Chuyên đề 2: Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình đại số

Chuyên đề 2: Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình Và hệ bất phương trình đại số Đ1. Hệ phương trình phương trình đại số Một số dạng hệ phương trình thường gặp Hệ phương trình bậc nhất: Cách tính định thức Hệ phương trình đối xứng loại 1: Hệ không thay đổi khi ta thay x bởi y và ngược lại Hệ phương trình đối xứng loại 2: Nếu đổi vai trò của x và y thì phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2: Xét 2 trường hợp, sau đó đặt x = ty Một số hệ phương trình khác Các ví dụ Ví dụ 1. Một số hệ dạng cơ bản Cho hệ phương trình Giải hệ khi m = 12 Tìm m để hệ có nghiệm Cho hệ phương trình Tìm a để hệ phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt Cho hệ phương trình Tìm m để hệ có nghiệm Cho hệ phương trình Giải hệ khi a = 2 Tìm GTNN của F = xy + 2(x + y) biết (x, y) là nghiệm của hệ Cho hệ phương trình Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất Giải hệ phương trình: Giải hệ phương trình: Giải hệ khi m = 6 Tìm m để hệ có nghiệm Ví dụ 2. Giải hệ phương trình: (KB 2003) HD: TH1 x = y suy ra x = y = 1 TH2 chú ‎ý:‎ x>0, y> 0 suy ra vô nghiệm Ví dụ 3. Giải hệ phương trình: HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt S = 2x + y và P = 2x. y ị Đs: (1, 3) và (3/2, 2) Ví dụ 4. Giải hệ phương trình: HD: từ (2) : - 1 ≤ x, y ≤ 1 hàm số: trên [-1;1] áp dụng vào phương trình (1) Ví dụ 5. CMR hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: HD: ; xét, lập BBT suy ra KQ Ví dụ 6. Giải hệ phương trình: HD Bình phương 2 vế, đói xứng loại 2 Ví dụ 7. xác định a để hệ có nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và đủ ị a = 8 Ví dụ 8. Giải hệ phương trình: HD: Rút ra ; Cô si ; theo (1)ị suy ra x, y Ví dụ 9. (KB 2002) HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung ị (1;1) (3/2;1/2) Ví dụ 10. Tìm a để hệ có nghiệm HD: Từ (1) đặt được hệ dối xứng với u, -v Chỉ ra hệ có nghiệm thì phương trình bậc hai tương ứng có 2 nghiệm trái dấu Bài tập áp dụng KD 2003 HD: tách thành nhân tử ị 4 nghiệm Tìm m để hệ có nghiệm Đặt t = x/y ị Hệ pt có 2 nghiệm Đặt X = x(x + 2) và Y = 2x + y HD: Đổi biến theo v, u từ phương trình (1) HD: Đặt x = 1/z thay vào được hệ y, z ĐS ( - 1/2, 3) (1/3, - 2) (KA 2003) HD: x = y V xy = - 1 CM vô nghiệm bằng cách tách hàm số ị kq: 3 nghiệm xác định a để hệ có nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và đủ HD bình phương 2 vế HD nhân 2 vế của (1) với Đ2. Phương trình và bất phương trình phương trình đại số Một số dạng phương trình và bất phương trình thường gặp Bất phương trình bậc hai Định l‎ý về dấu của tam thức bậc hai Phương pháp hàm số Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối Phương trình, bất phương trình chứa căn thức Một số ví dụ Ví dụ 1. Tìm m để nghiệm đúng với mọi x HD: sử dụng hàm số hoặc tam thức: m ≤ - 2 Ví dụ 2. Tìm a để hệ sau có nghiệm HD: TH1: a + 1 ≤ 0 Hệ vô nghiệm TH2: a + 1>0. Vẽ đồ thị (2) là đường tròn còn (1) là miền gạch chéo: a ≥ - 1/2 Ví dụ 3. Giải các phương trình, bất phương trình sau : x = 0 HD: Tích 