Bồi giỏi môn Toán lớp 6 - Chuyên đề nâng cao

bỒI GIỎI Môn toán lớp 6 chuyên đề nâng cao Chủ đề 1: Dãy số tự nhiên viết theo quy luật A. Kiến thức cơ bản. - Nắm được khái niệm thế nào là dãy số viết theo quy luật ( các phần tử của dãy có mối liên hệ nào đó với nhau ) - Biết nhận dạng dãy số viết theo quy luật và phân tích để tìm ra quy luật đó B. dãy số viết theo quy luật thường gặp I/ Dãy cộng. 1. Định nghĩa: Dãy cộng là dãy mà mỗi phần tử kể từ phần tử thứ 2 đều lớn hơn phần tử liền trước đó cùng một số đơn vị. a2 – a1 = a3 – a2 = a4 - a3 =…= an- an - 1 TQ: Dãy a1, a2, a3, a4, …… an-1, an l.à dãy cộng 2. Ví dụ: Dãy số tự nhiên: 0, 1, 2, 3, 4…… Dãy các số chia 7 có cùng số dư là 3 : 3, 10, 17, 24, 31…… 3. Các loại bài tập về dãy cộng: VD: Xét dãy cộng: a1, a2, a3, a4, …… an-1, an a) Tìm phần tử thứ n trong dãy: an = a1 + (n - 1) d b) Tính tổng của dãy Sn = a1 + a2 + a3 + a4 +……+ an-1 + an = c) Số các số hạng của dãy: n = +1 (Trong đó d là khoảng cách giữa hai phần tử liên tiếp) Bài tập áp dụng: Cho dãy: 1, 4, 7, 10, 13,…… (1) a./ Tìm phần tử thứ 102 của dãy? b./ Nếu viết dãy trên liên tiếp thành một số thì chữ số thứ 302 của số tạo thành là số mấy? Giải: a./ Phần tử thứ 102 của dãy là a102 =1 + (102 - 1). 3 = 304 b./ Phân tích: Dãy số trên khi viết liền thành 1 số được chia thành các dãy sau - Dãy các số có 1 chữ số chia 3 dư 1 là: 1, 4, 7 gồm 3 chữ số - Dãy các số có 2 chữ số chia 3 dư 1 là 10, 13, …, 97 gồm số nên có 30 . 2 = 60 chữ số - Để viết tiếp dãy trên đến chữ số thứ 102 ta phải dùng các số có 3 chữ số kể từ 100… đảm bảo chia 3 dư 1. Vậy cần 302 - (3 + 60) = 239 chữ số nữa hay 79 số có 3 chữ số kể từ 100 và 2 chữ số nữa của số thứ 80 (là 2 chữ số đầu trong trong số thứ 80 của dãy 100, 103, 106, ... ). Mà số thứ 80 của dãy là: 100 + (80 - 1).3 = 337 Vậy chữ số thứ 302 của số tạo bởi dãy (1) là 3 ( hàng chục trong số 337) 147101317……334337340… Chữ số thứ 302 Chú ý: Trong phần b./ khi chữ số thứ n phải tìm là số quá lớn ta tiếp tục phân tích thành dãy các số có 3, có 4 … chữ số và tiếp tục làm tương tự II/ Mở rộng 1. VD: Cho các dãy sau: 1, 3, 6, 10, 15…… (1) 2, 5, 10, 17, 26 … (2) Tìm phần tử thứ 108 của các dãy trên? Giải: - Dãy (1) chưa là dãy cộng nhưng có thể viết lại thành dãy sau: Xét dãy các thừa số thứ nhất trong các tử số: 1, 2, 3, 4, … (1)’ đây là dãy cộng, dễ thấy phần tử thứ 108 của dãy (1)’ là 108. Từ đó suy ra phần tử thứ 108 của dãy (1) là - Dãy (2) viết thành dãy : 12 + 1, 22 +1, 32 + 1, 42+ 1, 52 +1… Tương tự ta tính được phần tử thứ 108 của dãy (2) là 1082 + 1 = 11665 2. Dãy Fibonaci: Dãy số Fibonaci là dãy bắt đầu bằng hai phần tử là 1, 1 và kể từ phần tử thứ 3 của dãy mỗi phần tử là tổng của hai phần tử liền trước phần tử đó 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… Dãy số Fibonaci có nhiều tính chất thú vị ta sẽ nghiên cứu trong các phần tiếp theo C. Các bài tập Bài 1: Cho các dãy sau: 1, 3, 5, 7, 9…… (1) 1, 10, 19, 28, 37, …. (2) 1, 3, 6, 10, 15,…. (3) 1, 7, 17, 31, 49, …. (4) 1, 5, 11, 19, 29, …. (5) a) Tìm phần tử thứ 123 của các dãy trên: b) Giả sử dãy (1 ) có 500 phần tử, dãy (2) có 200 phần