Chuyên đề Bất đẳng thức trong chương trình Toán THCS

Danh sách nhóm 1 lớp Đại học tại chức Toán K1 - Phú thọ. STT Họ và tên Nghiên cứu phần Nguyễn Mạnh hưởng Phương pháp 1: Phương pháp dùng định nghĩa Đào trung tuyến Phương pháp 2: Dùng tính chất của Bất đẳng thức để biến đổi tương đương đào thuỷ chung Phương pháp 3: Dùng tính chất của tỉ số đỗ văn thành Phương pháp 4: Phương pháp phản chứng nguyễn văn thành Phương pháp 5: Phương pháp quy nạp nguyễn quang hiền Phương pháp 6: Dùng Bất đẳng thức trong tam giác nguyễn ngọc chiến (Nt) Phương pháp 7: Phương pháp làm trội đỗ ngọc ngà Phương pháp 8: Phương pháp sử dụng Bất đẳng thức Cauchy và Bất đẳng thức Bunhiacopxky. lê anh xuân Phương pháp 9: Phương pháp dùng tam thức bậc hai nguyễn minh hải Phương pháp 10: Phương Pháp hình học vũ mạnh dương. Một số ứng dụng của BĐT A - phần mở đầu I- Lý do chọn đề tài 1- Cơ sở khoa học: Như chúng ta đã biết, thông qua việc học toán học sinh có thể nắm vững được nội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó học sinh vận dụng vào các môn học khác nhất là các môn khoa học tự nhiên. Hơn nữa toán học còn là cơ sở của mọi ngành khoa học khác, chính vì thế toán học có vai trò quan trọng trong nhà trường phổ thông, nó đòi hỏi người thầy giáo mọi sự lao động nghệ thuật sáng tạo, để tạo ra những phương pháp dạy học giúp học sinh học và giải quyết các bài toán. Bất đẳng thức là một nội dung quan trọng trong chương trình toán học từ tiểu học đến trung học. Việc nắm vững các phương pháp giải Bất đẳng thức không những giúp học sinh học tốt bộ môn toán mà còn có tác dụng hỗ trợ cho nhiều môn học khác như hoá học, vật lý, tin học. Đặc biệt việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh từ tiểu học đến trung học. Nhưng vấn đề đặt ra cho mỗi giáo viên toán hiện nay là giúp học sinh học tốt bộ môn toán nói chung và Bất đẳng thức nói riêng. Trong quá trình dạy toán ở THCS, qua kinh nghiệm giảng dạy và tìm tòi tài liệu nhóm chúng em đã hệ thống được một số phương pháp giải Bất đẳng thức mà chúng em thiết nghĩ mỗi giáo viên toán cần trang bị cho học sinh có như vậy học sinh mới giải được toán Bất đẳng thức góp phần phát triển tư duy toán học, tạo điều kiện cho việc học toán ở THCS và học các môn học khác. 2- Cơ sở thực tiễn: Bất đẳng thức là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó. Nhiều học sinh không biết giải Bất đẳng thức thì phải bắt đầu từ đâu và phương pháp giải toán Bất đẳng thức như thế nào. Thực tế cho thấy toán Bất đẳng thức có nhiều trong chương trình THCS, nhưng không được hệ thống thành những phương pháp nhất định, gây cho học sinh nhiều khó khăn khi gặp, khi giải toán Bất đẳng thức. Các bài toàn có liên quan tới Bất đẳng thức hầu như có mặt ở mọi đề thi kể cả các đề thi tốt nghiệp tới đề thi học sinh giỏi các cấp và thi vào lớp 10 THPT. Đối với các giáo viên còn thiếu kinh nghiệm giảng dạy, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi thì việc nắm vững phương pháp Bất đẳng thức sẽ bổ sung kho kiến thức cho họ. Đối với học sinh khắc