Chuyên đề Bất đẳng thức Côsi

Mục lục Trang I.Hệ thống các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức Côsi 3 II. Các kĩ thuật chính 1. Phương pháp chứng minh trực tiếp 4 2. Kĩ thuật dùng hoán vị vòng 6 3. Phương pháp cân bằng tổng 7 4. Phương pháp cân bằng tích 9 5. Phương pháp thêm hạng tử và chọn điểm rơi Côsi 10 6. Kĩ thuật nhân nghịch đảo 15 7.Kĩ thuật Côsi ngược dấu 16 III Các bài tập chọn lọc 18 I.Hệ thống các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức Côsi Bất đẳng thức Côsi (BĐT Côsi) được nhà toán học người Pháp Augustin Louis Cauchy đưa ra, nó có dạng sau: Dạng tổng quát: Cho a1,a2,an là các số không âm thì: Đẳng thức xảy ra khi a1 = a2 = = an Chúng ta thường sử dụng cho bộ hai số hoặc bộ ba số, cụ thể là: Với 2 số:Cho a ≥ 0, b ≥ 0 Đẳng thức xảy ra khi a = b Hệ quả1:Hai số dương có tổng không đổi,tích của chúng lớn nhất khi 2 số bằngnhau. Hệ quả2:Hai số dương có tích không đổi,tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số bằngnhau Với 3 số:Cho a ≥ 0, b ≥ 0 ;c ≥ 0 ta luôn có Đẳng thức xảy ra khi a = b = c Khi sử dụng BĐT Côsi ta phải chú ý điều kiện để áp dụng bất đẳng thức là các số a, b, c là những số không âm. Một điều rất quan trọng là phải nhấn mạnh cho học sinh là dấu bằng xảy ra khi nào, điều đó rất quan trọng để sử dụng kĩ thuật cân bằng tổng và cân bằng tích sau này. Để cho các em học sinh dễ nhớ các thầy cô nhấn mạnh và giới thiệu thế nào là trung bình cộng và trung bình nhân, vì vậy ta thấy các bất đẳng thức Côsi đều có dạng chung là trung bình cộng lớn hơn trung bình nhân. II.Các kĩ thuật chính 1. Sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi. Mục đích chính của lớp bài tập này là giúp học sinh làm quen và có hứng thú đầu tiên khi sử dụng bất đẳng thức côsi. Bài tập 1. Chứng minh rằng (1) Phân tích: Ta đã chứng minh được bài tập này bằng phương pháp biến đổi tương đương, sau đây là một cách làm khác: Giải: do a>0 và b>0 nên vì vậy áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: Dấu bằng xảy ra khi Các bài tập mà các thầy cô giáo cho học sinh vận dụng tương tự có thể là: Tiếp tục phát triển áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: Bài tập 2: Chứng minh rằng: (2) Phân tích: Có nhiều cách giải bài tập trên: Cách 1: là nhân ra ở vế trái sau đó áp dụng bất đẳng thức Côsi cho a/b và b/a. Cách 2: Qui đồng rồi đưa về (a+b)2 ≥ 4ab, khai căn để trở về bất đẳng thức Côsi v.v... Tuy nhiên các phép biến đổi đó là dài ta có thể làm như sau: Giải: Vì a > 0, b > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: Dấu bằng xảy ra khi a = b. Các bài tập tương tự có thể dùng để củng cố 1) (3) 2) i) (4) ii) (5) iii) (6) iv) (7) v) vi) Lúc này ta nên chú ý cho học sinh là: từ các bất đẳng thức trên bằng các phép biến đổi tương đương ta có thể suy ra một số bất đẳng thức phụ khá hữu ích: (2a) (2b) (2c) (2d) (3a) Mà nó có thể áp dụng để giải một vài bài tập khó rất đơn giản: 1) Với a + b + c ≥ 1, a, b, c > 0 CMR: (Đại học Bách khoa) (8) 2) ĐHKHTN - 2000: Cho x, y, z > 0 với . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: (9) Giải: Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3/2. 