tử. Tìm dãy các phần tử giống nhau của hai dãy? 2008 số 2 Bài 2: Cho dãy : 2, 22, 222, 2222, …, 222…22 Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 6, chia hết cho 13 trong dãy? Bài 3: Cho các số a1, a2, a3, …., a2008. Biết rằng: Với mọi k = 1, 2, 3, …., 2008 Tính tổng a1 + a2 + a3 + …. + a2008. Bài 4: Cho S1 = 1+2 S2 = 3 + 4 + 5 S3 = 6 + 7 + 8 + 9 S4 = 10 + 11 + 12 + 13 +14 ……………………………. Tính S100 Bài 5: Chia dãy số tự nhiên kể từ 1 thành từng nhóm (các số cùng nhóm được đặt trong ngoặc) (1), (2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9, 10), (11, 12, 13, 14, 15), …………. a) Tìm số hạng đầu tiên của nhóm thứ 100 b) Tính tổng các số thuộc nhóm thứ 100 Bài 6: Cho A = 1 + 7 + 72 + 73 + ….+ 7200 và B = 7201 Chứng minh rằng: A < D. Hướng dẫn giải Bài 2: Nhận xét: Ta có 222 6 vì vậy các số trong dãy muốn chia hết cho 6 thì số các chữ số 2 của nó phải chia hết cho 3. Vậy ta lập dãy 3, 6, 9, … 2007(là dãy thể hiện số các chữ số 2 trong dãy trên). Dãy này có số phần tử là 2008 số 2 Do đó trong dãy 2, 22, 222, 2222, …, 222…22 có 669 số chia hết cho 6 Bài 3: Ta có: Do đó: a1 + a2 + a3 + …. + a2008 E. tài liệu tham khảo 1. Vũ Hữu Bình_Nâng cao và phát triển toán 6 tập 1_NXB Giáo dục năm 2002 2. Tạp chí Toán Tuổi Thơ 1 _ NXB Giáo dục Môn toán lớp 6 chuyên đề nâng cao Chủ đề 2: chữ số tận cùng của một luỹ thừa đồng dư _ So sánh hai luỹ thừa A. Kiến thức cơ bản. - Nắm được cách tìm số tận cùng của một luỹ thừa với cơ số là số tự nhiên bất kỳ - Hiểu thế nào là đồng dư, vận dụng tốt kiến thức của đồng dư thức vào làm các bài tập về tìm chữ số tận cùng hoặc chứng minh chia hết - Nắm được các phương pháp cơ bản dùng để so sánh hai luỹ thừa với số mũ tự nhiên. Vận dụng tốt kiến thức để làm bài tập B. Phương pháp tìm số tận cùng của một luỹ thừa 1. Chú ý: a./ Các số có tận cùng là 0, 1, 5, 6 nâng lên luỹ thừa nào(khác 0) thì đều có tận cùng là 0, 1, 5, 6 b./ Các số có tận cùng 2, 4, 8 nâng lên luỹ thừa 4 thì có tận cùng là 6 c./ Các số có tận cùng 3, 7, 9 nâng lên luỹ thừa 4 thì có tận cùng là 1 d./ Số a và a4n+1 có chữ số tận cùng giống nhau () CM: d./ Dùng phương pháp quy nạp: Xét bài toán: CMR a4n+1 – a 10 () Với n = 1 ta dễ dàng chứng minh a5 – a 10 Giả sử bài toán đúng với n = k (a4k+1 – a 10 ()) Ta CM bài toán đúng với n = k + 1 a 4(k+1) +1 - a 10 Ta có: a 4(k+1) +1 – a = a4 . a4k+1 – a a4. a4k+1 – a5 (Vì a5 và a có cùng chữ số tận cùng). Mà a4. a4k+1 – a5 = a4 (a4k+1 – a) 10 a 4(k+1) +1 – a 10 Đpcm. 2./ Phương pháp Để giải bài toán tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa ta tìm cách đưa cơ số của luỹ thừa về dạng đặc biệt hoặc đưa số mũ về dạng đặc biệt đã biết cách tính theo phần chú ý trên VD1: Tìm chữ số tận cùng của 6195 ; 5151 ; 21000 ; … Giải: - Tận cùng của 6195 là 6 - Tận cùng của 5151 là 1 - Ta có 21000 = 23. 24 . 249 +1 mà 23 có tận cùng là 8 và 24 . 