Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN V× sù nghiƯp gi¸o dơc NguyƠn HiÕu Th¶o - Tr−êng THCS ThÞ trÊn 1. Chuyªn ®Ị : §a thøc Bài 1: Tính giá trị của biểu thức: a. A = − + − +4 3 217 17 17 20x x x x tại x = 16. b. B = 5 4 3 215 16 29 13x x x x x− + − + tại x = 14. c. C = 14 13 12 11 210 10 10 ... 10 10 10x x x x x x− + − + + − + tại x = 9 d. D = 15 14 13 12 28 8 8 ... 8 8 5x x x x x x− + − + − + − tại x = 7. Bài 2: Tính giá trị của biểu thức: a. M = 1 1 1 650 4 42 . .3 315 651 105 651 315.651 105 − − + b. N = 1 3 546 1 42 . . 547 211 547 211 547.211 − − Bài 3: Tính giá trị của biểu thức: a. A = ( ) ( )3 2 2 2 3 3x x y y x y− + − với x = 2; 1y = . b. M.N với 2x = .Biết rằng:M = 22 3 5x x− + + ; N = 2 3x x− + . Bài 4: Tính giá trị của đa thức, biết x = y + 5: a. ( ) ( )2 2 2 65x x y y xy+ + − − + b. ( )2 2 75x y y x+ − + Bài 5: Tính giá trị của đa thức: ( ) ( ) 21 1x y y xy x y+ − − − biết x+ y = -p, xy = q Bài 6: Chứng minh đẳng thức: a. ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2x a x b x b x c x c x a ab bc ca x− − + − − + − − = + + − ; biết rằng 2x = a + b + c b. ( )2 2 22 4bc b c a p p a+ + − = − ; biết rằng a + b + c = 2p Bài 7: a. Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 38 chữ số 1. Chứng minh rằng ab – 2 chia hết cho 3. b. Cho 2 số tự nhiên a và b trong đó số a gồm 52 số 1, số b gồm 104 số 1. Hỏi tích ab có chia hết cho 3 không? Vì sao? Bài 8: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng M = N = P với: ( )( )M a a b a c= + + ; ( )( )N b b c b a= + + ; ( )( )P c c a c b= + + Bài 9: Cho biểu thức: M = ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2x a x b x b x c x c x a x− − + − − + − − + . Tính M theo a, b, c, biết rằng 1 1 1 2 2 2 x a b c= + + . Bài 10: Cho các biểu thức: A = 15x – 23y ; B = 2x + 3y . Chứng minh rằng nếu x, y là các số nguyên và A chia hết cho 13 thì B chia hết cho 13. Ngược lại nếu B chia hết cho 13 thì A cũng chia hết cho 13. Bài 11: Cho các biểu thức: A = 5x + 2y ; B = 9x + 7y a. Rút gọn biểu thức 7A – 2B. TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN V× sù nghiƯp gi¸o dơc NguyƠn HiÕu Th¶o - Tr−êng THCS ThÞ trÊn b. Chứng minh rằng: Nếu các số nguyên x, y thỏa mãn 5x + 2y chia hết cho 17 thì 9x + 7y cũng chia hết cho 17. Bài 12: Chứng minh rằng: a. 7 9 1381 27 9− − chia hết cho 405. b. 2 1 212 11n n+ ++ chia hết cho 133. Bài 13: Cho dãy số 1, 3, 6 , 10, 15,, ( )1 2 n n + , Chứng minh rằng tổng hai số hạng liên tiếp của dãy bao giờ cũng là số chính phương. 2. Chuyªn ®Ị: BiĨn ®ỉi biĨu thøc nguyªn I. Mét sè h»ng ®¼ng thøc c¬ b¶n 1. (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ; (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ; 2 1 2 n(a a ... a )+ + + = = −+ + + + + + + + + + + + 2 2 2 1 2 n 1 2 1 3 1 n 2 3 2 n n 1 na a ... a 2(a a a a ... a a a a ... a a ... a a ); 2. (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 = a3 ± b3 ± 3ab(a ± b); (a ± b)4 = a4 ± 4a3b + 6a2b2 ± 4ab3 + b4 ; 3. a2 – b2 = (a – b)(a + b) ; a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ; an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3b2 +  + abn – 2 + bn – 1) ; 4. a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ; a2k + 1 + b2k + 1 = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 –  + a2b2k – 2 – ab2k – 1 + b2k) ; II. B¶ng c¸c hƯ sè trong khai triĨn (a + b)n Tam gi¸c Pascal §Ønh 1 Dßng 1 (n = 1) 1 1 Dßng 2 (n = 2) 1 2 1 Dßng 3 (n = 3) 1 3 3 1 Dßng 4 (n = 4) 1 4 6 4 1 Dßng 5 (n = 5) 1 5 10 10 5 1 Trong tam gi¸c nµy, hai c¹nh bªn gåm c¸c sè 1 ; dßng k + 1 ®−ỵc thµnh lËp tõ dßng k (k ≥ 1), ch¼ng h¹n ë dßng 2 ta cã 2 = 1 + 1, ë dßng 3 ta cã 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2, ë dßng 4 ta cã 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, Khai triĨn (x + y)n thµnh tỉng th× c¸c hƯ sè cđa c¸c h¹ng tư lµ c¸c sè trong dßng thø n cđa b¶ng trªn. Ng−êi ta gäi b¶ng trªn lµ tam gi¸c Pascal, nã th−êng ®−ỵc sư dơng khi n kh«ng qu¸ lín. Ch¼ng h¹n, víi n = 4 th× : (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 vµ víi n = 5 th× : (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 10ab4 + b5 TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN V× sù nghiƯp gi¸o dơc NguyƠn HiÕu Th¶o - Tr−êng THCS ThÞ trÊn II. C¸c vÝ dơ VÝ dơ 1. §¬n gi¶n biĨu thøc sau : A = (x + y + z)3 – (x + y – z)3 – (y + z – x)3 – (z + x – y)3. Lêi gi¶i A = [(x + y) + z]3 – [(x + y) – z]3 – [z – (x – y)]3 – [z + (x – y)]3 = [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] – [(x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 – z3] – [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3] – [z3 + 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 + (x – y)3] = 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz VÝ dơ 2. Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b). TÝnh gi¸ trÞ cđa c¸c biĨu thøc sau : a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5 Lêi gi¶i a) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b b) x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab c) x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2 d) (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y) Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2 ⇒ x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2 Chĩ ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2 a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4)  a3b3(a + b) = (a2 + b2)(a5 + b5)  a2b2(a3 + b3) VÝ dơ 3. Chøng minh c¸c h»ng ®¼ng thøc : a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ; b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Lêi gi¶i a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2 = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c) = (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3) = (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2) = (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) VÝ dơ 4. Cho x + y + z = 0. Chøng minh r»ng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) Lêi gi¶i V× x + y + z = 0 nªn x + y = –z ⇒ (x + y)3 = –z3 Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3 ⇒ 3xyz = x3 + y3 + z3 Do ®ã : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2) Mµ x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = z2 – 2xy (v× x + y = –z). T−¬ng tù : y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx. V× vËy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 – 2xy) = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2) Suy ra : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (®pcm) TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN V× sù nghiƯp gi¸o dơc NguyƠn HiÕu Th¶o - Tr−êng THCS ThÞ trÊn Bµi tËp: 1. Cho a + b + c = 0 vµ a2 + b2 + c2 = 14. TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc : A = a4 + b4 + c4. 