phục được những hạn chế trước đây giúp cho học sinh có tinh thần tự tin trong học tập bộ môn toán. II - Mục đích nghiên cứu: Góp phần quan trọng trong việc giảng dạy toán học nói chung và Bất đẳng thức nói riêng. Đặc biệt là việc bồi dưỡng học sinh giỏi và học sinh thi vào lớp 10 THPH chuyên. Giúp học sinh biết phân loại và vận dụng các phương pháp giải Bất đẳng thức một cách nhanh chóng và hiệu quả. Phát huy được tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh trong quá trình học tập. III - Phương pháp nghiên cứu: - Nhóm chia mỗi phương pháp cho một học viên nghiên cứu và qua thực nghiệm, rút ra bài học kinh nghiệm của từng phương pháp. Nghiên cứu các phương pháp giải Bất đẳng thức. Thông qua nội dung phương pháp và các bài tập mẫu nhằm củng cố Lý thuyết và phát triển trí tuệ cho học sinh. Rèn kỹ năng học sinh qua các bài tập đề nghị. IV - Phạm vi nghiên cứu và sử dụng: Các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức ở THCS. Bồi dưỡng cho giáo viên và học sinh THCS. B - Những kiến thức cơ bản về Bất đẳng thức I - Định nghĩa: Cho hai số: a, b ta nói số a lớn hơn số b, ký hiệu là: a > b nếu a - b > 0 số a nhỏ hơn số b, ký hiệu là: a < b nếu a - b < 0 II - Tính chất: a > b b < a a < b, b < c a < c (tính chất bắc cầu) a < b a + c < b + c (tính chất đơn điệu) a < b, c < d a + c < b +d (Cộng hai vế của một Bất đẳng thức cùng chiều ta được một Bất đẳng thức cùng chiều với chúng) a d a - c < b - d (trừ hai Bất đẳng thức ngựoc chiều ta được một Bất đẳng thức có chiều là chiều của Bất đẳng thức bị trừ) Nhân hai vế của một Bất đẳng thức a < b với cùng một số m a<b Nhân hai vế của hai Bất đẳng thức không âm cùng chiều ta được một Bất đẳng thức cùng chiều: 0 <a<b, 0<c<d a.c<b.d a> b >0 an> b n; 0>a>b an+1>b2n+1 và an<b2n so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số: m>n>0; a>1 am > an; am < an với 0 < a <1 10) Ngịch đảo hai vế của một Bất đẳng thức ta được một Bất đẳng thức đổi chiều: a b Các tính chất trên có thể chứng minh nhờ định nghĩa và các tính chất trước. III - Một số Bất đẳng thức cân nhớ: A 2k0 với mọi A, Dấu"=" xảy ra khi A=0 Dấu "=" xảy ra khi A=0. Dấu "=" xảy ra khi A.B0 Dấu "=" xảy ra khi A.B0 và Chú ý: - Ngoài các Bất đẳng thức trên còn một số các Bất đẳng thức đúng khác mang tính tổng quát hơn nên khi giải bài tập cần chú ý. - Khi chứng minh song Bất đẳng thức ab ta phải xét trường hợp Dấu “=” xảy ra khi nào. c- các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức I -Phương pháp 1: phương pháp dùng định nghĩa: (Người thực hiện: Nguyễn Mạnh Hưởng) 1-Nội dung phương pháp: Để chứng minh Bất đẳng thức A>B ta chứng minh Bất đẳng thức A-B >0 2- Kiến thức cần vận dụng - Các hằng đẳng thức đáng nhớ đặc biệt là: (A+B)2=A+2AB+B2 - Tổng quát: Các kỹ năng biến đổi đồng nhất để biến đổi hiệu hai vế về các Bất đẳng thức đúng hay điều kiện đúng của đề bài: 3-Bài tập áp dụng Bài 1- Chứng minh Bất đẳng thức a2+b2ab Giải Xét hiệu: a2+b2- ab = (a2+b2- ab)+ b2=( a- b)2+b20 đúng với mọi a, b vì ( a- b)20; b20 Dấu "=" xảy ra khi (a- b)2=b2=0 suy ra a = b = 0 Vậy Bất đẳng thức được chứng minh. Chứng minh tương tự cho Bài a2+b2ab Ta có thể chứng minh cho Bài toán tổng quát: (an)2+(bn)2 Bài 2 - Cho ba số a, b, c thoả mãn 0<a b c chứng minh rằng: Giải Xét hiệu: =[c(a-b)(a+b)-ab(a-b)-c2(a-b)]= (a-b)[c(a+b)-ab-c2] = (a-b)(b-c)(c-a)0 (do 0<a b c ) Dấu "=" xảy ra khi a=b hoặc b=c hoặc a=c Vậy Bất đẳng thức được chứng minh. Bài 3: Cho a b c và x y z hãy chứng minh rằng: Giải Xét hiệu: =(ax+ay+by+bx-2ax-2by) = [(ay-ax)+(bx-by)]= (x-y)(b-a) 0 ( do x y và a b ) Dấu "=" xảy ra khi x=y hoặc a=b Vậy Bất đẳng thức thực được chứng minh Chứng minh tương tự ta được Bất đẳng thức: Bạn đọc có thể tổng quát bài toán. Bài 4: Cho a, b, c, d ,e là các số thực chứng minh rằng: a2+b2+c2+d2+e2 a(b+c+d +e) Giải Xét hiệu: a2+b2+c2+d2+e2- a(b+c+d +e) = a2+b2+c2+d2+e2- ab-ac-ad -ae =( 4a2+4b2+4c2+4d2+4e2- 4ab-4ac-4ad -4ae) =[(a2+4b2+4ab)+(a2+c2+4ac)+(a2+4d2+4ad)+(a2+4e2+4ae)] =[(a+2b)2+(a+2c)2+(a+2d)2+(a+2e )2] 0 Do (a+2b)2 0 và (a+2c)2 0 và (a+2d)20 và (a+2e )20 Dấu "=" xảy ra khi b = c = d = e = Vậy Bất đẳng thức được chứng minh. Vậy Bất đẳng thức được chứng minh. Bài 5: Tổng quát bài 4 Cho ai i=1,2,..,n là các sổ thực. chứng minh rằng: Chứng minh tương tự bài 4 4- Bài tập áp dụng: Hãy chứng minh các Bất đẳng thức sau: 1/ 4.x2+y 2 4xy 2/ x2+y2 +1 xy +x+y 3/ (x+y) (x3+y3) (x7+y7) 4(x11+y11) 4/ x1996+y1996+z1996):( x1995+y1995+z1995)(x+y+z):3 5/ (a3+b3+c3) (a+b+c)(a2+b2+c2): a,b,c >0 6/ Cho các số dương a,b,c chứng minh rằng: a/ b/ II - Phương pháp 2: Dùng tính chất của Bất đẳng thức để biến đổi tương đương: (Người thực hiện: Đào Trung Tuyến) 1) Nội dung phương pháp: Khi chứng minh một Bất đẳng thức nào đó ta biến đổi Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với một Bất đẳng thức đúng hoặc một Bất đẳng thức đã được chứng minh hoặc điều kiện của đề bài. 2) Kiến thức cơ bản: Các tính chất của Bất đẳng thức. Các Bất đẳng thức thường dùng. Kỹ năng biến đổi tương đương một Bất đẳng thức. Các HĐ thức 3- Bài tập mẫu Bài 1: Chứng minh rằng: x2+2y2+2z2 2xy +2yz+2z-1 (*) Giải (*)x2+2y2+2z2 -2xy -2yz-2z +1 0 (x2-2xy+y2)+(y2-2yz+z2)+(z2-2z+1) (x-y)2+(y-z)2+(z-1)20 Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi x,y,z Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1 Vậy Bất đẳng thức dã cho được chứng minh. Bài 2: Chứng minh Bất đẳng thức: (a10+b10) (a2+b2) (a8+b8) (a4+b4) Giải (a10+b10) (a2+b2) (a8+b8) (a4+b4) (a10+b10) (a2+b2) - (a8+b8) (a4+b4) 0 a12+ a10 b2+ a2 b10+ b12-a12 -a8 b4- a4 b8-b12 0 ( a10 b2-a8 b4) +( a2 b10- a4 b8 0 a8 b2(a2-b2) -a 2b8(a2-b2) 0 a 2b2(a2-b2)( a2-b2)(a4+a2b2+b4) 0 a 2b2(a2-b2)2(a4+a2b2+b4) 0 đúng với mọi a, b Dấu "=" xảy ra khi a2=b2 a=b hoặc a=-b và a=0 hoặc b=0 Vậy Bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. *Nhận xét: Từ kết qủa bài toán trên ta có bài toán tương tự: Cho 0a b Chứng minh Bất đẳng thức: (a5+b5) (a+b) (a2+b2) (a4+b4) Bài 3: Chứng minh các Bất đẳng thức (x-1)(x-3)(x-4 )(x-6) - 9 Cho a c 0 và b c chứng minh + Giải Nhận xét: Ta thấy 3+4=1+6 nên