Chuyên đề 4 : Hàm số và đồ thị

Chuyên đề 4. hàm số và đồ thị *********************** I . Các dạng bài tập và kiến thức cơ bản: Dạng 1: Điểm thuộc đường - đường đi qua một điểm. Nếu một điểm thuộc một đường thì toạ độ của điểm đó phải thoả mãn công thức của hàm số. Dạng 2: Xét vị trí tương đối của hai đồ thị hàm số. * Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Cho hai hàm số: y = f(x) = ax + b (d) : y = g(x) = a’x + b’ (d’) Ta có các trường hợp sau: d // d’ Û a = a’ và b b’; d X d’ Û a a’; d d’ Û a = a’ và b = b’. * Vị trí tương đối của Parabol với đường thẳng: Cho hai hàm số: y = f(x) = ax2 (P) và y = g(x) = ax + b (d’) Ta có hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của pt: f(x) - g(x) = 0 (1) (Đây là phương trình bậc hai) Nếu phương trình (1) vô nghiệm Û (P) và (d) không có điểm chung Nếu phương trình (1) có nghiệm kép Û (P) và (d) tiếp xúc (hay d là tiếp tuyến của Parabol P ). Nếu PT(1) có hai nghiệm phân biệt Û (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt . Dạng 3: Bài toán về lập phương trình đường thẳng. Gọi phương trình đường thẳng cần lập là y = ax + b (d) Dùng điều kiện của bài cho để tìm a và b. Dạng 4: Bài toán về chứng minh đồ thị đi qua một điểm cố định. Û Ví dụ: Chứng minh đường thẳng y = ax - a + 4 (d) đi qua một điểm cố định a. { { Lời giải: Gọi (x0 ; y 0 ) là điểm cố định mà (d) luôn đi qua a ta có y0 = ax 0 - a + 4 (x0 - 1) + 4 – y0 = 0 nghiệm đúng a khi: Û x 0- 1 = 0 x0 = 1 4 – y0 = 0 y0 = 4. Vậy đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định (1 ; 4) a II. Các bài tập: Bài1: Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A( -2; 2) và đường thẳng (d): y = - 2(x + 1) a) Giải thích vì sao A nằm trên (d) b) Tìm a trong hàm số y = ax2 có đồ thị ( P ) đi qua A Bài2: Trong cùng một mặt phẳng toạ độ cho Parabol (P) y = x2 và đường thẳng (d): y = 2x + m Tìm m để a) (P) và (d) không có điểm chung b) (P) tiếp xúc với (d) c) (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt . Bài3: Cho đường thẳng (d1) và (d2) lần lượt có phương trình (d1): y = ax + và (d2): y = bx + a) Xác định a và b để đường thẳng (d1)và (d2) cùng đi qua điểm A(1; 2) b) Với a, b vừa tìm được ở câu a, gọi giao điểm của (d1) và (d2) với trục tung lần lượt là B,C hãy tìm toạ độ của B và C. c) Hãy xác định a và b để đường thẳng (d1)và (d2) cắt nhau tại một điểm (0; 5) *Chú ý: Đồ thị hàm số y = ax + b luôn cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b Bài 4: CMR đường thẳng y = mx + m - 2 luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi giá trị của m. Tìm toạ độ điểm đó. Bài 5:Trên mặt phẳng toạ độ xOy ta xét Parabol( P) và đường thẳng(d)lần lượt có PT: ( Trích đề thi năm 1999) (P) : y = 2x2 và (d) : y = ax + 2 - a Chứng minh rằng với mọi giá trị của a thì Parabol( P) và đường thẳng (d) có một điểm chung cố định. Tìm toạ độ điểm chung đó. Bài 6: Cho hai đường thẳng (d1) và (d2) lần lượt có phương trình: (d1): y = 3x - 2 và (d2): y = x + m Hãy tìm m để 2 đường thẳng (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm nằm trên Parabol (P): y = x2. Bài 7: Trong cùng một hệ trục toạ độ cho Parabol (P) y = x2 và đường thẳng (d) y = mx - 2m + 1 a) Tìm m sao cho (d) tiếp xúc với (P) tìm toạ độ tiếp điểm b) Chứng tỏ (d) luôn đi qua một điểm cố định A ẻ(P) Bài 8: Xác định các giá trị của tham số k để 3 đường thẳng sau đồng quy tại một điểm (I): x +6y = 0 (II): ( 1 - k) x + ky = 1 + k (III): 6x + 7y = - 6 Bài 9: Cho Parabol (P) y = - x2 . Viết phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) và đi qua điểm A( - 1 ; 1) Bài 10: Cho các hàm số : (d): y = mx + 2n + 3 và (d’): y = nx + 2m a) Tìm m, n biết (d) và (d’) cùng đi qua A(1; 1). b) Vẽ đồ thị hai hàm số trên với m và n vừa tìm được ở câu a) và tìm toạ độ giao điểm B và C của hai đồ thị hàm số trên với trục hoành. c) Tính chu vi, diện tích và các góc của tam giác ABC. Bài 11: Cho các hàm số : (d): y = mx + 1 ; (d’): y = 2x + 3 và (P): y = x2 a) Tìm m để (d) và (P) tiếp xúc nhau. Tìm tọa độ tiếp điểm đó. b) Tìm m để (d); (d’) và (P) đồng qui. c) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm đối xứng nhau qua trục tung. Bài 12: Cho các hàm số : (d): y = 2mx - m + 1 và (P): y = 4x2. Chứng minh rằng (d) và (P) luôn có một điểm chung cố định với mọi m. Bài 13: Lập phương trình đường thẳng (d) biết: a) Đường thẳng đó đi qua điểm A(0; -1) và tiếp xúc với Parabol (P): y = x2. b) Đường thẳng đó đi qua điểm A(2; 1) và vuông góc với đường thẳng (d’): x - y = 1. c) Đường thẳng đó đi qua điểm A(1; 1) và cắt (P): y = x2 tại điểm có tung độ bằng 4. Bài 14: Cho hàm số y=x2 có đồ thị (P) và hai điểm A,B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1 và 2. a) Viết phương trình đường thẳng AB. b) Vẽ đồ thị (P) và tìm toạ độ của điểm M thuộc cung AB của đồ thị (P) sao cho tam giác MAB có diện tích max. Bài 15. Cho Parabol (P): y=(1/4)x2 và đường thẳng (d): y= (1/2)x +2. a) Vẽ (P), (d) trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy. b) Gọi A,B là giao điểm của (P),(d). Tìm điểm M trên cung AB của (P) sao cho diện tích tam giác MAB max. c) tìm điểm N trên trục hoành sao cho NA+NB ngắn nhất. Bài 16. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A( - 1; 2), B(2; 3) và C(m; 0). Tìm m sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất. Bài 17. Cho x2 +y2 =1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = (2-x)(2-y) Bài 18. Tìm Max & Min của biểu thức y= Bài 19. Giải phương trình x4+16x+8=0