Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-Ta-go”

Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go” 1 Pythagore sinh vào khoảng năm 580 TCN tại Samos-Hi lạp. Ông nghiên cứu nhiều môn khoa học như Triết học, Khoa học tự nhiên, Âm nhạc và đặc biệt là Toán học. Trong toán học ông đặc biệt thích thú với môn Hình học. Định lý Pythagore có một vị trí đặc sắc trong Hình học và đời sống, không những nó có nhiều ứng dụng cụ thể trong Toán học, trong các môn khoa học khác, trong thực tế mà ngay việc khai thác các bài toán xung quanh định lý này cũng đóng gúp cho Toán học nói chung nhiều kết quả quan trọng. Tuy định lý mang tên ông , nhưng trước đó 2 ngàn năm người Trung Quốc và người Ấn Độ cũng đó phỏt hiện ra nú và đó ứng dụng vào việc đo đạc, nhất là khi xây cất các lâu đài, đỡnh chựa, miếu mạo. Thời đó, người ta chứng minh định lý Pythagore bằng cách ghép hình. Đến nay, người ta đó sưu tập được khoảng 367 cách chứng minh. Trong chuyên đề này tôi xin đưa ra 20 cách chứng minh chủ yếu tập chung vào hai cách là ghép hình và suy luận toán học, giới hạn trong chương trình Toán THCS. Vu iho c24 h.v n Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go” 2 20 CÁCH CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ PY-TA-GO A. GHẫP HèNH Cách 1. bcb a M P N A D E BC Xếp các tam giác vuông bằng nhau như hình vẽ Ta có: SBCDE = SAMPN + 4.SABC => a2 = ( c – b )2 + 4. bc/2 a2 = c2 – 2.bc + b2 + 2.bc a2 = c2 + b2. Cách 2. b b ac Q P C B E F D A Xếp các tam giác vuông bằng nhau như hình vẽ Ta có: SADEF = SBCPQ + 4.SABC => ( b + c )2 = a2 + 4. bc/2 b2 + 2.bc + c2 = a2 + 2.bc b2 + c2 = a2 Vu iho c24 h.v n Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go” 3 a b c b a c E D C B A Cách 3. a b b c H G FE Q P C B D M N A Xếp các tam giác vuông bằng nhau như hình vẽ Ta có: SBCPQ = SEFGH + 4.SABC => a2 = ( c – b )2 + 4.bc/2 (1) Mặt khác: SADMN = SBCPQ + 4.SABC => SBCPQ = SADMN – 4.SABC a2 = ( b + c )2 – 4.bc/2 (2) Cộng (1) và (2) ta được: 2a2 = ( c – b )2 + ( b + c )2 = 2b2 + 2c2 a2 = b2 + c2 Cách 4. Xếp các tam giác vuông bằng nhau như hình vẽ Ta có: ABED là hình thang vuông, BCE là tam giác vuông cân. SABED = 2.SABC + SBCE => 22 ..2 2 )).(( 2acbcbcb   ( b + c)2 = 2.bc + a2 b2 + 2.bc + c2 = a2 + 2.bc b2 + c2 = a2 Vu iho c 4 h.v n Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go” 4 Cách 5. b a a c a a c b b c H FE D C BA Xếp các tam giác vuông bằng tam giác ABC như hình vẽ => BDEF là hình thang => SBDEF = 1/2.( 2b + 2c ). ( b + c ) = ( b + c )2 (1) SECF + SBCD + SECD + SBCF = 222 .2 2 .2 22 aabccb  = 2bc + a2 (2) Từ (1) và (2) => ( b + c )2 = 2bc + a2 b2 + c2 = a2 Vu iho c24 h.v n Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go” 5 b c x c2 b2 a a-x F H E D C B A B. DỰNG HÌNH-SUY LUẬN Cách 6. H C B A Kẻ AH vuông góc với BC. Ta có các tam giác vuông ABC, HAC, HBA đồng dạng => AB2 = BC.BH Và AC2 = BC.HC => AB2 + AC2 = BC.