Cẩm nâng toán cấp 3

GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2 - Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chuyên đề - 1 NHỚ 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT Ax = B • A ≠ 0 : phương trình có nghiệm duy nhất A B x = • A = 0 và B ≠ 0 : phương trình vô nghiệm • A = 0 và B = 0 : phương trình vô số nghiệm Ax > B • A > 0 : A B x > • A < 0 : A B x < • A = 0 và B ≥ 0 : vô nghiệm • A = 0 và B < 0 : vô số nghiệm NHỚ 2 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT HAI ẨN SỐ 1/. Dạng :    =+ =+ /// cybxa cbyax 2/. Cách giải : baab ba ba D // // −== bccb bc bc Dx // // −== caac ca ca Dy // // −== ∗ D ≠ 0 : hệ có nghiệm duy nhất       = = D D y y D D x x ∗ D = 0 và Dx ≠ 0 Hệ vô nghiệm D = 0 và Dy ≠ 0 ∗ D = Dx = Dy = 0 : Hệ vô số nghiệm hay vô nghiệm tùy thuộc a, b, c, a/, b/, c/ Sơ đồ: a c b a’ c’ b' D Dy Dx NHỚ 3 : PHƯƠNG TRÌNH BẬT HAI MỘT ẨN ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2 - Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chuyên đề - 2 ∗ ∆ = b2 – 4ac ∆ > 0 a b x 2 1 ∆+− = , a b x 2 2 ∆−− = ∆ = 0 Nghiệm kép a b xx 2 21 −== ∆ < 0 Vô nghiệm ∗ ∆/ = b/ 2 – ac ∆/ > 0 a b x // 1 ∆+− = , a b x // 2 ∆−− = ∆/ = 0 Nghiệm kép a b xx / 21 −== ∆/ < 0 Vô nghiệm Chú ý: a + b + c = 0 : nghiệm x1 = 1, x2 = a c a – b + c = 0 : nghiệm x1 = –1, x2 = a c − NHỚ 4 : DẤU NHỊ THỨC f(x) = ax + b ( a ≠ 0) x – ∞ a b − +∞ f(x) Trái dấu a 0 cùng dấu a NHỚ 5 : DẤU TAM THỨC f(x) = ax2 + bx + c ( a ≠ 0) ( Nhớ : TRONG TRÁI NGOÀI CÙNG) Nếu Thì    > <∆ 0 0 a    < <∆ 0 0 a f(x) > 0, ∀x f(x) < 0, ∀x    > =∆ 0 0 a    < =∆ 0 0 a f(x) > 0, ∀x ≠ a b 2 − f(x) < 0, ∀x ≠ a b 2 − ∆ > 0 x – ∞ x1 x2 +∞ f(x) cùng 0 true 0 cùng dấu a NHỚ 6 : SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI VỚI CÁC SỐ GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2 - Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chuyên đề - 3 Cho: f(x) = ax2 + bx + c ( a ≠ 0) và α, β là hai số thực 1/. Muốn có x1 < α < x2 ta phải có af(x) < 0 2/. Muốn có x2 > x1 > α ta phải có        >− > >∆ 0 2 0)( 0 α α S af 3/. Muốn có x1 < x2 < α ta phải có        <− > >∆ 0 2 0)( 0 α α S af 4/. Muốn có x1< α < β < x2 ta phải có    < < 0)( 0)( β α af af 5/. Muốn có x1< α < x2 <β ta phải có    > < 0)( 0)( β α af af 6/. Muốn có    <<< <<< 21 21 xx xx βα βα ta phải có 0)()( <βα ff 7/. Muốn có α < x1 < x2 <β ta phải có         << > > >∆ βα β α 2 0)( 0)( 0 S af af