2 nhân tử bằng 1 suy ra cách giải KD 2002 Ví dụ 4. Tìm m để hệ sau có nghiệm ĐS: m≥4 Ví dụ 5. Giải bất phương trình HD + / Nhân 2 vế với biểu thức liên hợp của VT + / Biến đổi về BPT tích chú ý ĐK Ví dụ 6. Giải bất phương trình: HD Đặt , AD BĐT cô si suy ra ĐK Ví dụ 7. Giải bất phương trình: HD: + / Xét 2 trường hợp chú y DK x> = - 1 + / Trong trường hợp x ≥ 4, tiến hành nhân và chia cho biểu thức liên hợp ở mẫu ở VT Ví dụ 8. Cho phương trình: . Tìm m để phương trình có nghiệm HD: + / Bình phương 2 vế chú ý ĐK + / Đặt t = tích 2 căn thức, Tìm ĐK của t + / Sử dụng BBT suy ra KQ Ví dụ 9. Giải bất phương trình (KA 2004) : Bài tập áp dụng Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó. ĐS a = - 1 và a = 3 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: HD: Đặt , coi là phương trình bậc hai ẩn t Cho phương trình: Giải phương trình khi m = 6 Tìm m để phương trình có nghiệm Tìm a để với mọi x: ĐS a≥ 4 ; a≤ 0 Chuyên đề 3: Lượng giác Đ1. Phương trình và hệ phương trình lượng giác Một số kiến thức cần nhớ Các công thức biến đổi lượng giác Một số dạng phương trình cơ bản Phương trình bậc 2, bậc 3 theo một hàm số lượng giác Phương trình đẳng cấp bậc nhất với sinx, cosx: asinx + bcosx = c Phương trình đẳng cấp bậc 2 với sinx, cosx: a. sin2x + b. sinx. cosx + c. cos2x + d = 0 Phương trình đẳng cấp bậc 3 với sinx, cosx: a. sin3x + b. sin2x. cosx + c. sinx. cos2x + d. cos3x = 0 a. sin3x + b. sin2x. cosx + c. sinx. cos2x + d. cos3x + m = 0 Phương trình đối xứng với sinx, cosx a: (sinx±cosx) + b. sinx. cosx + c = 0 Phương trình đối xứng với tgx, cotgx Phương trình đối xứng với sin2nx, cos2nx Các ví dụ Ví dụ 1. HD: đặt ĐK x = ± p/3 + k.p Ví dụ 2. HD: Sử dụng công thức hạ bậc ĐS 3 họ nghiệm Ví dụ 3. HD: Nhóm, nhân lên và tách 2 thành 2 nhóm Ví dụ 4. HD: Đặt ĐK rút gọn MS = 1; AD công thức nhân 3; ĐS x = - p/6 + kp Ví dụ 5. HD: Biến đổi theo sin và cos được ĐS x = ±p/3 + kp Ví dụ 6. HD: nhân (1) với (2) rút gọn đặt ; t = 0, Ví dụ 7. HD: BĐ tích thành tổng rút gọn Ví dụ 8. HD: nhân 2 vế với 2. sin(x/2) chú y xet trường hợp bằng 0 NX: Trong bài toán chứa tổng thực hiện rút gọn bằng cách trên Ví dụ 9. HD: BĐ sau đó đặt t = tg(x/2) Ví dụ 10. HD: Đ2. Giá trị lớn nhất nhỏ nhất, phương trình có tham số Một số kiến thức cần nhớ Phương pháp hàm số: Bài toán Max, Min trên 1 khoảng và một đoạn. Phương pháp bất đẳng thức, nhận xét đánh giá. Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm GTLN, GTNN: HD: t = cos2x, tìm Max, Min trên 1 đoạnị M = 8/5 m = 4/3 Ví dụ 2. Cho phương trình: Giải phương trình khi m = 1 Tìm m để phương trình có nghiện thuộc đoạn [0; p/3] HD: t = tgx, ; Lập BBT f(t)ị ĐS: Ví dụ 3. : Tìm GTLN, GTNN: HD: t = cos2x, - 1≤t≤1 tìm Max, Min trên 1 đoạnị ĐS:M = 3, m = 1/27 Ví dụ 4. Tìm GTLN, GTNN: Ví dụ 5. Cho phương trình: Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiện thuộc đoạn [0; p/2] ĐS: [ -10/3; -2] Ví dụ 6. Cho phương trình Giải phương trình khi a = 1/3 Tìm a để phương trình có nghiệm HD: Đưa về dạng: (2 - a) sinx + (2a + 1) cosx = 3a + 1 ĐS [ -1/2, 2] Ví dụ 7. Tìm nghiệm của pt sau trong