Chuyên đề Các bài toán về biến đổi biểu thức đại số chứng minh đẳng thức

Chñ ®Ò 2: C¸c bµi to¸n vÒ biÕn ®æi biÓu thøc ®¹i sè Chøng minh ®¼ng thøc. Rót gän: VÝ dô1: Cho biÓu thøc: a) Rót gän biÓu thøc H. c) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó H = 16 b) TÝnh gi¸ trÞ cña H khi Gi¶i: a) §KX§: x > 1. b) Ta cã c) §K x > 1 V× nªn (TM§K) VËy x =26 th× H = 16. VÝ dô 2. Cho biÓu thøc: a) Rót gän P. b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña a ®Ó P > a Gi¶i: §KX§: x>0; x¹1 c) C¸ch 1: Víi x>0, x¹1, ta lu«n cã: Suy ra gi¸ trÞ lín nhÊt cña a ®Ó P > a lµ a = 1. C¸ch 2: (Sö dông bÊt ®¼ng thøc C«si: ; DÊu "=" x¶y ra Û a=b) VËy P ≥ 1 (dÊu "=" x¶y ra Û Nh­ng x =1 kh«ng tho¶ m·n §KX§. VËy P > 1. Suy ra gi¸ trÞ lín nhÊt cña a ®Ó P > a lµ a = 1 Bµi tËp luyÖn tËp: Bµi 1. Rót gän biÓu thøc: P = Bµi 2. Cho a) Ph©n tÝch N thµnh nh©n tö. b) TÝnh gi¸ trÞ cña N khi Bµi 3. Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc kh«ng ©m. TÝnh: Bµi 4. Rót gän c¸c biÓu thøc sau: Bµi 5. Cho biÓu thøc: a) Rót gän A. b) TÝnh gi¸ trÞ cña A khi Bµi 6. Cho biÓu thøc: a) Rót gän M. b) T×m x sao cho M > 0 c) TÝnh gi¸ trÞ cña M nÕu Bµi 7. Cho biÓu thøc a) Rót gän P. b) T×m gi¸ trÞ a nguyªn ®Ó gi¸ trÞ t­¬ng øng cña P lµ sè nguyªn. Bµi 8. Cho biÓu thøc: a) Rót gän Q vµ chøng minh Q ≥ 0 "x, y ≥ 0 vµ x ¹ y. b) So s¸nh Q vµ Bµi 9. XÐt biÓu thøc: víi x > 0 vµ x ¹ 1. a) Rót gän Q. b) So s¸nh |Q| vµ Q. Bµi 10. Cho biÓu thøc: a) Rót gän R. b) TÝnh gi¸ trÞ cña R khi c) So s¸nh R víi 2. Bµi 11. Cho biÓu thøc: a) Rót gän S. c) T×m x ®Ó S < 0 b) T×m x ®Ó S = 1 d) T×m x nguyªn ®Ó S cã gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 12. Cho biÓu thøc: a) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó biÓu thøc P cã nghÜa vµ rót gän biÓu thøc P. b) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc nhËn gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 13. Cho biÓu thøc: a) Rót gän biÓu thøc A. b) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x sao cho gi¸ trÞ t­¬ng øng cña biÓu thøc A nguyªn. Bµi 14. Cho biÓu thøc: a) Rót gän biÓu thøc A. b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A khi x = 0,36. c) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc A lµ mét sè nguyªn. Bµi 15. Cho biÓu thøc: a) Rót gän biÓu thøc A. b) TÝnh gi¸ trÞ cña A khi c)T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x sao cho gi¸ trÞ t­¬ng øng cña biÓu thøc A nguyªn. Bµi 16. Cho biÓu thøc: a) Rót gän P. b) T×m x ®Ó Bµi 17. Cho biÓu thøc: a) Rót gän A. b) T×m x ®Ó Bµi 18. Cho biÓu thøc: a) Rót gän P. b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi c) So s¸nh P víi Bµi 19. Cho biÓu thøc: a) Rót gän P b) Chøng minh P > -3 "x thuéc tËp x¸c ®Þnh. c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P. Bµi 20. Cho biÓu thøc: a) Rót gän P. b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P. Bµi 21. Cho biÓu thøc: a) Rót gän P. b) T×m GTLN cña P. Bµi 22. Cho biÓu thøc: Rót gän biÓu thøc Bµi 23. Cho biÓu thøc: a) Rót gän P. b) T×m x ®Ó P > 2 