2. Cho x + y + z = 0 vµ xy + yz + zx = 0. TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc : B = (x – 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009. 3. Cho a2 – b2 = 4c2. Chøng minh r»ng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – 5b)2. 4. Chøng minh r»ng nÕu: 5. (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = (x + y – 2z)2 + (y + z – 2x)2 + (z + x – 2y)2 th× x = y = z. 6. a) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 vµ x, y kh¸c 0 th× a b x y = . b) Chøng minh r»ng nÕu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 vµ x, y, z kh¸c 0 th× a b c x y z = = . 7. Cho x + y + z = 0. Chøng minh r»ng : a) 5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ; b) x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ; c) 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5). 8. Chøng minh c¸c h»ng ®»ng thøc sau : a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ; b) x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2. 9. Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m·n a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2. Chøng minh r»ng : a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4 10. Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1. TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc : C = a2 + b9 + c1945. 11. Hai sè a, b lÇn l−ỵt tháa m·n c¸c hƯ thøc sau : a3 – 3a2 + 5a – 17 = 0 vµ b3 – 3b2 + 5b + 11 = 0. H·y tÝnh : D = a + b. 12. Cho a3 – 3ab2 = 19 vµ b3 – 3a2b = 98. H·y tÝnh : E = a2 + b2. 13. Cho x + y = a + b vµ x2 + y2 = a2 + b2. TÝnh gi¸ trÞ cđa c¸c biĨu thøc sau : a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ; e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008. 3. Chuyªn ®Ị: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN V× sù nghiƯp gi¸o dơc NguyƠn HiÕu Th¶o - Tr−êng THCS ThÞ trÊn I- Ph−¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tư thµnh nhiỊu h¹ng tư kh¸c: Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , 5 6 d , 1 3 3 6 , 3 8 4 e , 3 1 8 , 8 7 f , 5 2 4 , 3 1 6 5 h , 8 3 0 7 , 2 5 1 2 k , 6 7 2 0 a x x x x b x x x x c x x x x g x x x x i x x x x − + − + − + + − + + − − − + + + − − − − Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư: (§a thøc ®· cho cã nhiƯm nguyªn hoỈc nghiƯm h÷u tØ) II- Ph−¬ng ph¸p thªm vµ bít cïng mét h¹ng tư 1) D¹ng 1: Thªm bít cïng mét h¹ng tư lµm xuÊt hiƯn h»ng ®¼ng thøc hiƯu cđa hai b×nh ph−¬ng: A2 - B2 = (A - B)(A + B) Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư: 2) D¹ng 2: Thªm bít cïng mét h¹ng tư lµm xuÊt hiƯn thõa sè chung 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 1, 5 8 4 2, 2 3 3, 5 8 4 4, 7 6 5, 9 6 16 6, 4 13 9 18 7, 4 8 8 8, 6 6 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − + − + − + + + − + − + + − + − − − + − − + + 3 2 3 3 3 2 3 2 3 2 3 3 9, 6 486 81 10, 7 6 11, 3 2 12, 5 3 9 13, 8 17 10 14, 3 6 4 15, 2 4 16, 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − − + − − − + − + + + + + + + + − − 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 4 3 2 12 17 2 17, 4 18, 3 3 2 19, 9 26 24 20, 2 3 3 1 21, 3 14 4 3 22, 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − + − + + + + + + + + − + − − + + + + + + ( )22 2 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 1, (1 ) 4 (1 ) 2, 8 36 3, 4 4, 64 5, 64 1 6, 81 4 7, 4 81 8, 64 9, 4 10, x x x x x x x x x x y x y x x + − − − + + + + + + + + + +1 TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN V× sù nghiƯp gi¸o dơc NguyƠn HiÕu Th¶o - Tr−êng THCS ThÞ trÊn Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư: III- Ph−¬ng ph¸p ®ỉi biÕn Bµi 1:Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư IV- Ph−¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng Ph−¬ng ph¸p: Tr−íc hÕt ta x¸c ®Þnh d¹ng c¸c thõa sè chøa biÕn cđa ®a thøc, råi g¸n cho c¸c biÕn c¸c gi¸ trÞ cơ thĨ ®Ĩ x¸c ®Þnh thõa sè cßn l¹i. VÝ dơ: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư: Gi¶i a, Gi¶ sư thay x bëi y th× P = 2 2( ) ( ) 0y y z y z y− + − = Nh− vËy P chøa thõa sè x – y Ta l¹i thÊy nÕu thay x bëi y, thay y bëi z, thay z bëi x th× P kh«ng ®ỉi(ta nãi ®a thøc P cã thĨ ho¸n vÞ vßng quanh bëi c¸c biÕn x, y, z). Do ®ã nÕu P ®· chĩa thïa sè x – y th× cịng chĩa thõa sè y – z, z – x. VËy P ph¶i cã d¹ng P = k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thÊy k ph¶i lµ h»ng sè(kh«ng chĩa biÕn) v× P cã bËc 3 ®èi víi tËp hỵp c¸c biÕn x, y, z cßn tÝch (x – y)(y – z)(z – x) cịng cã bËc ba ®èi víi tËp hỵp c¸c biÕn x, y, z. V× ®¼ng thøc 7 2 7 5 5 4 5 8 7 5 4 5 10 5 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6, 1 7, 1 8, 1 x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + + + + + + − − + − + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 1, ( 4)( 6)( 10) 128 2, ( 1)( 2)( 3)( 4) 24 3, ( 4 8) 3 ( 4 8) 2 4, ( ) 4 4 12 5, 2 2 2 15 6, ( )( 2 )( 3 )( 4 ) 7, 6 11 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xy y x y x a x a x a x a a x x + + + + + + + + − + + + + + + + + + − + + + + − + + + + + − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 8, ( ) 3( ) 2 9, 2 3 3 10 10, ( 2 ) 9 18 20 11, 4 4 2 4 35 12, ( 2)( 4)( 6)( 8) 16 x x x x x xy y x y x x x x x xy y x y x x x x + + + + + − + + − − + + + + − + − + − + + + + + 4 3 2 2 2 2 2 2 1, 6 7 6 1 2, ( )( ) ( ) x x x x x y z x y z xy yz zx + + − + + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 , P = ( ) ( ) ( ) , Q = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) a x y z y z x z x y b a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b − + − + − + − + + − + + − + + − + − + − 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )( )( )x y z y z x z x y k x y y z z x− + − + − = − − − TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN V× sù nghiƯp gi¸o dơc NguyƠn HiÕu Th¶o - Tr−êng THCS ThÞ trÊn ®ĩng víi mäi x, y, z nªn ta g¸n cho c¸c biÕn x, y, z c¸c gi¸ trÞ riªng, ch¼ng h¹n x = 2, y = 1, z = 0 ta ®−ỵc k = -1 VËy P =- (x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z) C¸c bµi to¸n Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư: 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )( )( )M a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b= + − + + − + + − + + − + − + − 2 2 2( ) ( ) ( )N a m a b m b c m c abc= − + − + − − , víi 2m = a+ b + c. Bi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư: 3 3 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 2 2 ) ( )( ) . ) ( 2 ) (2 ) . ) ( ) ( ) ( ). ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ) ( ) ( ) ( ) ( 1). ) ( ) ( ) ( ) . ) ( a A a b c ab bc ca abc b B a a b b a b c C ab a b bc b c ac a c d D a b a b b c b c c a c a e E a c b b a c c b a abc abc f f a b c b c a c a b g G a b a b = + + + + − = + − + = + − + + − = + − + + − + + − = − + − + − + − = − + − + − = − 2 2 2 2 4 4 4 ) ( ) ( ). ) ( ) ( ) ( ). b c b c a c c a h H a b c b c a c a b + − + − = − + − + − V-Ph−ong ph¸p hƯ sè bÊt ®Þnh Bi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư: 4 3 2 4 3 2 2 2 4 3 2 4 ) 6 12 14 3 ) 4 4 5 2 1 ) 3 22 11 37 7 10 ) 7 14 7 1 ) 8 63 a A x x x x b B x x x x c C x xy x y y d D x x x x e E x x = − + − + = + + + + = + + + + + = − + − + = − + Bµi tËp: VÝ dơ . Ph©n tÝch biĨu thøc sau thµnh nh©n tư : A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) Lêi gi¶i §Ỉt S = a + b vµ P = ab, th× a2 + b2 = 2S 2P− ; a3 + b3 = 3S 3SP− . V× vËy : A = x3 – 3( 2S 2P− )x + 2( 3S 3SP− ) = 3 3 2 3(x S ) (3S x 3S ) (6Px 6SP)− − − + − = 2 2 2(x S)(x Sx S ) 3S (x S) 6P(x S)− + + − − + − = 2 2(x S)(x Sx 2S 6P)− + − + = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab] = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a2 Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tư : a) x3 + 4x2 - 29x + 24 ; TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN V× sù nghiƯp gi¸o dơc NguyƠn HiÕu Th¶o - Tr−êng THCS ThÞ trÊn b) x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1 ; c) (x2 - x + 2)2 + (x - 2)2 ; d) 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1 ; e) x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + 1. f) x8 + x4 + 1; g) x10 + x5 + 1 ; h) x12 + 1 ; i) (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 ; k) (x + y + z)5 - x5 - y5 - z5. 4. Chuyªn ®Ị: X¸c ®Þnh ®a thøc * §Þnh lÝ Beout (BªZu) vµ øng dơng: 1) §Þnh lÝ BªZu: D− trong phÐp chia ®a thøc f(x) cho nhÞ thøc x - a b»ng f(a) (gi¸ trÞ cđa f(x) t¹i x = a): )()()()( afxqaxxf +−= (Beout, 1730 - 1783, nhµ to¸n häc Ph¸p) HƯ qu¶: NÕu a lµ nghiƯm cđa ®a thõc f(x) th× f(x) chia hÕt cho x - a. ¸p dơng: §Þnh lÝ BªZu cã thĨ dïng ®Ĩ ph©n tÝch mét ®a thøc thµnh nh©n tư. Thùc hiƯn nh− sau: B−íc 1: Chän mét gi¸ trÞ x = a nµo ®ã vµ thư xem x = a cã ph¶i lµ nghiƯm cđa f(x) kh«ng. B−íc 2: NÕu f(a) = 0, theo ®Þnh lÝ BªZu ta cã: )()()( xpaxxf −= §Ĩ t×m p(x) thùc hiƯn phÐp chia f(x) cho x - a. B−íc 3: TiÕp tơc ph©n tÝch p(x) thµnh nh©n tư nÕu cßn ph©n tÝch ®−ỵc. Sau ®ã viÕt kÕt qu¶ cuèi cïng cho hỵp lÝ. D¹ng 1: T×m ®a thøc th−¬ng b»ng ph−¬ng ph¸p ®ång nhÊt hƯ sè(ph−¬ng ph¸p hƯ sè bÊt ®Þnh), ph−¬ng ph¸p gi¸ trÞ riªng , thùc hiƯn phÐp chia ®a thøc. *Ph−¬ng ph¸p1: Ta dùa vµo mƯnh ®Ị sau ®©y : NÕu hai ®a thøc P(x) vµ Q(x) b»ng nhau: P(x) = Q(x) th× c¸c h¹ng tư cïng bËc ë hai ®a thøc ph¶i cã hƯ sè ph¶i cã hƯ sè b»ng nhau. VÝ dơ: 32)( 2 −+= bxaxxP ; pxxxQ −−= 4)( 2 NÕu P(x) = Q(x) th× ta cã: a = 1(hƯ sè cđa lịy thõa 2) 2b = - 4 (hƯ sè cđa lịy thõa bËc 1) - 3 = - p (hƯ sè h¹ng tư bËc kh«ng hay h¹ng tư tù do) *Ph−¬ng ph¸p2: Cho hai ®a thøc P(x) vµ Q(x) tháa m·n deg P(x) > deg Q(x) Gäi th−¬ng vµ d− trong phÐp chia P(x) cho Q(x) lÇn l−ỵt lµ M(x) vµ N(x) Khi ®ã ta cã: )()().