Bồi dưỡng tư duy giải toán cho học sinh thông qua các phép biến đổi lượng giác

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG PHỔ THÔNG TRUNG HỌC CHUYÊN VĨNH PHÚC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM BỒI DƯỠNG TƯ DUY GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC Người thực hiện : Đào Chí Thanh Tổ : Toán Tin Mã : 55 Số điện thoại : 0985 852 684 Email : thanhtoan@vinhphuc,edu.vn Năm 2012- 2013 WWW.VNMATH.COM Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 2 MỤC LỤC Trang Më ®Çu 3 PHẦN I : SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ Dạng 1 : Một số bài tập đại số sử dụng hệ thức lượng cơ bản 6 Bài tập tự luyện 11 Dạng 2 : Sử dụng các công thức cộng cung 12 Bài tập tự luyện 15 Dạng 3: Sử dụng các kết quả đã biết của tam giác lượng 16 Bài tập tự luyện 20 Dạng 4:Giải phương trình, hệ phương trình sử dụng lượng giác 21 Bài tập tự luyện 23 PHẦN II - KẾT LUẬN VÀ Ý KIẾN ĐỀ XUẤT 25 Tài liệu tham khảo 27 WWW.VNMATH.COM Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: Trong giai đoạn hiện nay, việc cấp bách để tránh đất nước có nguy cơ tụt hậu về kinh tế, khoa học kỹ thuật là phải nâng cao chất lượng giáo dục, thay đổi căn bản phương pháp dạy học.Học sinh phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động tư duy sáng tạo, bồi dưỡng phương pháp tự học học sinh. Bên cạnh đó, hàm số lượng giác và phương trình lương giác là khái niệm khó, trừu tượng đối với học sinh THPT, phân phối thời gian giảng dạy và học tập chiếm thời gian rất ít vì vậy để giải các bài tập lượng giác đối với nhiều học sinh là khá khó khăn. Vì vậy để nâng cao chất lượng dạy và học của học sinh đối với môn toán, giúp các em thấy được các mối liên quan giữa các phần được học trong bộ môn toán với nhau tôi đã tổng hợp , phân loại một số bài toán đại số có thể giải bằng các kiến thức lượng giác nhằm giúp các em có cách nhìn mới , phướng pháp mới để giải một số bài tập đại số. Mặt khác nhằm giúp các em ôn luyện các kiến thức đã học ở chương hàm số và phương trình lượng giác 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của bản sáng kiến kinh nghiệm này nghiên cứu một số bài toán đại số được giải bằng phương pháp khác nhằm góp phần rèn luyện yếu tố tư duy sáng tạo cho học sinh . 3. Giả thuyết khoa học Sử dụng các kiến thức lượng giác để giải một số bài tập đại số nhằm bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh , góp phần đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay và nâng cao chất lượng dạy học toán ở trường phổ thông trung học WWW.VNMATH.COM Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 4 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập đại số phù hợp với sự phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. 