249 +1 có tận cùng là 2 ( Hoặc ) nên 21000 có tận cùng là 6 - Ta có : = = 99. (….1) 49 có tận cùng là 9 nên = (…..9)108 = [(…..9)2]54 có tận cùng là 1 3./ Mở rộng 3.1/ Đồng dư: a/ Khái niệm: Trong chú ý d./ ở phần 1 ta có thể nói a đồng dư với a4n+1 theo modun 10 (là hai số có cùng số dư khi chia cho 10) Tổng quát : Số tự nhiên a đồng dư với số tự nhiên b theo modun m (m 0) nếu a và b chia cho m có cùng một số dư. Ký hiệu với a, b, m N và m 0 (1) Khi đó nếu a m ta có thể viết a 0 (mod m ) Hệ thức (1 ) được gọi là một đồng dư thức b/ Một số tính chất cơ bản của đồng dư thức Nếu và thì: 1. và 2. 3. Các tính chất này có thể được áp dụng cho nhiều đồng dư thức cùng modun c/ Ví dụ: VD1. Tìm số dư của 3100 cho 13. Tìm số dư trong phép chia trên nghĩa là tìm số tự nhiên nhỏ hơn 13 và đồng dư với 3100 theo modun 13 Ta có Vì 33 = 27 = 13. 2 +1, nên 33 1(mod 13) do đó (33)33 133 (mod 13) 3. 399 3 . 1 (mod 13) hay 399 1(mod 13) và 3 3 (mod 13) nên 3100 3 (mod 13). Vậy 3100 chia cho 13 có số dư là 3 VD 2 .Chứng minh rằng 22008 – 8 chia hết cho 31 Để chứng minh 22008 – 8 chia hết cho 31 ta chứng minh 22008 – 8 0 (mod 31) Ta có : 22008 = 23. 22005 = 23. (25)401 mà 25 =32 1 (mod 31) nên ta có (25)401 1401(mod 31) 23. 22005 23 . 1(mod 31) 22008 - 8 8 - 8 (mod 31) 22008 8(mod 31) Mặt khác 8 8(mod 31) Nên 22008 - 8 0 (mod 31). Vậy 22008 – 8 chia hết cho 31 Đpcm. VD 3: CM rằng với mọi số tự nhiờn n thỡ số 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133 Ta cú: 122n+1 =12.122n = 12 .144n Vỡ 14411(mod133) nờn 144n 11n (mod 133) suy ra 12 .144n 12 .11n (mod 133) (1) Mặt khỏc: 11n+2 = 121. 11n Mà 121 - 12 (mod 133) nờn 121. 11n - 12 . 11n (mod 133) (2) Cộng vế (1) và (2) ta được 122n+1 + 11n+2 0 (mod 133) Vậy 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133 Đpcm VD 4: CM Ta cú 58 = 254 mà 25 1(mod 24) nờn 254 1(mod 24) cũn 23 23(mod 24) Suy ra Vậy Đpcm 3.2/ So sánh hai luỹ thừa a/ Phương pháp: Để so sánh hai luỹ thừa ta dùng các tính chất sau: - Trong hai luỹ thừa cùng cơ số luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn thì lớn hơn - Trong hai luỹ thừa cùng số mũ luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn thì lớn hơn - Dùng luỹ thừa trung gian b/ Ví dụ: So sánh 1. 10200 và 99100 2. 648 và 1612 3. 6100 và 3170 Giải: Xét VD 3: Ta có: 6100= 2100.3100 và 3170= 370.3100 Để so sánh 6100 và 3170 ta chỉ cần so sánh 2100 và 370. Vì 23 < 32 nên (23)34 < (32)34 hay 2102 < 368 mà 2100 < 2102 < 368 < 370 2100 < 370 Vậy 6100 < 3170 C. Các bài tập Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có: a) 714n – 1 chia hết cho 5 b) 124n + 1 + 34n +1 chia hết cho 5 c) 92001n + 1 chia hết cho 10 d) n2 +n + 12 5 Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của a) 2008 2009 b)19216 c) (123412)34 d) (195)1979 e) f) (3333)33 g) 357 735 h) (144)68 Bài 3: Cho A = 21 + 22+ 23 + …. + 220 B = 31 + 32 + 33 + …. + 3300 a) Tìm chữ số tận cùng của A b) Chứng minh rằng B chia hết cho 2 b) Chứng minh rằng B – A chia hết cho 5 Bài 4: Tìm số dư trong các phép chia sau: a) 3100 : 7 b) 9! : 11 c) (2100 + 3105) : 15 d) (15325 – 1) : 9 Bài 5: Chứng minh rằng: a) 301293 – 1 9 b) 2093n – 803n – 464n – 261n 271 c) 62n + 3n+2 3n 11 d) 52n+1.2n+2 + 3n+2.22n+1 19 (với nN) Bài 6: Ngày 1 tháng 1 năm 2010 bạn Nam sẽ kỷ niệm ngày sinh lần thứ 15 của mình. Biết rằng ngày 1 tháng 1 năm 2008 là ngày thứ 3 a) Hãy tính xem bạn Nam