2. Kĩ thuật dùng hoán vị vòng. Đây là một kĩ thuật phổ biến khi dùng bất đẳng thức Côsi , rất đơn giản và hiệu quả khi dùng và tạo rất nhiều hứng thú cho học sinh. Bài tập 3: Chứng minh thì (9) Phân tích: Nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi cho 3 số hạng ta thấy khó có thể làm ngay được, vì vậy ta cần linh hoạt vận dụng cho từng bộ hai số. Giải: Vì a > 0, b > 0, c > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các cặp: đpcm Dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Bài tập 4: Cho ba số không âm a,b,c. chứng minh: . Giải: Theo Bất đẳng thức Cosi ta có: ; Tương tự ta cũng có: Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta suy ra điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Ta thấy rằng phương pháp này áp dụng có hiệu quả rất tốt cho một lớp các bài tập sau: 1) 2) 3) 4) . Ngoài ra để tránh nhàm chán các thầy cô có thể bổ sung thêm một loạt các bài tập khác ở mức độ khó hơn: 1) Chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c) 2) Chứng minh rằng : ( khối D-2004) 3) Nếu x, y z là các số dương thỏa mãn xyz = 1 thì 4) : 3. Phương pháp cân bằng tổng Phương pháp này xuất phát từ một nhận xét sâu sắc trong sách giáo khoa, tức là khi “ nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhau”. Mở rộng một cách tự nhiên thì để chứng minh tổng S= S1 + S2+ ... + Sn m , ta biến đổi S = A1+A2+...+An là các số không âm mà có tích A1A2...An = C không đổi, sau đó ta áp dụng bất đẳng thức Côsi. Bài tập 5: Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) = x + khi x > 1 Giải: áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số x - 1 > 0 và > 0 ta có . Vậy f(x) đạt giá trị nhỏ nhất là 3 khi x = 2. Bài tập 6. Chứng minh rằng nếu x > -1 thì Phân tích: Nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi thì ta thấy chưa ra kết quả, nhưng nếu tách 2x thành x+1+x+1-2 thì có ngay điều phải chứng minh. Bài tập 7. Chứng minh rằng nếu x ≥ 0 thì . Phân tích: Biến đổi vế trái thành một tổng của các số hạng có tích không đổi, vì vậy phải phân tích x thành 3 số hạng là (x+3)/3 Giải: Bất đẳng thức đã cho tương đương . áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 số dương gồm ba số và ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi x=0 Bài tập 8 Cho . Chứng minh: . Giải: Phân tích: Biến đổi vế trái thành một tổng của các số hạng có tích không đổi, vì vậy phải phân tích 2x thành 3 số hạng là (4x-4y);(2y+3);(2y+3) và thêm bớt 6 Ta có: Từ đó suy ra đpcm. dấu bằng xảy ra khi: . Để luyện tập ta có thể cho các em áp dụng những bài tương tự sau: 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = với x > 0 2) Chứng minh rằng nếu nếu x > - 3 thì 3) Chứng minh rằng nếu a > b > 0 thì a + 4) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x + y biết x > 0, y > 0 thoả mãn: Hướng dẫn: từ biểu thức ta có y = do vậy Q = 5) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức R = với a > 0, b > 0 Hd: R = sau đó dùng bất đẳng thức Côsi. Các thầy cô cố gắng đặt cho học sinh cho học sinh câu hỏi là tại sao lại làm như vậy? 6) Chứng minh rằng 4. Phương pháp cân bằng tích. Từ một hệ quả quan trọng trong sách giáo khoa: “ Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhau”. Mở rộng ta có: để chứng minh một biểu thức có dạng P= P1P2...Pn M ta phân tích P = B1B2...Bn là các số không âm mà tổng B1 + B2+ ... + Bn = C là một số không đổi. Bài tập 9. Cho a > 0, b > 0 và a + b = 1 chứng minh rằng ab2 ≤ . Phân tích: ta cần tách biểu thức ab2 thành một tích có tổng không