khoảng (0, p) : Bài tập áp dụng HD: Chú ý ĐK ị ĐS: x = - p/4 + kp/2 Một số đề thi từ năm 2002 Tìm nghiệm thuộc khoảng của phương trình KA 2002 Giải phương trình (DB 2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng của phương trình KB 2003 Tìm x nghiệm đúng thuộc khoảng của phương trình KB 2003 Xác định m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn (DB 2002) Giải phương trình (DB 2002) Giải phương trình (DB 2002) Cho phương trình Giải phương trình (2) khi Tìm a để phương trình có nghiệm Giải phương trình (DB 2002) Giải phương trình (KA 2003) Giải phương trình (DBKA 2003) Giải phương trình (DBKA 2003) Giải phương trình (DBKB 2003) Giải phương trình (DBKB 2003) Giải phương trình (KD 2003) Giải phương trình (DBKD 2003) Giải phương trình (DBKD 2003) Giải phương trình (KB 2004) Giải phương trình (KB 2004) Chuyên đề 4: Mũ & Lôgarit Đ1. Phương trình và hệ phương trình Mũ lôgarit Một số kiến thức cần nhớ Các công thức về mũ và lôgarit. Giới thiệu một số phương trình cơ bản. Khi giải phương trình về logarit chú ‎ ĐK. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho phương trình: Giải phương trình khi m = 2 Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc HD: m ẻ[0;2] Ví dụ 2. đs (4, 4) Ví dụ 3. HD: ĐK x>0 Và x≠1; ĐS x = 2, Ví dụ 4. HD: Đổi cơ số ị ĐS: x = 1 và x = 15 Ví dụ 5. Ví dụ 6. HD: ĐK x> - 1 TH1: - 1<x ≤ 0 phương trình vn TH2: x>0, đặt y = log3(x + 1) Suy ra Ví dụ 7. HD: VP ≤ 1 với x>0, BBT VT ≥ 1 ; Côsi trong lôgagrit ị ĐS x = 1 Ví dụ 8. ĐS (0, 1) (2, 4) Ví dụ 9. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc [32, + Ơ) : HD: t > = 5; Ví dụ 10. HD ĐK x, y>0 và khác 1; BĐ (1) được TH1: y = x thay vào (2) có nghiệm TH2: thay vào (2) CM vô nghiệm chia thành 2 miền y>1 và 0<y<1 Đ2. Bất phương trình và hệ bất phương trình Mũ lôgarit Một số kiến thức cần nhớ Giới thiệu một số bất phương trình về mũ và logarit Chú ‎y ĐK Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm k để hệ phương trình sau có nghiệm: HD: ĐK x>1; Giải (2) 1 - 5 Ví dụ 2. Ví dụ 3. HD: Lấy logarit 2 vế theo cơ số 2 Ví dụ 4. Ví dụ 5. Ví dụ 6. HD: Đặt t = log x , coi BPT đã cho là Bpt bậc 2 ẩn t; Chú ý so sánh 2 trường hợp t1, t2 ĐS (0;2] v (x≥ 4) Ví dụ 7. Giải bất phương trình Ví dụ 8. Giải bất phương trình: Ví dụ 9. Giải bất phương trình: Bài tập áp dụng ĐK x, y≥ 1 ị ĐS: (1, 1) (9, 3) KA 2004 ĐS: (3; 4) ĐS x = log23 Tìm a để hệ sau có nghiệm: HD: a>3/2 Giải phương trình Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng (0;1) Chuyên đề 5. Tích phân xác định và ứng dụng Đ1. Phương pháp tính tích phân I. Tích phân các hàm số hữu tỉ Ví dụ : Tính các tích phân sau Bài tập (CĐSP HN 2000): (ĐHNL TPHCM 1995) (ĐHKT TPHCM 1994) (ĐHNT HN 2000) (ĐHSP TPHCM 2000) (ĐHXD HN 2000) (ĐH MĐC 1995 ) (ĐHQG HN 1995). Xác định các hằng số A,B,C để Tính (ĐHTM 1995) (ĐH Thái Nguyên 1997) Xác định các hằng số A,B để Tính Cho hàm số Định các hệ số A,B,C,D,E sao cho Tính II Tích phân các hàm số lượng giác Ví dụ : Tính các tích phân sau Bài tập (ĐHQG TPHCM 1998) Tính : (ĐHSP TPHCM 1995) Cho Tìm A,B sao cho Tính (ĐHGTVT TPHCM 