5. Phương pháp nghiên cứu - Dự giờ, quan sát việc dạy học của giáo viên và việc học của học sinh trong quá trình khai thác các bài tập sách giáo khoa, các bài tập nâng cao. - Tiến hành thực nghiệm sư phạm với lớp học thực nghiệm và lớp học đối chứng trên cùng một lớp đối tượng. WWW.VNMATH.COM Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 5 SỬ DỤNG LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ Dạng 1: Một số bài tập đại số sử dụng hệ thức lượng cơ bản Ta đã biết một số hệ thức lượng cơ bản học sinh đã dược học từ lớp 9, song vận dụng các kiến thức này còn hạn chế. Để thấy được vai trò của các hệ thức cơ bản của lương giác trong toán học tôi đã phân loại ra một số bài tập sau. Các hệ thức cơ bản và hệ quả: 1/ 2 2sin cos 1    2/ sin tg cos     3/ cos cotg sin     4/ 2 2 1 1 tg cos     5/ 2 2 1 1 cotg sin     6/ tg .cotg 1   Sau đây là một số bài tập minh họa Bài 1 : Cho a2 + b2 = c2 +d2 = 1 Chúng minh rằng : 1ac bd  Bài giải : Do a2 + b2 = 1 nên đặt sin = a; cos  = b; Do c2 + d2 = 1 nên đặt sin = c; cos  = d; Thay vào ac + bd thì ta có sin .sin+cos  .cos  = cos( -  ) Lại có cos 1x  nên ta có 1ac bd  Bài 2 : Cho x;y thỏa mãn   2 23 3 3x x y y     (1).Tính x + y Bài giải WWW.VNMATH.COM Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 6 Từ (1) chia hai vế cho 3 ta có 2 23 3 1 33 3 3 x x y y               Từ biểu thức đã cho ta thấy x>0,y>0 Với a 0; 2       nên ta có thể đặt: 2 2 2 2 ( ) 1 tan ( ) 1 tan (2) 3 3 3 3 ( ) 1 cot ( ) 1 cot (3) 3 3 3 3 x x x x a a y y y y a a                         Bình phương hai vế của (2) và (3) ta có 2 2 2 2 2 2 1 tan 2 tan 3 3 3 1 cot 2 cot 3 3 3 x x x a a y y y a a         Hay 2 2 2 2 tan 1 1 tan 2 tan 2 tan cot (4) tan3 3 cot 1 1 cot 2 cot 2 cot tan (5) cot3 3 x x a a a a a a y y a a a a a a               Cộng (4) và (5) ta có: x+ y = 0 (Đpcm). Bài 3: Cho x;y;z đôi một khác nhau thỏa mãn : (x+ z)(z + y) = 1 Chứng minh rằng : 2 2 2 1 1 1 4 ( ) ( ) ( )x y z x z y       Bài giải : Do (x+ z)(z + y) = 1 Với 4 a k   ta đặt : x + y = tan a; y + z = cot a nên x – y = tan a – cot a. Do đó ta cần chứng minh : WWW.VNMATH.COM Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 7 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 tan cot 4 (tan cot ) t an cot tan cot 2 a a a a a a a a           2 2 2 2 1 tan cot 2 2 (2) tan cot 2 a a a a        Ta thấy (2) đúng theo bất đẳng thức Cauchy. Bài 4: Cho 0 < x;y;z < 1 thỏa mãn : xyz = (1 – x )(1 – y )(1 – z ) (1) Chứng minh rằng : 2 2 2 3 4 x y z   (2) Bài giải : Từ giả thiết : xyz = (1 – x )(1 – y )(1 – z ) ta có : 1 1 1 . . 1 x y z x y z     Với a;b;c 0; 4       Ta đặt : 1 1 tan . cot 1 .tan cot 1 tan cot 1 1 cot . cot 1 .cot cot 1 cot cot 1 1 tan . 1 .tan 1 tan x a b x x a b x x a b y a b y y a b y y a b z b z z b z z b                         Vậy Bất đẳng thức (2) tương đương: 22 2 1 1 1 3 (1 tan ) 4(1 tan . cot ) (1 cot . cot ) ba b a b      Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:     2 2 2 21 tan cot (1 tan )(1 cot ) ; 1 cot cot (1 cot )(1 cot )a b a b a b a b        Điều phải chứng minh tương đương : 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 (1 tan )(1 tan . cot ) (1 cot . cot ) 2 tan cot 1 1 cot cot cot 1 (1 tan )(1 cot )(1 cot ) (1 tan ) 1 cot 1 cot (1 cot ) ba b a b a a b b b a a b b b b b                     WWW.VNMATH.COM Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 8 Ta chứng minh : 2 2 2 2 2 cot cot 1 3 4(cot cot 1) 3(1 cot ) (1 cot ) 0 (1 cot ) 4 b b b b b b b             Đúng Bài 5 : Cho : a2 + b2 – 2a – 4b+ 4 = 0 (*) Chứng minh rằng : 2 2 2 3 2(1 2 3) (4 2 3) 4 3 3 2A a b ab a b          Bài giải : Từ (*) ta có ( a – 1 )2 + (b – 2 )2 =1 Ta đặt a = 1+ sin x; b = 2 + cos x Thay vào A ta có : 2 2sin cos 2 3sin .cos 3sin 2 cos2 2A x x x x x x      (Đpcm) Bài 6 : Chứng minh rằng : 2 2 3 2 3 2 3 1 2 2 x x x       Bài giải :Từ ĐK bài toán ta có 1 sin 2 2 x x a a             Thay vào : 2 2 2 0 1 cos2 1 3 1 3sin sin .cos 3 sin 2 2 2 3 1 3 ( 3 cos2 sin 2 ) cos(30 2 ) 2 2 2 a x x x a a a a a a a              Ta có - 1  cos(300 + 2a )  1 nên 2 2 3 2 3 2 3 1 2 2 x x x       Bài7: Cho 1  a  3 Chứng minh rằng : 3 24 24 45 26 1S a a a     Bài giải : Ta có : -1  a – 2  1 Nên ta đặt : a – 2 = cos x (0  x   ) Thay vào biều thức S ta có 3 24(2 cos ) 24(2 cos ) 45(2 cos ) 26 cos3 1S x x x x         (đpcm) WWW.VNMATH.COM Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 9 Bài 8: Chứng minh rằng : 2 1 3 2 ( ; 1) a A a a a       Bài giải : Đặt 1 cos a x  ( 0 ; 2 x x     ) Ta có : 2 2 1 1 3 cos 1 cos 3.cos sin 3.cos 2 1 cos xA x x x x x          Bài 9 : Chứng minh rằng :   3 32 2 3 4 1 ( ) 1 1 x x S x x x       Bài giải : Đặt x = tan a ( 2 2 a      ) Khi đó 3 3 3 2 2 3 3 3tan tan 4 3tan .cos 4.tan .cos 1 tan (1 tan ) 3sin 4sin sin3 1 a a S a a a a a a a a a           Bài10 : Chứng minh rằng : 2 2 ( )(1 ) 1 ( ; ) (1 )(1 ) 2 a b ab a b a b       Bài giải :Đặt a = tan x; b = tan y với x; y ; 2 2         thì ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )(1 ) (tan tan )(1 tan .tan ) (1 )(1 ) (1 tan )(1 tan ) sin( ).cos( ) cos .cos . cos .cos 1 1 sin( ).cos( ) sin 2( ) ( ; ) 2 2 a b ab x y x y a b x y x y x y x y x y x y x y x y x y                    WWW.VNMATH.COM Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 10 Một số bài tập tự luyện Bài 1/Chứng minh rằng : 2 21 1 ) 1 ( , 1; 1) . ) ( )( ) ( ; ; ; 0) a b a a b a b a b b ab cd a c b d a b c d              Bài 2 : Cho a2 +b2 = c2 + d2 =1 Chứng minh rằng: 2 a(c d) b(c d) 2      Bài 3 :Cho a2 + b2 = 1 : Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 25 a b a b 2                Bài 4 :Chứng minh rằng: 2 2 3 2 3 2 3x x 1 x 2 2       ( 1  x -1) Bài 5: Chứng minh rằng:     3 32 21 1 a 1 a 1 a 2 2 2 2a        (1  a -1 Bài 6 : Chứng minh rằng: 22a a 3a 3 2    ( 2  a 0 ) Bài 7 : Chứng minh rằng:  3 24a 24a 45a 26 1 a 1;3     Bài 8 : Cho x2 + y2 = 1 . CMR : 5 5 3 316( ) 20( ) 5( ) 2x y x y x y      Bài 9 Cho 0 < x;y;z < 1 thỏa mãn : xyz = (1 – x )(1 – y )(1 – z ) Chứng minh rằng : 2 2 2 1 1 1 12 x y z    Bài 10 Cho x;y thỏa mãn   2 24 4 4x x y y     .Tính x + y WWW.VNMATH.COM Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 11 Dạng 2 : Sử dụng các công thức cộng