( BH + HC ) = BC2 Cách 7. Dựng hình vuông BCDE. Kẻ AH vuông góc với BC, cắt DE tại F. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: c2 = a.x b2 = ( a – x ).x Mặt khác: SBHFE = BH.BE = x.a = c2 SCDFH = CH.CD = ( a – x ).a = b2 => SBHFE + SCDFH = c2 + b2 SBCDE = c2 + b2 a2 = c2 + b2 Vu iho 24h .vn Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go” 6 Cách 8. Qua B dung đường thẳng vuôn góc với BC cắt AC ở C’ Dựng các hình bình hành ABCB’, BC’CA’ =>ABC = AB’C SAB’C + SABC’ = SBCC’ = SBCA’ AB.AC + AB.AC’ = BC.CA’ (*) Ta có: AC’ = AC AB2 Và  CA’B ~ ABC => CA’.CA = BA.BC => CA’ = CA BCBA. Thay vào (*) được: AB.AC + AB. AC AB2 = BC. CA BCBA. AC + AC AB2 = CA BC 2 AC2 + AB2 = BC2 B' A' C' C B A Vu iho c24 h.v n Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go” 7 Cách 9. c a b a-ca AB E D C Vẽ đường tròn ( B; a ). Gọi DE là đường kính qua B. Ta có : AE = a – c ; BD = BC = a; AD = a + c Tam giác CDE vuông ở C => AC2 = AD.AE b2 = ( a + c ).( a – c ) b2 = a2 – c2 b2 + c2 = a2 Cách 10. A C D B Kẻ đường thẳng qua B vuông góc với BC cắt AC ở D. Ta có: SABD + SABC = SBDC AB.AD + AB.AC = BD.BC ( * ) Do AB2 = AD.AC => AD = AB2/AC ABD và BDC đồng dạng => AB.DC = BD.BC => BD = AB.DC/BC Thay vào (*) ta được: AB. (AB2/AC) + AB.AC = BC. (AB.DC/BC) AB2/AC + AC = DC AB2 + AC2 = DC.AC = BC2 Vu iho c24 h.v n Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go” 8 c b b a b E D C B A Cách 11. c a b b a c FE D C B A Dựng tam giác EDF = tam giác ABC ( hình vẽ ) Ta có: CAF ~ DEF => c b c bb DE EFCAAF EF AF DE CA 2..  => BF = BA + AF = c + c b2 SBDF = 2 . 2 . BFDEDFBC  a.a = c.( c + c b2 ) a2 = c2 + b2 Cách 12. Trên BC lấy D, E sao cho: CD = CE = CA = b =>  ADE vuông ở A ( vì có AC = DE/2, CD = CE ) Ta có:  BAD ~ BEA ( g.g ) (Vì có góc B chung, và góc BAD = góc EAC = E) 222 222 )).(( abc bababac c ba ba c BA BD BE BA       Vu iho c24 h.v n Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go” 9 c b a c b G E FD C B A rr rr r I a c-r b-r b-r c-r F E D C B A Cách 13. Vẽ đường tròn (C;b) cắt BC ở D, E Vẽ đường tròn (B;c) cắt BC ở G, F Ta có: BA là tiếp tuyến, BDE là cát tuyến với đường tròn (C) => BA2 = BD.BE c2 = ( a – b ).( a + b ) = a2 – b2 c2 + b2 = a2 Cách 14. Gọi (I;r) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các canh AB, BC, CA tại D, E, F. Dễ c/m ADIF là hình vuông => AD = AF = r Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: BD = BE = c – r CE = CF = b – r => BC = a = c – r + b – r = c + b – 2r => 2r = b + c – a => r = p – a ( p là nửa chu vi tam giác ABC ) => SABC = p.r = p.