sinh vào thứ ngày mấy b) Bạn Nam sẽ tổ chức sinh nhật lần thứ 15 vào ngày thứ mấy? Bài 7: Chứng minh rằng nếu a2 + b2 + c2 9 thỡ ớt nhất một trong cỏc hiệu a2 – b2 hoặc a2 – c2 hoặc b2 – c2 chia hết cho 9 Bài 8: So sánh các số sau: a) 3281 và 3190 b) 11022009 – 11022008 và 11022008 - 11022007 c) A = (20082007 + 20072007)2008 và B = (20082008 + 20072008)2007 D. Hướng dẫn giải Bài 7: Nhận xột: Khi chia số nguyờn tuỳ ý n cho 9 thỡ số dư nhận được sẽ là một trong cỏc số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Bởi vậy Nếu n 0 (mod 9) thỡ n2 0 (mod 9) Nếu n 1 (mod 9) thỡ n2 1 (mod 9) Nếu n 2 (mod 9) thỡ n2 4 (mod 9) Nếu n 3 (mod 9) thỡ n2 0 (mod 9) Nếu n 4 (mod 9) thỡ n2 7 (mod 9) Nếu n 5 (mod 9) thỡ n2 7 (mod 9) Nếu n 6 (mod 9) thỡ n2 0 (mod 9) Nếu n 7 (mod 9) thỡ n2 4 (mod 9) Nếu n 8 (mod 9) thỡ n2 1 (mod 9) Vậy dự với số nguyờn n nào đi chăng nữa thỡ số n2 chia cho 9 cũng cú số dư là một trong cỏc số 0, 1, 4, 7. Gọi số dư khi chia a2, b2, c2 cho 9 lần lượt là r1, r2, r3 Ta cú: a2 + b2 + c2 r1 + r2 + r3 0 (mod 9) ( Vỡ a2 + b2 + c2 chia hết cho 9) Như vậy r1, r2, r3 chỉ cú thể nhận cỏc giỏ trị 0, 1, 4, 7 nờn r1 + r2 + r3 chỉ cú thể chia hết cho 9 trong cỏc trường hợp sau 1) r1 = r2 = r3 = 0 2) Một trong cỏc số r1, r2, r3 bằng 1 hai số cũn lại đều bằng 4 3) Một trong cỏc số r1, r2, r3 bằng 4 hai số cũn lại đều bằng 7 4) Một trong cỏc số r1, r2, r3 bằng 7 hai số cũn lại đều bằng 1. Vậy trong mọi trường hợp đều cú ớt nhất hai trong cỏc số r1, r2, r3 bằng nhau. Điều này cú nghĩa ớt nhất hai trong cỏc số a2, b2, c2 cú cựng số dư khi chia cho 9. Vậy cú ớt nhất một trong cỏc hiệu a2 – b2 hoặc a2 – c2 hoặc b2 – c2 chia hết cho 9 Đpcm. Bài 8: Ta có c) A = (20082007 + 20072007)2008 = (20082007 + 20072007)1.(20082007 + 20072007)2007 > 20082007. (20082007 + 20072007)2007 = (2008.20082007 + 2008.2007 2007)2007 > (2008.20082007 + 2007.20072007)2007 = (20082008 + 20072008)2007 = B Vậy A > B Mở rộng: Ta có thể chứng minh bài toỏn tổng quỏt : (an + bn)n + 1 > (an + 1 + bn + 1)n với a, b, n là cỏc số nguyờn dương. Thật vậy, khụng mất tớnh tổng quỏt, giả sử a ≥ b. Ta co (an + bn)n + 1 = (an + bn)n.(an + bn) > (an + bn)n.an = [(an + bn)a]n = (an.a + bn.a)n ≥ (an.a + bn.b)n = (an + 1 + bn + 1)n. Trong ví dụ trên với a = 2008, b = n = 2007, ta cú A > B. E. tài liệu tham khảo 1. Vũ Hữu Bình_Nâng cao và phát triển toán 6 tập 1_NXB Giáo dục năm 2002 2. Tạp chí Toán Tuổi Thơ 1 _ NXB Giáo dục 3. Toán nâng cao và các chuyên đề số học 6 _ NXB Giáo dục năm 1997 4. Một số vấn đề số học chọn lọc_ Nguyễn Văn Mậu _ NXB Giỏo dục năm 2008 Chủ đề tự chọn Môn toán lớp 6 chuyên đề nâng cao Chủ đề 3: các vấn đề nâng cao về tính chia hết, ước và bội A. Kiến thức cơ bản. - Nắm được các dấu hiệu chia hết, tính chất chia hết của một tổng - Hiểu về mối quan hệ giữa ước và bội với tính chia hết B. Một số bài toán chứng minh về tính chia hết I. Chú ý : Nhắc lại về ước và bội - Nếu ta nói b là ước của a a là bội của b - Khi và ta nói d là ước chung của a và b. Khi d là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của a và b ta nói d là ước chung lớn nhất của a và b Ký hiệu