Chuyên đề Bất đẳng thức

CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC A/ KIẾN THỨC CẦN NẮM I/ ĐỊNH NGHĨA: Với A, B là 2 biểu thức bất kì: A >B A – B > 0 A A – B < 0 A B A – B 0 A B A – B 0 + Nếu A > B => C > D ta nói bất đẳng thức C > D là hệ quả của bất đẳng thức A > B + Nếu A > B C > D ta nói hai bất đẳng thức C > D và A > B là 2 bất đẳng thức tương đương. II/ TÍNH CHẤT: 1/ A >B B < A 2/ A >B và B > C => A > C 3/ A >B A + C >B + C Hệ quả A >B + C A – C > B 4/ A >B và C > D => A + C > B + D A > B và C A – C > B – D 5/ A > B và C > 0 AC > BC A > B và C AC < BC 6/ A > B > 0 và C > D > 0 => AC > BD 7/ A > B > 0, n nguyên dương => An > Bn 8/ A > B > 0, n nguyên dương => . Hệ quả: a2 b2 a b (a,b 0) 9/ A > B, AB > 0 => 10/ A > 1, m và n nguyên dương, m > n => Am > An 0 n => Am < An Chú ý: CẦN TRÁNH CÁC SAI LẦM SAU: 1/ Trừ từng vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều 2/ Nhân từng vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều mà không có giả thiết các vế không âm. 3/ Bình phương vế của 2 bất đẳng thức mà không có giả thiết các vế không âm. 4/ Khử mẫu khi chưa biết dấu của biểu thức dưới mẫu 5/ Nghịch đảo và đổi chiều của bất đẳng thức khi chưa có giả thiết 2 vế cùng dấu. 6/ Thừa nhận xm > xn với m, n nguyên dương và m > n khi chưa biết điều kiện của x. III/ CÁC HẰNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐƯỢC THỪA NHẬN: a: a2 0; -a2 0; Dấu bằng xảy ra a = 0 -|a| a |a|; Dấu bằng xảy ra a = 0 |a| 0 ; Dấu bằng xảy ra a = 0 ai 0 (i = 1, 2, , n; n N*) => a1 + a2 + + an 0 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC: Cách 1: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh thành một bất đẳng thức tương đương mà ta đã biết là đúng Cách 2:Biến đổi tương đương bất đẳng thức đã biết thành bất đẳng thức cần chứng minh. BÀI TẬP Bài 1: Cho x, y là 2 số thực bất kỳ khác không. CMR : + + 3. dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 2: Cho cặp số (x, y) thoả mãn các điều kiện: -1 x 1; -1 xy + x + y 1> Chứng minh rằng: |x| 2; |y| 2 Bài 3: Cho a, b, c > 0. CMR: + + < + + Bài 4: Cho x, y, z là 3 số thực tuỳ ý thoả mãn: CMR: x2 + y4 + c6 2. Đẳng thức có thể xảy ra được không? Bài 5: Với a, b là các số thực dương. CMR: 4(a3 + b3) (a + b)3 Bài 6: Cho a và b là 2 số dương. Biết rằng phương trình: x3 – x2 + 3ax – b = 0; có 3 nghiệm (không nhất thiết phân biệt). CMR: + 27b 28 Bài 7: 1/ a2 + b2 + c2 ab + bc + ca a, b, c 2/ x4 + y4 + z4 xyz(x + y + z) x, y, z Bài 8: x, y, z là các số thực thoả mãn điều kiện: x + y + z + xy + yz + zx = 6 Chứng minh rằng: x2 + y2 + z2 3 Bài 9: Với a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: Bài 10: Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x2 + 4y2 = 1. Chứng minh rằng: |x + y| Bài 11: Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn hệ thức: + + = 6. Xét biểu thức P = x + y2 + z3 a/ Chứng minh: P x + 2y + 3z – 3 