, kết hợp với giả thiết bài toán, áp dụng thêm các BĐT phụ và biến đổi khéo léo, ta suy ra điều phải chứng minh. Lời giải: Xin dành cho bạn đọc (!) Bài toán 30. Cho biểu thức: P = . Tìm giá trị lớn nhất của P. Lời giải: ĐKXĐ của biểu thức P: x 1; y 2 và z 3. Ta có: P = . Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy cho các số không âm, ta có: Suy ra P . Max P = khi và chỉ khi x = 2; y = 4; z = 6. Bài toán 31. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = Lời giải : Bằng cách khai triển, ta thu được M = Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy cho các số không âm, ta có : . Tương tự, ta cũng có :  ; . Cộng từng vế các BĐT trên, ta có : (Vì xyz = 1) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1. Suy ra M . Min M = Vậy: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức M là Bài toán 32. Cho các số thực dương a, b, c thay đổi và thỏa mãn a + b + c = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P với P = . Lời giải: Từ giả thiết, ta suy ra P = . Biến đổi biểu thức P, ta được P = . Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số thực không âm, ta có: Suy ra P . Min P = 6 khi và chỉ khi 1 + a = 2 + b = 3 + c suy ra (a, b, c) = (3, 2, 1). Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6. Bài toán 33. Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn 0 < x, y, z 1. Chứng minh rằng : Lời giải : Vì 0 < x, y, z 1 suy ra : (xy + 1) – (x + y) = (1 – x)(1 – y) 0 suy ra xy + 1 x + y. Tương tự : yz + 1 y + z ; zx + 1 z + x. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Bài toán 34. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng : Lời giải : Đặt . (x, y, z > 0) Suy ra x + y > z ; y + z > x ; z + x > y. Bằng cách khai triển, vế trái thu được bằng : VT = . Đến đây có hai cách : Cách 1 : Sử dụng phương pháp làm trội. Cách 2 : x + y > z z(x + y + z) < 2z(x + y) . Tương tự : . Cộng theo từng vế các BĐT trên, ta suy ra điều phải chứng minh. Bài toán 35. Cho x, y thuộc (0 ; 1). Tìm min A = Lời giải : Ta có : A = Vì : A . Min A = 5/2 khi và chỉ khi x; y thỏa mãn các điều kiện: và . Bài toán 36. Cho 3 số x, y, z > 1 thỏa mãn điều kiện x + y + z = xyz. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: P = . Lời giải: Từ giả thiết, ta suy ra . Ta biến đổi biể