ƯCLN(a,b) = d hoặc (a,b) = d - - Khi và ta nói m là bội chung của a và b. Khi m # 0 và m là số nhỏ nhất trong tập hợp các bội chung của a và b ta nói m là bội chung nhỏ nhất của a và b Ký hiệu BCNN(a,b) = m hoặc [a,b] = m Một số dấu hiệu chia hết cho 1. Dấu hiệu chia hết cho 11: Một số chia hết cho 11 khi tổng các chữ số ở vị trí lẻ bằng tổng các chữ số ở vị trí chẵn và chỉ những số đó mới chia hết cho 11 2. Dấu hiệu chia hết cho 4, 25 Những số có hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 (hoặc 25) thì chia hết cho 4 (hoặc 25) và chỉ những số đó mới chia hết cho 4 (hoặc 25) 3. Dấu hiệu chia hết cho 8, 125 Những số có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8 (hoặc 125) thì chia hết cho 8 (hoặc 125) và chỉ những số đó mới chia hết cho 8 (hoặc 125) Một số tính chất: - Nếu một tích chia hết cho số nguyên tố p thì trong tích chứa ít nhất một thừa số chia hết cho p - Nếu tích a.b chia hết cho m trong đó b và m là hai số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho m - Nếu a chia hết cho m và n thì a chia hết cho bội chung nhỏ nhất của m và n Cách phát biểu khác: Nếu a chia hết cho 2 số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho tích hai số đó - Nếu A B thì mA nB B (m,n N, A và B là các biểu thức của số tự nhiên) II. Các phương pháp chứng minh chia hết. 1. Sử dụng tính chất chia hết của một tổng. Ví dụ: a/ Cho A = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 … + 299 CMR: A chia hết cho 31 Giải: Ta có A = 20 + 21+ 22+ 23+ 24+ 25 … + 299 = (20+ 21+ 22+ 23+ 24) + 25.(20+ 21+ 22+ 23+ 24)+… + 295. (20+21+ 22+23+ 24) = (20+ 21+ 22+ 23+ 24) . (1 + 25 + 210 + …. + 295) = 31. (1 + 25 + 210 + …. + 295) chia hết cho 31 Đpcm. b/ Tìm số tự nhiên n để 3n + 4 chia hết cho n – 1. Giải: Để hay n – 1 Ư(7) Vậy với n = 2 hoặc n = 8 thì 2. Sử dụng đồng dư thức. Ví dụ: Chứng tỏ rằng: 175 + 244 - 1321 chia hết cho 10 Giải: Ta có Hay 175 + 244 - 1321 0(mod 10). Vậy 175 + 244 - 1321 10 Đpcm. 3. Sử dụng tính chất của số nguyên tố cùng nhau Ví dụ: CMR: n5 – n 30 Giải: Bài toán luôn đúng với n = 0 và n =1 Xét n 2: Đặt A = n5 – n = n (n2 +1)(n+1)(n-1) Ta có A 10 ( Vì n5 và n có chữ số tận cùng giống nhau) A 3 (Vì trong A có tích của 3 số tự nhiên liên tiếp (n-1)n(n+1) ) A chia hết cho cả 3 và 10. Mà ƯCLN(3, 10) = 1 nên A chia hết cho 3.10 Vậy A 30 Đpcm. C. Các bài toán về ước và bội và số nguyên tố Phương phỏp chung để giải : 1/ Dựa vào định nghĩa ƯCLN để biểu diễn hai số phải tỡm, liờn hệ với cỏc yếu tố đó cho để tỡm hai số. 2/ Trong một số trường hợp, cú thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN, BCNN và tớch của hai số nguyờn dương a, b, đú là : ab = (a, b).[a, b], trong đú (a, b) là ƯCLN và [a, b] là BCNN của a và b. Việc chứng minh hệ thức này khụng khú : Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 (*) Từ (*) => ab = mnd2 ; [a, b] = mnd => (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab=> ab = (a, b).