Chuyên đề Bất đẳng thức

Chuyên đề bất đẳng thức Dạng I : Chứng bất đẳng thức bằng định nghĩa Chứng minh rằng 1) + b2 + c2 ³ ab - ac + 2bc 2) 4a4 + 5a2 ³ 8a3 + 2a - 1 3) a2 + b2 + c2 + d2 +e2³ a( b + c + d + e ) 4) a2( 1 + b2) +b2( 1 + c2) + c2( 1 + a2) ³ 6abc 5) a4 + 3 ³ 4a 6) a4 + b4 ³ a3b + ab3 7) a4 + b4 + c4 + d4 ³ 4abcd 8) x4 + y4 , ( Với x,y ạ 0 ) 9) Cho a > 0 , b > 0 . CMR 10) Cho a, b, c là ba số thoả mãn a > 0, b > 0 và c > CMR : 11) Cho ab ³ 1 , CMR 12) Chứng minh rằng với " x ta có > 2 13) CM với a > 0, b > 0 và " x, y ẻ R thì ( ax + by)( bx + ay) ³ 14) CM với ab > 0 thì (a5 + b5)(a + b) ³ (a4 + b4)(a2 + b2) 15) Cho z ³ y ³ x > 0 . Chứng minh 16) Cho a ³ 2, b ³ 2 . Chứng minh ab ³ a + b 17) CMR với a > 0, b > 0 ta có 18) Cho a > b > 0 . CMR : 19) CMR với a > 0, b > 0, c > 0, d > 0 ta có Dạng II : Phương pháp phản chứng 1) CMR: Nếu a + b = 2cd thì ít nhất một trong hai bất đẳng thức là đúng c2 ³ a ; d2 ³ b 2) CMR: trong ba bất đẳng thức sau đây có ít nhất một bất đẳng thức đúng 2(a2 + b2) ³ (b + c)2 2(b2 + c2) ³ (c + a)2 2(c2 + a2) ³ (a + b)2 3) CMR nếu a1a2 ³ 2(b1+b2) thì ít nhất một trong hai phương trình x2 + a1x + b1= 0 (1) x2 + a2x + b2= 0 (2)có nghiệm 4) Cho 0 < a, b, c < 1. Chứng minh có ít nhất một trong các bất đăng thức sau đây là sai : 5) Cho ba số a, b, c thỏa mãn : a + b + c > 0 (1) ab + bc + ca > 0 (2) abc > 0 (3) Chứng minh : a > 0, b > 0, c > 0 6) Chứng minh trong hai phương trình sau đây ít nhất có một phương trình có nghiệm : x2 - 2ax + 1 - 2b = 0 x2 - 2bx + 1 - 2a = 0 7) Cho ba bất đẳng thức a(2 - b) > 1 ; b(2 - c) > 1 ; c(2 - a) > 1. Với a, b, c ẻ(0 ; 2) Chứng minh có ít nhất một trong ba bất đẳng thức trên là sai 8) Cho a, b, c ẻ(0 ; 1) . Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng sau là sai ; ; 9) Chứng minh rằng không tồn tại một tam giác mà độ dài các đường cao là 1 ; ; 10) Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng a3b5(c - a)7(c - b)9 Ê 0 ; bc5(a - b)9(a - c)13 Ê 0 ; c9a7(b - c)5(b - a)3 Ê 0 Dạng III : Vận dụng các bất đẳng thức cơ bản toán cơ bản Nếu a < b thì Nếu a ³ b thì Nếu x, y, z > 0 thì +) +) +) Các bài toán áp dụng 1) Cho a, b, c > 0 . CMR 2) Cho x, y, z > 0 . CMR 3) Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác . CMR 4) CMR : 5) Cho a, b > 0. CMR 6) Cho a, b, c > 0. CMR 7) Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. CMR 8) Cho a, b, c, d > 0 .CMR 9) Cho a, b, c > 0. CMR 10) Cho a, b, c > 0 .CMR 11) Cho x thoả mãn . CMR 12) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1 . CMR 13) Cho a, b, c > 0 . CMR 14) Cho a, b, c > 0. CMR 15) Cho a, b, c > 0 .CMR 16) Cho a, b, c, d > 0. CMR 17) Cho a, b, c, d > 0 . CMR 18) Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác. CMR 19) Cho hai số dương a, b thỏa mãn a + b = 1. CMR 20) Cho a, b > 0 thỏa mãn a + b Ê 1. Chứng tỏ rằng Dạng IV. Chứng minh bất đẳng thức dẫy A) kiến thức cần nhớ Để chứng minh A³ B ta phải chứng minh A ³ C với C là biểu thức lớn hơn hoặc bằng B. Từ đó ta có A³ B, hoặc ta chứng minh D³ B với D là biểu thức nhỏ hơn hay bằng A từ đó ta có A³ B Giải quyết các bài toán ở dạng dãy, người ta thường phát hiện đặc điểm của số hạng tổng quát, từ đó rút gọn các phép tính trung gian. Người ta còn hay sử dụng phương pháp quy nạp toán học trong trường hợp thuận lợi. B) Bài tập 1) CMR: Với n ẻN, n > 1 2) CMR: Với n ẻN 3) CMR: Với n ẻN, n > 1 4) CMR: Với n ẻN 5) CMR: Với n ẻN, n ³ 1 6) CMR: Với n ẻN, n > 1 7) CMR: Với n ẻN, n ³ 1 8) CMR: Với n ẻN, n ³ 1 9) Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác. CMR (a + b - c)(a - b + c)(-a + b + c) Ê abc 10) CMR: 11) CMR với mọi số tự nhiên n ³ 8, ta có 12) CMR với mọi số tự nhiên n khác 0, ta luôn có: 13) CMR với "n ẻN, n ³ 1, ta có a) b) c) Dạng V:Bất đẳng thức cosi A) kiến thức cần thiết Trung bình cộng của n số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của n số đó *) Cho a1 , a2 , ..., an ³ 0 ta luôn có Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = ...= an