cung Một số bài toán sử dụng các công thức cộng cung và các công thức biến đổi khác. Ta nêu lại các công thức đã học sau : 1 Công thức cộng - trừ: 1/  sin a b sin a.cos b sin b.cos a   2/  sin a b sin a.cos b sin b.cos a   3/  cos a b cos a.cos b sin a.sin b   4/  cos a b cos a.cos b sin a.sin b   5/   tga tgb tg a b 1 tga.tgb     6/   tga tgb tg a b 1 tga.tgb     7/   cotga.cotgb 1 cotg a b cotga cotgb       cotga cotgb 1 8 / cotg a b cotga cotgb     2. Công thức góc nhân đôi: 1/     2 2 sin 2a 2 sin a.cos a sin a cos a 1 1 sin a cos a       2/ 2 2 2 2cos2a cos a sin a 2 cos a 1 1 2 sin a      3/ 2 2tga tg2a 1 tg a   4/ 2cot g a 1 cotg2a 2 cotga   3. Công thức góc nhân ba: 1/ 3sin 3a 3 sin a 4 sin a  2/ 3cos3a 4 cos a 3 cosa  3/ 3 2 3tga tg a tg3a 1 3tg a    4/ 3 2 cot g a 3 cotga cotg3a 3 cotg a 1    4. Công thức hạ bậc hai: 1/ 2 2 2 1 cos2a tg a sin a 2 1 tg a     2/ 2 2 2 1 cos2a cotg a cos a 2 1 cotg a     3/ 2 1 cos2a tg a 1 cos2a    4/ 1 sin a cos a sin 2a 2  WWW.VNMATH.COM Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 12 5. Công thức hạ bậc ba: 1/  3 1sin a 3 sin a s in3a 4   2/  3 1cos a 3 cos a cos 3a 4   6. Công thức biểu diễn sin x, cos x, tgx qua x t tan 2  : 1/ 2 2t sin x 1 t   2/ 2 2 1 t cos x 1 t    3/ 2 2t tgx 1 t   4/ 21 t cotgx 2t   7. Công thức biến đổi tích thành tổng: 1/    1cos a.cos b cos a b cos a b 2        2/    1sin a.sin b cos a b cos a b 2        3/    1sin a.cos b sin a b sin a b 2        8. Công thức biến đổi tổng thành tích: 1/ a b a b cos a cos b 2 cos .cos 2 2     2/ a b a b cos a cos b 2 sin .sin 2 2      3/ a b a b sin a sin b 2 sin .cos 2 2     4/ a b a b sin a sin b 2 cos .sin 2 2     Sau đây là một số bài tập minh họa. Bài 1: Cho x+ y + z = xyz ,với ĐK mẫu số khác không Chứng minh rằng 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 . . 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 x x y y z z x x y y z z x y z x y z                WWW.VNMATH.COM Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 13 Bài giải :Từ giả thiết x+ y + z = xyz và biểu thức 3 2 3 1 3 x x x   ta thấy nó tương tự như công thức nhân ba, nên ta đặt x = tan a, y = tan b; z = tan c với a; b;c ; \ 2 2 6                thay vao giả thiết ta có tana. + tan b + tan c =tan a.tan b.tan c Theo kết quả đã biết thì a + b + c = k (k nguyên) Lại có : 3 3 2 2 3 3 tan tan tan 3 1 3 1 3tan x x a a a x a       3 3 2 2 3 3 tan tan tan 3 1 3 1 3tan y y b b b y b       3 3 2 2 3 3tan tan tan 3 1 3 1 3tan z z c c c z c       Vì :3a +3 b +3 c = 3k nên tan 3a+ tan 3b +tan 3c = tan3a.tan3b.tan3c Bài 2 : Chứng minh rằng :  2 2 1 ( )(1 ) 1 : , 2 (1 )(1 ) 2 x y xy x y x y         Bài giải : Đặt x=tan a;y= tanb ( ; 2 2 a b      ) Ta có 2 2 2 2 2 2 sin( )cos( ) ( )(1 ) (tan a tan )(1 t ana.tan ) 1cos .cos .cos .cos sin 2( ) 1(1 )(1 ) (1 tan ).