Chuyên đề Bài tập hình học lớp 10

CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 10 ( cĩ sử dụng tài liệu từ các nguồn khác). BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG 1 CHƢƠNG I - ĐẠI CƢƠNG VỀ VÉCTƠ A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT  Vectơ là đoạn thẳng có dịnh hướng Ký hiệu : AB ;CD hoặc a ;b  Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối : Ký hiệu 0  Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau  Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng  Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ  Định nghĩa: Cho AB a ; BC b . Khi đó AC a b   Tính chất : * Giao hoán : a b = b a * Kết hợp ( a b ) + c = (a b + c ) * Tín h chất vectơ –không a +0 = a  Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB + BC = AC  Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC  Quy tắc về hiệu vec tơ : Cho O , B ,C tùy ý ta có : CBOCOB  TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ  Cho kR , k a là 1 vectơ được xác định: * Nếu k  0 thì k a cùng hướng với a ; k < 0 thì k a ngược hướng với a * Độ dài vectơ k a bằng k .a   Tính chất : a) k(m a ) = (km) a b) (k + m) a = k a + m a c) k( a + b ) = k a + kb d) k a = 0  k = 0 hoặc a = 0  b cùng phương a ( a 0 ) khi và chỉ khi có số k thỏa b =k a  Điều kiện cần và đủ để A , B , C thẳng hàng là có số k sao cho AB =k AC  Cho b không cùngphương a ,  x luôn được biểu diễn x = m a + nb ( m, n duy nhất ) CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 10 ( cĩ sử dụng tài liệu từ các nguồn khác). BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG 2 I - CÁC BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN VÉCTƠ 1) Rút gọn các biểu thức sau: a)OM – ON + AD + MD + EK – EP – MD AB MN CB PQ CA NM     2) Chứng minh rằng a) AB + CD = AD + CB b) AC + BD = AD + BC c) AB + CD + EA = ED + CB d) AD + BE + CF = AE + BF + CD = AE + BD + CE e) AB + CD + EF + GA = CB + ED + GF 3) Chohình bình hành ABCD tâm O. CMR : AO BO CO DO O    , Với I bất kì 4IA IB IC ID IO    4) Cho tam gi c C a iểm M N v P n t trung iểm C C CMR: MN BP ; MA PN . 5) Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Chứng minh : ;MN QP NP MQ  6) Cho tam giác ABC có trực tâm H và O tâm là đường tròn ngoại tiếp . Gọi B’ là điểm đối xứng B qua O . Chứng minh : CBAH ' . 7) Cho hình bình hành ABCD . Dựng BCPQDCNPDAMNBAAM  ,,, . Chứng minh OAQ  8) Cho 4 iểm bất M N P Q Chứng minh c c ng thức sau: a. PQ NP MN MQ   ; c) NP MN QP MQ   ; b. MN PQ MQ PN   ; 9) Cho ng gi c C Chứng minh rằng: a. 0AD BA BC ED EC     ; b. AD BC EC BD AE    10) Cho 6 iểm M N P Q R S Chứng minh: a) PNMQPQMN  . b) RQNPMSRSNQMP  . 11) Cho 7 điểm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Chứng minh rằng : a. AB + CD + EA = CB + ED b. AD + BE + CF = AE + BF + CD c. AB + CD + EF + GA = CB + ED + GF d. AB - AF + CD - CB + EF - ED = 0 12) Cho h nh b nh h nh C c t m O CMR: 0OA OB OC OD    . thức trung iểm Cho 2 iểm v 13) Cho M trung iểm CMR với iểm bất : 2IA IB IM  . 