Các dạng bài tập -phương pháp giải toán vecto

C¸c d¹ng BÀI TẬP -PHƯƠNG PHÁP giA”I TOA”N VECTO CHƯƠNG I : VECTO Vecto cùng phương, hai vecto bằng nhau: Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O . Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O Bằng vectơ ; Có độ dài bằng ê ê Bài 2 : Cho tam giác ABC. Ba điểm M,N và P lần lượt là trung điểm AB, AC, BC. CMR: ; . Bài 3: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Chứng minh : . Bài 4: Cho tam giác ABC có trực tâm H và O tâm là đường tròn ngoại tiếp . Gọi B’ là điểm đối xứng B qua O . Chứng minh : . Bài 5: Cho hình bình hành ABCD . Dựng . Chứng minh CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTO: Bài 1: Cho 4 điểm bất kì M,N,P,Q . Chứng minh các đẳng thức sau: a) ; b) ; c) ; Bài 2: Cho ngũ giác ABCDE. Chứng minh rằng: a) ; b) Bài 3: Cho 6 điểm M, N, P, Q, R, S. Chứng minh: a) . b). Bài 4: Cho 7 điểm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Chứng minh rằng : a) + + = + b) + + = + + c) + + + = + + d) - + - + - = Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, có tâm O. CMR: . Bài 6: Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O Chứng minh : Bài 7: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm là O . CMR : a) +++++= b) ++ = c) ++ = d) ++ = ++ ( M tùy ý ). Bài 8: Cho tam giác ABC ; vẽ bên ngoài các hình bình hành ABIF ; BCPQ ; CARS Chứng minh rằng : + + = Bài 9: cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm AC và BD. Gọi E là trung điểm I J . CMR: . Bài 10: Cho tam giác ABC với M, N, P là trung điểm AB, BC, CA. CMR: a); b); c) . Bài 11: Cho hình thang ABCD ( đáy lớn DC, đáy nhỏ AB) gọi E là trung điểm DB. CMR: . Bài 12: ( Hệ thức trung điểm) Cho 2 điểm A và B. Cho M là trung điểm AB. CMR với điểm I bất kì : Với N sao cho . CMR với I bất kì : Với P sao cho . CMR với I bất kì : Bài 13: ( Hệ thức trọng tâm) Cho tam giác ABC có trọng tâm G: CMR: . Với I bất kì : . M thuợc đoạn AG và MG = GA . CMR Cho tam giác DEF có trọng tâm là G’ CMR: + . + Tìm điều kiện để 2 tam giác có cùng trọng tâm. Bài 14: ( Hệ thức hình bình hành) Cho hình bình hành ABCD tâm O. CMR: a) ; b) với I bất kì : . MỢT SỚ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỢ DÀI: Bài 1: Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh 2a. Tính độ dài các vectơ Bài 2: cho hình thoi ABCD cạnh a. , gọi O là giao điểm của 2 đường chéo. Tính: || ; ; . Bài 3: Cho hình vuơng ABCD cạnh a. Tính: ; . Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J là trung điểm của AC và BD. Hãy tính : . Chứng minh 3 điểm thẳng hàng: Bài 1. Cho tam giác ABC và M, N lần lượt là trung điểm AB, AC. Gọi P, Q là trung điểm MN và BC. CMR : A, P , Q thẳng hàng. Gọi E, F thoả mãn : , . CMR : A, E, F thẳng hàng. Bài 2. Cho tam giác ABC, E là trung điểm AB và F thuộc thoả mãn AF = 2FC. Gọi M là trung điểm BC và I là điểm thoả mãn 4EI = 3FI. CMR : A, M, I thẳng hàng. Lấy N thuộc BC sao cho BN = 2 NC và J thuộc EF sao cho 2EJ = 3JF. CMR A, J, N thẳng hàng. Lấy điểm K là trung điểm EF. Tìm P thuộc BC sao cho A, K, P thẳng hàng. Bài 3. Cho tam giác ABC và M, N, P là các điểm thoả mãn : , , . CMR : M, N, P thẳng hàng. (). Bài 4. Cho tam giác ABC và L, M, N thoả mãn , . CM : L, M, N thẳng hàng. Bài 5. Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. I, J thoả mãn : , . CMR : M, N, J thẳng hàng với M, N là trung điểm AB và BC. CMR J là trung điểm BI. Gọi E là điểm thuộc AB và thoả mãn . Xác định k để C, E, J thẳng hàng. Bài 6. Cho tam giác ABC. I, J thoả mãn : . CMR : Đường thẳng IJ đi qua G. Bài 7: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến. Gọi I là trung điểm AM và K là một điểm trên cạnh AC sao cho AK = AC. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng Bài 8: Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi các hệ thức . Chứng minh MN // AC. Phân tích vecto theo các vecto khác phương. Xác định vị trí một điểm thoả mãn một đẳng thức Vectơ: Bài 1: Cho 3 điểm A, B, C. Tìm vị trí điểm M sao cho : a) b) c) d) e) f) Bài 2: Cho tam giacù ABC có I, J , K lần lượt là trung điểm BC , CA , AB . G là trọng tâm tam giác ABC . D, E xác định bởi : = 2và =. Tính và theo và . Suy ra 3 điểm D,G,E thẳng hàng 888=============================8888888888888===============================888 Trục tọa đợ và hệ trục tọa đợ I.LÝ THUYẾT: 1.TRỤC TỌA ĐỘ: I O Trục tọa độ (Trục , hay trục số ) là một đường thẳng trên đĩ ta đã xác định một điểm O và một vec tơ đơn vi Điểm O được gọi là gốc tọa độ , vec tơ được gọi là vec tơ đơn vị của trục tọa độ 2.Tọa độ của vec tơ và của điểm trên trục: Cho vec tơ nằn trên trục (O ; ) .Do và cùng phương ĩ với a Ỵ R. Số a được gọi là độ dài đại số của hay tọa độ của đối với trục (O ; ) Cho điểm M nằm trên (O ; ) => Số m được gọi là tọa độ của điểm M 3.Độ dài đại số của vec tơ trên trục : Trên trục ( O ; ) cĩ 2 điểm A , B cĩ tọa độ a và b .Độ dài đại số của vec tơ Ta cĩ : . Tính chất : ; 3.BÀI TÂP Bài 1: Tìm độ dài đại số của vec tơ trên trục (O ; ): Áp dụng cơng thức : Thí dụ : Trên trục tọa độ (O ; ) cho 3 điểm A ; B ; C cĩ tọ độ lần lượt là –2 ; 1 và 4. 1.Tính tọa độ các vec tơ : 2.Chứng minh B là trung điểm của AC. GIẢI: Tổng quát : Cho A ; B trên trục ( O ; ) cĩ tọa độ là a và b .M là trung điểm của ABĩa+b = 2m (m là tọa độ của M) Bài 2: Chứng minh một hệ thức liên quan đến các độ dài đại số của các vec tơ trên trục (O ; ) Phương pháp: Tính độ dài đại số của các vec tơ , chứng minh hệ thức đại số . Chú ý.Chọn một trong các điểm là điểm gốc tọa độ để độ dài đại số của các vec tơ đơn giản hơn. Thí dụ : Hàng điểm điều hịa : Trên trục tọa độ (O ; ) cho 4 điểm A ; B ; C ; D cĩ tọa độ lần lượt là a ; b ;c ; d (ABCD) là một hàng điểm đều hịa ĩ GIẢI: BÀI TẬP: 1.Trên trục tọa độ (O; ) Cho 2 điểm A và B cĩ tọa độ lần lượt a và b . a)Tìm tọa độ điểm M sao cho ĐS: xM = b)Tìm tọa độ trung điểm I của AB ĐS: c)Tìm tọa độ điểm N sao cho ĐS: 2.Trên trục (O ; ) cho 3 điểm A ; B ; C cĩ tọa độ lần lượt là a ; b ;c . Tìm điểm I sao cho : ĐS: 3.Trên trục tọa độ cho 4 điểm A ; B ;C ;D bất kỳ . a.Chứng minh b.Gọi I,J ,K ,L lần lượt là trung điểm của AC ; BD;AB và CD . Chứng minh IJ và KL cĩ chung trung điểm. B.HỆ TRỤC TỌA ĐỘ I.Lý thuyết : 1.Tọa độ điểm – Tọa độ vec tơ . 