ta nhân (x-1)( x-6) và (x-3)(x-4 ) (x-1)(x-3)(x-4 )(x-6) - 9 ú (x-1)( x-6) (x-3)(x-4 )+9 0 ú (x2-7x +6)(x2-7x+12)+9 0 ú (x2-7x +6)(x2-7x+6+6)+9 0 ú (x2-7x +6)2+6(x2-7x+6) +9 0 ú (x2-7x +9)2 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của x => (x-1)(x-3)(x-4 )(x-6) - 9 Dấu "=" xảy ra khi x2-7x +9 =0 ú x= b ) + ú(+)2 ()2 ú c(a-c)+c(b-c) +2 ab ú c2 +2c +(a-c)(b-c) 0 ú( c-)2 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi giá trị của a,b,c thoả mãn điều kiện của đề bài vậy + với a c 0 và b c Bài 4: Chứng minh Bất đẳng thức: ++ 4 (++)2. biết a,b,c >0 Giải Ta có ++ =. Do a, b, c >0 và (a+b)(b+c)(c+a) 8abc =>++ Hay ++ ú 2(++ ) ++ (1) Trong (1) Dấu "=" xảy ra khi a=b=c Mặt khác ta có (a+b)2 4ab tương tự ta có và suy ra + + + + (2) Trong (2) Dấu "=" xảy ra khi a=b=c Từ (1) và (2) Ta có ++ 4 (++)2 Dấu "=" xảy ra khi a=b=c Nhận xét: Để chứng minh Bất đẳng thức nhiều khi ta biến đổi từ một Bất đẳng thức đúng có dạng tương tự như Bất đẳng thức cần chứng minh. Sau đây là một ví dụ nữa kiểu như vậy. Bài 5: Cho 0 < a ,b, c và abc =1 chứng minh Bất đẳng thức sau: ++ 1 Giải Do 0 a b c => (a-b)2(a+b) 0 Dấu "=" xảy ra khi a=b ú (a-b)(a+b)(a-b)0 ú (a2-b2)(a-b) 0 ú a3-a 2b-ab2+b3 0 ú a3 +b3 a 2b+ab2 ú a3 +b3 +1a 2b+ab2+abc ú a3 +b3 +1(a+b+c)ab ú = (do abc= 1 => ) suy ra Tương tự ta có Dấu "=" xảy ra khi b=c và Dấu "=" xảy ra khi a=c Cộng vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta được: ++ 1 Dấu "=" xảy ra khi a=b=c =1 4 - Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho 0 x,y,z 1 chứng minh: 0 x+y+z -xy-yz-zx 1 x2+y2+z2 1+x 2 y +y2 z +z2 x ++ 2 Bài 2: Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của tam giác, có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng: a2+b2+c2+2abc < 2 Bài 3: Chứng minh với mọi x, y > ta có: x4 - x 3y +x2 y2 -xy3 +y4 >x2+y2 Bài 4: Cho a, b ,c là ba số tuỳ ý thuộc đoạn [0,1]. Chứng minh: a2+b2+c2 1+ ab +b2 c +c2 a 2(a3+b3+c3) -(a2 b+b2 c+c2 a) 3 + 2 III - Phương pháp 3: Dùng tính chất của tỉ số (Người thực hiện: Đào Thuỷ Chung) Nội dung phương pháp: Khi vận dụng các tính chất của tỷ số thì việc chứng minh Bất đẳng thức trở nên rất nhanh và gọn. Kiến thức cần vận dụng: Với ba số dương a,b.c Nếu 1 Thì Dấu "=" xảy ra khi a=b Nếu 1 Thì Dấu "=" xảy ra khi a=b Nếu b, d >0 và Dấu "=" xảy ra khi ad=bc Bài tập mẫu: Bài 1: Cho a,b, c là số đo ba cạnh của tam giác: Chứng minh rằng:1< ++<2 Giải Do a, b, c là ba cạnh của tam giác nên ta có: a, b, c >0 và a+b > c; b+c > a Và c+a >b. Từ a+b > c < 1 < = < Chứng minh tương tự ta có: < và < Cộng vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta được ++<++= 2 - Ta có ++ >++=1 Do a, b, c dương Vậy 1< ++< 2 (đpcm) Nhận xét: ở đây ta đã sử dụng tính chất: Với ba số dương a,b,c Nếu 1 Thì Dấu "=" xảy ra khi a=b Bài 2: Chứng minh rằng Nằm giữa giá trị nhỏ nhất và gí trị lớn nhất của (, , , ) ở đó bi là các số dương i=1,2,..,n Giải Gọi giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của (, , , ) thứ tự là m và M Khi đó ta có m M với mọi i=1,2,,n mbi ai bi.M Do