(p – a) Mặt khác: SABC = 1/2.b.c => p.(p – a ) = 1/2.bc 22 . 2 bcacbcba   ( b + c )2 – a2 = 2bc b2 + c2 = a2 Vu iho c24 h.v n Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go” 10 Cách 15. EF D CB A Trên AC lấy F sao cho CF = CB Gọi D, E là trung điểm của BF, AF => CD BF, DE AF  BFA ~CD2E ( g.g) => (*).. AFCEDEAB DE AF CE AB  Ta có: AF = CF – AC = CB – CA CE = CA + AE = AC + AF/2 = AC + 22 BCACCACB    DE = AB/2 ( t/c đường trung bình ) Thay vào (*) ta được: 222 222 ).( 2 )( 2 . BCACAB ACBCAB ACBCBCACABAB      Vu iho c24 h.v n Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go” 11 Cách 16. b c a b b b H D L E C B A Vẽ đường tròn ( A; b ) cắt AB ở D; H, cắt BC ở E. Kẻ AL EC Có: BD.BH = BE.BC  ( c – b ).(c + b ) = a.( a – 2 CL ) (*) Mà AC2 = CL.CB => CL = AC2/BC = b2/a. Thay vào (*) được: c2 – b2 = a.( a – 2.b2/a ) = a2 – 2b2 c2 + b2 = a2 Cách 17. c ba a c c-b a c-b bK F E C B A Dựng tam giác vuông AEK = tam giác ABC như hình vẽ. Dựng hình bình hành BKEF => BK = EF = c – b; BF = EK = a Vu iho c24 h.v n Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go” 12 a c b R N M Q P M CB A Và SBKEF = BK.AE = c.( c – b ) Ta có: 090ˆˆˆˆˆ  EKAAEKFBAABCFBC SBCEF = SABC + SAKE + SBKEF = b.c + c.( c – b ) (1) Mặt khác: SBCEF = SBCF + SCEF = a2/2 + (c – b ).( c + b ) /2 (2) Từ (1) và (2) => b.c + c.( c – b ) = a2/2 + (c – b ).( c + b ) /2 b.c + c2 – b.c = 22 222 bca   2.c2 = a2 + c2 – b2 c2 + b2 = a2 Cách 18. Dựng các hình vuông ABNP; ACMQ  ABC =  APQ ( c.g.c) => PQ = BC = a Gọi M là trung điểm BC; MA cắt PQ ở R Dễ c/m MA PQ tại R Do khoảng cách từ M đến AP = AB/2 = c/2 => SAMP = 1/2.c.c/2 = c2/4 Mặt khác: SAMP = 1/2.AM.PR = PR.a/4 Tương tự: SAMQ = b2/4 và SAMQ = QR.a/4 => 222 222 44 ).( 4 . 4 . 44 abc aQRPRaaQRaPRbc     Vu iho c24 h.v n Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go” 13 Cách 19. O J K I G F E D CB A Dựng các hình vuông ABGF, ACDE, BCIJ. Dựng tam giác vuông KIJ = tam giác vuông ABC ( hình vẽ ) Dễ c/m G, A, D thẳng hàng và GA là phân giác góc G A, O, K thẳng hàng và AK là phân giác góc A Các hình ABIK, ACJK, BGDC, FGDE có diện tích bằng nhau (1) Ta có: SABC = SKJI = SAFE = S (2) Từ (1) và (2) => SABIK + SACJK = SBGDC + SFGDE SBCJI + 2.S = SABGF + SACDE + 2.S BC2 = AB2 + AC2 Vu iho c24 h.v n Chuyên đề “20 cách chứng minh định lý Py-ta-go” 14 Cách 20. M K L D B K H A C F G Dựng các hình vuông ABKH, ACFG, BCKD =>  CBF =  CKA ( c.g.c) Kẻ AM vuông góc với BC cắt DK tại L Ta có: SCBF = 1/2. SACFG ( chung cạnh CF và chung đường cao) SCKA = 1/2. SCKLM ( chung cạnh CK và chung đường cao ) => SCKLM = SACFG (1) Tương tự: SABKH = SBDLM (2) Từ (1) và (2) => SACFG + SABKH = SCKLM + SBDLM = SBCKD AC2 + AB2 = BC2. Vu iho c24 h.v n