14) Với N sao cho 2NA NB  CMR với bất : 2 3IA IB IN  15) Với P sao cho 3PA PB CMR với bất : 3 2IA IB IP   16) thức trọng t m Cho tam gi c C c trọng t m : CMR: 0GA GB GC   Với bất : 3IA IB IC IG   . CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 10 ( cĩ sử dụng tài liệu từ các nguồn khác). BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG 3 M thu c o n v M 1 4 GA . CMR 2 0MA MB MC   17) thức h nh b nh h nh Cho h nh b nh h nh C t m O CMR: a) 0OA OB OC OD    ; b với bất : 4IA IB IC ID IO    . 18) Gọi G là trọng tâm tam gi c C chứng minh rằng : a) 0GA GB GC   b)  1 3 AG AB AC  19) Gọi ’ n t à trọng tâm của tam giác ABC và ’ ’C’ a Chứng minh rằng : AA' ' ' 3 'BB CC GG   b)Gọi M,N,P là các iểm thoả: 1 1 1 , , 3 3 3 MA MB NB NC PC PA   Chứng minh rằng các tam giác ABC và tam giác MNP cĩ cùng trọng tâm 20) Cho hình bình hành C v m t iểm M tùy ý Chứng minh rằng : MA MC MB MD   21) Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ EH và FG bằng Chứng minh rằng CDGH là hình bình hành 22) Cho tam giác ABC n i tiếp trong ờng trịn O à trực tâm của tam giác a)Gọi D là iểm ối xứng của A qua tâm O Chứng minh rằng C b)Gọi K là trung iểm của AH và I là trung iểm của C chứng minh OK = IH 23) Cho h nh b nh h nh C ọi v F n t trung iểm của hai c nh v C Đ ờng chéo B n t cắt F v C t i M v N chứng minh rằng : DM = MN = NB 24) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Dựng AD = GC và DE = GB Chứng minh rằng 0 25) Từ iểm nằm ngo i ờng trịn O ta ẻ 2 tiếp tuyến v C với O ọi giao iểm của O v C Trên ờng trung trực của o n ấy 1 iểm M Từ M ẻ tiếp tuyến M với O Chứng minh rằng : |MA| = | MF | 26) Cho tam gi c C ên ngo i của tam gi c ta vẽ c c h nh b nh h nh J CPQ C RS Chứng minh rằng : 0RJ IQ PS   27) Cho tam gi c C c trung tuyến M Trên c nh C ấy hai iểm v F sao cho F FC ọi N giao iểm của M v Tính tổng AFAE AN MN   28) Cho h nh b nh h nh C Trên ờng chéo C ấy iểm O Qua O ẻ c c ờng th ng song song với c c c nh của h nh b nh h nh cắt v C t i M v N cắt v C t i v F Chứng minh rằng : a) OA OC OB OD   b) BD ME FN  29) Cho tam gi c ều n i tiếp ờng trịn t m O a ãy x c ịnh c c iểm M N P sao cho: OM = OA + OB ; ON = OB + OC ; OP = OC + OA b)Chứng minh rằng OA + OB + OC = 0 30) Cho tam giác ABC. Gọi ’ à iểm ối xứng với qua ; ’ à iểm ối xứng với C qua ;C’ à iểm ối xứng với A qua C . Chứng minh rằng với m t iểm O bất kỳ ta cĩ : ' ' 'OA OB OC OA OB OC     31) Cho n iểm trên mặt ph ng n An ký hi u chúng là A1, A2 … n. B n Bình ký hi u chúng là B1, B2 … n. CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 10 ( cĩ sử dụng tài liệu từ các nguồn khác). BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG 4 32) Chứng minh rằng : A1B1 + A2B2 +...+ AnBn = 0 33) Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O Chứng minh : OOEODOCOBOA  34) Cho lục giác đều ABCDEF có tâm là O . CMR : a) OA + OB + OC + OD + OE + OF = 0 b) OA + OC + OE = 0 c) AB + AO + AF = AD d) MA + MC+ ME = MB+ MD + MF ( M tùy ý ). 