()( xNxMxQxP += (Trong ®ã: deg N(x) < deg Q(x)) (I) V× ®¼ng thøc (I) ®ĩng víi mäi x nªn ta cho x lÊy mét gi¸ trÞ bÊt k× : α=x (α lµ h»ng sè). Sau ®ã ta ®i gi¶i ph−¬ng tr×nh hoỈc hƯ ph−¬ng tr×nh ®Ĩ t×m c¸c hƯ sè cđa c¸c h¹ng tư trong c¸c ®a thøc ( §a thøc th−¬ng, ®a thøc chia, ®a thøc bÞ chia, sè d−). VÝ dơ: Bµi 1(PhÇn bµi tËp ¸p dơng) TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN V× sù nghiƯp gi¸o dơc NguyƠn HiÕu Th¶o - Tr−êng THCS ThÞ trÊn Gäi th−¬ng cđa phÐp chia A(x) cho x + 1 lµ Q(x), ta cã: )().1(263 232 xQxaxaxxa +=−−+ . Vì đẳng thức đúng với mọi x nên cho x = -1 ta dược:    = −= ⇒=++−⇒=−++− 3 2 060263 22 a a aaaaa Với a = -2 thì 4104)(,4664 223 +−=+−−= xxxQxxxA Với a = 3 thì 69)(,6699 223 −=−−+= xxQxxxA *Ph−¬ng ph¸p 3:Thùc hiƯn phÐp chia ®a thøc (nh− SGK) Bµi tËp ¸p dơng Bài 1: Cho đa thức 2 3 2( ) 3 6 2 ( )A x a x ax x a a Q= + − − ∈ . X¸c định a sao cho A(x) chia hết cho x + 1. Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc 4 3( ) 2 4P x x x x= − − − thµnh nh©n tư, biÕt r»ng mét nh©n tư cã d¹ng: 2 2x dx+ + Bµi 3: Víi gi¸ trÞ nµo cđa a vµ b th× ®a thøc : bxaxx +++ 223 chia hÕt cho ®a thøc: 12 ++ xx . H·y gi¶i bµi to¸n trªn b»ng nhiỊu c¸ch kh¸c nhau. Bµi 4: X¸c ®Þnh gi¸ trÞ k ®Ĩ ®a thøc: kxxxxxf +++−= 234 219)( chia hÕt cho ®a thøc: 2)( 2 −−= xxxg . Bài 5: Tìm tất cả các số tự nhiên k để cho đa thức: 152)( 23 ++= kkkf chia hết cho nhị thức: 3)( += kkg . Bài 6: Với giá trị nào của a và b thì đa thức: baxxxxxf +++−= 234 33)( chia hết cho đa thức: 43)( 2 +−= xxxg . Bài 7: a) Xác định các giá trị của a, b và c để đa thức: cbxaxxxP +++= 24)( Chia hết cho 3)3( −x . b) Xác định các giá trị của a, b để đa thức: 2376)( 234 +++−= xaxxxxQ chia hết cho đa thức bxxxM +−= 2)( . c) Xác định a, b để axxxxP +−+= 85)( 23 chia hết cho bxxxM ++= 2)( . Bài 8: Hãy xác định các số a, b, c để cĩ đẳng thức: (Để học tốt Đại số 8) Bài 9: Xác định hằng số a sao cho: a) axx +− 710 2 chia hết cho 32 −x . b) 12 2 ++ axx chia cho 3−x dư 4. c) 95 45 −+ xax chia hết cho 1−x . Bài 10: Xác định các hằng số a và b sao cho: a) baxx ++ 24 chia hết cho 12 +− xx . b) 50523 −++ xbxax chia hết cho 1032 ++ xx . c) 124 ++ bxax chia hết cho 2)1( −x . d) 44 +x chia hết cho baxx ++2 . ))()((23 cxbxaxcbxaxx −−−=−+− TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN V× sù nghiƯp gi¸o dơc NguyƠn HiÕu Th¶o - Tr−êng THCS ThÞ trÊn Bài 11: Tìm các hăng số a và b sao cho baxx ++3 chia cho 1+x thì dư 7, chia cho 3−x thì dư -5. Bài 12: Tìm các hằng số a, b, c sao cho cbxax ++ 23 chia hết cho 2+x , chia cho 12 −x thì dư 5+x . (Một số vấn đề phát triển Đại số 8) Bài 13: Cho đa thức: baxxxxxP ++−+= 234)( và 2)( 2 −+= xxxQ . Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x). Bài 14: Xác định a và b sao cho đa thức 1)( 34 ++= bxaxxP chia hết cho đa thức 2)1()( −= xxQ Bài 15: Cho các đa thức 237)( 234 +++−= xaxxxxP và bxxxQ +−= 2)( . Xác định a và b để P(x) chia hết cho Q(x). (23 chuyên đề tốn sơ cấp) Dạng 2: Phương pháp nội suy NiuTơn Phương pháp: Để tìm đa thức P(x) bậc khơng quá n khi biết giá trị của đa thức tại n + 1 điểm 1321 ,,,, +nCCCC