b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P Bài 12: Cho a, b, c > 1. Chứng minh: + + 12. Đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 13: Cho P(x) = x3 + ax2 + bx + c và Q(x) = x2 + x + 2005. Biết phương trình P(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt còn phương trình P(Q(x)) = 0 vô nghiệm. Chứng minh P(2005) > Bài 14: Giả sử x, y là những số không âm thay đổi thoả mãn điều kiện: x2 + y2 = 1 a/ Chứng minh rằng 1 x + y b/ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = + Bài 15: Chứng minh: (a + b + c) 9 Aùp dụng giải bái tập: a/ b/ Giải phương trình: + + + =1 Bài 16: Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của một tam giác, chứng minh rằng: a2b + b2c + c2a + ca2 + bc2 + ab2 – a3 – b3 – c3 > 0 Bài 17: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. 1/ Chứng minh bất đẳng thức : ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) 2/ CMR nếu (a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca) thì tam giác đó là tam giác đều. Bài 18: Giả sử: a b; c d. Chứng minh: ac + bd bc + ad Bài 19: Cho a, b, c là 3 số dương. Chứng minh: + + Bài 20: Cho a + b + c = 1. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 Bài 21: Cho a b c > 0. Chứng minh bất đẳng thức: = Bài 22: Cho 3 số a, b, c sao cho 0 a 2; 0 b 2; 0 c 2 và a + b + c = 3. Chứng minh: a2 + b2 + c2 5 Bài 23: Cho a; b; c là 3 cạnh một tam giác. Chứng minh: + + < 2 Bài 24: Cho 3 số dương có tổng bằng 4. Chứng minh rằng tổng của 2 số bất kỳ trong 3 số đó không bé hơn tích của 3 số đó. Bài 25: Cho |a| < 1; |a – c| < 1999; |b – 1| < 1999. Chứng minh rằng |ab – c| < 3998 Bài 26: 1/ Chứng minh nếu x > 0; y > 0 thì 2/ Chứng minh nếu a, b, c là 3 cạnh của một tam giác, ta có: + + Bài 27: Cho a; b; c > 0> Chứng minh + + > Bài 28: Chứng minh rằng: (a + b – c)(a – b + c)(–a + b + c) abc với a; b; c là độ dài 3 cạnh một tam giác. Bài 29: Cho a, b là 2 số thoả mãn: 2a2 + = 4. Chứng minh ab -2. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 30: Cho các số a; b; c [0; 1]. Chứng minh rằng: a + b2 + c3 – ab – bc – ca 1 Bài 31: Chứng minh rằng: với mọi a, b có đẳng thức: (a2 + b2)(a2 + 1) 4a2b Bài 32: Cho m2 + n2 = 1 và a2 + b2 = 1. Chứng minh: –1 am + bn 1 Bài 33: Cho các số: x, y, z 0 và x + y z = 1. Chứng minh rằng: x + 2y + z 4(1 – x)(1 – y)(1 – z) Bài 34: Chứng minh rằng: nếu a > 0; b > 0; c > 0 thì: Bài 35: Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng: a/ a3 + b3 a2b + ab2 b/ + + Bài 36: Cho 3 số dương a, b, c. CMR: + + Bài 37: Cho 3 số dương a, b, c. CMR: 8 Bài 38: Cho a . b và ab = 1. Chứng minh rằng: 8 (1) Bài 39: 4 (a, b, c, d > 0) Bài 40: Cho 3 số dương a, b, c> Chứng minh rằng: a/ a3b + b3c + c3a abc(a + b + c) b/ + + + + + 6abc Bài 41: a/ Chứng minh: x4 + y4 b/ Cho x > 0, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh: 8(x4 + y4) + 5 Bài 42: Cho x > 0, y > 0 và x + y 1. Chứng minh: 4 Bài 43: Cho x 