(1 tan ) 2 cos .cos a b a b x y xy b b a b a bVT a b x y a b a b                Vậy :  2 2 1 ( )(1 ) 1 : , 2 (1 )(1 ) 2 x y xy x y x y         WWW.VNMATH.COM Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 14 Bài3: Cho a,b > 0 Chứng minh rằng : 2 2 1 1 1 1 ab a b     Bài giải : Đặt a=tan x;b= tany ( ; 2 2 x y      ) Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 t anx.tan 1 t an x 1 tan 1 t an x 1 tan cos .cos sin .sin cos( ) 1 ab ab a b a b a b y y y x y x y x y                     Một số bài tập tự luyện: Bài 1: Cho (xy +1)(yz +1)(zx + 1)  0 Chứng minh rằng . . 1 1 1 1 1 1 x y y z z x x y y z z x xy zy xz xy zy xz                Bài 2 : Cho x+ y + z = xyz . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 4x y z y x z z y x xyz         Bài 3 : Cho xy +yz + xz = 1 Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 4 1 1 1 (1 )(1 )(1 ) x y z xyz x y z x y z          Bài 4 : Cho x; y; z là ba số thực bất kỳ .Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 x y y z z x x y z y x z            WWW.VNMATH.COM Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 15 Dạng 3 Sử dụng các kết quả đã biết của tam giác lượng: Một số bài toán sử dụng các kết quả của tam giác lượng : Ta có một số kết quả sau Kết quả 1 : Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1 thì tồn tại ∆ ABC có các góc thỏa mãn a = tan 2 A ; b = tan 2 B ; c = tan 2 C Giải :Do a;b > 0 nên tồn tại hai góc 0 ; 2 2 2 A B    sao cho a = tan 2 A ; b = tan 2 B Từ giả thiết:Đặt 0 ( ) 2 2 2 2 2 C A B       thì 0< A,B.C < 1800 và A+ B +C = 1800 Nên tồn tại ∆ ABC có các góc thỏa mãn a = tan 2 A ; b = tan 2 B ; c = tan 2 C Kết quả 2:Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1; abc +a+b +c < 2 Khi đó thì tồn tại ∆ ABC nhọn có các góc thỏa mãn a = tan 2 A ; b = tan 2 B ; c = tan 2 C Giải : Theo trên ta có thì tồn tại ∆ ABC có các góc thỏa mãn : a = tan 2 A ; b = tan 2 B ; c = tan 2 C . Ta c/m ∆ ABC nhọn hay cosA.cosB.cosC > 0 Ta có   2 2 2 2 2 2 1 1 1 . . 0 (1 )(1 )(1 ) 0 1 1 1 1 ( ) ( ) 0 2 : 1 a b c a b c a b c a b c ab bc ca abc abc a b c do ab bc ca                               Kết quả 3 : Trong ∆ ABC có a = tan 2 A .Chứng minh rằng 2 2 1 sin ; cos 2 21 1 A a A a a     (C/m đơn giản ) WWW.VNMATH.COM Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 16 Kết quả 4: Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = abc thì tồn tại ∆ ABC có các góc thỏa mãn 1 a = tan 2 A ; 1 b = tan 2 B ; 1 c = tan 2 C C/m: Từ ab + bc + ca = abc ta có 1 1 1 1 ab bc ca    theo kết quả 1 ta có đpcm Kết quả 5 : Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = abc; 1 +ab+bc +ca < 2abc. Khi đó thì tồn tại ∆ ABC nhọn có các góc thỏa mãn 1 a = tan 2 A ; 1 b = tan 2 B ; 1 c = tan 2 C (C/m tương tự như kết quả 4). Kết quả 6:Trong ∆ ABC có 1 a = tan 2 A .Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 1 1 sin ; cos ; sin ; cos 1 1 2 21 1 a a A A a A A a a a a          Nhờ các kết quả này ta có một số đẳng thức; bất đẳng thức đại số được giải bởi các bất đẳng thức; đẳng thức lượng giác. Bài1: Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1 : Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 1 1 1 1 (1 ).