ta cĩ thể biểu diễn P(x) dưới dạng: )())(())(()()( 21212110 nn CxCxCxbCxCxbCxbbxP −−−++−−+−+=

Bằng cách thay thế x lần lượt bằng các giá trị 1321 ,,,, +nCCCC
vào biểu thức P(x) ta lần lượt tính được các hệ số nbbbb ,,,, 210
. Bµi tËp ¸p dơng Bài 1: Tìm đa thức bậc hai P(x), biết: 9)2(,7)1(,25)0( −=== PPP . Giải Đặt )1()( 210 −++= xxbxbbxP (1) Thay x lần lượy bằng 0; 1; 2 vào (1) ta được: 11.2.2.18259 18257 25 22 11 0 =⇔+−=− −=⇔+= = bb bb b Vậy, đa thức cần tìm cĩ dạng: 2519)()1(1825)( 2 +−=⇔−+−= xxxPxxxxP . Bài 2: Tìm đa thức bậc 3 P(x), biết: 1)3(,4)2(,12)1(,10)0( ==== PPPP Hướng dẫn: Đặt )2)(1()1()( 3210 −−+−++= xxxbxxbxbbxP (1) Bài 3: Tìm đa thức bậc ba P(x), biết khi chia P(x) cho )3(),2(),1( −−− xxx đều được dư bằng 6 và P(-1) = - 18. Hướng dẫn: Đặt )3)(2)(1()2)(1()1()( 3210 −−−+−−+−+= xxxbxxbxbbxP (1) Bài 4: Cho đa thức bậc bốn P(x), thỏa mãn: )1(),12)(1()1()( 0)1( ++=−− =− xxxxPxP P a) Xác định P(x). b) Suy ra giá trị của tổng )(),12)(1(5.3.23.2.1 *NnnnnS ∈+++++= . Hướng dẫn: Thay x lần lượt bằng 0; 1; 2; 3 vào (1), ta được : TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN V× sù nghiƯp gi¸o dơc NguyƠn HiÕu Th¶o - Tr−êng THCS ThÞ trÊn 36)2(5.3.2)1()2( 6)1(3.2.1)0()1( 0)0(0)1()0( ,0)2(0)2()1( =⇔=− =⇔=− =⇔=−− =−⇔=−−− PPP PPP PPP PPP Đặt )2)(1()1()1()1()1()1()( 43210 −−++−++++++= xxxxbxxxbxxbxbbxP (2) Thay x lần lượt bằng -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta được: 2 1 )4)(3)(2)(1()3)(2)(1.(3)2)(1.(30 31.2.3.2.3.336 ,31.2.6 ,00 0 44 33 22 11 0 =⇔−−−−+−−−+−−= =⇔+= =⇔= =⇔= = bb bb bb bb b Vậy, đa thức cần tìm cĩ dạng: )2()1( 2 1 )2)(1()1( 2 1 )1()1(3)1(3)( 2 ++=−−++−+++= xxxxxxxxxxxxxP (Tuyển chọn bài thi HSG Tốn THCS) Bài 5: cho đa thức )0,,(,)( 2 ≠++= cbacbxaxxP . Cho biết 0632 =++ cba 1) Tính a, b, c theo )1(, 2 1 ),0( PPP       . 2) Chứng minh rằng: )1(, 2 1 ),0( PPP       khơng thể cùng âm hoặc cùng dương. Bài 6: Tìm một đa thức bậc hai, cho biết: 1985)2( 85)1( 19)0( = = = P P P 5. Chuyªn ®Ị: BiĨn ®ỉi ph©n thøc h÷u tØ VÝ dơ 1. a) Chøng minh r»ng ph©n sè 3n 1 5n 2 + + lµ ph©n sè tèi gi¶n ∀n∈N ; b) Cho ph©n sè 2n 4 A n 5 + = + (n∈N). Cã bao nhiªu sè tù nhiªn n nhá h¬n 2009 sao cho ph©n sè A ch−a tèi gi¶n. TÝnh tỉng cđa tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn ®ã. Lêi gi¶i a) §Ỉt d = ¦CLN(5n + 2 ; 3n + 1) ⇒ 3(5n + 2) – 5(3n + 1)
d hay 1
d ⇒ d = 1. VËy ph©n sè 3n 1 5n 2 + + lµ ph©n sè tèi gi¶n. TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN V× sù nghiƯp gi¸o dơc NguyƠn HiÕu Th¶o - Tr−êng THCS ThÞ trÊn b) Ta cã 29 A n 5 n 5 = − + + . §Ĩ A ch−a tèi gi¶n th× ph©n sè 29 n 5+ ph¶i ch−a tèi gi¶n. Suy ra n + 5 ph¶i chia hÕt cho mét trong c¸c −íc d−¬ng lín h¬n 1 cđa 29. V× 29 lµ sè nguyªn tè nªn ta cã n + 5
29 ⇒ n + 5 =29k (k ∈ N) hay n=29k – 5. Theo ®iỊu kiƯn ®Ị bµi th× 0 ≤ n = 29k – 5 < 2009 ⇒ 1 ≤ k ≤ 69 hay k∈{1; 2;; 69} VËy cã 69 sè tù nhiªn n tháa m·n ®iỊu kiƯn ®Ị bµi. Tỉng cđa c¸c sè nµy lµ : 29(1 + 2 +  + 69) – 5.69 = 69690. VÝ dơ 2. Cho a, b, c ≠ 0 vµ a + b + c ≠ 0 tháa m·n ®iỊu kiƯn 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + . Chøng minh r»ng trong ba sè a, b, c cã hai sè ®èi nhau. Tõ ®ã suy ra r»ng : 2009 2009 2009 2009 2009 2009 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + . Lêi gi¶i Ta cã : 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + ⇔ 1 1 1 1 0 a b c a b c + + − = + + ⇔ a b a b 0 ab c(a b c) + + + = + + ⇔ c(a b c) ab (a b). 