đổi mà tổng đó chắc chắn phải liên quan đến a + b = 1. Giải: ab2 = mà theo bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương là a, b/2,b/2 ta có: đpcm. Dấu bằng xảy ra khi a = 1/3; b = 2/3. Bài tập 10: Cho hai số thực không âm x,y thoả mãn điều kiện . Tìm GTLN của biểu thức: . Giải: Theo BĐT Cosi ta cú: . ( Do ). Vậy khi . Các bài tập tương tự mà các thầy cô có thể vận dụng cho học sinh là: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1) y = 4x3 - 3x2 với 0 ≤ x ≤ 4/3 2) y = (3 - x) (4 - y) (2x + 3y) với 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 4 3) y = (2 + x) (4 - x2) với 0 ≤ x ≤ 4 4) y = x (1 - x2) với 0 ≤ x ≤ 1 5) y = 5. Phương pháp thêm hạng tử và chọn điểm rơi Côsi Đây là phương pháp rất lôi cuốn học sinh, bằng cách thêm các số hạng phù hợp và sử dụng khéo léo bất đẳng thức Côsi ta có thể đạt những kết quả không ngờ! Bài tập 11. Chứng minh thì Phân tích: trước hết ta nhận thấy nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Cô si thì cũng không ra được kết quả, kĩ thuật vòng cũng không giải quyết được. Bây giờ ta đánh giá dấu bằng xảy ra khi nào, dễ nhận thấy đó là khi a = b = c khi đó a2/b =a vì vậy ta thêm b vào phần tử đại diện a2/b để có chứng minh sau: Chứng minh: áp dụng bất đẳng thức Cô si cho các số dương thì ta có: Tuy nhiên câu hỏi đặt ra là tại sao lại thêm hạng tử b cho a2/b? Giả sử cần thêm cho a2/b số hạng m. sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có: a2/b + m ≤2. Vậy m cần được chọn sao cho: 1. có thể triệt tiêu được b, hay là mất mẫu số do vế trái của bđt không có mẫu 2. Khi dấu bằng xảy ra thì a2/b = m = a = b = c. Rõ ràng m chỉ có thể bằng b được thôi. Bài tập sau sẽ làm sáng tỏ hơn: Bài tập12. Chứng minh rằng thì Phân tích: Ta cần thêm cho một số m thoả mãn: 1. rút gọn được mẫu số (b+c) sau khi áp dụng bđt Côsi (+m ≥) 2. dấu bằng của bất đẳng thức Côsi xảy ra được nghĩa là = m và a= b = c suy ra Và để tính ỏ thì . Dễ thấy khi thay a=b=c thì ỏ =4. Chứng minh: áp dụng bất đẳng thức Cô si cho các số dương thì ta có: Dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Tuy nhiên thêm hạng tử nào cho hợp lí thì tùy từng bài và ví dụ cụ thể Bài tập 13: Chứng minh rằng với x,y,z > 0: Phân tích: ta thấy rằng với hạng tử x3/ y có thể có hai hướng sau: Cách 1: hs sẽ thêm x3/y +xy ≥ 2x2 ; y3/z +zy ≥ 2y2 ; z3/x +xz ≥ 2z2; sau đó chứng minh x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx, cộng các bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh. Cách 2: cộng lại ta có điều phải chứng minh. Bài tập 14: Chứng minh rằng với a, b, c>0 ta có Giải: áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: ≥ 3, Cộng vế với vế suy ra điều phai chứng minh. Bài tập 15: CMR nếu x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz = 1 ta có x3 + y3 +z3 ³ x + y + z Phân tích: Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1, vì vậy ta sẽ thêm vào x3 hai số hạng là 1,1 để sử dụng bất đẳng thức Côsi hợp lí. Hướng dẫn: x3 + 1 +1 ≥ 3x; y3 + 1 +1 ≥ 3y; z3 + 1 +1 ≥ 3z; 2(x3 + y3 +z3 ) ≥ 6 Theo thống kê thì có khoảng 80% học sinh sẽ sử dụng cách 1 để làm. Bài tập 16 Cho 3 số thực dương a,b,c. Chứng minh: Giải: Theo BĐT Cosi ta cú: . Tương tự ta cũng cú: . Cộng cỏc vế của cỏc BĐ này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c. Các bài tập sau cũng áp dụng tương tự: 1) Đề QGHN 2000: Cho a + b + c = 0. CMR 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c Hướng dẫn. Đặt x = 2a ; y = 2b ;z = 2c thì x,y,z dương và xyz = 1. 