c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña . Bµi 24. Cho a) Rót gän P. b) Chøng minh r»ng P > 0 "x ®Ó P cã nghÜa. Bµi 25. Cho a) Rót gän M. b) T×m a ®Ó . Bµi 26. Cho a) Rót gän A. b) Chøng minh r»ng . Bµi 27. Cho biÓu thøc a) Rót gän biÓu thøc A. b) Chøng minh r»ng A > 1 víi mäi x > 0 vµ x ¹ 1 Bµi 28. Cho a) Rót gän A. b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A. Bµi 29. Cho biÓu thøc: a) Rót gän P. b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi c) T×m GTNN cña P. Bµi 30. Cho biÓu thøc: a) Rót gän P. b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P. Bµi 31. §¬n gi¶n biÓu thøc: Bµi 32. Rót gän biÓu thøc: Bµi 33. Cho biÓu thøc Rót gän råi tÝnh gi¸ trÞ cña P khi x = . Tõ ®ã tÝnh a sao cho sina = P. Bµi 34. Cho a) Rót gän A. b) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó . Bµi 35. Cho c¸c biÓu thøc: a) Rót gän P. b) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× biÓu thøc Q - 4P ®¹t GTNN? II. Chøng minh ®¼ng thøc - TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc. Bµi 1. Chøng minh r»ng biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn: Bµi 2. Cho a) Ph©n tÝch N thµnh nh©n tö. b) TÝnh gi¸ trÞ cña N khi Bµi 3. Cho TÝnh G = chØ râ khi ®ã x b»ng bao nhiªu? Bµi 4. Chøng minh r»ng nÕu th× Bµi 5. Cho a, b, c lµ ba sè h÷u tØ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: ab + bc + ca =1. Chøng minh r»ng: còng lµ mét sè h÷u tØ. Bµi 6. Cho c¸c sè x, y, z tho¶ m·n xy + yz + zx = 1. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: Bµi 7. Cho . Trong ®ã x, y > 0. TÝnh b theo a. Bµi 8. Chøng minh r»ng nÕu th× Bµi 9. Chøng minh r»ng nÕu th× Bµi 10. Cho a, b > 0 chøng minh r»ng: Bµi 11. T×m tÊt c¶ c¸c sè thùc kh«ng ©m a, b, c tho¶ m·n: Bµi 12. Chøng minh r»ng trong c¸c sè: cã Ýt nhÊt 2 sè d­¬ng ( víi a, b, c, d lµ c¸c sè d­¬ng) Bµi 13. a) Víi x, y ¹ 0. Chøng minh r»ng: b) ¸p dông tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: Bµi 14. Cho BiÕt xyz = 4. TÝnh Bµi 15 . Cho . TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: Bµi 16. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: Bµi 17. Chøng minh r»ng sè lµ mét nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh Bµi 18. Cho a>0, b>0 vµ chøng minh r»ng: Bµi 4: Cho biÓu thøcA = víi x > 0 vµ x ¹ 1 a. Rót gän A. b. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A = 3 Gi¶i. a. Ta cã: A = = = = = = = b. A = 3 = 3 3x + - 2 = 0 x = 4/9. Bµi 1. Cho biÓu thøc: A=Víi x¹;±1 a. Rót gän biÓu thøc A. b. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc khi cho x = . c. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A = 3 Gi¶i. a. Rót gän A = b. Thay x= vµo A ta ®­îc A = . c. A = 3 x2 - 3x - 2 = 0 x = Bµi 2: Cho biÓu thøc: P = a. Rót gän P. b. T×m x nguyªn ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn. Gi¶i. a. §K: x . Rót gän: P = = b. P = . §Ó P nguyªn th× nguyªn suy ra lµ ­íc cña 2 suy ra víi x = th× P cã gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 3: Cho biÓu thøc: a. T×m ®iÒu kiÖn cña x vµ y ®Ó P x¸c ®Þnh . Rót gän P. b. T×m x, y nguyªn