1999) CMR Tính (ĐHTS 1999) Tính : (ĐHTM HN 1995) Tính (HVKTQS 1999):Tính (ĐHNN1 HN Khối B 1998) (ĐHQGHN Khối A 1997) (ĐHNN1 HN 1998) Tính (ĐHQG TPHCM 1998) (HVNH TPHCM 2000) (ĐHBK HN 1999) Cho hàm số Tìm A,B để Tính (ĐHBK HN 1998) (HVNH TPHCM 2000) III. Tích phân các hàm số vô tỉ Ví dụ : Tính các tích phân sau : Bài tập (HVNH THCM 2000) (ĐH BKHN 1995) (HVKTQS 1998) (ĐHAN 1999) (ĐHQG HN 1998) (ĐHSP2 HN 2000) (ĐHXD HN 1996) (ĐHTM 1997) (ĐHQG TPHCM 1998) IV. Một số dạng tích phân đặc biệt Ví dụ1 :Tính các tích phân sau : Ví dụ2 :Tính các tích phân sau Ví dụ 3 :Tính các tích phân sau Bài tập (ĐHPCCC 2000) Tính (ĐHGT 2000 )Tính (ĐHQG HN 1994) Tính (ĐHNT TPHCM 1994)Tính (HVBCVTHN 1999)Tính Đ2. ứng dụng của tích phân xác định Một số kiến thức cần nhớ Nội dung các bài toán về diện tích hình phẳng: 3 bài toán cơ bản. Bài toán về thể tích tròn xoay. Các ví dụ Bài 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục ox của hình phẳng giới hạn bởi trục ox và đường . Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: . Bài 3. Tính diện tíc hình phẳng giới hạn bởi các đường: . Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) y2 = 16x và các tiếp tuyến tại A(1;4) B(4; - 8). Bài 1 Diện tích phẳng (ĐHBKHN 2000): Tính diện tích giới hạn bởi (ĐHTCKT 2000): Tính diện tích giới hạn bởi (HVBCVT 2000) Tính diện tích giới hạn bởi (HVBCVT 1997) Tính diện tích giới hạn bởi (ĐHTM 1996) Tính diện tích giới hạn bởi (ĐHKT 1994) Tính diện tích giới hạn bởi (ĐHCĐ 1999) Tính diện tích giới hạn bởi (ĐHSP1 HN 2000) Tính diện tích giới hạn bởi (ĐHKTQD 1996) Tính diện tích giới hạn bởi hình phía dưới (P) : y=ax2 (a>0) và trên y=ax+2a Tính diện tích giới hạn bởi và 2 tiếp tuyến tại các điểm A(0;-3) và B(3;0) (ĐH Huế 1999) Tính diện tích giới hạn bởi Tính diện tích giới hạn bởi (HVQY 1997) Tính diện tích giới hạn bởi và tiếp tuyến với đường cong (C) tại điểm có hoành độ x=2 (ĐHKT 2000) Tính diện tích giới hạn bởi (C ) và Ox, hai đường thẳng có phương trình x=1; x=-1 *****Một số bài tham khảo************ Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị trục Ox và đường thẳng có phương trình x=2 Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị trục Ox và 2 đường thẳng có phương trình x=1 và x=3 Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị trục Ox và đường thẳng có phương trình x=2, y=x Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị và đường thẳng có phương trình y=2x-2 Tính diện tích S giới hạn bởi đồ thị Bài 2 Thể tích của các vật thể (ĐHNN1 HN 1997): Cho hình phẳng giới hạn bởi Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi D Tính thể tích vật thể tròn xoay khi D quay quanh Ox Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay quanh Ox của hình giới hạn bởi trục Ox và (P) y=x2-ax (a>0) (ĐHXD 1997) Tính thể tích của vật thể tròn xoaydo hình phẳng (ĐHY 1999) Tính thể tích hình tròn xoay sinh ra bởi khi nó quay quanh Ox (ĐHTS TPHCM 2000): Cho hình phẳng G giới hạn bởi y= 4-x2; y=x2+2 .Quay hình phẳng (G) quanh Ox ta được một vật thể. Tính thể tích vật thể này (HVQY 1997): Cho hình phẳng giới hạn bởi