2.Các phép tốn vec tơ: Trong mp Oxy cho các vec tơ 3.Tọa độ một số điểm đặt biệt : Trong mpOxy cho 2 điểm A(x1;y1) B(x2;y2) và C(x3;y3) Tọa độ vecto Tọa độ M là trung điểm của AB Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC II.BÀI TẬP: Bài 1. Chứng minh 2 vecto cùng phương . Phương Pháp: Giả sử 2 vecto cùng phương => Nếu hệ trên cĩ nghiệm thì 2 vecto đĩ cùng phương ; Nếu hệ trên vơ nghiệm thì 2 vecto đĩ khơng cùng phương. Chú ý :Nếu b1; b2 ¹0 thì Thí dụ : Cho 2 vecto Xét tính cùng phương của 2 vecto trên. Giải : Hệ cĩ nghiệm ; vậy cùng phương Thí dụ 2: Trong mpOxy cho 3 điểm A(–1; –2) B(3 ; 2) và C(4 ; –1) , Chứng minh ABC là một tam giác. GIẢI khơng cùng phương => A ; B ; C khơng thẳng hàng . Vậy 3 điểm A ; B ; C tạo thành tam giác. Thí dụ 3: Cho Định m để 2 vecto đĩ cùng phương. GIẢI : Xét m = 0 => khơng cùng phương BÀI TẬP: 1.Trong mpOxy cho 4 điểm A (1 ;–2) B(0 ; 3) C(–3; 4) D(–1 ; 8) . Bộ ba trong 4 điểm trên bộ nào thẳng hàng ĐS: A ; B ;D 2.Trong mpOxy cho 3 điểm A(1 ;–2) B(3 ; –1) C(–3 ; 5) a.Chứng minh ABC là một tam giác . b.Tìm tọa độ trọng tâm của tam gia1cABC . c)Gọi I(0 ; 2) .Chứng minh A ; G; M thẳng hàng. d) Gọi D(-5;4) .Chứng minh ABCD là hình bình hành. Bài 2:Tìm tọa độ của vecto: PP.Áp dụng các phép tốn của vecto: Thí dụ : Cho 3 vecto: Tìm tọa độ của vecto GIẢI Bài tập 1.Cho các vecto . Tìm tọa độ vecto 2.Cho tam giác ABC , G là trọng tâm của tam giác . Tính tọa độ vecto ĐS: (1 ; -14) Bài 3: Giải hệ trên tìm x ; y. Thí dụ : Cho . 1.Chứng minh BÀI TẬP 1.Cho 2.Cho a.Chứng minh không cùng phương. B.Phân tích vecto Bài 4: Tìm tọa độ đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD khi biết A (x1;y1); B (x2y2 ) ;C(x3;y3) Phương pháp : Cách 1 -Giải hệ trên tìm D(x ; y) Cách 2: -Tìm trung điểm I của AC -Tìm D biết I là trung điểm của BD Thí dụ : Cho tam giác ABC với A(1; –2) B(3 ;–1) C(–3 ; 5) .Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành . GIẢI : Gọ I là trung điểm của AC =>I(–1 ; ) ABCD là hình bình hành => I là trung điểm của BD => Bài tập: 1.Cho 3 điểm A(2;1) B(2;–1) C(–2 ;–3) . a.Chứng minh A,B,C không thẳng hàng . Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành . ĐS: D(–2;–1) 2.Cho tam giác ABC với A(–1;–2) B(3;2) C(4 ; -1) . a.Tìm trung điểm I của AC .b.Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành ĐS: I 3.Trong mpOxy cho 3 điểm M(-4 ; 1) N(2;4) P(2 ; –2) lần lượt là trung điểm của 3 cạnh BC ; CA và AB của tam giác ABC. a.Tìm A ; B ;C ĐS: A(8;1) B(-4;-5) C(-4;7) b.Chứng minh 2 tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm. 4.Cho tam giác ABC với A(–3;6) B(9;–10) C(-5;4) . a.Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC . ĐS: b.Tìm D sao cho BGCD là hình bình hành. 5.Cho 4 điểm A(-2 ; -3) B(3;7) C(0;3) và D(-4 ; -5) . a.Chứng minh AB //CD b. Tìm giao điểm I của AD và BC ĐS (-12;-13) Hướng dẫn: Bài 5: Tìm giao điểm của 2 đoạn thẳng AB và CD với A(x1;y1) ; B(x1;y2) ; C(x3;y3) ; D(x4;y4) Cách giải: Gọi I (x;y) là giao điểm của đường thẳng AB và CD Giải tìm I(x;y) I là giao điểm của đoạn AB và CD ĩ Thí dụ 1: Trong mpOxy cho 4 điểm A(0 ; 1) B(1; 3) C(2 ;7 ) và D(0;3). Tìm giao điểm của 2 đoạn thẳng AC và BD GIẢI: Bài tập : 1. Trong mpOxy cho 4 điểm A(0 ; 1) B(1; 3) C(2 ;7 ) và D(0;3).Tìm giao điểm của 2 đoạn thẳng ADvà BC (ĐS: Đoạn AD không cắt BC) 2. Trong mpOxy cho 4 điểm A(0 ; 1) B(-1; -2) C(1 ;5 ) và D(-1;-1). a.Tìm giao điểm của 2 đoạn thẳng AC và BD b, Tìm giao điểm của BD và AC Bài 6: Tìm tọa độ điểm trong mặt phẳng tọa độ: Để tìm tọa độ điểm M(x ; y) trong mp Oxy , ta dựng đường vuông góc MA1 vơi Ox và MA2 với Oy Ta có x = Thí dụ : Cho hình bình hành ABCD có AD = 4 và chiều cao ứng với cạnh AD = 3, ÐBAD=600 . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ . Tìm tọa độ các vecto Kẻ BH ^ AD =>BH=3 ;AB=2 ; AH = Bài tập: 1.Cho tam giác đều ABC có cạnh là a . Chọn hệ trục tọa độ Oxy như sau: O là trung điểm BC , trục hoành cùng hướng với tia OC , trục tung cùng hướng với tia OA. a.Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. b.Tìm tọa độ trung điểm I của AC. c.Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài 1 : Cho tam giác ABC . Các điểm M(1; 0) , N(2; 2) , p(-1;3) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác Bài 2 : Cho A(1; 1); B(3; 2); C(m+4; 2m+1). Tìm m để 3 điểm A, B, C thẳng hàng Bài 3 : Cho tam giác đều ABC cạnh a . Chọn hệ trục tọa độ (O; ; ), trong đó O là trung điểm BC, cùng hướng với , cùng hướng . Tính tọa độ của các đỉnh của tam giác ABC Tìm tọa độ trung điểm E của AC Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 4 : Cho lục giác đều ABCDEF. Chọn hệ trục tọa độ (O; ; ), trong đó O là tâm lục giác đều , cùng hướng với , cùng hướng . Tính tọa độ các đỉnh lục giác đều , biết cạnh của lục giác là 6 . Bài 5:Cho A(-1; 2), B (3; -4), C(5; 0). Tìm tọa độ điểm D nếu biết: – 2 + 3 = – 2 = 2 + ABCD hình bình hành ABCD hình thang có hai đáy là BC, AD với BC = 2AD Bài 6 :Cho hai điểm I(1; -3), J(-2; 4) chia đọan AB thành ba đọan bằng nhau AI = IJ = JB Tìm tọa độ của A, B Tìm tọa độ của điểm I’ đối xứng với I qua B Tìm tọa độ của C, D biết ABCD hình bình hành tâm K(5, -6) Bài 7: Cho =(2; 1) ;=( 3 ; 4) và =(7; 2) Tìm tọa độ của vectơ = 2 - 3 + Tìm tọa độ của vectơ thỏa + = - Tìm các số m ; n thỏa = m+ n Bài 8 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(4 ; 0), B(8 ; 0), C(0 ; 4), D(0 ; 6), M(2 ; 3). a/ Chứng minh rằng: B, C, M thẳng hàng và A, D, M thẳng hàng. b/ Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng OM, AC và BD. Chứng minh rằng: 3 điểm P, Q, R thẳng hàng. Bài 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(1 ; 3), B(-2 ; 2). Đường thẳng đi qua A, B cắt Ox tại M và cắt Oy tại N. Tính diện tích tam giác OMN. Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho G(1 ; 2). Tìm tọa độ điểm A thuộc Ox và B thuộc Oy sao cho G là trọng tâm tam giác OAB. Bài 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(-4 ; 1), B(2 ; 4), C(2 ; -2). a/ Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. b/ Tính chu vi của tam giác ABC. c/ Xác định tọa độ trọng tâm G và trực tâm H. Bài 12. Cho tam giác ABC với A(1 ; 2), B(5 ; 2), C(1 ; -3). a/ Xác định tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. b/ Xác định tọa độ điểm E đối xứng với A qua B. c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. Bài 13. Cho A(1 ; 3), B(5 ; 1). a/ Tìm tọa độ điểm I thỏa b/ Tìm trên trục hồnh điểm D sao cho gĩc ADB vuơng. ************************************************************************************* .