tháa m·n ph­¬ng tr×nh P = 2. Gi¶i. a. §iÒu kiÖn ®Ó P x¸c ®Þnh lµ : . b. P = 2 = 2 Ta cã: 1 + Þ Þ x = 0; 1; 2; 3 ; 4 Thay vµo ta cã c¸c cÆp gi¸ trÞ (4; 0) vµ (2 ; 2) tho¶ m·n. Câu 2 : Cho biểu thức: a). Tìm điều kiện xác định của P? Rút gọn P. b) Tìm x để Giải: a) Điều kiện: b) Để . Kết hợp với điều kiện ta được: Câu 7 (3đ). Cho biểu thức a) Rút gọn P b) Tìm x để P>3. Câu 23: (bµi tËp 86/SBT) Cho biÓu thøc Q = a) Rót gän Q víi b) T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó Q > 0 Câu 22: (bµi tËp 85/SBT) Cho biÓu thøc P = a) Rót gän P nÕu b) T×m x ®Ó P = 2 Câu 20: Cho biểu thức . Rút gọn . Tìm giá trị của để . Tìm giá trị nhỏ nhất của . Câu 21: Cho biểu thức . Rút gọn . Tìm giá trị khi . Tìm giá trị của để . Bài 3: Cho phân thức P = ; a) Tìm điều kiện xác định của P? b) Rút gọn P. c)Tính giá trị của P tại. Bài 2: Cho biểu thức Q = a) Tìm điều kiện xác định Q? b) Rút gọn Q. c) Tìm x để Q = 1. Bài 2: Cho biểu thức: P= a) Tìm điều kiện xác định của P? Rút gọn P? b) Tìm giá trị của x để P = 0 Giải: a) Điều kiện: b) Để P = 0 Các giá trị này không thỏa mãn điều kiện, do đó không có giá trị nào của x để P = 0. Bài 2: Cho biểu thức: a) Rút gọn Q. b) Tìm giá trị của Q khi a = 3b Bài 3: Cho biểu thức P a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị của x để P > 0, P < 0. c) Tìm giá trị của x sao cho Ví dụ: Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với 1 biết: với Giải: Suy ra (Vì ). Vậy M < 1 Bài 2: Cho biểu thức: a) Tìm điều kiện để A xác định và rút gọn A b) Tìm a để A > 0 Giải: a) Điều kiện A xác định: Ta có: A > 0 Bài 2: (2đ) Cho biểu thức: với x > 0; a) Rút gọn D. b) Tìm x sao cho D < -1 Baøi 14: Cho bieåu thöùc: K = Ñònh a ñeå bieåu thöùc K xaùc ñònh. Ruùt goïn bieåu thöùc K. Tính giaù trò cuûa K khi a = 3 + 2. c) Tìm caùc giaù trò cuûa a sao cho K < 0. Baøi 15: Cho bieåu thöùc : Haõy ruùt goïn bieåu thöùc treân; b). Tính giaù trò cuûa A khi a =. Baøi 16: Cho bieåu thöùc: P = Tìm ñieàu kieän xaùc ñònh cuûa P; b) Ruùt goïn bieåu thöùc P: c) Tính giaù trò cuûa P khi Bài 2: (2đ)Cho biểu thức: với x > 0 ; ; a) Rút gọn B. b) Tìm x để c) Tìm giá trị của x để B dương Baøi 11: Cho bieåu thöùc: K = vôùi a 0 vaø a 4. a) Ruùt goïn bieåu thöùc K. b) Tìm a ñeå K > 3. Bài 18: Cho các biểu thức : A = B = a) Tìm tập xác định của B rồi rút gọn B b) Tính giá trị biểu thức A c ) Tìm x để A = B Bài 22: Cho biểu thức : A= a) Tìm tập xác định của biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A c)Chứng minh rằng A> 0 với mọi x 1 Bài 24: Cho biểu thức P = a) Rút gọn P nếu x0, x4 b)Tìm x để P = 2 Bài 25: Cho biểu thức Q = a) Rút gọn Q với a > 0 , a4 và a1 b)Tìm giá trị của a để Q dương. Bài 26: Cho biểu thức P = a)Tìm điều kiện của x để P xác định - Rút gọn P b)Tìm các giá trị của x để P < 0 c)Tính giá trị của P khi x = 4- Bài 19: Cho các biểu thức : Q = với a>b>0 a)Rút gọn biểu thức Q b) Xác định Q khi a=3b Bài 20: Cho các biểu thức : A = B =( ĐK :x0; x1) a) Rút gọn các biểu thức A và B b) Tìm x để A =B. Bài 23: Cho biểu thức E = a)Rút gọn biểu thức E b) Tìm x