0 abc(a b c) + + + + = + + ⇔ (a + b)(b + c)(c + a) = 0 ⇔ a b 0 b c 0 c a 0  + =   + =   + = ⇔ a b b c c a  =−   =−   =− ⇒ ®pcm. Tõ ®ã suy ra : 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 1 1 1 1 1 1 1 a b c a ( c) c a + + = + + = − 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 1 1 1 a b c a ( c) c a = = + + + − + ⇒ 2009 2009 2009 2009 2009 2009 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + . VÝ dơ 3. §¬n gi¶n biĨu thøc : 3 3 3 4 2 2 5 1 1 1 3 1 1 6 1 1 A (a b) a b (a b) a b (a b) a b          = + + + + +             + + + . Lêi gi¶i §Ỉt S = a + b vµ P = ab. Suy ra : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = 2S 2P− a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = 3S 3SP− . Do ®ã : 1 1 a b S ; a b ab P + + = = 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 a b S 2P ; a b a b P + − + = = 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 a b S 3SP . a b a b P + − + = = TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN V× sù nghiƯp gi¸o dơc NguyƠn HiÕu Th¶o - Tr−êng THCS ThÞ trÊn Ta cã : A = 3 2 3 3 4 2 5 1 S 3SP 3 S 2P 6 S . . . S P S P S P − − + + = 2 2 4 2 2 2 2 4 2 3 4 2 4 4 3 4 3 S 3P 3(S 2P) 6 (S 3S P) (3S P 6P ) 6P S S P S P S P S P S P − − − + − + + + = = Hay A = 3 3 3 1 1 . P a b = VÝ dơ 4. Cho a, b, c lµ ba sè ph©n biƯt. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cđa biĨu thøc sau kh«ng phơ thuéc vµo gi¸ trÞ cđa x : (x a)(x b) (x b)(x c) (x c)(x a) S(x) (c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a) − − − − − − = + + − − − − − − . Lêi gi¶i C¸ch 1 2 2 2x (a b)x ab x (b c)x bc x (c a)x ca S(x) (c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a) − + + − + + − + + = + + − − − − − − = Ax2 – Bx + C víi : 1 1 1 A (c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a) = + + − − − − − − ; a b b c c a B (c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a) + + + = + + − − − − − − ; ab bc ca C (c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a) = + + − − − − − − Ta cã : b a c b a c A 0 (a b)(b c)(c a) − + − + − = = − − − ; (a b)(b a) (b c)(c b) (c a)(a c) B (a b)(b c)(c a) + − + + − + + − = − − − 2 2 2 2 2 2b a c a a c 0 (a b)(b c)(c a) − + − + − = = − − − ; ab(b a) bc(c b) ca(a c) ab(b a) bc[(c a) (a b)] ca(a c) C (a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a) − + − + − − + − + − + − = = − − − − − − (a b)(bc ab) (c a)(bc ca) (a b)(b c)(c a) 1 (a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a) − − + − − − − − = = = − − − − − − . VËy S(x) = 1∀x (®pcm). C¸ch 2 §Ỉt P(x) = S(x) – 1 th× ®a thøc P(x) lµ ®a thøc cã bËc kh«ng v−ỵt qu¸ 2. Do ®ã, P(x) chØ cã tèi ®a hai nghiƯm. NhËn xÐt : P(a) = P(b) = P(c) = 0 ⇒ a, b, c lµ ba nghiƯm ph©n biƯt cđa P(x). §iỊu nµy chØ x¶y ra khi vµ chØ khi P(x) lµ ®a thøc kh«ng, tøc lµ P(x) = 0 ∀x. Suy ra S(x) = 1 ∀x ⇒ ®pcm. VÝ dơ 9. Cho 1 x 3 x + = . TÝnh gi¸ trÞ cđa c¸c biĨu thøc sau : TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN V× sù nghiƯp gi¸o dơc NguyƠn HiÕu Th¶o - Tr−êng THCS ThÞ trÊn a) 2 2 1 A x x = + ; b) 3 3 1 B x x = + ; c) 4 4 1 C x x = + ; d) 5 5 1 D