Chuên đề giới hạn và hàm số liên tục

Giới hạn dãy số *Các giới hạn thường gặp: limC = C ; lim= 0 a > 0 ; lim = 0 ; limqn = 0 |q| < 1 *Các phép toán giới hạn : lim(un ± vn) = limun ± limvn ; lim(un.vn) = limun ; limvnlim = *Các định lý về giới hạn: Định lý 1: Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn Định lý 2: Cho 3 dãy số (un),(vn) và (wn) Nếu "n ta có un ≤ vn ≤ wn và limun = limwn = A thì limvn = A Định lý 3: Nếu limun = 0 thì lim = ¥ Nếu limun = ¥ thì lim = 0 *Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là S = 1.Dùng định nghĩa,tính các giới hạn sau: a) lim b) lim c) lim 2.Tính các giới hạn sau: a) lim b) lim c) lim d) lim e) lim f)lim() g) lim 3.Tính các giới hạn sau: a) lim b) lim() c) lim) d) lim) e) lim f) lim g) lim h) lim i) lim() j) lim n() k) lim() l) lim m) lim(1 + n2 – ) n) lim 4.Tính các giới hạn a) lim b) lim c) lim d) lim e) lim f) lim g) lim với |a| < 1 ; |b| < 1 4.Cho dãy (un) xác định bởi u1 = ; un+1 = a)Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bởi 2 và là dãy số tăng b)Suy ra (un) có giới hạn và tính giới hạn đó 5.Cho dãy (un) xác định bởi u1 = ; un+1 = a)Chứng minh rằng (un) bị chặn trên bởi 1 và là dãy số tăng b)Suy ra (un) có giới hạn và tính giới hạn đó 6.Tìm các số hữu tỉ sau : a) 2,1111111... b)1,030303030303... c)3,1515151515.... 7.Tính lim(1 – ).(1 – ).(1 – )(1 – ) 8. Cho dãy (xn) thỏa 0 < xn < 1 và xn+1(1 – xn) ≥ Chứng minh rằng: dãy số (xn) tăng. Tính limxn 9. Cho dãy (xn) thỏa 1 < xn < 2 và xn+1 = 1 + xn – xn2 "n Î N a)Chứng minh rằng: |xn – | < ()n "n ≥ 3 b) Tính limxn 10.Cho dãy số xác định bởi : u1 = ; un +1= a) Chứng minh rằng: un < 1 "n b) Chứng minh rằng: (un) tăng và bị chặn trên c) Tính limun 11.Cho dãy số (un) xác định bởi công thức u1 = và un +1= a) Chứng minh rằng un < 3 " n b)Chứng minh rằng: (un) tăng và bị chặn trên c) Tính limun Giới hạn hàm số *Các phép toán về giới hạn hàm số *Các định lý về giới hạn hàm số : Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất Định lý 2:Cho 3 hàm số g(x),f(x),h(x) cùng xác định trong khoảng K chứa a và g(x) ≤ f(x) ≤ h(x). Nếu thì Định lý 3: Nếu Nếu Định lý 4: *Các dạng vô định: là các giới hạn có dạng ; ; 0.¥ ; ¥ – ¥ 1.Tính các giới hạn sau: a) b) c) d) e) f) g) h) i) k) m,nÎN 2.Tính các giới hạn sau: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) 3.Tính các giới hạn sau: a) b) c) d) e) f) g) h) i) g) h) 4.Tính các giới hạn sau: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) 4.Tính các giới hạn sau: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) 5.Tính các giới hạn sau: a) b) b) c) d) e) f) g) h) i) i) j) h) j) k) 6.Tính giới hạn các hàm số sau a) b) c) d) e) f) ) g) h) i) j) 7.Tìm 2 số a,b để a) b) = 0 8. Tính các giới hạn sau: a) b) Hàm số liên tục Định nghĩa: *Hàm số f(x) liên tục tại xo Û *Hàm số f(x) gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm xo Î (a;b) *Hàm số f(x) gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng [a;b] và Các định lý: Định lý 1:Các hàm số đa thức,hữu tỉ,lượng giác là các hàm số liên tục trên tập xác định của chúng Định lý 2:Tổng,hiệu,tích,thương của những hàm liên tục là một hàm liên tục Định lý 3:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một số c Î (a;b) sao cho f(c) = 0 Hệ quả: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng (a;b) 1.Xét sự liên tục của các hàm số sau: a) f(x) = x2 + x – 3 b)f(x) = b)f(x) = 2.Xét sự liên tục của các hàm số sau: a) f(x) = tại xo = 1 b) f(x) = tại xo = 2 c) f(x) = tại xo = 1 d) f(x) = tại xo = 1 e) f(x) = tại xo = 2 f) f(x) = tại xo = 0 g) f(x) = tại xo = 0 h) f(x) = tại xo = 2 3.Tìm a để các hàm số sau liên tục tại x0 a) f(x) = tại x0 = 1 b) f(x) = tại x0 = 1 c) f(x) = tại xo = 0 d) f(x) = tại xo = 0 4.Xét sự liên tục của các hàm số sau: a) f(x) = b) f(x) = 5.Tìm a để các hàm số sau liên tục trên R a) f(x) = b) f(x) = 5.Tìm a,b để hàm số sau liên tục trên R a) f(x) = b) f(x) = 6. Chứng minh rằng các phương trình sau có nghiệm: a) x3 – 2x – 7 = 0 b) x5 + x3 – 1 = 0 c) x3 + x2 + x + 2/3 = 0 d) x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0 e) x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0 f) cosx – x + 1 = 0 7. Chứng minh rằng phương trình a) x3 – 3x2 + 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3) b) 2x3 – 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2) c) x3 + 3x2 – 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 3;1) d) x3 – 3x2 + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3) e) 2x2 + 3x – 4 = 0 có 2 nghiệm trong khoảng (– 3;1) f)* x5 – 5x4 + 4x – 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (0;5) 8. Cho 3 số a,b,c khác nhau .Chứng minh rằng phương trình (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 Có 2 nghiệm phân biệt 9*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 6b + 19c = 0 Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong [0;] 9*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 3b + 6c = 0 a)Tính a,b,c theo f(0), f(1) ,f(1/2) b)Chứng minh rằng ba số f(0), f(1) ,f(1/2) không thể cùng dấu c)Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1) 10*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : = 0 a)Chứng minh rằng af() < 0 với a ¹ 0 b)Cho a > 0 , c 0 c)Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1) 11*.Cho hàm số f(x ) liên tục trên đoạn [a;b] thoả f(x) Î [a;b] " x Î [a;b] Chứng minh rằng phương trình: f(x) = x có nghiệm x Î [a;b] 12. Chứng minh rằng: các phương trình sau luôn luôn có nghiệm: a) cosx + m.cos2x = 0 b) m(x – 1)3(x + 2) + 2x + 3 = 0 c) a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = 0 d) (m2 + m + 1)x4 + 2x – 2 = 0 13.Cho hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và a , b là hai số dương bất kỳ. Chứng minh rằng: phương trình f(x) = có nghiệm trên [a;b] 14.Cho phương trình x4 – x – 3 = 0. Chứng minh rằng: phương trình có nghiệm xo Î (1;2) và xo >