bi>0 với mọi i=1,2,,n Lần lượt cho i+ 1,2,..,n rồi cộng các vế lại với nhau ta được: m( b1+b2++bn) < a1+a2++an < M( b1+b2++bn) m 0 (đfcm) Bài 3: Cho a>0 ,b>0 chứng minh rằng: (+) < <+ Giải Ta chứng minh (+) < Do a > 0 ta có < 1 < Tương tự ta có: < Cộng vế với vế của hai Bất đẳng thức cuối ta được: (+) < 2 (+) < (1) *) Ta chứng minh <+ Do a, b dương ta có > và > Cộng vế với vế của hai Bất đẳng thức này ta được: <+ (2) Từ (1) Và ( 2) Ta được: (+) < <+ Bài tập áp dụng: Bài 1: Chứng minh rằng << Bài 2: Cho a, b là các số dương thoả mãn ab =1 chứng minh rằng: +<<+ Bài 3: Cho chứng minh rằng IV - Phương pháp 4 Phương pháp phản chứng (Người thực hiện: Đỗ Văn Thành) Nội dung phương pháp Để chứng minh A B ta giả sử phản chứng A<B rồi điều vô lý với giả thiết hoặc các hằng Bất đẳng thức từ đó khẳng định A B là đúng. Kiến thức cần nhớ: Các tính chất của Bất đẳng thức. Các Bất đẳng thức có sẵn. Kỹ năng biến đổi tương đương một Bất đẳng thức. Các hằng đẳng thức và hằng Bất đẳng thức. Bài tập mẫu: Bài 1: Cho 0 0,25; b (1-c) >0,25; c(1-a) > 0,25 Giải Giả sử cả ba Bất đẳng thức a(1-b) > 0,25; b (1-c) >0,25; c(1-a) > 0,25 đều đúng khi đó a(1-b) b (1-c) c(1-a) >0,25 3 (1) Mặt khác ta có a(1-a) = a - a2 = 0,25 -(a2 -2. a.0,5 + 0.25 ) = 0,25 -( a-0,5 ) 2 0,25 a(1-a) 0.25 Tương tự ta có b(1-b) 0,25 và c(1-c) 0,25 Nhân vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta được: a(1-b) b (1-c) c(1-a) 0,25; b (1-c) >0,25; c(1-a) > 0,25 có ít nhất một Bất đẳng thức sai. Bài 2: Chứng minh rằng không có ba số x,y,z mà có thể thoả mãn đồng thời ba Bất đẳng thức sau: < , , Giải: Giả sử phản chứng cả ba Bất đẳng thức trên không có Bất đẳng thức nào sai nghĩa là cả ba Bất đẳng thức đó đều đúng khi đó ta có: : < x2 < (y-z )2 x2 -(y-z )2 <0 (x-y+z)(x+y-z) < 0 Tương tự ta có (y-x+z)( y+x-z)<0 và (z-y+x)(z+y-x )<0 Nhân vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta được: [(y-x+z)( y+x-z) (x-y+z)]2 <0 vô lý. Vậy không có ba số x,y,z nào thoả mãn đồng thời ba Bất đẳng thức: < , , Bài 3: Cho các số thực a,b,c thoả mãn điều kiện Hãy chứng minh rằng: a,b,c > 0 (*) Giải: Giả sử (*) không đúng có ít nhất một trong các số a,b,c phải 0 Không mất tình tổng quát giả sử a 0. do abc >0 bc <0 Xét trường hợp a 0 b>0 c<0 a+c<0 từ gỉa thiết ta có b >-a-c b(a+c) < -(a+c)2 ac + b(a+c) < ac-(a+c)2 ac + b(a+c) < -(-ac+a2+c2) ac +ba +bc < -(a-0.5c)2- 0.75c2 0 Trái giả thiết ab +bc +ca >0 Tương tự đồi với trường hợp A 0 b0 ta cũng điều vô lí. Vậy (*) được chứng minh. Bài 4: Chứng minh rằng: Tổng của một phân số dương với nghịch đảo của nó không nhỏ hơn 2. Giải: Giả sử phản chứng >0 ta có + < 2 + - 2 <0 <0 < 0 Điêù này là vô lý + 2 Vậy Tổng của một phân số dương với nghịch đảo của nó không nhỏ hơn 2. 