35) Cho tam giác ABC ; vẽ bên ngoài các hình bình hành ABIF ; BCPQ ; CARS Chứng minh rằng : RF + IQ + PS = 0 36) cho tứ gi c C ọi J n t trung iểm C v ọi trung iểm J CMR: 0EA EB EC ED    . 37) Cho tam gi c C với M N P trung iểm C C CMR: a) 0AN BP CM   ; b) AN AM AP  ; c) 0AM BN CP   . 38) Cho h nh thang C y ớn C y nh gọi trung iểm CMR: EA EB EC ED DA BC     . 39) Cho 6 iểm A, B, C, D, E, F. CMR : (bằng nhiều cách khác nhau) a) AB CD AD CB   b) AB CD AC DB   c) AD BE CF AE BF CD     40) Cho tam giác ABC với M, N, P là trung iểm các c nh AB, BC, CA. Chứng minh rằng : a) AN BP CM O   b) AN AM AP  c) AM BN CP O   41) Cho hai iểm A, B. Cho M là trung iểm A, B. Chứng minh rằng với iểm I bất kì ta cĩ : 2IA IB IM  . 42) Với iểm N sao cho 2NA NB  . CMR với I bất kì : 2 3IA IB IN  43) Vơi iểm P sao cho 3PA PB . CMR với I bất ki : 3 2IA IB IP   .Tổng quát tính chất trên. 44) Cho tam giác ABC và G là trọng tâm của tam giác.Chứng minh rằng AG BG CG O   . Với I bất kì ta cĩ : 3IA IB IC IG   . M thu c o n AG và 1 4 MG GA . CMR : 2MA MB MC O   . Với I bki 2 4IA IB IC IM   . 45) Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N của AB và CD . CMR : a) 2AD BC MN  b) 2AC BD MN  c) Tìm vị trí iểm I sao cho IA IB IC ID O    d) Với M bất kì, CMR : 4MA MB MC MD MI    46) (Khái niệm trọng tâm của hệ n điểm và tâm tỉ cự của hệ n điểm) Cho n iểm 1 2 , ,..., n A A A . Gọi G là iểm thoả mãn 1 2 ... n GA GA GA O    . CMR vơi bki M : 1 2 ... n MA MA MA nMG    . Gọi I là iểm thoả mãn 1 1 2 2 ... n n n IA n GA n GA O    . CMR với M bất kì : 1 1 2 2 1 ... ( .. ) n n n n MA n MA n MA n n MG      47) Cho lục giác ều ABCDEF. CMR hai tam giác ACE và BDF cùng trọng tâm. CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 10 ( cĩ sử dụng tài liệu từ các nguồn khác). BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG 5 48) Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S l n l t là trung iểm của AB, CD, EF, BC, DE, FA. CMR hai tam giác MNP và QRS cùng trọng tâm. 49) Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ là các iểm thu c BC, CA, AB sao cho : ' ' ' ' ' ', ,AB kAC BC kB A C A kC B   và 1k  . CMR hai tam giác ABC và A’B’C’ cùng trọng tâm. 50) Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N , P, Q là trung iểm AB, BC, CD, DA. CMR hai tam giác ANP và CMQ cùng trọng tâm. (Một số đẳng thức về trực tâm, trọng tâm, tâm đường trịn ngoại tiếp, tâm đường trịn nội tiếp) 51) Cho tam giác ABC, G, H, O, I là trọng tâm, trực tâm, tâm ờng trịn ngo i tiếp và tâm ờng trịn n i tiếp. a) 3OG OA OB OC   b) OH OA OB OC   c) 2HO HA HB HC   d) aIA bIB cIC O   e) A tanTan HA TanBHB CHC O   f) Gọi M là iểm bất kì nằm trong tam giác ABC. CMR : BCM ACM ABM S IA S IB S IC O   (M nằm ngồi thì khơng cịn úng). 