2) ĐHQGHN: Cho a, b, c là các số dương. CMR: Hướng dẫn: tương tự cho 3) : Hướng dẫn: Chứng minh bất đẳng thức phụ: 4) Với abc = 1 a, b, c > 0 CMR: Với xyz = 1, x, y, z > 0 CMR: thì 6) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: Với a,b,c là các số thực thoả mãn abc = 1; a, b, c> 0. 7) Với x,y,z > 0: 8) CMR: 8x-y + 8y-z + 8z- x ≥ 4x-y + 4y-z + 4z-x Sau đây ta tham khảo hai ví dụ rất lí thú cho Bài tập 17: Nếu a, b, c dương và abc=1 thì Phân tích: ta sẽ thêm cho những hạng tử gì? chắc chắn là có với ỏ là một số dương nào đó. Vấn đề ỏ bằng bao nhiêu, ta chỉ cần chú ý là dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1; khi đó sẽ cho ta ỏ =4. Vì vậy ta có chứng minh sau: Điều phải chứng minh. Bài tập 18: Tìm giá trị nhỏ nhất của P = với a, b là các số dương thoả mãn điều kiện ab = 1. Hướng dẫn: Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1, vậy ta phải thêm cho số hạng . Để tính ỏ ta thấy cho a = b =1 thì ỏ =4. Nhưng như thế ta thấy chỉ xuất hiện vì vậy ta thêm 1/2 để được chứng minh sau: . MinP = 1 6. Kĩ thuật thêm nghịch đảo Đây là một kĩ thuật mà nếu không nhắc và sử dụng sẽ là một thiếu sót rất lớn trong việc sử dụng và chứng minh bất đẳng thức Côsi. Bài tập 19: Tìm giá trị nhỏ nhất của P = với x, y là các số dương thỏa mãn x+y=1. Giải: Ta đã làm bài tập này bằng Côsi nhưng ta cũng cố thể làm như sau: P = dấu bằng xảy ra khi x+y=1 và 3x2 = 2y2 Khi Bài tập 20: Chứng minh bất đẳng thức Nesbit: nếu a, b, c là các số dương thì (1) HD: Thêm 3 vào hai vế của bất đẳng thức ta xuất hiện (2) Đặt: Khi đó x,y,z là các số dương và (3) áp dụng Côsi: cho 3 số x,y,z ta có: Cho 3 số: ta có: Nhân vế với vế 2 bất đẳng thức suy ra điều phải chứng minh. 7.Kĩ thuật Co-si ngược dấu: Bài tập 21: Cho a,b,c là 3 số dương thoả mãn a + b + c = 3 . CMR: Phần lớn những học sinh giải bài toán này như sau : Quy đồng mẫu số, BĐT cần chứng minh tương đương với: . Thay a + b + c = 3, ta có thể chứng minh bất đẳng thức nhờ Côsi : .Tương tự với hai hoán vị. . tương tự với 2 hoán vị. (Cô-si cho 6 số). Bất đẳng thức cuối cùng đúng là do . Lời giải 2: Sử dụng kĩ thuật Co-si ngược dấu: BĐT cần chứng minh (do a+b+c = 3) Do Tương tự với 2 hoán vị ta có: .Mặt khác Dấu bằng xảy ra a=b=c=1 Lời giải 2 trình bày ngắn gọn và dễ hiểu hơn. Mở rộng tương tự ta có bai toán 2. Bài tập 22:Cho a,b,c dương thoả mãn:a+b+c=3.Chứng minh rằng: (1) Lời giải: Ta có: Mà . Tương tự với 2 hoán vị ta có: Cộng vế với vế các bất đẳng thức đó ta đươc: Do đó Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 III Các bài tập chọn lọc Cuối cùng tôi xin đưa ra một lớp các bài tập tham khảo để các thày cô nâng cao kĩ năng giải bài cho các em: 1. Cho x, y, z > 0 cm: 2. Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: 3. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 CMR: 4. Cho x + y = 1, x, y > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 5. CMR a, b > 0 ta có . HD 6. ĐH BKHN - 2000: Cho a + b ≥ 0. Chứng minh Cho tam giác ABC. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 6. Thi vào lớp 10 Tổng Hợp - ĐHQG:x, y > 0, x2 + y2 = 1. CMR 7. Chuyên TT - ĐHSP:Cho a, b, c là 3 số thực và abc = 1. CMR HD: ; sau đó sử dụng a3+b3≥ab(a+b) 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: với a, b là số dương và thoả mãn a + b = 1 HD: dùng bất đẳng thức Côsi 2 lần. 9. Cho tam giác ABC với AB = c, BC = a, CA = b. Gọi S là diện tích tam giác ABC và M, N, P là các số thực sao cho m + n, n + p, p + m đều là số dương. CMR: 10. Chứng minh rằng: a) b) c) x > 0, y > 0, x + y = 1. CM: 11. Giả sử x, y là các số dương thoả mãn x + y = . Tìm giá trị của x, y để P = ( x4+ 1) ( y4+ 1) đạt giá trị nhỏ nhất. HD. đặt t= xy thì x2 + y2 = 10 - 2t; x4 + y4 = 2t2 – 40t + 100 12. Cho tam giác ABC nội tiếp trong ( O; R ) có 3 góc nhọn với BC = a, AC = b, AB = c. Lấy I bất kỳ ở phía trong tam giác ABC, gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm I đến các cạnh BC, AC, AB của tam giác.Chứng minh HD. CM ax + by + cz = 2S. Sử dụng bất đẳng thức Bunhia 13. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc = 1 CMR: HD tách: 14. Cho a + b = 5, a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất 15. CMR Trong đó x, y, z là những số không âm thoả mãn x + y + z = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của với a, b, c dương và thoả mãn a + b + c = 3 HD: Bình phương hai vế: , tương tự. 17. CMR nếu a, b, c, d > 0 thì: a) b) HD: Tương tự cho câu b. 18. 19. Cho ba số dương x, y, z thoả x + y + z =1 . Chứng minh: 20. Cho là các số dương và . Chứng minh rằng: (ĐH 2003) 21. Cho là các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng: (ĐH 2005) 22. Chứng minh rằng với mọi x : (ĐH 2005) 23. Cho là các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng: (ĐH 2005) 24. Chứng minh rằng với mọi thì (ĐH 2005) 25. Cho thỏa mãn . Chứng minh (ĐH 2005) 26. Cho là ba số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng: (ĐH 2005) 27. Cho thỏa mãn . Chứng minh (ĐH 2006) 28. Tỡm GTNN của hàm số (ĐH 2006) 29. Cho là hai số dương thỏa mãn điều kiện . Tìm GTNN của biểu thức (ĐH 2006) 30.Ba số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng: (ĐH 2001) 31 Giả sử và là hai số dương và . Tìm GTNN của (ĐH 2001) 32. Cho hai số thực thỏa mãn . Tìm GTLN của biểu thức (ĐH 2006) 33. Chứng minh rằng nếu thì (ĐH 2006) III.Kết luận Trên đây tôi đã đưa ra một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng việc sử dụng bất đẳng thức Côsi,kèm theo phân tích bài toán.Qua thực tiễn giảng dạy tôi thấy rằng để học sinh có kĩ năng chứng minh tốt bất đẳng thức thì trước hết người thầy phải làm cho học sinh hiểu được cái hay và đẹp của bất đẳng thức, đồng thời vì dạy chứng minh bất đẳng thức là lĩnh vực khó nên các thầy cô cũng nên căn cứ vào sức của học sinh để đề ra những bài tập phù hợp. Theo kinh nghiệm của tôi, ứng với ba mức độ nhận biết, thông hiểu và vận dụng thì đầu tiên bao giờ cũng là các bài tập nhận biết và thông hiểu các kiến thức cơ bản, rất đơn giản. Sau đó dần nâng mức độ bài tập lên. Chính vì vậy để sử dụng tài liệu này tôi đã cố gắng lựa chọn và sắp xếp ví dụ cho hợp lí, nhẹ nhàng, đơn giản và vừa sức với học sinh của mình.Tuy nhiên đây là một nội dung khó và kinh nghiệm giảng dạy của tôi còn hạn chế nên chắc chắn còn thiếu sót và không tránh khỏi một số sai lầm. Mong các thầy cô xem và đóng góp ý kiến để chuyên đề được hoàn thiện hơn.Xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp. Bắc ninh tháng 2 năm 2012 Giáo viên Lê Thị Hồng Thúy