Chú ý: 1/. Muốn có x1 < 0 < x2 ta phải có P < 0 2/. Muốn có x2 > x1 > 0 ta phải có      > > >∆ 0 0 0 S P 3/. Muốn có x1 < x2 < α ta phải có      < > >∆ 0 0 0 S P NHỚ 7 : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN 1/.    = ≥ ⇔= K K BA B BA 2 2 0 2/.    ≥≥ = ⇔= )0(0 22 hayBA BA BA KK NHỚ 8 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2 - Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chuyên đề - 4 1/.      < > ≥ ⇔< K K BA B A BA 2 2 0 0 2/.           > ≥    ≥ < ⇔> K K BA B A B BA 2 2 0 0 0 3/. 1212 ++ <⇔< KK BABA NHỚ 9 : PHƯƠNG TRÌNH CÓ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1/.           ≥ −=    ≥ = ⇔= 0 0 B BA B BA BA 2/.    −= = ⇔= BA BA BA Chú ý:           ≤ =−    ≥ = ⇔= 0 )()( 0 )()( )()( x xgxf x xgxf xgxf NHỚ 10 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1/.    > <<− ⇔< 0B BAB BA 2/.              ≥ −<    ≥ > < ⇔> 0 0 0 B BA B BA B BA 3/. 22 BABA >⇔> NHỚ 11 : BẤT ĐẲNG THỨC 1/. Định nghĩa : Dạng : A > B, A ≥ B A < B, A ≤ B 2/. Tính chất : a) abba b) ca cb ba >⇒    > > GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2 - Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chuyên đề - 5 c) cbcaba +>+⇔> d)    << >> ⇔> 0, 0, cbcac cbcac ba e) dbca dc ba +>+⇒    > > f) bdac dc ba >⇒    >> >> 0 0 g)       >< ⇒> 0; 11 0; 11 abkhi ba abkhi ba ba 3/. BĐT Cô Si : Cho n số tự nhiên không âm a1, a2, a3,......, an n n n aaaa n aaaa ....... ....... 321 321 ≥ ++++ hay n n n n aaaa aaaa       ++++ ≤ ....... ....... 321321 Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ a1 = a2 = a3 = ......... = an 4/. BĐT Bunhia Côp ski : Cho a1, a2, a3,......, an, b1, b2, b3,......, bn là những số tực khi đó: )....)(....().....( 22 2 2 1 22 2 2 1 2 2211 nnnn bbbaaabababa ++++++≤+++ Dấu đẳng thức xảy ra ⇔ ai = k.bi , i = 1 , 2 , 3,......, n 5/. BĐT BecnuLi : Cho : a > –1, n ∈ N Ta có : (1 + a)n ≥ 1 + na Đẳng thức xảy ra    = = ⇔ 1 0 n a 6/. BĐT tam giác : BABA +≤+ Đẳng thức xảy ra ⇔ AB ≥ 0 NHỚ 12 : CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A. HỆ THỨC CƠ BẢN ( 6 công thức ) 1/. 122 =+ xCosxSin 2/. Cosx Sinx Tanx = 3/. Sinx Cosx Cotx = 4/. 1. =CotxTanx 5/. xCos xTan 2 2 11 =+ GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2 - Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chuyên đề - 6 6/. xSin xCot 2 2 11 =+ Điều kiện tồn tại : • Tanx là x ≠ π/ 2 + kπ , k ∈ Z • Cotx là x ≠ kπ , k ∈ Z • Sinx là – 1 ≤ Sinx ≤ 1 • Cosx là – 1 ≤ Cosx ≤ 1 Chú ý : • a2 + b2 = ( a + b)2 – 2ab • a3 + b3 = ( a + b)3 – 3ab( a + b) B. CÔNG THỨC CỘNG ( 8 công thức ) 7/. SinaSinbCosaCosbbaCos −=+ )( 8/. SinaSinbCosaCosbbaCos +=− )( 9/. CosaSinbSinaCosbbaSin +=+ )( 10/. CosaSinbSinaCosbbaSin −=− )( 11/. TanaTanb TanbTana baTan − + =+ 1 )( 12/. TanaTanb TanbTana baTan + − =− 1 )( 13/. CotbCota CotaCotb baCot + − =+ 1 )( 14/. CotbCota CotaCotb baCot − + =− 1 )( C. CÔNG THỨC NHÂN I. NHÂN ĐÔI : ( 3 công thức) 15/. SinaCosaaSin 22 = 16/. aSinaCosaSinaCosaCos 2222 21122 −=−=−= 17/. aTan Tana aTan 21 2 2 − = II. NHÂN BA : ( 3 công thức) 18/. CosaaCosaCos 343 3 −= 19/. aSinSinaaSin 3433 −= 20/. aTan aTanTana aTan 2 3 31 3 3 − − = III. HẠ BẬC : ( 4 công thức) 21/. 