52) (Nhấn mạnh bài tốn và mở rộng ra nhiều trường hợp). Cho tam giác ABC. Gọi M là trung iểm AB và N là m t iểm trên c nh AC sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung iểm MN. a) CMR : 1 1 4 6 AK AB AC  . b) D là trung iểm BC. CMR : 1 1 4 3 KD AB AC  53) Cho tam giác ABC a X c ịnh iểm I sao cho : 2 0IA IB  b X c ịnh iểm K sao cho : 2KA KB CB  Cho tam giác ABC a)Tìm iểm M thoả mãn : 0AM MB MC   b)Tìm iểm N thoả mãn : BN AN NC BD   c)Tìm iểm K thoả mãn : 0BK BA KA CK    d)Tìm iểm M thoả mãn : 2 0MA MB MC   e)Tìm iểm N thoả mãn : 2 0NA NB NC   f)Tìm iểm P thoả mãn : 2 0PA PB PC   54) Cho hình bình hành ABCD. Tìm iểm M thoả mãn: 4AM AB AC AD   55) Cho lục giác ABCDEF .Tìm iểm O thoả mãn : OF 0OA OB OC OD OE      56) Cho ABC . Tìm M sao cho a/ 2 3 0MA MB MC   b/ 2 4 0MA MB MC   57) Cho tứ gi c C T m M sao cho a/ 2 2 0MA MB MC MD    b/ 2 5 2 0MA MB MC MD    58) Cho tam giác ABC a X c ịnh các iểm D,E thoả mãn: 4 0 ; 2 0DA DB EA EC    b)Tìm quĩ tích iểm M thoả mãn: 4 2MA MB MA MC   59) Cho hai iểm phân bi t A,B a)Hãy x c ịnh các iểm P,Q,R thoả: 2 3 0; 2 0; 3 0PA PB QA QB RA RB       CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 10 ( cĩ sử dụng tài liệu từ các nguồn khác). BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG 6 60) Cho tam giác ABC và M, N l n l t là trung iểm AB, AC.Gọi P, Q là trung iểm MN và BC. CMR : A, P , Q th ng hàng.Gọi E, F thoả mãn : 1 3 ME MN , 1 3 BF BC . CMR : A, E, F th ng hàng. 61) Cho tam giác ABC, E là trung iểm AB và F thu c thoả mãn AF = 2FC. Gọi M là trung iểm BC và I là iểm thoả mãn 4EI = 3FI. CMR : A, M, I th ng hàng. Lấy N thu c BC sao cho BN = 2 NC và J thu c EF sao cho 2EJ = 3JF. CMR A, J, N th ng hàng. Lấy iểm K là trung iểm EF. Tìm P thu c BC sao cho A, K, P th ng hàng. 62) Cho tam giác ABC và M, N, P là các iểm thoả mãn : 3MB MC O  , 3AN NC , PB PA O  . CMR : M, N, P th ng hàng. ( 1 1 1 , 2 2 4 MP CB CA MN CB CA    ). 63) Cho tam giác ABC và L, M, N thoả mãn 2 ,LB LC 1 2 MC MA   , NB NA O  . CM : L, M, N th ng hàng. 64) Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. I, J thoả mãn : 2 3IA IC O  , 2 5 3JA JB JC O   . 65) CMR : M, N, J th ng hàng với M, N là trung iểm AB và BC. 66) CMR J là trung iểm BI. 67) Gọi E là iểm thu c AB và thoả mãn AE kAB . Xác ịnh k ể C, E, J th ng hàng. 68) Cho tam giác ABC. I, J thoả mãn : 2 , 3 2 = IA IB JA JC O  . CMR : Đ ờng th ng IJ i qua G. II – HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TÓM TẮT LÝ THUYẾT :  Trục là đường thẳng trên đó xác định điểm O và 1 vectơ i có độ dài bằng 1. Ký hiệu trục (O; i ) hoắc x’Ox  A,B nằm trên trục (O; i ) thì AB = AB i . Khi đó AB gọi là độ dài đại số của AB  Hệ trục tọa độ vuông góc gồm 2 trục Ox  Oy. Ký hiệu Oxy hoặc (O; i ; j )  Đối với hệ trục (O; i ; j ), nếu a =x i +y j thì (x;y) là toạ độ của a . Ký hiệu a = (x;y)  Cho a = (x;y) ;b = (x’;y’) ta có a  b = (x  x’;y  y’) k a =(kx ; ky) ;  k  R b cùng phương a ( a 0 ) khi và chỉ khi có số k thỏa x’=kx và y’= ky  Cho M(xM ; yM) và N(xN ; yN) ta có P là trung điểm MN thì xp = 2 M Nx x và yP = 2 M Ny y MN = (xM – xN ; yM – yN)  Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì xG = 3 A B Cx x x  và yG = 2 A B Cy y y  CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 