Tính thể tích vật thể tròn xoay khi D quay quanh trục Ox (HVKTQS 1995) Tính thể tích do D quay quanh Ox Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay quanh Ox của hình phẳng S giới hạn bởi các đường y=x.ex , x=1 , y=0 (0≤ x ≤ 1 ) (ĐHXD 1998) Tính thể tích vật thể tạo bởi hình quay quanh trục Oy (ĐHNN1 1999): Cho hình phẳng giới hạn bởi Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi D Tính thể tích vật tròn xoay khi D quay quanh Ox (ĐHKT 1996) : Cho hình phẳng giới hạn bởi Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi D Tính thể tích vật tròn xoay khi D quay quanh Ox (ĐHPCCC 2000): Cho hàm số Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ 0(0,0) đến (C) Tính thể tích giới hạn bởi (C) quay quanh Ox Cho miền (H) giới hạn bởi đường cong y=sinx và đoạn 0≤ x ≤ p của trục Ox . Tính thể tích khối tròn xoay khi (H) quay quanh Trục Ox Trục Oy Chuyên đề 6: Đại số tổ hợp - Nhị thức newtơn Đ1. Một số Bài toán áp dụng quy tắc nhân, cộng, hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp Một số kiến thức cần nhớ Các ví dụ Bài 1. Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có 4 chữ số khác nhau. Bài 2. Đội tuyển học sinh giỏi của trường gồm 18 em. Trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh được chọn. Bài 3. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số cuối một đơn vị. Bài 4. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3. ĐS 192 Bài 5. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng của các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8. Bài 6. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ số 1 và 5. Bài 7. Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 ngưới, biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ. Bài 8. Một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 học sinh trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy. Bài 9. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và nhỏ hơn 2158. Bài 10. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyên đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho môĩ tỉnh có 4 nam và 1 nữ. Đ2. Các bài toán nhị thức, phương trình bất phương trình Hoán vị, tổ hợp & chỉnh hợp Một số kiến thức cần nhớ Các ví dụ Biết rằng CMR: a2 < a3 . Với giá trị nào của k thì ak< ak + 1 (0≤k≤99) Tìm k thuộc {0, 1, …. 2005} sao cho: đặt GTLN. Tìm số nguyên n>1 thoả mãn đẳng thức: . Tính giá trị của biểu thưc n là số nguyên dương Biết rằng: Tìm hệ số của x7 trong khai triển thành đa thức của (2 - 3x) 2n. Giả sử và . Tìm n và số lớn nhất trong các số: Giải bất phương trình với 2 ẩn n, k thuộc N (TNPT 2003 - 2004) Giải hệ phương trình (TNPT 2002 - 2003) Giải bất phương trình Tìm số n nguyên dương thoả mãn bất phương trình ĐS: n = 4, n = 3 Giả sử n là số nguyên dương và Biết rằng k nguyên (0<k<n) sao cho Tính n? ĐS: n = 10 Giả sử n là số nguyên dương và . Hãy tính hệ số a5 ĐS 672 Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức. Biết: ĐS: 495 Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức . Tìm số tự nhiên n thoả mãn:. Tìm số tự nhiên n biết (KA 2005) .