2 212 aCosaSin − = ⇒ aSinaCos 2221 =− 22/. 2 212 aCosaCos + = ⇒ aCosaCos 2221 =+ 23/. 4 333 aSinSinaaSin − = GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2 - Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chuyên đề - 7 24/. 4 333 aCosCosaaCos + = IV. GÓC CHIA ĐÔI : ( 3 công thức) 25/. 21 2 t t Sinx + = 26/. 2 2 1 1 t t Cosx + − = , với 2 x Tant = 27/. 21 2 t t Tanx − = D. TỔNG THÀNH TÍCH : ( 8 công thức) 28/. 22 2 ba Cos ba CosCosbCosa −+ =+ 29/. 22 2 ba Sin ba SinCosbCosa −+ −=− 30/. 22 2 ba Cos ba SinSinbSina −+ =+ 31/. 22 2 ba Sin ba CosSinbSina −+ =− 32/. CosaCosb baSin TanbTana )( + =+ 33/. CosaCosb baSin TanbTana )( − =− 34/. SinaSinb baSin CotbCota )( + =+ 35/. SinaSinb baSin CotbCota )( −− =− E. TÍCH THÀNH TỔNG : ( 3 công thức) 36/. ( )[ ])( 2 1 baCosbaCosCosaCosb ++−= 37/. [ ])()( 2 1 baCosbaCosSinaSinb +−−= 38/. [ ])()( 2 1 baSinbaSinSinaCosb ++−= F. CUNG LIÊN KẾT : Cos đối Cos(–α) = Cosα ; Sin(–α) = – Sinα Sin bù Sin(π – α) = Sinα ; Cos(π – α) = – Cosα Phụ chéo Sin(π/2 – α) = Cosα ; Cos(π/2 – α) = Sinα Khác π Tan Tan(π + α) = Tanα ; Cot(π + α) = Cotα Sai kém π/ 2 Sin(π/2 + α) = Cosα ; Cos(π/2 + α) = – Sinα NHỚ 13 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2 - Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chuyên đề - 8 A. CƠ BẢN : Sinu = Sinv    +−= += ⇔ ππ π 2 2 kvu kvu k ∈ Z Cosu = Cosv π2kvu +±=⇔ Tanu = Tanv πkvu +=⇔ Cotu = Cotv πkvu +=⇔ Sinu = 0 πku =⇔ Sinu = 1 ππ 22/ ku +=⇔ Sinu = –1 ππ 22/ ku +−=⇔ Cosu = 0 ππ ku +=⇔ 2/ Cosu = 1 π2ku =⇔ Cosu = – 1 ππ 2ku +=⇔ B. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI Sin và Cos Dạng aSinx + bCosx = c ( a2 + b2 ≠ 0 ) Phương pháp : Cách 1: Chia hai vế cho 22 ba + Đặt : αα Sin ba b Cos ba a = + = + 2222 ; Ta có 22 )( ba c xSin + =+α (*) (*) Có nghiệm khi 1 22 ≤ + ba c 222 cba ≥+⇔ (*) Vô nghiệm khi 222 cba <+⇔ Cách 2: • Kiểm chứng x = (2k + 1)π có phải là nghiệm của phương trình hay không? • Xét x ≠ (2k + 1)π Đặt : 2 x Tant = Thế 2 2 2 1 1 ; 1 2 t t Cosx t t Sinx + − = + = Vào phương trình ⇒ t ? ⇒ x ? C. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: 1/. Đối với một hàm số lượng giác: Giả sử a≠ 0 02 =++ cbSinxxaSin ( đặt 1, ≤= tSinxt ) 02 =++ cbCosxxaCos (đặt 1, ≤= tCosxt ) 02 =++ cbTanxxaTan ( đặt ππ kxTanxt +≠= 2 , ) GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2 - Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chuyên đề - 9 02 =++ cbCotxxaCot ( đặt πkxCotxt ≠= , ) 2/. Phương trình đẳng cấp đối với Sinx, Cosx Dạng: 022 =++ xcCosbSinxCosxxaSin (1) 03223 =+++ xdCosxcSinxCosxCosxbSinxaSin (2) Phương pháp : Cách 1: ∗ Kiểm x = π/ 2 + kπ có phải là nghiệm của phương trình ? ∗ Chia hai vế cho Cos2x ( dạng 1), chia Cos3x ( dạng 2) để đưa phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai, bậc ba đối với Tanx. Cách 2: Dạng (1) có thể sử dụng công thức hạ bậc và 2 2xSin SinxCosx = thế vào 3/. Phương trình đối xứng của Sinx, Cosx: Dạng : a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*) Phương pháp: Đặt : 2), 4 (2 ≤+=+= txSinCosxSinxt π 0 2 1 (*) 2 =+ − +⇔ c t bat t⇒ ( nếu có) x⇒ Chú ý: Dạng a(Sinx – Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*) giải tương tự : Đặt : 2), 4 (2 ≤−=−= txSinCosxSinxt π 0 2 1 (*) 2 =+ − +⇔ c t bat ⇒ t ? ( nếu có) ⇒ x ? D. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC BIỆT : 1/. Tổng bình phương : • A2 + B2 + ........+ Z2 = 0 ⇔ A = B = ......= Z = 0 • A ≥ 0, B ≥ 0,......, Z ≥ 0 Ta có : A + B + .... + Z = 0 ⇔ A = B = .....= Z = 0 2/. Đối lập : Giả sử giải phương trình A = B (*) Nếu ta chứng minh    ≥ ≤ KB KA    = = ⇔ KB KA (*) 3/.      +=+ ≤ ≤ klBA kB lA    = = ⇔ kB lA 4/. 1,1 ≤≤ BA GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2 - Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chuyên đề - 10    = = ⇔= 1 1 1 B A AB hay    −= −= 1 1 B A NHỚ 14: HỆ THỨC LƯỢNG Tam giác thường ( các định lý) Hàm số Cosin • bcCosAcba 2222 −+= • bc acb CosA 2 222 −+ = Hàm số Sin • R SinC c SinB b SinA a 2=== • R a SinARSinAa 2 ,2 == Hàm số Tan • ba ba BA Tan BA Tan + − = + − 2 2 Các chiếu • cCosBbCosCa += Trung tuyến • 4 )(2 2222 acb ma −+ = Phân giác • 2 . 2 a A bcCos l b c = + Diện tích Diện tích • cba chbhahS 2 1 2 1 2 1 === • abSinCacSinBbcSinAS 2 1 2 1 2 1 === • prS = • R abc S 4 = • ))()(( cpbpappS −−−= Chú ý: • 2 )( 2 )( 2 )( C Tancp B Tanbp A Tanap p S r −=−=−== • SinC c SinB b SinA a S abc R 2224 ==== • a, b, c : cạnh tam giác • A, B, C: góc tam giác • ha: Đường cao tương ứng với cạnh a • ma: Đường trung tuyến vẽ từ A • R, r : Bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác. • 2 cba p ++ = Nữa chu vi tam giác. GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2 - Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chuyên đề - 11 H B C A Hệ thức lượng tam giác vuông: • ACABBCAH CHBHAH .. .2 = = • BCBHAB .2 = • CBCHAC .2 = • 222 ACABBC += NHỚ 15: MỘT SỐ BÀI TÓAN CẦN NHỚ Cho tam giác ABC : 1/. 222 4 C Cos B Cos A CosSinCSinBSinA =++ 2/. 