10 ( cĩ sử dụng tài liệu từ các nguồn khác). BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG 7 BÀI TẬP 69) Cho a = (1;3), b = (2;– 5), c = (4;1) a T m tọa vectơ u = 2 a – b + 3 c b T m tọa vectơ x sao cho x + a = b – c c T m c c số v h sao cho c = k a + h b 70) Cho (2; 3); (5;1); ( 3;2)a b c     . a/ T m tọa của vectơ 2 3 4u a b c   b/ T m tọa vectơ x sao cho 2x a b c   c/ T m c c số h v sao cho c ha kb  71) Cho c c vectơ a = (3;1) , b = (2;1) c = (4;1) 72) T m c c số x y sao cho x a + y. b + 7 c = 0 Cho u = 2 i – 3 j và v = k i + 4 j T m c c gi trị của ể hai vectơ u và v cùng ph ơng 73) Cho c c vectơ a = (– 1;4), b = (2;– 3), c = (1;6) Phân tích c theo a và b 74) Cho 3 vectơ a = (m;m) , b = (m – 4;1) , c = (2m + 1;3m – 4 T m m ể a + b cùng ph ơng với c 75) Xét xem c c cặp vectơ sau c cùng ph ơng hơng?Nếu cùng ph ơng th c cùng h ớng hơng? a) a = (2;3) , b = (– 10;– 15) b) a = (2;3) , b = (– 10;– 15) c) a = (0;7) , b = (0;8) d) a = (– 2;1) , b = (– 6;3) e) a = (0;5) , b = (3;0) 76) Trong mặt ph ng Oxy cho 3 iểm 1;-2 ; 3;2 ; C 0;4 T m tọa M trong mỗi tr ờng h p sau: a/ 2 3CM AB AC  b/ 2 4AM BM CM  c/ ABCM là hình bình hành. 77) Trong mặt ph ng Oxy cho 3 iểm 1;4 ; 3;1 ; C -1;2 T m tọa M trong mỗi tr ờng h p sau: a/ 2 5AM BM CM  b/ 2 3 0MA MB  \c/ ABMC là hình bình hành. \d/ T m tọa trọng t m của tam gi c C \e/ T m tọa trung iểm M N P n t trung iểm của c c c nh C C 78) Trong mặt ph ng Oxy cho tam gi c 1;1 ; 2;4 ; C 3;2 a/ T m tọa trọng t m của tam gi c C b/ T m tọa trung iểm M N P n t trung iểm của c c c nh C C 79) Trong mặt ph ng Oxy cho tam gi c 6;-3); B(1;0); C(3;2). a/ T m tọa trọng t m của tam gi c C b/ T m tọa trung iểm M N P n t trung iểm của c c c nh C C c/ T m ể C h nh b nh h nh T m tọa t m của h nh b nh h nh 80) Trong mặt ph ng Oxy cho 3 iểm -2;1); B(0;2); C(4;4). a/ Chứng minh rằng 3 iểm C th ng h ng b/ T m tọa giao iểm của ờng th ng v trục Ox c/ T m tọa giao iểm của ờng th ng v trục Oy 81) Trong mặt ph ng Oxy cho 3;4 ; 2;5 a/ T m a ể C a;1 thu c ờng th ng b/ T m M ể C trung iểm M. 82) Trong mặt ph ng Oxy cho 1;3 ; 0;1 ; C 0;3 ; 2;7 Chứng minh // C 83) Trong mặt ph ng Oxy cho -1;1); B(1;3); C(-2;0) CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 10 ( cĩ sử dụng tài liệu từ các nguồn khác). BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG 8 a/ Chứng minh C nằm trên ờng th ng i qua b/ T m giao iểm của ờng th ng v trục Oy c/ Chứng minh: O hơng th ng h ng 84) Trong mặt ph ng Oxy cho 1;-1); B(3;1); C(y;2). a/ T m y ể C th ng h ng b/ T m giao iểm giữa v Ox c/ T m giao iểm v Oy 85) Trong mặt ph ng Oxy cho 4;5 ; C -2;1) a/ T m tọa trung iểm của o n C b/ Chứng minh: O C hơng th ng h ng c/ T m M ể O MC h nh b nh h nh 86) Cho A(-1;5) , B(3;-3) a/ T m tọa trung iểm M của b/ T m tọa N sao cho trung iểm N c/ T m tọa P sao cho trung iểm P d/ Đ ờng th ng i qua cắt Ox t i K T m tọa K e/ Đ ờng th ng i qua cắt Oy t i L T m tọa L f/ T m tọa iểm C sao cho OC AB . g/ T m tọa sao cho 3DA DB AB  87) Cho