[a, b] . (**) Chỳng ta hóy xột một số vớ dụ minh họa. Bài toỏn 1 : Tỡm hai số nguyờn dương a, b biết [a, b] = 240 và (a, b) = 16. Lời giải : Do vai trũ của a, b là như nhau, khụng mất tớnh tổng quỏt, giả sử a ≤ b. Từ (*), do (a, b) = 16 nờn a = 16m ; b = 16n (m ≤ n do a ≤ b) với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1. Theo định nghĩa BCNN : [a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15 => m = 1 , n = 15 hoặc m = 3, n = 5 => a = 16, b = 240 hoặc a = 48, b = 80. Chỳ ý : Ta cú thể ỏp dụng cụng thức (**) để giải bài toỏn này : ab = (a, b).[a, b] => mn.162 = 240.16 suy ra mn = 15. Bài toỏn 2 : Tỡm hai số nguyờn dương a, b biết ab = 216 và (a, b) = 6. Lời giải : Lập luận như bài 1, giả sử a ≤ b. Do (a, b) = 6 => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 ; m ≤ n. Vỡ vậy : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 tương đương mn = 6 tương đương m = 1, n = 6 hoặc m = 2, n = 3 tương đương với a = 6, b = 36 hoặcc là a = 12, b = 18. Bài toỏn 3 : Tỡm hai số nguyờn dương a, b biết ab = 180, [a, b] = 60. Lời giải : Từ (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 = 3. Tỡm được (a, b) = 3, bài toỏn được đưa về dạng bài toỏn 2. Kết quả : a = 3, b = 60 hoặc a = 12, b = 15. Chỳ ý : Ta cú thể tớnh (a, b) một cỏch trực tiếp từ định nghĩa ƯCLN, BCNN : Theo (*) ta cú ab = mnd2 = 180 ; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) = 3. Bài toỏn 4 : Tỡm hai số nguyờn dương a, b biết a/b = 2,6 và (a, b) = 5. Lời giải : Theo (*), (a, b) = 5 => a = 5m ; b = 5n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1. Vỡ vậy : a/b = m/n = 2,6 => m/n = 13/5 tương đương với m = 13 và n = 5 hay a = 65 và b = 25. Chỳ ý : phõn số tương ứng với 2,6 phải chọn là phõn số tối giản do (m, n) = 1. Bài toỏn 5 : Tỡm a, b biết a/b = 4/5 và [a, b] = 140. Lời giải : Đặt (a, b) = d. Vỡ , a/b = 4/5 , mặt khỏc (4, 5) = 1 nờn a = 4d, b = 5d. Lưu ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 => d = 7 => a = 28 ; b = 35. Bài toỏn 6 : Tỡm hai số nguyờn dương a, b biết a + b = 128 và (a, b) = 16. Lời giải : Lập luận như bài 1, giả sử a ≤ b. Ta cú : a = 16m ; b = 16n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1 ; m ≤ n. Vỡ vậy : a + b = 128 tương đương 16(m + n) = 128 tương đương m + n = 8Tương đương với m = 1, n = 7 hoặc m = 3, n = 5 hay a = 16, b = 112 hoặc a = 48, b = 80 Bài toỏn 7 : Tỡm a, b biết a + b = 42 và [a, b] = 72. Lời giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1. Khụng mất tớnh tổng quỏt, giả sử a ≤ b => m ≤ n. Do đú : a + b = d(m + n) = 42 (1)    [a, b] = mnd = 72 (2) => d là ước chung của 42 và 72 => d thuộc {1 ; 2 ; 3 ; 6}. Lần lượt thay cỏc giỏ trị của d vào (1) và (2) để tớnh m, n ta thấy chỉ cú trường hợp d = 6 =>   m + n = 7 và mn = 12 => m = 3 và n = 4 . (thỏa món cỏc điều kiện của m, n). Vậy d = 6 và a = 3.6 = 18 , b = 4.6 = 24 Bài toỏn 8 : Tỡm a, b biết a - b = 7, [a, b] = 140. Lời giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = 1. Do đú : a - b = d(m - n) = 7   (1’)    [a, b] = mnd = 140   (2’) => d là ước chung của 7 và 140 => d thuộc {1 ; 7}. Thay lần lượt cỏc giỏ trị của d vào (1’) và (2’) để tớnh m, n ta được kết quả duy nhất d = 7 => m - n = 1 và mn = 20 => m = 5, n = 4 Vậy d = 7 và a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28 . BÀI TẬP 1) Tìm