222 41 C Sin B Sin A SinCosCCosBCosA +=++ 3/. TanCTanBTanATanCTanBTanA ..=++ ( tam giác ABC không vuông) 4/. 2 . 2 . 2222 C Cot B Cot A Cot C Cot B Cot A Cot =++ 5/. 1 2 . 22 . 22 . 2 =++ A Tan C Tan C Tan B Tan B Tan A Tan 6/. CosCCosBCosACSinBSinASin ..22222 +=++ 7/. CosCCosBCosACCosBCosACos ..21222 −=++ 8/. SinCBASin =+ )( CosCBACos −=+ )( ; 22 C Cos BA Sin = + 22 C Sin BA Cos = + ; 22 C Cot BA Tan = + 9/. 8 33 .. ≤SinCSinBSinA 10/. 8 1 .. ≤CosCCosBCosA 11/. 8 33 2 . 2 . 2 ≤ C Cos B Cos A Cos 12/. 8 1 2 . 2 . 2 ≤ C Sin B Sin A Sin 13/. 4 3222 ≥++ CCosBCosACos 14/. 9 4222 ≤++ CSinBSinASin 15/. 9222 ≥++ CTanBTanATan 16/. 1 2224 3 222 <++≤ C Sin B Sin A Sin 222 111 ACABAH += GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2 - Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chuyên đề - 12 17/. 4 9 222 2 222 ≤++< C Cos B Cos A Cos 18/. 1 222 222 ≥++ C Tan B Tan A Tan 19/. 9 222 222 ≥++ C Cot B Cot A Cot 20/. 2 33 222 ≤++ CSinBSinASin 21/. 2 3 222 −≥++ CCosBCosACos NHỚ 16 : HÀM SỐ LIÊN TỤC Định nghĩa 1: Hàm số )(xfy = gọi là liên tục tại điểm x = a nếu : 1/. )(xf xác định tại điểm x = a 2/. )()(lim afxf ax = → Định nghĩa 2: )(xf liên tục tại điểm x = a )()(lim)(lim afxfxf axax ==⇔ −+ →→ Định lý : Nếu )(xf liên tục trên [a, b] và 0)().( <bfaf thì tồn tại ít nhất một điểm c∈ (a, b) sao cho 0)( =cf NHỚ 17 : HÀM SỐ MŨ 1/. Định nghĩa : Cho a > 0, a ≠ 1 ( cố định). Hàm số mũ là hàm số xác định bởi công thức : y = ax ( x ∈ R) 2/. Tính chất : a) Hàm số mũ liên tục trên R b) y = ax > 0 mọi x ∈ R c) a > 1 : Hàm số đồng biến 21 21 xxaa xx <⇔< d) 0 < a < 1 : Hàm số nghịch biến 2121 xxaa xx >⇔< Chú ý : )10(2121 ≠<=⇔< axxaa xx 3/. Đồ thị : (a> 1) y ( 0 < a < 1) y 1 1 0 x 0 x NHỚ 18 : HÀM SỐ LOGARIT 1/. Định nghĩa : a) Cho 0,1,0 >≠> Naa Logarit cơ số a của N là số mũ M sao cho : aM = N GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2 - Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chuyên đề - 13 Ký hiệu : logaN = M b) Hàm số logarit theo cơ số a ( a > 0, a ≠ 1 ) của đối số x là hàm số được cho bởi công thức: y = logax ( với x > 0, a > 0, a ≠ 1) 2/. Tính chất và định lý cơ bản về logarit : Giả sử logarit có điều kiện đã thỏa mãn TC1 : logaN = M ⇔ aM = N TC2 : loga aM = M , Ma Ma =log TC3 : loga 1 = 0, loga a = 1 TC4 : loga (MN) = loga M + loga N TC5 : NM N M aaa logloglog −= TC6 : Đổi cơ số a b a N N b a c c a log 1 log; log log log == 3/. Đồ thị : (a> 1) y ( 0 < a < 1) y 1 1 0 x 0 x 4/. Phương trình Logarit : )()()(log)(log xgxfxgxf aa =⇔= ( f(x) hoặc g(x) > 0 , 0 < a ≠ 1 ) 5/. Bất phương trình Logarit : (*))(log)(log xgxf aa <    < > →← > )()( 0)( (*) 1 xgxf xf a    > >  →← << )()( 0)( (*) 10 xgxf xg a NHỚ 19 : ĐẠO HÀM I/. Định nghĩa đạo hàm : Cho hàm số y = f(x) , xác định trên ( a, b) , x0 ∈ ( a, b). Ta nói f(x) có đạo hàm tại x0 nếu giới hạn 0→∆ ∆ ∆ xkhi x y tồn tại. x xfxxf x y xf xx ∆ −∆+ = ∆ ∆ = →∆→∆ )()( limlim)( 00 00 0 ' ∗ Đạo hàm bên trái : x y xf x ∆ ∆ = −→∆ − 0 0 ' lim)( ( tồn tại ) ∗ Đạo hàm bên phải : x y xf x ∆ ∆ = +→∆ + 0 0 ' lim)( ( tồn tại )