4-Bài Tập áp dụng: Bài1 Cho ba số dương nhỏ hơn 2 a,b,c: chứng minh rằng ít nhất một trong các Bất đẳng thức sau là sai: a(2-b)>1; b(2-c) >1; c(2-a)>1 Bài 2 Cho a,b,c là ba số dương thoả mãn abc =1 chứng minh rằng: S=(a-1 +b-1)( b-1+c-1)(c-1+a-1) 1 Bài 3 Cho a+b+2cd chứng minh rằng ít nhất một Bất đẳng thức sau đúng: c2> a: d2 > b Bài 4: Cho a,b,c,x,y,z là các số thực thoả mãn: Chứng minh rằng trong các Bất đẳng thức sau có ít nhất một Bất đẳng thức sai ax2+bx +c y ; ay2+by +c z ; az2 + bz +c x V- Phương pháp 5: Phương pháp quy nạp; (Người thực hiện: Nguyễn Văn Thành) 1) Nội dung phương pháp; Có rất nhiều các Bất đẳng thức mà bằng các cách chứng minh thông thường thì không thể chứng minh được. Thường các Bất đẳng thức đó có dạng dãy số hoặc những Bất đẳng thức tổng quát. Thông thường để chứng minh các Bất đẳng thức kiểu như vậy ta dùng phương pháp quy nạp. Để chứng minh một Bất đẳng thức đúng với mọi n ,bằng phương quy nạp chứng ta thực hiện các bước sau; Bước 1 Kiểm tra xem Bất đẳng thức đúng với n0 nào đo ( thông thường ta chọn n0 =0 hoặc 1) Bước 2 Giả sử Bất đẳng thức đúng với k Bước 3 ta chứng minh Bất đẳng thức đúng với k+1 Bước 4 Kết luận Bất đẳng thức đúng với mọi 2- Kiến thức cần vân dụng: Các tình chất của Bất đẳng thức: Kỹ năng biến đổi đẳng thức và Bất đẳng thức. 3 Bài tập mẫu: Bài 1: Chứng minh rằng: a) [(a+b):2]n (an+bn):2 với a+b 0 và Nn b) < a 0 Giải +) Với n =1 ta có (a+b):2 (a+b):2 đúng +) Giả sử Bất đẳng thức đúng với n=k tức là [(a+b):2]k (ak+bk):2 +) Ta chừng minh Bất đẳng thức đúng với n =k+1 Tức là: [(a+b):2]K+1 (ak+1+bk+1):2 Thật vậy: xét [(a+b):2]K+1=[(a+b):2]K[(a+b):2] [(ak+bk):2][ (a+b):2] Ta chứng minh (ak+bk) (a+b) 2(ak+1+bk+1) ak+1+bk+1+ak b+abk 2(ak+1+bk+1) ak+1+bk+1-ak bb - abk0 (a-b)( ak - bk) 0 * Nếu a,b 0 thì * đúng. Nếu a 0 b a-b 0 mà a+b 0 (gt) a -b a ak b k ak - bk 0 * đúng Chứng minh tương tự cho trường hợp a 0 b ta được * đúng Do a+b 0 nên a, b không cùng <0. Vậy * đúng với mọi a,b thoả mãn điều kiện của đề bài. +) Vậy Bất đẳng thức [(a+b):2]n (an+bn):2 với a+b 0 và Nn được chứng minh. + Với 1 Bất đẳng thức trở thành < 2 < Ta có: >1 +2 >2 đúng a + Giả sử Bất đẳng thức đúng với k tức là: < a 0 + Ta chứng minh Bất đẳng thức đúng với k+1 tức là < a 0 Đặt xn = xk= xk+1= = Ta chứng minh < a 0 ()2<()2 a+xk < 4xk <2= xk < Đúng do giả thiết quy nạp Bất đẳng thức đúng với n = k+1. + Vậy < a 0 Bài 2: cho tan giác vuông a,b là độ dài ba cạnh góc vuông, c là độ dài cậnh huyền của tam giác đó chứng minh rằng: b2n+a2n c2n Giải: + Với 1 theo định lí Pithago ta có b2+a2 = c2 Bất đẳng thức đúng. + Giả sử Bất đẳng thức đúng với k tức là b2k+a2k c2k + Ta chứng minh Bất đẳng thức đúng với n = k+1 hay: b2(k+1)+a2(k+1) c2(k+1) Thật vậy: Ta có c2(k+1) = c2k+2=c2k. c2 (a2k+b2k)(a2+b2) =a2k+2 + a2k. b2 +b2ka2 +b2k+2 a2k+2 + b2k+2 b2(k+1)+a2(k+1) c2(k+1) (đfcm) Vậy cho tan giác vuông a,b là độ dài ba cạnh góc vuông, c là độ dài cậnh huyền của tam giác đó ta có; b2n+a2n c2n Bài 3 cho m,n là các số nguyên dương. Chứng minh rằng trong các số , có ít nhất một số không vượt quá Giải: Trước hết ta chứng minh 3 n n3 * n, Z+ n bằng quy nạp. + Với n =1: ta có 3 1 * đúng + Với n =2: ta có 9 8 * đúng + Với n =3: ta có 27 27 * đúng + Với n = 4: ta có 81 64 * đúng Giả sử Bất đẳng thức * đúng với n =k 4 tức là 3 k k3 Ta chứng minh Bất đẳng thức * đúng với n =k+1 tức là 3 k+1 (k+1)3 Thật vậy: Ta có 3k+1 = 3. 