1; y 1. Chứng minh: x + y xy Bài 44: Cho a > c; b > c; c > 0. Chứng minh: + Bài 45: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: < 2() Bài 46: Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Gọi P = abc(a + b)(b + c)(c + a). Chứng minh P < Bài 47: Cho 2 số dương x, y thoả: x3 + y3 = x – y. Chứng minh rằng: x2 + y2 < 1 Bài 48: Chứng minh rằng: a/ b/ Bài 49: Cho a, b, c là các số không âm thoả a + b + c = 1. Chứng minh: b + c 16abc Bài 50: Cho a, b, c là các số thuộc đoạn [-1; 2] thoả: a + b + c = 0. Chứng minh: a2 + b2 + c2 6 Bài 51: Chứng minh: a + b Aùp dụng tìm x để A = đạt giá trị lớn nhất. Bài 52: a/ Cho a 0, b 0. Chứng minh: a + b b/ a2 + b2 . Chứng minh: a2 + b2 Bài 53: Cho x 1; y 1. Chứng minh: + Bài 54: a/ Cho xy = 1 và x > y. Chứng minh: 2 b/ Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thoả: a + b + c = 2. Chứng minh: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2 Bài 55: Chứng minh rằng: + + 4 0 Bài 56: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: + + a + b + c Bài 57: Chứng minh nếu a + b = 2 thì: a3 + b3 a4 + b4 BÀI GIẢI Bài 1: + + 3. (1) ( - 1) + ( - 1) + ( - 1) 0 0 (x2 – y2)2 0 (x2 – y2)2. 0 (2) Bất đẳng thức (2) đúng, suy ra bất đẳng thức (1) được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi x2 = y2 x = y Bài 2: Từ đề bài suy ra: . Đặt x + 1 = a; y + 1 = b ta có: Từ (2) suy ra một trong 2 số a, b bằng 0 hoặc 2 số đó cùng dấu. + Nếu một trong 2 số bằng 0, chẳng hạn a = 0 khi đó 1 b 3 + Nếu hai số cùng dấu thì thì từ (1) suy ra: a > 0; b > 0. Khi đó cũng từ (1) ta có a < 3; b < 3 suy ra 0 < a; b < 0. Vậy trong mọi trường hợp ta đều có: Suy ra: |x| 2; |y| 2 Bài 3: . Theo bất đẳng thức Cosi thì: > 0 Suy ra => Hay Tương tự: , Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên, ta có: + + 2 Dấu đẳng thức không xảy ra, vì nếu trái lại thì a = b + c, b = c + a và c = a + b, từ đó ta có: a + b + c = 0, vô lí. Vậy: + + > 2 (1) Ta lại có: = < 0 Suy ra < Tương tự ta có: < ; < Do đó: + + < + + = 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra bất đẳng thức được chứng minh. Bài 4: Xét y4 – y2 = y2(y2 – 1) Do -1 y 1 nên 0 y2 1, suy ra y2(y2 – 1) 0, Vậy y4 y2 Tương tự z6 z2. Suy ra x2 + y4 + z6 x2 + y2 + z2 (1) Do -1 x; y; z 1 => => (1 + x)(1 + y)(1 + z)(1 – x)(1 – y)(1 – z) 0 2xy + 2yz + 2xz + 2 0 x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2xz + 2 x2 + y2 + z2 (x + y + z)2 + 2 x2 + y2 + z2 => x2 + y2 + z2 2 (2) Từ (1) và (2) => x2 + y4 + z6 2 Bài 5: 4(a3 + b3) (a + b)3 4(a3 + b3) – (a + b)3 0 3(a + b)(a – b)2 0 là bất đẳng thức đúng nên bài toán được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b. Lưu ý: Các bài toán tương tự: 1/ a2 + b2 + c2 + d2 +e2 a(b + c + d + e)(HD: trước khi chuyển sang dạng a – b nhận 2 vế cho 4) 2/ a2 + 9b2 + c2 + > 2a + 12b + 4c 3/ a; b; c: a2 + 4b2 + 3c2 > 2a + 12b + 6c – 14 4/ x5 + y5 x4y + xy4 5/ (a2 + b2)(a2 + 1) 4a2b