Cho y = f(x) xác định trên (a, b) y = f(x) có đạo hàm tại x0 ∈ (a, b) ⇔ f ‘(x0+) = f ’(x0–) GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2 - Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chuyên đề - 14 II/. Qui tắc tính đạo hàm : 1/. '''' .......).....( cbacba +++=+++ 2/. ''' ..)( babaab += '''' ......)( cbacbacbaabc ++= 3/. 2 ''' b abba b a − =      ( b ≠ 0) )(.)( '' Rcuccu ∈= 2 ''1 u u u −=      III/. Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản : TT Hàm số Đạo hàm 1 y = c y’ = 0 2 y = x y’ = 1 3 αxy = αuy = 1' . −= αα xy '1' .. uuy −= αα 4 x y 1 = xy = uy = 2 ' 1 x y −= x y 2 1' = u u y 2 ' ' = 5 Sinuy Sinxy = = Cosuuy Cosxy .'' ' = = 6 Cosxy = Cosuy = Sinxy −=' Sinuuy .'' −= 7 Tanxy = Tanuy = xCos y 2 ' 1= uCos u y 2 ' ' = 8 Cotxy = Cotuy = xSin y 2 ' 1−= uSin u y 2 ' ' −= 9 arcSinxy = 2 ' 1 1 x y − = 10 arcCosxy = 2 ' 1 1 x y − −= 11 arcTanxy = 2 ' 1 1 x y + = GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2 - Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chuyên đề - 15 12 arcCotxy = 2 ' 1 1 x y + −= 13 xay = uay = Lnaay x=' Lnaauy u ..'' = 14 uey = uey = xey =' ueuy '' = 15 Lnxy = Lnuy = x y 1' = u u y ' ' = 16 xLny = uLny = x y 1' = u u y ' ' = 17 xy alog= xLna y 1' = NHỚ 20 : ĐỊNH LÝ LAGRĂNG Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và có đạo hàm trên khoảng (a, b) thì tồn tại ít nhất một điểm x = c , c ∈ (a, b) f(b) – f(a) = f ‘(c)(b – a) NHỚ 21 : BẢNG TÍCH PHÂN 1/. Công thức NewTon _ Leibnitz : [ ]∫ −== b a b a aFbFxFdxxf )()()()( với F(x) là nguyên hàm của f(x) trên [a, b} 2/. Tích phân từng phần : ∫ ∫−= b a b a b a vduvuudv ].[ với u, v liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a, b] 3/. Đổi cơ số : [ ]∫∫ = β α ϕϕ dtttfdxxf b a )(.)()( ' với x = ϕ(t) là hàm số liên tục và có đạo hàm ϕ’(t) liên tục trên [a, b] , α ≤ t ≤ β a = ϕ(α), b = ϕ(β), f[ϕ(t)] là hàm số liên tục trên [α,β ] 4/. Tính chất : a) ∫ ∫−= b a a b dxxfdxxf )()( b) 0)( =∫ a a dxxf GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2 - Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chuyên đề - 16 c) ∫∫∫ += b c c a b a dxxfdxxfdxxf )()()( d) ∫ ∫∫ ±=± b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ e) ∫ ∫ ∈= b a b a RKdxxfKdxxKf ,)()( f) Nếu m ≤ f(x) ≤ M thì )()()( abMdxxfabm b a −≤≤− ∫ 5/. Bảng tích phân : TT Công thức 1 )1( 1 1 −≠+ + = + ∫ αα α α c x dxx 2 c bax a dxbax + + + =+∫ + 1 )( . 