3k 3 k3=k3 +3k2+ 3k +1 +k3-3k2 +k3 -3k -1 = =(k+1)3 +k2(k-3) +k(k2-3) -1 > (k+1)3 do k 4 nên k2(k-3) +k(k2-3) >1 3k+1> (k+1)3 Bất đẳng thức * đúng với n = k+1 Vậy 3 n n3 n, Z+ n n, Z+ n Với m là số tự nhiên Nếu m n Nếu m n Vậy với m,n là các số nguyên dương trong các số , có ít nhất một số không vượt quá . Bài tập áp dụng: Bài 1: a) Chứng minh rằng với n 3 ta có 2n >2n +1 Chứng minh 1.2.3.n < 2-n. (n+1 )n n 1, Chứng minh: 1+ Bài 2: Chứng minh các Bất đẳng thức sau: 2n+2 >2n+5 n 1, N n [(n+1)!]n 2!.4!.(2n)! n , N* n (2n)! < 22n(n!)2 n , N* n VI-Phương pháp 6 Dùng Bất đẳng thức trong tam giác: (Người thực hiện: Nguyễn Quang Hiền) Nội dung phương pháp Nhiều Bất đẳng thức mà các yếu tố có liên quan tới cả số và cả hình nên khi giải Bất đẳng thức đó ngoài việc vận dụng các tính chất của Bất đẳng thức ta phải sử dụng cả các tính chất khác trong hình học đặc biệt là Bất đẳng thức trong tam giác. Các kiến thức cần vận dụng: Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì ta có a, b, c >0 |a-c| < b <a+c ; |b-c| < a <b+c và |c-a| < b < a+c Một số quan hệ khác trong tam giác: Bài tập mẫu: Bài 1: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh trong một tam giác chứng minh rằng (a+b+c)2 9bc. Biết a b c Giải: Ta có a+b+c 2b+c do a b Ta đi chứng minh (2b+c)2 9bc (1) (1) 4b2 + 4 bc + c2 9bc 4b2 - 5 bc + c2 0 4b2 -4bc -bc+ c2 0 4b(b-c) -c(b-c) 0 ( b-c)(4b-c) 0 (2) ta thấy b c b-c 0 và 4b-c a+b-c +2b 0 (2) đúng Vậy Bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Bài 2: cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác hãy chứng minh rằng: a2 +b2 +c2 < 2 (ab+bc+ca) Giải: Do a,b ,c là độ dài ba cạnh trong một tam giác nên ta có: 0<a<b+c a2< ab + ac tương tự ta có b2 < ba+bc và c2 < ca +cb Cộng vế với vế của ba Bất đẳng thức cuối cùng ta được: a2 + b2 +c2 < 2 (ab+bc+ca) (Đfcm) Bài 3: Cho a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng: a(b-c)2+ b(c-a)2 c(a-b )2 > a3 + b3 + c3 Giải: a(b-c)2+ b(c-a)2 c(a-b )2 > a3 + b3 + c3 a(b-c)2+ b(c-a)2 c(a-b )2 - a3 - b3 - c3 > 0 a[(b-c)2 - a 2] + b[(c-a)2 - b2] + c[(a-b)2 -c2] > 0 a(b-c-a)(b-c+a) + b9(c-a-c)(c-a+b) +c(a-b-c)(a-b+c) > 0 ( a+b-c)( ab-ac-a2 -bc-b2+ab+ac+bc+c2) >0 (a+b-c)(c2 - a2- b2+2ab) > 0 (a+b-c)(c-a+b)(c+a-b) >. 0 đúng do a,b ,c là độ dài ba cạnh trong một ram giác Vậy a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác ta có: a(b-c)2+ b(c-a)2 c(a-b )2 > a3 + b3 + c3 Bài tập áp dụng: Bài 1 Cho a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng: a2(b+c)+ b2(+-a) +c2(a+b ) >2abc + a3 + b3 + c3 Bài 2 Cho a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng: a2(b+c)+ b2(c+a) +c2(a+b ) < 3abc + a3 + b3 + c3 bai3 Cho a,c,b là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh rằng: 2a2 b2+2b2 c2 + 2a2 c2-a4 -b4 -c4 > 0 VII - Phương pháp 7: Phương pháp làm trội: (Nguyễn Ngọc Chiến) Nội dung phương pháp: Dùng các tính chất của Bất đẳng thức để đưa một vế của Bất đẳng thức về dạng tính được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn tức là biến Tổng Sn = u1 + u2 +..