A(1,2); B(2; 4); C(3,-3) a/ Chứng minh rằng C ập th nh m t tam gi c b/ X c ịnh trọng t m của tam gi c C c/ T m tọa sao cho O trọng t m tam gi c d/ T m tọa ể C h nh b nh h nh e/ T m tọa F sao cho O F h nh b nh h nh f/ Cho a 1 X c ịnh tọa ể C th ng h ng g/ X c ịnh K Ox ể KC h nh thang h/ T m tọa giao iểm của ờng th ng i qua v ờng th ng i qua O C 88) Cho c c iểm ’ -2;1 ; ’ 4;2 ; C’ -1;-2 n t trung iểm c c c nh C C của tam gi c C T m tọa c c ịnh của tam gi c C Chứng minh rằng trọng t m tam gi c C v ’ ’C’ trùng nhau. 89) Cho c c iểm – 3;2) ,B(2;4) ,C(3;– 2). a T m tọa trọng t m tam gi c C b T m tọa iểm sao cho C trọng t m tam gi c c T m tọa iểm sao cho C h nh b nh h nh 90) Cho 3 iểm – 2;– 3) ,B(2;1) ,C(2;– 1) a T m iểm sao cho C h nh b nh h nh b ọi iểm ối xứng với qua Chứng minh rằng C h nh b nh h nh 91) Cho tam giác ABC cĩ A(– 1;1), B(5;– 3 ỉnh C nằm trên trục Oy v trọng t m nằm trên trục Ox Tìm to ỉnh C 92) Cho tam gi c C biết trọng t m 1;2 trung iểm của C – 1;– 1 trung iểm c nh C 3;4 T m to c c ỉnh C 93) Cho c c iểm 2;3 9;4 M x;– 2 T m x ể 3 iểm M th ng h ng 94) Cho c c iểm 1;1 3;2 C m + 4;2m + 1 T m m ể C th ng h ng 95) Cho 3 iểm – 1;8 1;6 C 3;4 Chứng minh rằng: C th ng h ng 96) Cho 4 iểm 0;1 1;3 C 2;7 0;3 Chứng minh rằng: hai ờng th ng v C song song 97) Cho 4 iểm – 2;– 3) ,B(3;7) ,C(0;3), D(– 4;– 5 Chứng minh rằng: hai ờng th ng v C song song 98) Cho c c iểm – 4;5) , B(1;2) ,C(2;– 3) a Chứng minh rằng: ba iểm C t o th nh m t tam gi c b T m tọa iểm sao cho AD = – 3 BC + AC CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 10 ( cĩ sử dụng tài liệu từ các nguồn khác). BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG 9 c T m tọa iểm sao cho O trọng t m của tam gi c 99) Cho tam gi c C c c c nh C C n t c trung iểm M – 2;1) ,N(1;– 3) ,P(2;2) a T m tọa c c ỉnh C b Chứng minh rằng: c c tam gi c C v MNP c trọng t m trùng nhau CHƢƠNG II – TÍCH VƠ HƢỚNG CỦA HAI VÉCTƠ VÀ ỨNG DỤNG §1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ ( TỪ 0 0 đến 180 0 ) TÓM TẮT LÝ THUYẾT  Định nghĩa : Trên nửa dường tròn đơn vị lấy điểm M thỏa góc xOM =  và M( x ; y) *. sin góc  là y; ký hiệu sin  = y *. cos góc  là x0; ký hiệu cos  = y0 *. tang góc  là y x ( x  0); ký hiệu tan  = y x *. cotang góc  là x y ( y  0); ký hiệu cot  = x y  Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt BÀI TẬP 100) Tính giá trị biểu thức A = Cos 20 0 + cos 80 0 + cos 100 0 + cos160 0 101) Tính giá trị biểu thức:  00 300 450 600 900 Sin  0 2 1 2 2 2 3 1 Cos  1 2 3 2 2 2 1 0 tan  0 3 3 1 3  Cot   3 1 3 3 0 CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 10 ( cĩ sử dụng tài liệu từ các nguồn khác). BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG 10 A=( 2sin 30 0 + cos 135 0 – 3 tan 1500)( cos 1800 -cot 600) B= sin 2 90 0 + cos 2 120 0 - cos 2 0 0 - tan 2 60 0 + cot 2 135 0 102) Đơn gianû các biểu thức: a) A= Sin 100 0 + sin 80 0 + cos 16 0 + cos 164 0 b) B= 2 Sin (180 0 - ) cot - cos(1800- ) tan  cot(1800- ) . (Với 00< <900) 