1 )( 1 α α α 3 ∫ ≠+−−= − )1()1( 11 1 α α αα c x dx x 4 ∫ ≠++−−=+ − )1())(1( 1 )( 1 α α αα c baxabax dx 5 ∫ += cxLnx dx 6 ∫ ++=+ cbaxLnabax dx 1 7 ∫ ∈+= RKcKxKdx , 8 ∫ += cedxe xx 9 ∫ += ++ ceadxe baxbax 1 10 ∫ += cLna a dxa x x 11 ∫ +−= cCosxSinxdx 12 ∫ ++−=+ cbaxCosadxbaxSin )( 1 )( 13 ∫ += cSinxCosxdx 14 ∫ ++=+ cbaxSinadxbaxCos )( 1 )( GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2 - Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chuyên đề - 17 15 ∫ += cTanxxCos dx 2 16 ∫ +−= cCotxxSin dx 2 17 ∫ +=+ carcTanxx dx 12 18 ∫ +=+ ca x arcTan aax dx 1 22 19 ∫ ++ − = − c ax ax Ln aax dx 2 1 22 20 ∫ +− + = − c xa xa Ln axa dx 2 1 22 21 ∫ >+= − )0( 22 ac a x arcSin xa dx 22 chxxLn hx dx +++= + ∫ 22 23 ∫ >++−=− )0(22 2 2222 ac a x arcSin a xa x dxxa 24 chxxLn h hx x dxhx +++++=+∫ 222 22 NHỚ 22 : HOÁN VỊ _ TỔ HỢP _ CHỈNH HỢP 1/. Hoán vị : !nPn = 2/. Tổ hợp : )!(! ! KnK n C Kn − =
Kn n K n CC −=
10 == n n n CC
K n K n K n CCC =+ − −− 1 11
nn nnn CCC 2...... 10 =+++ 3/. Chỉnh hợp : )0( )!( ! nK Kn n AKn ≤≤− = NHỚ 23 : SỐ PHỨC 1/. Phép tính : ∗ Cho z = a + bi z’ = a’ + b’i z ± z’ = ( a ± a’) + ( b ± b’)i z.z’ = (a.a’ – b.b’) + ( a.b’ + a’.b)i ∗ z = r.(Cosα + i.Sinα) z’ = r’(Cosβ + i.Sinβ) z, z’ ≠ 0 z.z’ = r.r’[Cos(α + β) + i.Sin(α + β)] )]()([ '' βαβα −+−= iSinCos r r z z GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2 - Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chuyên đề - 18 2/. MoaVrơ : )()]([ αααα iSinnCosnriSinCosr nn +=+ 3/. Căn bậc n của số phức z = r.( Cosα + i.Sinα) : )2.2( n K Sini n K CosrZ nK παπα + + + = với K = 0, 1, 2,......, n – 1 NHỚ 24 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG A. VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ : • →→→ +=⇔ 21),( yexeOMyxM • Cho A( xA, yA ) B( xB, yB ) 1). ),( ABAB yyxxAB −−= → 2). 2),( ABAB yyxxAB −−= 3). Tọa độ trung điểm I của AB :       + = + = 2 2 BA BA yy y xx x 4). Tọa độ điểm M chia AB theo tỉ số k ≠ 1 :       − − = − − = k yky y k xkx x BA BA 1 . 1 . • Phép toán : Cho ),( 21 aaa = → ),( 21 bbb = → 1).    = = ⇔= →→ 22 11 ba ba ba 2). ),( 2211 bababa ±±=± →→ 3). ),(. 21 mamaam = → 4). 2211 bababa += →→ 5). 22 2 1 aaa += → 6). 02211 =+⇔⊥ →→ bababa GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2 - Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chuyên đề - 19 7). 