với mọi a, b 6/ a, b Q, chứng minh a4 + a3b + ab3 + b4 0 7/ a2 + b2 + c2 ab + bc + ca 8/ Cho a, b, c là 3 số dương. Chứng minh:a/ ( Có áp dụng Cosi) b/ ( Có thể áp dụng Cosi) c/ 9/ a6 + 1 a2(a2 + 1) 10/ a + b với a > 0; b > 0 11/ CMR với 4 số a, b, c, d > 0, ta có: a/ a2 + b2 + c2 + d2 (a + b)(c + d) b/ 12/ Cho a > 0, b > 0. Chứng minh: 13: a/ 2(a4 + b4) ab3 + a3b + 2a2b2, với mọi a, b b/ + > a, với a > b > 0 14: Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC. Chứng minh: a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a + b)2 > a3 + b3 + c3 15: x2 + y2 + z2 ; x, y, z Bài 6: Gọi x, y, z là 3 nghiệm của phương trình đã cho. Theo hệ thức Viet ta có: x + y + z = 1; xy + yz + xz = 3a; xyz = b. Do a, b > 0 nên x > 0, y > 0, z > 0. Aùp dụng bất đẳng thức Cosi với 3 số dương ta có: xy + yz + xz 3 3a 3 27a3 27b2 a3 b2 > 0 Vậy + 27b + 27b = = = 28 + Do xy + yz + xz 3 nên 1 3 => 27b 1. Do đó: (27 – 1)(b – 1) 0 Suy ra + 27b 28. dấu đẳng thức xảy ra Bài 7: 1/ Ta có: (a – b)2 0 a2 + b2 2ab Tương tự: b2 + c2 2bc a2 + c2 2ac Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được: 2(a2 + b2 + c2) 2(ab + bc + ca) a2 + b2 + c2 ab + bc + ca Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = z 2/ Aùp dụng câu 1/ ta có: x4 + y4 + z4 x2y2 + y2z2 + z2x2 (1) Và x2y2 + y2z2 + z2x2 xy.yz + yz.xz + zx.xy x2y2 + y2z2 + z2x2 xyz(x + y + z) (2) Từ (1) và (2) suy ra: x4 + y4 + z4 xyz(x + y + z) Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z Bài 8: Ta có: (x – 1)2 0 x2 + 1 2x. Tương tự: y2 + 1 2y; và z2 + 1 2z Suy ra: x2 + y2 + z2 + 3 2x + 2y + 2z (1) Mặt khác: (x – y)2 0 x2 + y2 2xy; và y2 + z2 2yz; và x2 + z2 2xz Suy ra: (2) Từ (1) và (2) ta được: 3(x2 + y2 + z2) + 3 2(xy + yz + xz + x + y + z) => 3(x2 + y2 + z2) + 3 6.2 3(x2 + y2 + z2) 9 (x2 + y2 + z2) 3 Dấu = xảy ra khi x = y = z = 1 Bài 9: Theo bất đẳng thức tam giác ta có a + b – c > 0, b + c – a > 0; c + a – b > 0. Với x, y > 0, ta có x + y 2 (x + y)2 4xy (*) Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y Aùp dụng (*), ta được: = Tương tự: và Cộng từng vế các bất đẳng thức thức trên rồi suy ra: . Dấu đẳng thức xảy ra khi: a = b = c ABC đều. Bài 10: Aùp dụng bất đẳng thức Bu nhi a copxki: (x + y)2 = Suy ra |x + y| Dấu đẳng thức xảy ra khi: Bài 11: a/ P – (x + 2y + 3z – 3) = y2 – 2y + 1 + z3 – 3z + 2 = (y – 1)2 + (z – 1)2(z + 2). Do y, z là số dương, ta có: (y – 1)2 0; (z – 1)2(z + 2) 0 => P – (x + 2y + 3z – z) 0 P x + 2y + 3z – 3 b/ Aùp dụng bất đẳng thức Cosi với các số dương: x + 2 = 2 y2 + = y2 + + 3 = 3 z3 + = z3 + + + 4 = 4 Vậy x + y2 + z3 + ( + + ) 9 hay P – 6 9. Suy ra P 3. Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1. Vậy minP = 3 x = y = z = 1 Bài 12: Từ giả thiết => - 1 > 0; - 1 > 0; - 1 > 0. Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương ta có: + + 3 Có ( 2)2 0 => a – 4 + 4 0 => a 4( - 1) mà a > 1 => - 1; nên 4 Tương tự: 4; 4 64 => + + 12 Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 4 Bài 13: Gọi x1, x2, x3 là 3 nghiệm phân biệt của phương trình P(x) = 0 => P(x) (x – x1)(x – x2)(x – x3) mà hệ số của x3 = 1 nên P(x) = (x – x1)(x – x2)(x – x3) => P[Q(x)] = (Q(x) – x1)(Q(x) – x2)(Q(x) – x3). Do phương trình P[Q(x)] = 0 vô nghiệm; nên Q(x) – x1 0; Q(x) – x2 0; Q(x) – x3 0. x Xét Q(x) – x1 0, x phương trình x2 + x + 2005 – x1 = 0 vô nghiệm => = 1 + 4x1 – 4.2005 2005 – x1 > Tương tự 2005 – x2 > ; 2005 – x3 > ; => P(2005) = (2005 – x1)(2005 – x2)(2005 – x3) > Bài 14: a/ Aùp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-copxki: (x + y)2 2(x2 + y2) = 2 => x + y Lại có: (x – x2) + (y – y2) = x(1 – x) + y(1 – y) Vì x, y 0 và x2 + y2 = 1 nên 0 x 1; 0 y 1; do đó x(1 – x) 0; y(1 – y) 0; suy ra x + y x2 + y2 = 1. Vậy 1 x + y b/ + Aùp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-copxki: P2 = ()2 2(2 + 2x + 2y) 2(2 + 2) vì x + y Vậy P2 4 + 4 nên P . Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = Vậy maxP = 4 + 4 khi x = y = + P2 = 2 + 2(x + y) + 2 Theo chứng minh trên thì x + y 1, mà 4xy 0, nên 1 + 2(x + y) + 4xy 3 Suy ra P2 4 + 2 = ( + 1)2 Do đó P + 1 ( do P 0) Dấu đẳng thức xãy ra khi: (x; y) = (1; 0), (0; 1) Vậy minP = + 1 khi (x; y) = (1; 0), (0; 1) Bài 15: a/ Ta chứng minh bất đẳng thức sau: 2 ( với x, y > 0); dấu bằng xảy ra khi x = y (tự chứng minh) Ta có: (a + b + c) = 3 + + + + + + Thì + 2; + 2; + 2 (a, b, c > 0) => 3 + + + + + + 3 +2 + 2 + 2 = 9 Vậy (a + b + c) 9. Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 0 Bài tương tự: Chứng minh rằng: nếu các số dương a, b, c có tổng a + b + c = 1 thì 9 b/ + + + =1 + 1 + + 1 + + 1 + +1 = 5 + + + – 5 = 0 + + - = 0 (a + b + c – x) = 0 Mà (a + b + c) = (a + b + c) – 4 9 – 4 = 5 > 0 Do a, b, c > 0 => a + b + c > 0 nên > 0. Vậy a + b + c – x = 0 Hay x = a + b + c Bài 16: Ta có a, b, c là số đo 3 cạnh một tam giác nên: a + b – c > 0; b + c – a > 0; c +a – b > 0 => (a + b – c)c2 > 0; (b + c – a)a2 > 0; (c + a – b)b2 > 0 => (a + b – c)c2 + (b + c – a)a2 + (c + a – b)b2 > 0 => a2b + b2c + c2a + ca2 + bc2 + ab2 – a3 – b3 – c3 > 0 Bài 17: 1/ Ta có: ab + bc + ca a2 + b2 + c2 2(ab + bc + ca) 2(a2 + b2 + c2) (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 0 ( Bất đẳng thức đúng) Dấu “=” xảy ra khi a = b = c Tam giác đó là tam giác đều Mặt khác: Theo bất đẳng thức tam giác ta có: a a2 b2 c2 < ac + bc => a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Vậy: ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) 2/ (a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca = 3ab + 3bc + 3ca a2 + b2 + c2= ab + bc + ca. Theo câu 1/ đẳng thức trên đúng khi a = b = c tức tam giác đó là tam giác đều. Bài 18: Ta có ac + bd bc + ad ac + bd – bc – ad 0 (a – b)(c – d) 0 Vì a b => a – b 0 và c d => c – d 0. Nên (a – b)(c – d) 0 là bất đẳng thức đúng. Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b, c = d Bài 19: Với a, b, c > 0 ta có: + a 4a2 + (b + c)2 4a(b + c) 4a2 – 4a(b + c) + (b + c)2 0 [2a – (b + c)]2 0 (đúng) Tương tự ta có: + b; và + c => + + + a + b + c => + + Bài 20: Ta chứng minh bất đẳng thức sau: 2a2 + 2b2 + 2c2 2ab + 2bc + 2ac (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 0 (BĐT đúng) Dấu “=” xảy ra a = b = c Từ 2a2 + 2b2 + 2c2 2ab + 2bc + 2ac 3a2 + 3b2 + 3c2 a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac 3(a2 + b2 + c2) (a + b + c)2 = 1 ( do a + b + c = 1) a2 + b2 + c2 . Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = Bài tương tự: Cho a > 0, b > 0 và a + b = 1. Chứng minh: a2 + b2 ( Có thể giải: từ điều kiện => b = 1 – a; thay vào ta được a2 + (1 – a)2 = 2+ ) Bài 21: (a b c > 0) a2c + b2a + c2b b2c + a2b + c2a b2c + a2b + c2a – a2c – b2a – c2b 0 (c – a)(c – b)(a – b) 0 ( Bất đẳng thức đúng vì c – a 0; c – b 0, a – b 0; do a b c > 0) Vậy (a b c > 0). Dấu “=” xảy ra a = c hoặc b = c hoặc a = b Bài 22: Vì a; b; c [0; 2] nên 2 – a 0; 2 – b 0; 2 – c 0; Suy ra (2 – a)(2 – b)(2 – c) 0 Hay 8 + 2(ab + bc + ca) – 4(a + b + c) – abc 0 Thay a + b + c = 3 ta được 2(ab + bc + ca) abc + 4 Cộng cả 2 vế với a2 + b2 + c2 ta được: a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) a2 + b2 + c2 + abc + 4 (a + b + c)2 a2 + b2 + c2 + abc + 4 9 a2 + b2 + c2 + abc + 4 a2 + b2 + c2 + abc 5 a2 + b2 + c2 5 (do abc 0) Bài 23: Ta biết 0) (Tự chứng minh) Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác nên: a < b + c; b < a + c và c < a + b => < 1; < 1; < 1. Vậy: < ; < và < => + + < + + = = 2 Bài 24: Gọi a, b, c là 3 số dương thoả mãn: a + b + c = 4. Ta cần chứng minh: a + b abc. Ta xét hiệu a + b – abc = a + b – ab(4 – a – b) (do a + b + c = 4 => c = 4 – a – b) = a + b – 4ab + a2b + ab2 = a(b2 – 2b + 1) + b(a2 – 2a + 1) = a(b – 1)2 + b(a – 1)2 Vì a, b > 0 và (b – 1)2 0; (a – 1)2 0. Nên a(b – 1)2 + b(a – 1)2 0. Vậy a + b abc. Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1 và c = 2. Bài 25: Vận dụng: |x + y| |x| + |y|; Ta có: |ab – c| = |ab – a + a – c| = |a(b – 1) + ( a – c)| |a(b – c)| + |a – c| = |a||b – 1| + |a – c| Do đó: |ab – c| < 1999 + 1999 = 3998. Bài 26: 1/ Với: x > 0; y > 0 thì (x + y)2 4xy (x – y)2 0 ( BĐT đúng). Dấu “=” xảy ra x = y 2/ Như bài 9. Bài tập áp dụng bất đẳng thức trên: 1/ với mọi a; b; c > 0 Bài 27: Từ a; b; c > 0 nên: > ; > ; > Do đó: + + > Bài 28: Ta có: a2 – (b – c)2 a2 => (a – b + c)(a + b – c) a2 b2 – (a – c)2 b2 => (b – a + c)(b + a – c) b2 c2 – (a – b)2 c2 => (c + b)(c + a – b) c2 [(a – b + c)(a + b – c)(– a +b + c)]2 (abc)2 (a – b + c)(a + b – c)(– a +b + c) abc. (Do a; b; c là 3 cạnh tam giác nên (a – b + c)(a + b – c)(– a +b + c) > 0) Dấu “=” xảy ra a = b = c tam giác đó là tam giác đều. Bài 29: Từ 2a2 + + = 4 => (a2 + - 2) + (a2 + ab + ) = ab + 2 ab + 2 = + 0 ab -2 Dấu “=” xảy ra hoặc Bài 30: Do a; b; c [0; 1] => (1 – a)(1 – b)(1 – c) 0 1 + ab + bc + ac – a – b – c – abc 0 a + b + c – ab – bc – ac 1 – abc 1 (do abc 0) Mặt khác: 0 b 1 => b2 b; Và 0 c 1 => c3 c Vậy a + b2 + c3 – ab – bc – ac a + b + c – ab – bc – ac 1 Bài 31: Ta có: a2 + b2 2|a||b| 0 a, b; và a2 + 1 2|a| 0 => (a2 + b2)(a2 + 1) 4|a|2|b| = 4a2|b| 4a2b Bài 32: Ta có: Cho (m2 + n2)(a2 + b2) = a2m2 + m2b2 + a2n2 + b2n2 = = a2m2 + m2b2 + a2n2 + b2n2 + 2mbna – 2mbna = (am + bn)2 + (mb – na)2 Mà m2 + n2 = a2 + b2 = 1 => 1 = (am + bn)2 + (mb – na)2 => (am + bn)2 1 (Vì (mb – na)2 0) => |am + bn| 1; => –1 am + bn 1 Bài 33: x, y, z 0; x + y + z = 1 => x, y, z 1 => 1 – x; 1 – y; 1 – z 0 Aùp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số không âm. Ta có: (1 – x)(1 – z) 4(1 – x)(1 – z) (1 + y)2 (do 1 – x – z = y) 4(1 – x)(1 – z)(1 – y) (1 + y)2(1 – y) Mặt khác: 1 – y2 1 nên (1 + y)2(1 – y) = (1 + y)(1 – y2) = (x + 2y + z)(1 – y2) x + 2y + z Vậy 4(1 – x)(1 – z)(1 – y) x + 2y + z Bài 34: Đặt: b + c = x; c + a = y; a + b = z (x, y, z > 0) => x + y + z = 2( a + b + c) Do đó: a = ; b = ; c = . Ta có: = + + = = + + + + + + = = + 1 + 1 + 1 = Bài 35: a/ Cho 3 số dương a, b, c. Ta có: a3 + b3 a2b + ab2 a3 – a2b + b3 – ab2 0 (a – b)2(a + b) 0 là bất đẳng thức đúng. b/ Từ a3 + b3 a2b + ab2 => a3 + b3 + abc a2b + ab2 + abc = ab(a + b + c) => . Tương tự ta cũng có: và . Nên ta có: + + = Do đó: + + Bài 36: Ta áp dụng bất đẳng thức: (a + b)2 4ab (Tự chứng minh) Ta suy ra: (a + b) (vì a, b > 0) => (a + b). Tương tự ta cũng có: (b + c) và (a + c). Cộng theo từng vế ta được: + + Bài 37: Với a, b, c > 0. Ta áp dụng bất đẳng thức Cosi với 2 số dương ta có: 1 + 2 > 0; 1 + 2 > 0; 1 + 2 > 0 Nhân ba bất đẳng thức trên theo từng vế ta được: 8 Bài 38: Ta có: a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab = (a – b)2 + 2 (do ab = 1) Suy ra (a2 + b2)2 = [(a – b)2 + 2]2 = (a – b)4 + 4(a – b)2 + 4 Do đó: 8 8 (a – b)4 + 4(a – b)2 + 4 8(a – b)2 Vì (a – b)2 > 0 (a – b)4 – 4(a – b)2 + 4 0 [(a – b)2 – 2]2 0 bất đẳng thức đúng Bài 39: VT = = + = = (a + c)(a + b + c + d). + (b + d)(a + b + c + d). Aùp dụng bất đẳng thức: (x, y > 0) (tự chứng minh) thì: (a + c)(a + b + c + d). + (b + d)(a + b + c + d). (a + c)(a + b + c + d). + (b + d)(a + b + c + d). = = (a + b + c + d)(a + b + c + d). = 4 Vậy 4 Bài 40: a/ a3b + b3c + c3a abc(a + b + c) a + b + c (vì abc > 0) Dùng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương, ta có: + c = 2a (vì a > 0) + a = 2b (vì b > 0)và + b = 2c (vì c > 0) Cộng 3 bất đẳng thức trên theo từng vế, ta được: + a + b + c 2(a + b + c) a + b + c Vậy a3b + b3c + c3a abc(a + b + c) b/ Với a, b, c > 0; Aùp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương, ta có: + 2 = 2abc (vì a, b, c > 0), Tương tự: + 2abc (vì a, b, c > 0) và + 2abc (vì a, b, c > 0) Cộng 3 bất đẳng thức trên theo từng vế, ta được: + + + + + 6abc Bài 41: Trước hết ta chứng minh b đt quen thuộc: x2 + y2 (tự chứng minh) (1) a/ Aùp dụng (1), ta có: x4 + y4 = (x2)2 + (y2)2 . (2) Mà theo (1) ta có: x2 + y2 ; => (x2 + y2)2 => (x2 + y2)2 (3) Từ (2) và (3) ta được: x4 + y4 b/ Aùp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương, ta có: x + y 2 => 1 2 (vì x + y = 1) => 2 => 4 (4) Mà theo câu a, ta có: x4 + y4 => 8(x4 + y4) 1 (5) (vì x + y = 1) Cộng (4) và (5) theo từng vế ta được: 8(x4 + y4) + 5 Bài 42: Với x > 0, y > 0, ta có: (Tự chứng minh) Áp dụng bất đẳng thức trên với 2 số dương x2 + xy và y2 + xy ta được: = . Mà x > 0, y > 0 và x + y 1 => 1 => 1. Do đó: 4 Bài 43: Ta có: = = => x (Vì x 1 > 0) (1) = = => y (Vì y 1 > 0) (2) Cộng (1) và (2) ta được: x + y xy Bài 44: Do a > c; b > c; c > 0. Nên: + c(a – c) + c(b – c) + 2 ab ac + bc – 2c2 + 2c ab ( Vì c > 0) c2 – 2c + ab – ac + c2 – bc 0 c2 – 2c + a(b – c) – c(b – c) 0 c2 – 2c + (a – c)(b – c) 0 0 (Đúng) Vậy + Bài 45: Từ ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) + Dễ dàng chứng minh được: ab + bc + ca a2 + b2 + c2 + Ta chứng minh: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Ta có: a > |b – c| => a2 > (b – c)2, tức là a2 > b2 + c2 – 2bc Tương tự: b2 > a2 + c2 – 2ac và c2 > a2 + b2 – 2ab => a2 + b2 + c2 > 2(a2 + b2 + c2) – 2(ab + bc + ca) => a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Vậy ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Do đó < 2() Bài 46: P = abc(a + b)(b + c)(c + a) = c(a + b).a(b + c).b(c + a) Dùng bất đẳng thức Cosi với 2 số dương c và a + b ta có: c + (a + b) 2 hay 1 2 > 0. Tương tự ta cũng có: a + (b + c) 2 hay 1 2 > 0 và b + (c + a) 2 hay 1 2 > 0 Nhân theo từng vế các bất đẳng thức trên ta được: 1 8 = 8 => P Dấu “=” xảy ra a = b = c = Điều này không thoả giả thiết a + b + c = 1; Vậy dấu “=” không xảy ra; tức là P < Bài 47: Do x > 0, y > 0 nên x – y = x3 + y3 > 0 Ta có: x3 + y3 > x3 – y3 > 0 1 = > = x2 + xy + y2 > x2 + y2 Vậy x2 + y2 < 1 Bài 48:a/ Cách 1: ta chứng minh quy nạp Cách 2: Với k nguyên dương ta có: 12k2 + k – 1 12k2 (4k – 1)(3k + 1) 12k2 1 + 1 + Thay k lần lượt từ 1 đến n, nhân vế theo vế ta có điều cần chứng minh. b/ Ch0 n = 997, theo câu a/ ta có: mà = = < = D o đó: < Bài 49: Ta có: (x – y)2 0 (x – y)2 + 4xy 4xy (x + y)2 4xy (*) Aùp dụng (*) ta có: 1 = (a + b + c)2 4a(b + c); a; b; c 0 Do đó: (b + c) 4a(b + c)2. Mà (b + c)2 4bc > 0 Vậy b + c 4a.4bc b + c 16abc Bài 50: a [-1; 2] -1 a 2 Ta có: (a + 1)(a – 2) 0 a2 – a – 2 0 a2 a + 2 Tương tự: b2 b + 2; c2 c + 2 Do đó: a2 + b2 + c2 a + b + c + 6 a2 + b2 + c2 6 (Vì a + b + c = 0) Bài 51: Ta có: (a + b)2 (a + b)2 + (a – b)2 (a + b)2 a2 + 2ab + b2 + a2 – 2ab + b2 (a+b)2 2a2 + 2b2 |a + b| Mà a + b |a + b| Nên a + b Aùp dụng A = 2 Min A = 2 x = 4 Bài 52: a/ Vì a 0; b 0 => ab 0 Aùp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số không âm ta có: a + b 2; 9 + ab 2 Do đó: (a + b)(9 + ab) 2.2 = 12ab a + b (Vì 9 + ab > 0) b/ (a2 – b2)2 0 => (a2 – b2)2 + (a2 + b2)2 (a2 + b2)2 a4 + 2a2b2 + b4 + a4 – 2a2b2 +