103) Chứng minh rằng sin2x +cos2x = 1 ( 00  x  1800) 104) Tính sinx khi cosx = 3 5 105) Tính sinx.cosx nếu sinx – cosx = 2 3 106) Chứng minh rằng 1 + tan2 x = 2 1 cos x ( Với x  900 ) 107) Chứng minh rằng 1 + cot2 x = 2 1 sin x ( Với 0 0 < x < 1800 0 ) 108) Tính giá trị biểu thức: A = cos 0 0 + cos10 0 + cos20 0 + . . . . . . + cos 170 0 B= cos 2 120 0 - sin 2 150 0 +2 tan135 0 109) Cho tam giác ABC , Chứng minh rằng sin(A + B)sin(B + C)sin(C + A) = sinAsinBsinCcos(A + C) + cos B = 0 tan( A – C) + tan( B + 2C) = 0 110) Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G . Tính góc giữa a) AB và AC b) AB và BC c) AG và BC d) GB và GC c) GA và AC §2: TÍCH VÔ HƯỚNG 2 VÉCTƠ TÓM TẮT LÝ THUYẾT:  Cho OA = a và OB= b . Khi đó góc AOB là góc giũa 2 vectơ a và b Ký hiệu ( a ; b ) Nếu a = 0 hoặc b = 0 thì góc ( a ; b ) tùy ý Nếu ( a ; b ) = 90 0 ta ký hiệu a  b  ),cos(. bababa = Bình phương vô hướng a 2 =  a 2 . CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 10 ( cĩ sử dụng tài liệu từ các nguồn khác). BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG 11  Các quy tắc: Cho  a b c ;  k R a . b = b . a ( Tính giao hoán) a . b = 0 a  b (k a , b = k ( a b ) a ( b  c ) = a b  a c (Tính chất phân phối đối với phép cộng và trừ )  Phương tích của một điểm đối với một đường tròn Cho đường tròn (O,R) và một điểm M cố định, Một đường thẳng  thay đổi, luôn đi qua điểm M cắt đường tròn (O,R) tại A, B Phương tích của điểm M, đối với đường tròn (O,R): kí hiệu: P M/(O) P M/(O) = MO 2 – R2 = .MA MB Nếu M ở ngoài đường tròn (O,R), MT là tiếp tuyến thì P M/(O) = MT 2  Biểu thức toạ độ của tích vô hướng Cho → a = (x, y) , → b = (x', y') ; M(xM, yM), N(xN, yN); ta có → a . → b = x.x' + y.y' | → a | = 22 + yx Cos ( → a , → b ) = 2222 '+'.+ '+' yxyx yyxx → a  → b  xx' + yy' = 0 MN = | → MN | = 22 )_(+)_( NMNM yyxx BÀI TẬP 111) Trên mặt ph ng Oxy hãy tính g c giữa hai vectơ a và b trong c c tr ờng h p sau : a)    2;3 , 6;4a b b)    3;2 , 5; 1a b  c)    2; 1 , 1;3a b  d) a = (4,3); b = (1,7) e) a = (2,5); b = (3,-7) f) a = (6,8); b = (12,-9) g) a = (2,6); b = (3,9) h)    2; 2 3 , 3; 3a b  i)    2; 3 , 1; 3a b  112) cho  đều ABC cạnh a và trọng tâm G; tính AB . AC ; AC .CB ; AG . AB ;GB .GC ; BG . AG ;GA . BC 113) Trong Mp oxy cho 2 điểm M(-2;2),N(4,1) a)Tìm trên trục ox điểm P cách đều 2 điểm M,N b)Tính cos của góc MON 114) Cho hai vectơ a vàb Chứng minh rằng : CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 10 ( cĩ sử dụng tài liệu từ các nguồn khác). BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG 12 a .b = 1 2       222 baba  = 1 2       222 baba  = 1 4       22 baba  115) Cho hai vectơ a ,b cĩ a = 5 , b = 12 và a b 13 Tính tích vơ h ớng  a a b và suy ra g c giữa hai vectơ a và a b 116) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a ; BC = 2a Tính tích vô hướng CA .CB 117) Cho tam gi c ều C c nh a ọi trung iểm C tính a) AH . BC b) AB . AC c) AC .CB 118) Cho ABC ều c nh bằng a ờng cao Tính c c tích vơ h