2 2 2 1 2 2 2 1 2211 . , bbaa baba baCos ++ + =      →→ B. ĐƯỜNG THẲNG 1/. Phương trình tham số :    += += tayy taxx 20 10 Vectơ chỉ phương ),( 21 aaa = → 2/. Phương trình tổng quát : Ax + By + C = 0 ( A2 + B2 ≠ 0) • Pháp vectơ ),( BAn = → y • Vectơ chỉ phương ),( ABa −= → ( hay ),( ABa −= → ) • Hệ số góc )0( ≠−= B B A K 0 x 3/. Phương trình pháp dạng : 0 222222 = + + + + + BA C y BA B x BA A 4/. Phương trình đường thẳng qua M( x0, y0) có hệ số góc K : )( 00 xxKyy −=− 5/. Phương trình đường thẳng qua A(xA, yA) và B(xB, yB) : (x – xA)(yB – yA) = (y – yA)(xB – xA) hay AB A AB A yy yy xx xx − − = − − 6/. Phương trình đường thẳng qua A( a, 0) , B( 0,b) ( đọan chắn) 1=+ b y a x 7/. Phương trình chính tắc : b yy a xx 00 −= −       = → ),(),,( 00 baayxM * Quy ước : 0 0 0 00 =−⇔ − = − xx b yyxx 0 0 0 00 =−⇔ − = − yy yy a xx 8/. Phương trình đường thẳng qua A(a, 0), B(0, b) ( đoạn chắn ) : 1=+ b y a x 9/. Khoảng cách từ một điểm M(x0, y0) đến Ax + By + C = 0 : 22 00 BA CByAx + ++ 10/. Vị trí tương đối của hai đường thẳng : d1: A1x + B1y + C1 = 0 d2: A2x + B2y + C2 = 0 GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2 - Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chuyên đề - 20 2 1 2 1 B B A A D = 2 1 2 1 B B C C Dx − − = 2 1 2 1 C C A A Dy − − = * d1 cắt d2 0≠⇔ D *    ≠ = ⇔ 0 0 // 21 xD D dd hay    ≠ = 0 0 yD D * 021 ===⇔≡ yx DDDdd Chú ý : A2, B2, C2 ≠ 0 d1 cắt d2 2 1 2 1 B B A A ≠⇔ 2 1 2 1 2 1 21 // C C B B A A dd ≠=⇔ 2 1 2 1 2 1 21 C C B B A A dd ==⇔≡ 11/. Góc của hai đường thẳng d1 và d2 : Xác định bởi công thức : 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 BABA BBAA Cos ++ + =ϕ 12/. Phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi d1 và d2 : 2 2 2 2 222 2 1 2 1 111 BA CyBxA BA CyBxA + ++ ±= + ++ * Chú ý : Dấu của →→ 21 nn Phương trình đường phân giác góc nhọn tạo bởi d1, d2 Phương trình đường phân giác góc tù tạo bởi d1, d2 – t1 = t2 t1 = – t2 + t1 = – t2 t1 = t2 C. ĐƯỜNG TRÒN : 1/. Định nghĩa : M ∈ (c) ⇔ OM = R 2/. Phương trình đường tròn tâm I( a, b) bán kính R : Dạng 1 : 2 2 2( ) ( )x a y b R− + − = Dạng 2 : 2 2 2 2 0x y ax by c+ − − + = Với 2 2 2 0R a b c= + − ≥ 3/. Phương trình tiếp tuyến với đường tròn tại M( x0, y0) (x0 – a).(x – a) + (y0 – b).(y – b) = R2 ( Dạng 1) x0x + y0y – a(x0 + x) – b(y0 + y) + c = 0 ( Dạng 2) D. ELIP GV: VÕ QUỐC TRUNG Tổ Tốn-Tin Trường THPT Thanh Bình 2 - Thư viện ðề thi Trắc nghiệm, Bài giảng, Chuyên đề - 21 PT chính tắc Lý thuyết 2 2 2 2 2 2 1 ( ) x y a b a b + = > 2 2 2 2 2 2 1 ( ) x y a b a b + = < Trục lớn, độ dài Ox, 2a Oy, 2b Trục nhỏ, độ dài Oy, 2b Ox, 2a Liên hệ a, b, c c2 = a2 – b2 c2 = b2 – a2 Tiêu điểm F1(– c, 0), F2( c, 0) F1(0,– c), F2( 0, c) Đỉnh A1,2( ± a, 0) B1,2(0, ± b) A1,2( ± a, 0) B1,2(0, ± b) Tâm sai c e a = ce b = Đường chuẩn a x e = ± by e = ± B