Bất đẳng thức - Huỳnh Duy Khánh

14 BẤT ĐẲNG THỨC (Huỳnh Duy Khánh Sở Giáo Dục và Đào Tạo An Giang) A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN. Một số tính chất của bất đẳng thức 1. 2. 3. 4. 5. Cộng hai vế của hai bất đẳng thức cùng chiều ta được bất đẳng thức cùng chiều. 6. Nếu cùng dấu và thì 7. 8. Một số bất đẳng thức cơ bản 1. dấu bằng xảy ra khi 2. với mọi dấu bằng xảy ra khi 3. Nếu thì:   4. Bất đẳng thức Cô si (AVG): Cho hai số không âm khi đó Dấu bằng xảy ra khi Chứng minh: Do là hai số không âm nên Ta có Vậy hay Dấu bằng xảy ra khi . B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN 1. Chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh một bất đẳng thức ta có thể chứng minh bằng các phương pháp sau: 1. Dùng định nghĩa chứng minh 2. Biến đổi tương đương Nếu bất đẳng thức đúng thì bất đẳng thức đúng 3. Sử dụng tính bắc cầu 4. Sử dụng các tính chất hay các hằng bất đẳng thức… 15 Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi số ta luôn có Giải : Cách 1 (Dùng định nghĩa) Xét hiệu Vậy dấu bằng xảy ra khi Cách 2; (Biến đổi tương đương) Bất đẳng thức đúng hiển nhiên nên dấu bằng xảy ra khi Ví dụ: Chứng minh rằng với thì Giải Ví nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Dấu bằng xảy ra khi Bài toán này còn có nhiều cách chứng minh khác, sau đây ta tổng quát bài toán như sau Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi . Giải : Cách 1: 16 bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên bất đẳng thức ban đầu đúng. Dấu bằng xảy ra khi . Cách 2: Dấu bằng xảy ra khi Cách 3: do cùng dấu. Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm và ta được Dấu bằng xảy ra khi: Chứng minh bất đẳng thức bằng cách 1 phải hết sức cẩn trọng vì các phép biến đổi phải tương đương với nhau nếu không dễ dẫn đến sai lầm. Từ ví dụ trên ta có thể thấy  Nếu thì dấu bằng xảy ra khi .  Nếu thì dấu bằng xảy ra khi . Ví dụ Chứng minh rằng với mọi số thực ta luôn có: Giải Xét Vậy Dấu bằng xảy ra khi . Tổng quát: + N u chẳn và là hai số bấy kỳ Dấu bằng xảy ra khi + N u lẻ là hai số dương 17 Dấu bằng xảy ra khi Ví dụ : Cho là ba số dương chứng minh rằng; Giải: Cách 1: Biến đổi tương đương Dấu bằng xảy ra khi . Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số ta được Dâu bằng xảy ra khi 2. Tìm giá trị nhỏ nhất- lớn nhất của biểu thức, hàm số. Giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của trên tập xác định D Số M được gọi là giá trị lớn nhất của trên tập D nếu  với  Có một số sao cho Số được gọi là giá trị nhỏ nhất của trên tập D nếu  với  Có một số sao cho Ta có thể ký hiệu : Giá trị lớn nhất (GTLN) hay giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số ta cần quan tâm đến các vấn đề sau đây: - Biến x chạy trên tập nào; - Điểm rơi để đạt GTLN hay GTNN ; thông thường điểm rơi đạt dược ở biên hay ở vị trí đặt biệt mà người giải phải dự đoán trước. - Có nhiều hàm số không có GTLN hay GTNN trên một tập D nào đó Ví dụ: Xét hàm số trên tập R có GTNN là 1 khi đúng với mọi số nhưng số 0 không phải là giá trị nhỏ nhất của trên R vì không có một giá trị nào để . + Xét hàm số với có GTNN là 2 và GTLN là 5 ???? 18 + nhưng hàm số không có giá trị nhỏ nhất vì không có nào để . a. Tìm GTLN- GTNN quy về Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của với x là số thực bất kỳ. Giải : Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 2 khi Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của trên đoạn Giải: Do Vậy vậy GTNN của S là 3 khi ; GTLN của S là 11 khi . Ví dụ: Tìm GTLN của với x bất kỳ. Giải: Vậy GTLN của S là khi Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của Giải: Vậy giá trị nhỏ nhất của A là khi . Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất của Giải: Ta có Vậy giá trị lớn nhất của là 3 khi . Nhận xét: Ở ví dụ này n u ta giải như sau K t luận giá trị lớn nhất của A bằng 4 là sai lầm vì dấu bằng xảy ra khi phương trình vô nghiệm, như vậy không tìm được x nào để . 19 Ví dụ : Tìm GTNN của Giải: Đặt Ta được Dấu bằng xảy ra khi Vậy GTNN của A là khi Ví dụ : Tìm GTNN của ớ Giải: Ta biến đổi A như sau Do Nên ta được Tóm lại hay GTNN của A là khi Bài tập : Tìm GTNN của Bài tập : Tìm GTNN của với b. Tìm GTLN−GTNN quy về dạng Một số bài toán tìm GTLN-GTNN của một biểu thức có chứa hai hay nhiều biến ta có thể biến đổi đưa về dạng dấu bằng xảy ra khi Cần lưu ý dấu bằng xảy ra ví dụ nhưng số 0 không phải là giá trị nhỏ nhất ở đây dấu bằng của hai biểu thức không đồng thời xảy ra. Ta thực hiện biến đổi sau: Dấu bằng xảy ra khi Ví dụ: Cho hệ phương trình (HSG lớp 9- 2012-2013) ố a. Tìm để hệ phương trình có nghiệm, tìm nghiệm đó. b. Xác định giá trị nhỏ nhất của : . Giải: a) Nhân phương trình (1) cho rồi cộng với phương trình (2) ta được 20  Nếu phương trình (3) vô nghiệm nên hệ phương trình vô nghiệm.  Nếu phương trình (3) ta được Hay hệ có nghiệm là b)  Nếu ta được Đặt Dấu bằng xảy ra khi  Nếu ta được Dấu bằng xảy ra khi hai tổng bình phương bằng không, hay x và y là nghiệm của hệ phương trình Kết luận: * Giá trị nhỏ nhất của * Giá trị nhỏ nhất của Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của Giải Dấu bằng xảy ra khi Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 5 khi Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của 21 Giải: Dấu bằng xảy ra khi Vậy GTNN của P là khi Ví dụ: Cho là ba số bất kỳ chứng minh rằng Giải: Ta có Cộng các vế của ba bất đẳng thức ta được Dấu bằng xảy ra khi hay với là số bất kỳ. Ví dụ: Chứng minh rằng Giải: Dấu bằng xảy ra khi c. Tìm GTLN-GTNN quy về dạng Đối với các biểu thức dạng A/B không phải lúc nào cũng có GTLN hay GTNN tuy nhiên các bài toán loại này ta thường hay quy về các dạng cơ bản sau + dấu bằng xảy ra khi + ớ ấ ằ + ớ ấ ằ ả ; 22 +Nếu Ví dụ: Cho tìm GTNN nếu có của biểu thức sau: Giải: Ta có Dấu bằng không xảy ra nên P không có giá trị nhỏ nhất. Bài tập: Tìm GTLN của ớ Ví dụ: Cho .Tìm giá trị nhỏ nhất của Giải: Do ta viết lại như sau Dấu bằng xảy ra khi Tổng quát: + Với và a là số không âm dấu bằng xảy ra khi + Với là số âm thi biểu thức không có giá trị nhỏ nhất. Chứng minh: Ví dụ: Với tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải: (ý tưởng giải bài toán này bằng ví dụ trên) ( có thể chia đa thức để được biểu thức cuối) Do khi đó Dấu bằng xảy ra khi Cách khác: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta được Dấu bằng xảy ra khi Ví dụ Cho tìm GTNN của 23 Giải: Ta có ớ do vậy Dấu bằng xảy ra khi . Ví dụ : Cho Tìm GTNN của Giải: Rõ ràng trong cách biến đổi trên có quá nhiều phiền phức đặt biệt số 3 xuất hiện một cách không tự nhiên, người giải ở đây biết trước điều đã xảy ra nên mới làm như vậy Nếu áp dụng bất đẳng thức Cosi bài toán trở nên nhẹ nhàng hơn. Dấu bằng xảy ra khi Ví dụ: Cho Tìm GTNN của Giải: Dấu bằng xảy ra khi Ví dụ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ớ Giải: Nhận xét điểm rơi ở đây là khi đó đây là giá trị nhỏ nhất. Dấu bằng xảy ra khi Vậy GTNN của là 5 khi . Cách khác: Sử dụng bất đẳng thức 24 Do dấu bằng xảy ra khi Không phải tự nhiên ta có thể gom tách thành các biểu thức như trên, cách phân tích của ta ở đây tập trung vào điểm rơi đó là chính vì vậy trong quá trình phân tích ta luôn để ý đến vị trí của điểm rơi này Ví dụ Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của Giải: Nhận xét điểm rơi ở biên Ta có