+ un =(a1 -a2) + (a2-a3) +( a3 -a4 )+.+(an-an+1) Tich T= u1. u2. un = Kiến thức cần vận dụng: Các tính chất của Bất đẳng thức. Kỹ năng biến đổi tương đương Bài tập mẫu: Bài 1: cho các số tự nhiên phân biệt u1 , u2 ,., un khác >1 Chứng minh rằng: (1-)(1-)..(1-). > 0,5 Giải: không mất tính tổng quát giả sử 2 u1 i +1 ( Do các ui phân biệt ) (1-)(1-)..(1-) > (1-)(1-)..(1-) =(1-)(1-)..(1-)(1+)(1+)..(1+) =.== >0,5 Vậy (1-)(1-)..(1-). > 0,5 Nhận xét ở đây ta thay các ui bởi các i+1 để được giá tri nhỏ hơn VT vì u i > i +1 Bài 2 Chứng minh rằng n tự nhiên ta có < Giải: ta có = = Lần lượt thay n= 1,2,3, rồi nhân vế với vế của các Bất đẳng thức đó ta được: < (Đfcm) Bài 3 Cho hn =1+++.+ Chứng minh rằng n là các số nguyên dương ta có +++.+ < 2 Giải: n là các số nguyên dương ta có <- (Do hk = hk-1 +) +++.+ < 1+ ( -) +(-)+..+(- ) +++.+ < 1+- +++.+ < 1+=2 Vậy +++.+ < 2 (đfcm) Bài 4 Chứng minh rằng: ++..+ < Giải: Trước tiên ta chứng minh Với ba số x,y,z thoả mãn x+y+z =0 ta có: = * Thật vậy: Xét ()2 =++ +2(++) =++ +2()=++= áp dụng * với x=1, y=n, z= -(n+1) Ta có < =1+- ++..+<1+-+1 +-+..+1 +-=k+1+-< k+1+= 4 - Bài tập áp dụng: Bài 1 Chứng minh rằng: a)+ +.+>1 Tổng quát b)+ +.+>1 n nguyên dương Bài 2 Cho n là số tự nhiên chứng minh rằng: .a) .b) 1+ Bài 3 Chứng minh trong đó N*, n ak = Bài 4: Chứng minh với mọi số tự nhiên n>1 ta có: VIII- Phương pháp 8: Phương pháp sử dụng Bất đẳng thức Cauchy và Bất đẳng thức Bunhiacopxky (Người thực hiện: Đỗ Ngọc Ngà) 1 - Kiến thức cơ bản Các kỹ năng biến đổi Bất đẳng thức Bất đẳng thức Cauchy cho hai số a, b 0: Dấu "=" xảy ra khi a=b Bất đẳng thức cauchy cho n số không âm a1, a2, , an Dấu "=" xảy ra khi a1 = a2 = = an 2- Bài tập mẫu: Bài 1 Cho n số dương a1 ,, a2, , an và a1, a2. a n =1 Chứng minh rằng: (1+ a1), (1+a2 ). (1+a n) 2n Giải: áp dụng Bất đẳng thức Cauchy hai số 1 và ai, i=1,2,3,n ta được (1+a1) 2, (1+a2) 2,.,(1+an) 2 Nhân vế với vế của các Bất đẳng thức trên ta được: (1+ a1), (1+a2 ). (1+a n) 2.2.2 (1+ a1), (1+a2 ). (1+a n) 2n do a1, a2. a n =1 Dấu "=" xảy ra khi 1= a1 ,1=a2 ,. ,1=a n. a1 = a2 =..=an =1 Bài 2 Cho a,b 0 chứng minh rằng 3a3+72 b3 18 ab2 Giải: Do a, b 0 3a3, 9b3, 8b3 0 áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho ba số 3a3, 9b3, 8b3 Ta được 3a3+ 9b3+8b3 3= 18ab2 Dấu "=" xảy ra khi 3a3= 9b3= 8b3 a=b=0 Bài 3: Cho a>b >0 Chứng minh rằng a + 3 Giải Ta thấy a = b +( a-b ) do a>b a-b >0. áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm b, a-b, ta được: a + =b+(a-b) + 3 3=3 Vậy a>b >0 ta có a + 3 Dấu "=" xảy ra khi b=a-b= b= 0,5 a = a=2 và b=1 Bài 3: Cho a,b 0 p,q là các số hữu tỷ dương thoả mãn +=1 Chứng minh rằng: ab. * Giải: Do p,q là các số hữu tỉ nên , cũng là các số hữu tỉ, do đó từ giả thiết tồn tại các số tự nhiên m,n,k sao cho = , = và m+1 Khi đó * + ab Theo Bất đẳng thức Cauchy ta có + = (++.++++..+): k = ab Vậy + ab Dấu "=" xảy ra khi = Bài 4: Cho các số a1, a2,., an thoả mãn điều kiện: 0< a ai b với i = 1, 2,. ., n Chứng m