ớng sau: a) ABAC b) ( )(2 )AB AC AB BC  119) Cho h nh vuơng C t m O c nh a Tính: a) .AB AC b) .OA AC c) .AC CB 120) Tam giác ABC cĩ AC = 9 ,BC = 5 ,C = 90o ,tính .AB AC 121) Tam giác ABC cĩ AB = 5 ,AC = 4 ,A = 120o a)tính .AB BC b ọi M trung iểm C tính .AC MA 122) Tam giác ABC cĩ AB = 5 ,BC = 7 ,CA = 8 a)Tính AB . AC rồi suy ra gi trị g c b)Tính .CACB c ọi iểm trên c nh C sao cho C 1 3 CA .Tính .CD CB 123) Trên mặt ph ng Oxy cho 4 iểm        7; 3 , 8;4 , 1;5 , 0; 2A B C D  Chứng minh rằng ABCD là hình vuơng. 124) Cho hai vectơ a và b th a mãn | a | = 3 , |b | = 5 và ( a ,b ) = 120o.Với gi trị n o của m thì hai vectơ a + mb và a – mb vuơng gĩc nhau 125) Tam giác ABC cĩ AB = 4 ,AC = 8 và gĩc A = 60o Trên tia C ấy iểm M v ặt AM k AC .T m ể M vuơng g c với trung tuyến của tam gi c C 126) Cho tam gi c C c n ỉnh c nh bên a v hai trung tuyến M CN vuơng g c nhau Tính cosA 127) Tam giác ABC cĩ AB = 6,AC = 8,BC = 11 a)Tính .AB AC b)Trên c nh AB lấy iểm M sao cho AM = 2.Trên c nh AC lấy iểm N sao cho AN = 4.Tính .AM AN Cho O là trung iểm AB,M là m t iểm tuỳ ý Chứng minh rằng : .MA MB = OM 2 – OA2 128) Cho h nh vuơng C t m O M iểm thu c c nh C Tính .MA AB và .MO AB 129) Cho tứ gi c C trung iểm C chứng minh rằng : a) .AB AC = IA 2 – IB2 b) .AB AC = 1 2 (AB 2 + AC 2 – BC2) c) .AB CD= 1 2 (AD 2 + BC 2 – AC2 – BD2) CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 10 ( cĩ sử dụng tài liệu từ các nguồn khác). BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG 13 130) Cho h nh thang vuơng C ờng cao 2a y ớn C 3a y nh 2a a) Tính . ; . ; .AB CD BD BC AC BD b) ọi trung iểm của C tính .AI BD Từ suy ra g c của v 131) Cho h nh thang vuơng C ờng cao iết 2 2 2. 4 , . 9 , . 6AC AB a CACB a CB CD a   . a) Tính c c c nh của h nh thang b) ọi J ờng trung b nh của h nh thang tính d i h nh chiếu của J trên c) ọi M iểm trên C v AM k AC Tính ể M CD. 132) Cho tam gi c C c trọng t m Chứng minh rằng : MA 2 + MB 2 + MC 2 = 3MG 2 + GA 2 + GB 2 + GC 2 133) Cho tam gi c C c 3 ờng trung tuyến CF Chứng minh rằng : . . . 0BC AD CA BE AB CF   134) Cho nửa ờng trịn t m O ờng ính 2R ọi M N hai iểm trên (O) và I = M∩ N Chứng minh rằng : a) . .AI AM AI AB b) . .BI BN BI BA c) 2. . 4AI AM BI BN R  135) Cho 4 iểm C tuỳ ý a) Chứng minh rằng : . . . 0AB CD AC DB AD BC   b) Từ chứng minh rằng trong m t tam gi c ba ờng cao ồng qui 136) Cho tam gi c C c n t i ọi trung iểm của C v h nh chiếu của trên C M trung iểm của Chứng minh rằng M BD 137) Cho h nh vuơng C ọi M v N n t trung iểm C v C Chứng minh rằng : AN  DM 138) Cho h nh chữ nhật C ọi K h nh chiếu vuơng g c của trên C M v N n t trung iểm của K v C Chứng minh rằng : M  MN 139) Cho h nh thang C vuơng t i v h c nh y a C b T m iều i n giữa a b h ể a) AC  BD b) IA  với trung iểm C 140) Cho tam giác ABC cĩ AB = 3 ;AC = 6 và A = 45o ọi L ch n ờng ph n gi c trong của g c a)Tính .AB AC b)Tính AL theo AB và AC  d i của L c M iểm trên c nh C sao cho M x T m x ể L  BM 141) Cho tam giác ABC cĩ AB = 2a ,AC = a và A =