Chuyên đề 2: Hệ phương trình

HỆ PHƯƠNG TRÌNH Dạng 1: Hệ gồm một pt bậc nhất và các pt bậc cao 1/ Phương pháp: Rút một ẩn từ pt bậc nhất thế vào các pt bậc cao 2/ Ví dụ Ví dụ 1: giải các pt sau: a/ b/ Ví dụ 2: Cho hệ pt a/ Giải hệ khi m = 3 b/ Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất Giải: a/ (x ;y) = (0 ; 1) và (2/3 ; 5/3) b/ m = 0 hoặc m = 4 Ví dụ 3: Cho hệ pt a/ Giải hệ khi m = b/ Tìm m để hệ vô nghiệm Giải: a/ (x ;y) = b/ Ứng dụng : Cho hệ pt a/ Giải hệ khi m = 1 b/ Tìm m để hệ có 2 cặp nghiệm thõa mãn ĐS: a/ (x;y) = (2;1) và (-2; -3) b/ m = 2 Dạng 2: Hệ pt đối xứng loại 1 1/ Định nghĩa: Là hệ có dạng trong đó khi hoán đổi x và y thì mỗi pt không thay đổi. Ví dụ: Các hệ pt và 2/ Cách giải: 2.1 Nhớ lại định lý Viet trong phương trình bậc hai Cho pt có hai nghiệm x1; x2 thì . Ngược lại nếu có hai số u ; v thỏa mãn thì u ; v là nghiệm của pt x2 - Sx + P = 0. Ví dụ Tìm hai số u ;v thỏa mãn 2.2 Cách giải hệ đối xứng loại 1: Đặt x+y = S và xy = P ( ĐK S2 > 4P); thay vào tìm S và P. Từ đó suy ra x và y. 3/ Bài tập: Bài 1: Giải các hệ pt: a. b. Đặt x + y = S và xy = P ta có P = 2 và S = Với P = 2; S = 3 ta có nghiệm (-1;-2) và (-2; -1) Với P = 2 ; S = -3 ta có nghiệm (1; 2) và (2; 1) c. . Nghiệm của hpt (-2; -3) và ( -3; -2) Bài 2: Cho hệ pt Giải hệ khi m = 26 Tìm m để hệ vô nghiệm Tìm m để hệ có 2 nghiệm phân biệt Giải: Ta có , khi đó x; y là nghiệm của pt X2 – 6X + = 0 (1) a. Nghiệm của pt (1;5) và (5; 1) b. m < 18 c. m > 18 Bài 3: Cho hệ pt a/ Giải hệ khi m = 2 b/ Tìm m để hệ có nghiệm Giải: a. b. Bài 4 Tìm a để hệ pt có đúng 2 nghiệm Giải: Đặt x+y = S và xy = P, ĐK S2 > 4P. Ta có Với S = 2, P = 1 – a thì x, y là nghiệm của X2 – 2 X + 1 – a = 0 có Với S = -2 , P = 1 – a thì x, y là nghiệm của X2 + 2 X + 1 – a = 0 có Để hệ có đúng 2 nghiệm thì mỗi pt có nghiệm kép, suy ra a = 0 4. Cách tìm nghiệm duy nhất của hệ đối xứng loại 1 ĐK cần Vì (x0; y0) là nghiệm thì (y0; x0) cũng là nghiệm của hệ. Để hệ có nghiệm duy nhất thì x0 = y0, thay vào hệ để tìm m ĐK đủ: Thay m vừa tìm được vào hệ xem giá trị nào thỏa mãn. Ví dụ 1: Tìm m để hệ pt có nghiệm duy nhất Giải ĐK CẦN Vì (x0; y0) là nghiệm thì (y0; x0) cũng là nghiệm của hệ. Để hệ có nghiệm duy nhất thì x0 = y0. Ta có hệ ĐK ĐỦ Thay m = 18 vào ta có nghiệm ( x; y ) = (3; 3) Ví dụ 2: Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất Đáp số: m = 0 hoặc m = 8 BÀI TẬP CŨNG CỐ Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: a. b. c. d. e. Bài 2: Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất Bài 3: Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất Dạng 3: Hệ phương trình đối xứng loại 2 1/ Định nghĩa: Là hệ có dạng trong đó hoán đổi x và y cho nhau thi phương trình này trở thành phương trình kia. Ví dụ: Hệ phương trình 2/ Cách giải Trừ từng vế của 2 pt cho nhau để đưa về pt tích. 3/ Ví dụ Ví dụ 1: Giải các hệ pt: a. Hệ có nghiệm (x; y) = (0;0) và (-1;-1) b. c. d. Ví dụ 2: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất: Giải: ĐK CẦN x = y suy ra m = -1 ĐK ĐỦ Thay m = -1 ta thấy thỏa mãn. 4/ Bài tập củng cố: Bài 1: Giải các phương trình sau a. b. c. Bài 2: Tìm m để các hệ sau có nghiệm duy nhất: a. b. c.( Khối B-2003) Lấy (1) – (2) ta được + Với x = y ta có + Phương trình (3) vô nghiệm vì x > 0 và y > 0. Dạng 4: Hệ phương trình đẳng cấp 1/ Định nghĩa: Là hệ có dạng trong đó f1 và f2 đẳng cấp và cùng bậc. g1; g2 đẳng cấp và cùng bậc. 2/ Cách giải Bước 1: Xét x = 0 hoặc y = 0. Bước 2: x khác 0. Đặt y = tx sau đó chia từng vế của 2 phương trình cho nhau. 3/ Ví dụ Giải hệ phương trình Giải + Nếu x = 0 suy ra y = 0. Vậy (0;0) là một nghiệm + Với x 0. Đặt y = tx thay vào hệ và chia từng vế của (1) cho (2) ta được + Với t = ½ suy ra x = 2y thay vào (2) ta được 5y(y2 – 4) = 0 Suy ra (4; 2) và (-4; -2) là nghiệm + Với t = -1/2 suy ra x = -2y thay vào (2) ta được y2 = -4 VN Kết luận: Hệ có 3 nghiệm. 4/ Bài tập Bài 1 Giải các hệ phương trình a. (KA-2005) b. c. d. ĐS a. (1; 3) ; (3/2; 2) b. (2; 1) ; (-2; -1) c. (1;2) ; (2;1) d. Bài 2: Tìm m để hệ sau có nghiệm ĐS Mọi giá trị của m Bài 3: Cho hệ a. Giải hệ khi m = 14 b. Tìm m để hệ có nghiệm ĐS a.(2;1); (-2; -1) b. mọi giá trị của m Dạng 5: Hệ không có cấu trúc đặc biệt Loại 1: Phương pháp thế và đặt ẩn phụ Bài 1: Giải hệ Giải: Đặt Với u = 3 và v = 6. Với u = 6 và v = 3 . Bài 2: Giải hệ Giải: Đặt Với u = 2 và v = 7 ta có Với u = 7 và v = 2 ta có Bài 3: Giải hệ Giải: ĐK Đặt Với t = -1 suy ra x = -1 và y = -1 Với t = -1/2 suy ra x = -2 và y = 3/2 Bài 4: Giải các hệ a. (Khối B- 2009) b. c. (Khối B- 2008) d. HD: a. Vì y = 0 không thỏa mãn nên chia (1) cho y và chia (2) cho y2 Đặt Ta có Hệ có các nghiệm (3 ; 1); (1; 1/3) b. Hệ tương đương Đặt Hệ có nghiệm c. Thay (2) vào (1) ta có pt Hệ có nghiệm (-4; 17/4) d. ĐK Đặt u = 3x + y và v = 3x – y ta được Giải (1) ta có u = - 2v và u = 5v + u = - 2v thay vào (2) ta có + u = 5v thay vào (2) ta có Tóm lại hệ phương trình có 4 nghiệm Loại 2 : Sử dụng phương pháp đồng biến, nghịch biến Phương pháp: Nếu hàm số f(t) ĐB (NB) trên (a; b) thì phương trình f(x) = f(y) có nghiệm duy nhất x = y trên (a ;b) Bài 1: Giải hệ Giải: ĐK . Đặt , suy ra hàm đồng biến. Phương trình (1) có nghiệm x = y thay vào (2) ta được Vậy hệ có 3 nghiệm (1 ; 1) và Bài 2: Giải hệ a. DH a. ĐS (1 ; 1) ; b. Ta có nghịch biến ĐS c. ĐS x = y = 3