để E = 2. c)Tính giá trị của E khi x = Baøi 12: Cho bieåu thöùc: E = vôùi a > 0 vaø a 1. a) Ruùt goïn bieåu thöùc E. b) Tìm a ñeå E = 0,5. Bài 2: (2đ) Cho biểu thức: với x > 0 ; a) Rút gọn A. b) Tìm các giá trị của x để A > 0. c) Tính A khi Câu 9: Cho biểu thức: A = Tìm điều kiện để A có nghĩa? Rút gọn biểu thức A Giá trị nào của x thì A < 1? Câu 3: Giải phương trình: Giải: Ta có phương trình ĐKXĐ: x ≠ . D = 1 + 4.20 = 81 > 0, , x1 = 4; x2 = -5 đều thoả mãn ĐKXĐ Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 4; x2 = -5. I. KIẾN THỨC CƠ BẢN a) ; b) c) ; d) . Chñ §Ò 1: rót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc. I. Ph­¬ng ph¸p. 2. Ph­¬ng ph¸p nh©n víi biÓu thøc liªn hîp. C¸c biÓu thøc liªn hîp th­êng gÆp: vµ ; a + b vµ a2 - ab + b2; a - b vµ a2 + ab + b2. ii. bµi tËp. Bµi 5: Cho P = + - . a. Rót gän P. b. Chøng minh: P < víi x 0 vµ x 1. Gi¶i. §iÒu kiÖn: x 0 vµ x 1. P = + - = + - = = = b. Víi x 0 vµ x 1 . Ta cã: P < < 3 0 ) x - 2 + 1 > 0 ( - 1)2 > 0. (x 0 vµ x 1) Bµi 6: a. X¸c ®Þnh x R ®Ó biÓu thøc: A = lµ mét sè tù nhiªn b. Cho biÓu thøc: BiÕt x.y.z = 4 , tÝnh . Gi¶i. a. P lµ sè tù nhiªn -2x lµ sè tù nhiªn x = (trong ®ã k Z vµ k 0 ) b. §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh: x,y,z 0, kÕt hîp víi x.y.z = 4 ta ®­îc x, y, z > 0 vµ Nh©n c¶ tö vµ mÉu cña h¹ng tö thø 2 víi ; thay 2 ë mÉu cña h¹ng tö thø 3 bëi ta ®­îc: P = Bµi 7: Cho biÓu thøc: D = : a. T×m ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña D vµ rót gän D. b. TÝnh gi¸ trÞ cña D víi a = . c. T×m GTLN cña D. Gi¶i: a. §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh cña D lµ . D = := b. a = . VËy D = c. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cosi ta cã . VËy gi¸ trÞ cña D lµ 1. Bµi 8: Cho biÓu thøc A = . a. T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó A x¸c ®Þnh. b. Rót gän A. Gi¶i: §iÒu kiÖn x tháa m·n: Û Û x > 1 vµ x ¹ 2 b. Rót gän A = = + Víi 1 2 ta cã A = KÕt luËn: Víi 1 2 th× A = Bµi 9: Cho biÓu thøc M = a. T×m §K cña x ®Ó M cã nghÜa vµ rót gän M. b. T×m x ®Ó M = 5. c. T×m x Z ®Ó M Z. Gi¶i: M = a. §K . M = BiÕn ®æi ta cã kÕt qu¶: M = = c. M = . Do M Z nªn lµ ­íc cña 4 nhËn c¸c gi¸ trÞ: - 4; - 2; - 1; 1; 2; 4 do Bµi 10: Cho biÓu thøc: A = + a. Rót gän biÓu thøc A. b. T×m nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn cña x sao cho biÓu thøc A còng cã gi¸ trÞ nguyªn. Gi¶i: a. §iÒu kiÖn: x 0 + Víi x 2 : b. T×m x nguyªn ®Ó A nguyªn: A nguyªn x2 + 3 3 x = Bµi 11: Cho biÓu thøc: P = a. Rót gän P. b. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P. Gi¶i: §iÒu kiÖn: x ³ 0; x ¹ 1 a. Thùc hiÖn ®­îc biÓu thøc trong ngoÆc b»ng: . KQ: P = b. ViÕt P = lËp luËn t×m ®­îc GTNN cña P = -1/4 khi x = 0. Bµi 12: Cho biÓu thøc: = a. T×m §KX§ cña vµ rót gän. b. Chøng minh . c. So s¸nh víi Gi¶i. a. §KX§: x 0, y 0, x y = b. x + y 2 (C«si), mµ x y x + y > 2 x - + y > 0 x - + y > 0. VËy Q = vµ x y c. Theo c©u b, ta cã x - + y > (1). Chia 2 vÕ cña (1) cho x - + y > 0 . VËy 0 Q < 1 + NÕu Q = 0 Q = . + NÕu 0 < Q < 1 ( - 1) < 0 Q - < 0 Q < x, y 0 vµ x y