hai số biết ƯCLN của chúng: Ví dụ 1: Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 100 và có ƯCLN là 10. Giải: Gọi hai số phải tìm là a và b (a b). Ta có ƯCLN(a,b) = 10 Do đó a =10.a’ và b = 10.b’ trong đó ƯCLN(a’,b’) = 1 (a, b, a’, b’ N) Theo đầu bài: a + b = 100 suy ra 10.a’ + 10.b’ =100 nên a’+b’ = 10 (a’ b’) Chọn hai số nguyên tố cùng nhau có tổng là 10 ta có a’ 1 3 Do đó a 10 30 b’ 9 7 b 90 70 Ví dụ 2: Tìm hai số tự nhiên biết ƯCLN của chúng là 5 và chúng có tích là 300 Giải: Gọi hai số phải tìm là a và b (a b). Ta có ƯCLN(a,b) = 5 Do đó a =5.a’ và b = 5.b’ trong đó ƯCLN(a’,b’) = 1 (a, b, a’, b’ N) Theo đầu bài: a.b = 300 suy ra 25.a’.b’ =300 nên a’.b’ = 12 (a’ b’) Chọn hai số nguyên tố cùng nhau có tích là 12 ta có a’ 1 3 Do đó a 5 15 b’ 12 4 b 60 20 Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu số nguyên tố p > 3 thì (p - 1).(p + 1) 24 Giải: Ta có : (p - 1).p.(p + 1) 3 (Tích 3 số tự nhiên liên tiếp) Vì p là số nguyên tố và p > 3 nên ƯCLN(3, p) = 1 (p - 1).(p + 1) 3 Do p là số nguyên tố nên p – 1 và p + 1 là hai số chẵn liên tiếp nên có 1số là bội của 2 và một số là bội của 4 (p - 1).(p + 1) 8 Mà ƯCLN(3,8) = 1 nên (p - 1).(p + 1) 3. 8. Vậy (p - 1).(p + 1) 24 Đpcm. 2) Các bài toán phối hợp giữa ƯCLN và BCNN Ví dụ: Tìm hai số tự nhiên a, b (a b)biết ƯCLN(a,b) = 12, BCNN(a,b) =180 Giải: Theo đầu bài: ƯCLN(a,b) = 12 Do đó a =12.a’ và b = 12.b’ trong đó ƯCLN(a’,b’) = 1 (a’ b’; a’, b’ N). Vì ƯCLN(a,b) . BCNN(a,b) = a.b nên 144a’.b’ = 2160 suy ra a’.b’ = 15 a’ 1 3 Do đó a 12 36 b’ 15 5 b 180 60 d. Các dạng bài tập Bài tập tự giải : Bài 1 : a) Tỡm hai số tự nhiên a, b biết [a, b] = 240 và (a, b) = 16. b) Tỡm hai số tự nhiên a, b biết ab = 216 và (a, b) = 6. c) Tỡm hai số tự nhiên a, b biết ab = 180, [a, b] = 60. d) Tỡm hai số tự nhiên a, b biết a/b = 2,6 và (a, b) = 5. e) Tỡm a, b biết a/b = 4/5 và [a, b] = 140. HD: Đặt (a, b) = d. Vỡ , a/b = 4/5 , mặt khỏc (4, 5) = 1 nờn a = 4d, b = 5d. Lưu ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 suy ra d = 7 suy ra a = 28 ; b = 35. Bài 2: Tỡm hai số a, b biết: a) 7a = 11b và (a, b) = 45. b) a + b = 448, ƯCLN (a,b) = 16 và chỳng cú chữ số tận cùng giống nhau. Bài 3: Cho hai số tự nhiờn a và b. Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn c sao cho trong ba số, tớch của hai số luụn chia hết cho số cũn lại. Bài 4: Tìm các số tự nhiên m và n sao cho ( 2m + 1)(2n + 1) = 91 Bài 5: Tìm các số tự nhiên n sao cho 5n + 45 n + 3 Bài 6: Tìm số nguyên tố p sao cho cả p + 4 và p + 8 đều là các số nguyên tố Bài 7: Cho p, q , r là ba số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng: p2 + q2 + r2 là hợp số. e. Hướng dẫn giải Bài 7: CM “ Bình phương của một số nguyên tố lớn hơn 3 chia cho 3 có số dư là 1.” f. tài liệu tham khảo 1. Vũ Hữu Bình_Nâng cao và phát triển toán 6 tập 1_NXB Giáo dục năm 2002 2. Tạp chí Toán Tuổi Thơ 1 _ NXB Giáo dục 3. Võ Đại Mau _ Toán nâng cao và phát triển bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 _ NXB Trẻ năm 2006. CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN MễN TOÁN LỚP 6 CHUYấN ĐỀ NÂNG CAO Chủ đề 4 : SO SÁNH HAI PHÂN SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN. - Nắm được cỏc phương phỏp cơ bản để so sỏnh hai phõn số, hiểu cỏc thuật ngữ toỏn học như phần bự của 1, phần thừa của 1... - Biết nhận dạng cỏc dạng bài tập từ đú cú định hướng đỳng để sử dụng cỏc phương phỏp so sỏnh hai phõn số một cỏch thớch hợp tỡm ra lời giải của bài toỏn - Cú thể tự tạo ra bài tập mới bằng cỏc phương phỏp tương tự hoỏ, tổng quỏt hoỏ bài toỏn ban đầu .. B. NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC I/ Nhắc lại kiến thức cơ bản - Để so sỏnh hai phõn số ta thường đưa chỳng về hai phõn số cú cựng mẫu số là số dương, phõn số nào cú tử số lớn hơn thỡ phõn số đú lớn hơn Tổng quỏt: - Ngoài ra cũn một số phương phỏp khỏc như sau: 1/ Quy đồng đưa về hai phõn số cú cựng tử số là số dương: Phõn số nào cú mẫu lớn hơn thỡ phõn số đú lớn hơn 2/ Sử dụng phần bự hoặc phần thừa của 1 VD: So sỏnh và với a là số tự nhiờn khỏc 0 Lời giải: C1: Quy đồng đưa về cựng mẫu số C2: Ta cú: cũn Mà > Vậy: < 3/ Dựng phõn số trung gian hoặc tớnh chất bắc cầu của bất đẳng thức VD1: Cho hai phõn số và với Hóy so sỏnh A và B Lời giải: Nhận xột: - Nếu m = 1 thỡ A = B - Với m > 1 ta so sỏnh mA và mB từ đú dễ dàng so sỏnh A và B Ta cú: vỡ vậy A > B Mở rộng: Bài toỏn vẫn đỳng khi được tổng quỏt hoỏ thành dạng và với VD2:Một phõn số cú tử và mẫu đều là cỏc số nguyờn dương. Nếu cộng cả tử và mẫu của phõn số đú với cựng một số tự nhiờn thỡ phõn số đú thay đổi như thế nào? Lời giải: Gọi phõn số đú là . Ta xột ba trường hợp: a = b; a > b; a< b - Trường hợp a = b ta cú: ==. Vậy giỏ trị của phõn số khụng thay đổi - Trường hợp a > b ta cú:( >1) Cũn Vỡ Vậy: Khi cộng cả tử và mẫu của một phõn số lớn hơn 1 (cả tử và mẫu đều là số dương) với cựng một số tự nhiờn khỏc 0 thỡ được một phõn số mới cú giỏ trị lớn hơn giỏ trị của phõn số ban đầu -Trường hợp a < b ta cú:( <1) Cũn Vỡ Nờn Vậy: Khi cộng cả tử và mẫu của một phõn nhỏ hơn 1 (cả tử và mẫu đều là số dương) với cựng một số tự nhiờn khỏc 0 thỡ được một phõn số mới cú giỏ trị nhỏ hơn giỏ trị của phõn số ban đầu VD3: Tỡm số tự nhiờn x sao cho Lời giải: Ta cú: Hay 135 < 11x < 150 Vậy x = 13 Phương phỏp chung: Tỡm mẫu thức chung của phõn số từ đú xột tử số và tỡm cỏc giỏ trị của x thoả món bài toỏn VD4: Chứng minh rằng: Lời giải: Xột vế trỏi ta cú Đpcm C. CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài 1: So sỏnh cỏc biểu thức A và B biết: với với Bài 2: Chứng minh rằng: a) b) c) d) e) Bài 3: Tỡm số tự nhiờn x biết: Bài 4: Tỡm hai phõn số cú cựng mẫu là 17 mà tử số là cỏc số tự nhiờn liờn tiếp để phõn số nằm giữa hai phõn số đú Bài 5: Tỡm hai phõn số cú tử là 1, mẫu là hai số tự nhiờn liờn tiếp sao cho phõn số nằm giữa hai phõn số đú Bài 6: Tỡm hai phõn số cú mẫu là 21 và nằm giữa hai phõn số và Bài 7: Chứng minh rằng cú vụ số cỏc phõn số nằm giữa hai phõn số và với và D. HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1.b/: Xột hiệu A – B < 0 suy ra A < B c/ Dựng phần thừa của 1 E. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Vũ Hữu Bỡnh_ Nõng cao và phỏt triển toỏn 6 tập 2_ NXB Giỏo dục năm 2005 2. Tạp chớ Toỏn tuổi thơ 1 _ NXB Giỏo dục