Vì Dấu bằng xảy ra khi Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Giải : Nhận xét khi x càng lớn thì mẫu số càng lớn và số A càng nhỏ dần về số 0. Thử một vài giá trị ta nhận thấy có khả năng điểm rơi là Vậy dấu bằng xảy ra khi Vậy dấu bằng xảy ra khi Ví dụ : Tìm GTLN của Giải: Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 0 khi Bài tập: Tìm GTLN của Ví dụ Tìm GTLN của Giải 25 Do Dấu bằng xảy ra khi Ví dụ : Tìm GTNN của Giải: Ví dụ: Tìm GTLN-GTNN của Giải: Dấu bằng xảy ra khi ; Dấu bằng xảy ra khi Ví dụ Cho x là số thực bất kỳ tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Giải : Dấu bằng xảy ra khi Dấu bằng xảy ra khi Cách khác: Giả sử mỗi số x ta tính được ta xem m chạy trên tập nào (từ đó suy ra giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của A). Khi đó phương trình sau đây có nghiệm x 26 Vì phương trình có nghiệm theo x nên phương trình cuối cùng phải có Vậy hay GTLN của A là GTNN của A là Bài toán đến đây là xong nhưng ta có thể tính xem dấu bằng xảy ra khi nào. Nếu Nếu . Nhận xét: Cách giải của bài toán trên dựa trên ý tưởng vào tập giá trị của hàm số Cho hàm số . gọi là tập xác định của hàm số nếu với mọi thì biểu thức xác định. được gọi giá trị của hàm số nếu với mọi đều tồn tại sao cho nói cách khác ta tìm tập A để với mọi sao cho phương trình có nghiệm. đây là cơ sở tìm giá trịnh nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của một hàm số Trường hợp ta có GTLN của hàm số là b; GTNN của hàm số là a; Trường hợp thì hàm số không có GTNN ; GTLN là b; Trường hợp thì hàm số không có GTLN; GTNN là a; Trường hợp thì hàm số không có gTLN và GTNN. d. Tìm GTLN-GTNN của biểu thức chứa căn Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Giải Điều kiên Dễ thấy A không âm  Do mà không âm nên hay giá trị lớn nhất của A bằng Dấu bằng xảy ra khi  Do Dấu bằng xảy ra khi .  Theo điều kiện (?...?) ặ nhưng vì A không âm nên Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng 2 khi Tóm lại . Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 27 Giải Điều kiên Ta nhận thấy Xét khi đó Bình phương A như trên ta được Dấu bằng xảy ra khi Xét Khi đó Bình phương hai vế ta được Dấu bằng xảy ra khi Vậy Ví dụ : Tìm GTNN của Giải: Tập xác định Ta có nhận xét Vậy dấu bằng xảy ra khi Ví dụ : Cho phương trình a. Giải phương trình khi . b. Tìm để phương trình có nghiệm Giải: ĐK Nếu khi đó vế trái trở thành Nếu khi đó vế trái trở thành Vậy vế trái có giá trị luôn lớn hơn hay bằng 5 do đó phương trình có nghiệm khi . Ví dụ : Cho . Tìm GTNN của Giải: 28 Bình phương A rồi tìm GTNN của A; Ví dụ : Cho Tìm GTNN của Giải: Nhận xét: do Ta có Dấu bằng xảy ra khi Ví dụ Chứng minh rằng với ta luôn có Giải: Xét Vậy điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi . C. BÀI TẬP 1. Chứng minh rằng với hai số dương ta luôn có 2. Cho , chứng minh rằng . 3. Chứng minh rằng 4. Chứng minh rằng với bất kỳ 5. Chứng minh rằng 6. Chứng minh rằng 7. Tìm để có giá trị nhỏ nhất bằng . 8. Tìm m để có giá trị nhỏ nhất bằng . 9. Tìm để với mọi giá trị của 10. Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của 29 11. Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của 12. Tìm GTNN của 13. Tìm GTNN của 14. Tìm GTLN của 15. Tìm GTNN của 16. Tìm GTLN của 17. Cho Tìm GTLN của biểu thức 18. Tìm GTLN của 19. Tìm số nguyên sao cho biểu thức P sau đây đạt GTLN 20. Tìm giá trị nhỏ nhất của 21. Tìm GTNN của 22. Cho tìm GTNN của 23. a. Cho dương chứng minh rằng: b. Áp dụng bất đẳng thức trên chứng minh rằng Trong đó là độ dài ba cạnh và là nửa chu vi của tam giác ABC 17. Cho hai số thỏa Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 18. Tìm GTNN của