(1 ).(1 ) a b c abc a b c a b c              Theo đẳng thức :cos cos cos 1 4sin .sin .sin 2 2 2 A B C A B C    và kết quả 6 ta có đpcm.Từ : sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC và kết quả 6 ta có Bài2: Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1 Chứng minh rằng:       2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 (1 ). (1 ). (1 ). 8 (1 ).(1 ).(1 )1 1 1 a a b b c c abc a b ca b c            Bài3:Cho x, y, z > 0 , thỏa mãn : xy +yz + zx = 1 WWW.VNMATH.COM Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 17 Tính : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 1 1 1 y z x z y x S x y z x y z             Bài giải : Từ giả thiết xy +yz + zx = 1 ;x, y, z > 0 ta thấy biểu thức trên tương tự như đẳng thức trong ∆ ABC : tan .tan tan .tan tan .tan 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A    Vì vậy đặt tan ; tan ; tan 2 2 2 A B C x y z   thì ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 1 1 1 1 y z x z y x S x y z x y z              Bài4: Cho ba số : x;y;z thỏa mãn : xyz = x+ y+ z chứng minh rằng 2 2 2 3 3 21 1 1 x y z x y z       Bài giải : Đặt x = tanA; y = tanB; z = tan C từ xyz = x+ y+ z ta có tanA + tanB + tan C = tanA.tanB. tan C nên A + B + C =  Thay vào bất đẳng thức ta có : 2 2 2 3 3 sin sin sin 21 1 1 x y z A B C x y z          Ta cần chứng minh : 3 3 sin sin sin 2 A B C   Với ; 0 ; )A B A B    Ta có : sin sin 2sin .cos 2sin . ( 0 cos 1) 2 2 2 2 A B A B A B A B A B Do          Vậy 23 3sin sin sin sin 2sin 2sin 4sin 4sin 3 2 2 2 3 C A B C A B A B C                 WWW.VNMATH.COM Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 18 Vậy 3 3 sin sin sin 2 A B C   (đpcm). Bài 5 : Từ bất đẳng thức : cos cos 2sin 2 C A B  (*) và kết quả 6 ta có bài toán sau : Cho a;b c dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1 .Cmr : 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 a b c a b c        Bài 6: Cho a;b c dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1 .Cmr : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c a b c a b c a b c               Bài giải : Với a;b c dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1 thì tồn tại ∆ ABC có 1 a = tan 2 A ; 1 b = tan 2 B ; 1 c = tan 2 C nên VT = cos cos cosA B C  VP = sin sin sin 2 2 2 A B C   Hay ta cần chứng minh : cos cos cos sin sin sin 2 2 2 A B C A B C     Đây là bất đẳng thức dễ (C/m dựa vào (*)) Nên ta có đpcm Bài 7: Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1; abc +a+b +c < 2 : Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 3 3 1 1 1 a b c a b b       Bài giải : Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1; abc +a+b +c < 2 Khi đó thì tồn tại ∆ ABC nhọn có các góc thỏa mãn a = tan 2 A ; b = tan 2 B ; c = tan 2 C Nên tan A = 2 2 1 a a ; tanB = 2 2 1 b b ; tan C = 2 2 1 c c WWW.VNMATH.COM Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 19 Vậy đpcm tương đương với : tanA + tanB + tan C 3 3 Đây là BĐT cơ bản Một số bài tập tự luyện: Bài 1 Với a;b;c là ba số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca =1. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 . . 4 1 1 1 a b c a b c                               Bài 2: 2 2 2 2 2 2 1/ , , 0 1. 2 3. . . 1 ( _1999) 2/ , , 0 1 4 . 1 1 1 3 1 1 1 3/ , , 1 2. 1 1 1 Cho a b c sao cho a b c Cmr a b c abc Poland Cho a b c sao cho a b c abcCmr ab cb ac Cho x y z sao cho Cmr x y z x y z x y z                             WWW.VNMATH.COM Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 20 Dạng 4 :Giải phương trình, hệ phương trình sử dụng lượng giác Một số phương trình, bất phương trình trong phân môn đại số ngoài cách giải đại số thông thường còn có cách giải lượng giác, mà nhờ nó bài toán được giải nhanh gọn hơn. Sau đây là một số ví dụ Bài 1: Giải phương trình sau : 3 24 3 1 : 1x x x Dk x    Bài giải : Đặt  cos 0;x t t   Ta có phương trình : 4.cos3 t – cost = sin t hay 8 3 2 32cos3 cos 2 4 3 2 52 8 t t t k t t t t t k t                               Vậy phương trình có nghiệm: 5 3 cos ;cos ;cos 8 8 4         Bài 2 : Giải phương trình :  2 21 1 1 2 1x x x     Bài giải Ta có : Đk 1x  theo đó ta đặt : sin ; 2 2 x t t         vậy phương trình 3 1 cos sin (1 2cos ) 2 cos sin sin 2 2.cos 1 2 sin 0 2 2 2 1 6 2 1 2 t t t t t t t t t x xt                         Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1; x = ½ Bài3 : Giải hệ sau : 2 2 11 1 : 11 3 xx y DK yy x              Bài giải WWW.VNMATH.COM Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 21 Với đk trên ta đặt :  cos 0; sin ; 2 2 y b b x a a                 ta có hệ: 2sin .cos 1sin sin 1 2 2 cos cos 3 2cos .cos 3 2 2 a b a b a b a b a ba b              Ta thấy cos 0 2 a b  nên 1 tan 2 33 ê sin sin 1 cos 1 3 6 6 a b a b N n a a a a                             Vậy nghiệm của hệ phương trình : 1 sin 1 36 2 ; 2 23 cos 6 2 x y                  Vậy (x;y )= 1 3 ; 2 2        là nghiệm của hệ phương trình Bài4 : Giải hệ phương trình : 2 2 1 2( )(1 4 ) 3 x y x y xy        Bài giải : Đặt     cos 0;2 sin 0;2 y b b x a a         khi đó từ hệ ta có phương trình sau:     6 6 sin cos 1 2sin 2 sin cos 2sin 2 .sin 2sin 2 .cos 2 2 13 2 6 5 6 3 sin 3 cos3 cos 3 cos 7 22 4 6 36 3 k k                                                  WWW.VNMATH.COM Bồi dưỡng tư duy học sinh qua các phép biến đổi lượng giác Đào Chí Thanh_ CVP _ 0985 852 684 22 Theo ĐK bài toán ta có 7 31 55 11 35 59 ; ; ; ; ; 6 6 6 6 6 6              Vậy nghiệm (x; y) = (sin  ; cos  ) với 7 31 55 11 35 59 ; ; ; ; ; 6 6 6 6 6 6              Bài 5 : Giải hệ phương trình sau : 2 3 2 2 (1 ) 3 (1 3 ) y x y x x y x        (HSG _ Quảng Bình) Bài giải : Ta thấy 1 1; 3 y x    không là nghiệm của hệ nên hệ phương trình tương đương với 2 3 2 2 1 3 1 3 y x y x x y x         Khi đó ta đặt tan ( ; ) 2 2 y             Từ phương trình (1) ta có : 2 2 tan tan 2 1 tan x x        Từ phương trình (2) ta có : 3 2 3 tan 2 tan 2 tan 6 1 3tan 2 y         Nên ta có tan tan 6 5 k 