Chuyên đề Định lý vi- et

ĐỊNH Lí VI- ET! a. lý thuyết: 1. Định lý Viet thuận: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ạ 0) có 2 nghiệm x1, x2 thì S = x1 + x2 = P = x1 . x2 = * Hệ quả: PT bậc 2: ax2 + bx + c = 0 (*) - Nếu a + b + c = 0 thì (*) có 1 nghiệm là x1 = 1, nghiệm kia là x2 = - Nếu a - b + c = 0 thì (*) có 1 nghiệm là x1 = - 1; nghiệm kia là x2 = 2. Định lý đảo: Nếu có 2 số x1, x2 thoả mãn thì chúng là nghiệm số của phương trình: t2 - St + P = 0 (Điều kiện $ 2 số x1, x2 là S2 – 4P ³ 0) 3. Các ứng dụng cơ bản (thường dùng): a. Kiểm tra nghiệm phương trình bậc 2. b. Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc 2. c. Biến 1 nghiệm suy ra nghiệm kia d. Tìm 2 số biết tổng và tích. e. Lập 1 phương trình bậc 2 biết 2 nghiệm 4. Một số kết quả thu được từ định lý Viet: Phân tích ax2 + bx + c = 0 (*) (a ạ 0) thành nhân tử: Khi (*) có D ³ 0 Û $ x1, x2 / x1 + x2 = ; x1 . x2 = thì ax2 + bx + c = = a(x2 - x1x - x2x + x1x2) = a(x - x1) (x - x2) b. các ứng dụng của định lý viet: I) Nhẩm nghiệm 1) Phương phỏp: * Trước khi áp dụng hệ thức Viet cần tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm Û * Trường hợp đặc biệt: - Nếu phương trỡnh ax2 + bx + c = 0 ( a 0) cú a + b + c = 0 thỡ phương trỡnh cú một nghiệm là x1 = 1, cũn nghiệm kia là x2 = - Nếu phương trỡnh ax2 + bx + c = 0 ( a 0) cú a – b + c = 0 thỡ phương trỡnh cú một nghiệm là x1 = -1, cũn nghiệm kia là x2 = - *Nếu có: x = a ; y = b là nghiệm hệ phương trình thì a, b là nghiệm phương trình: t2 - St + P = 0 2) Vớ dụ VD1: Khụng giải phương trỡnh, hóy tớnh tổng và tớch cỏc nghiệm (nếu cú) của cỏc phương trỡnh sau: a) 4x2 + 2 x - 5 = 0, b) 9x2 - 12x + 4 = 0 Giải: a) 4x2 + 2 x - 5 = 0 (a = 4; b = 2; c = -5) Do a, c trỏi dấu PT chắc chắn cú hai nghiệm phõn biệt, gọi x1, x2 là nghiệm của PT đó cho, theo định lý Vi-ột ta cú: x1 + x2 = ; x1 . x2 = b) 9x2 - 12x + 4 = 0 (a = 9; b = -12; c = 4) Cú => PT cú nghiệm kộp x1 = x2 x1 + x2 = ; x1 . x2 = VD2: Dựng hệ thức Vi-ột tớnh nhẩm cỏc nghiệm của phương trỡnh: x2 – 7x + 12 = 0 (a = 1; b = -7; c = 12) Giải: Theo hệ thức Vi-ột ta cú: Suy ra x1 = 4; x2 = 3 hoặc x1 = 3; x2 = 4 VD3: Nhẩm nghiệm của cỏc phương trỡnh sau: a) 2x2 – 5x + 3 = 0; b) x2 - 49x - 50 = 0. Giải: a) 2x2 – 5x + 3 = 0 (a = 2; b = -5; c = 3) Vỡ a + b + c = 2 + (-5) + 3 = 0 nờn PT cú nghiệm x1 = 1 và x2 = = b) x2 - 49x - 50 = 0 (a = 1; b = -49; c = -50) Vỡ a - b + c = 1 – (-49) + (-50) = 1 + 49 – 50 = 0 Nờn PT cú nghiệm x1 = - 1 và x2 = - = = 50 3) Bài tập ỏp dụng: Bài 1: Nhẩm nghiệm của cỏc phương trỡnh sau : a) x2 + 7x + 12 = 0; b) x2 + 3x - 10 = 0. Giải: a) x2 + 7x + 12 = 0 (a = 1; b = 7; c = 12) Ta cú: phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt. Theo hệ thức Vi-ột ta cú: x1 + x2 = -7 ; x1.x2 = 12 => x1 = - 4; x2 = -3 hoặc x1 = - 3; x2 = -4 b) x2 + 3x - 10 = 0 (a = 1; b = 3; c = -10). Do a, c trỏi dấu PT chắc chắn cú hai nghiệm phõn biệt. Theo hệ thức Vi-ột ta cú: x1 + x2 = -3 ; x1.x2 = -1 0 => x1 = - 5; x2 = 2 hoặc x1 = 2; x2 = -5 Bài 2: Nhẩm nghiệm của cỏc phương trỡnh sau: a) 7x2 - 9x + 2 = 0; b) 23x2 - 9x - 32 = 0. Giải a) 7x2 - 9x + 2 = 0 (a = 7; b = -9; c = 2) Vỡ a + b + c = 7 + (-9) + 2 = 0 nờn PT cú nghiệm x1 = 1 và x2 = = b) 23x2 - 9x - 32 = 0 (a = 23; b = -9; c = -32) Vỡ a - b + c = 23 – (-9) + (-32) = 23 + 9 – 32 = 0 Nờn PT cú nghiệm x1 = - 1 và x2 = - = Bài 3: Khụng giải phương trỡnh, dựng hệ thức Vi-ột hóy tớnh tổng và tớch cỏc nghiệm (nếu cú) của cỏc phương trỡnh sau: a) 2x2 – 7x + 2 = 0; b) 5x2 + x + 2 = 0; c) 16x2 - 8x + 1 = 0 Giải: a) 2x2 – 7x + 2 = 0 (a = 2; b = -7; c = 2) = b2 - 4ac = (-7)2 – 4.2.2 = 33 >0 => x1 + x2 = ; x1.x2 = b) 5x2 + x + 2 = 0 (a = 5; b = 1; c = 2) = b2 - 4ac = 12 – 4.5.2 = - 39 < 0 Vậy phương trỡnh vụ nghiệm => khụng tồn tại x1 + x2 và x1.x2 c) 16x2 - 8x + 1 = 0 (a = 16; b = -8; c = 1) = b2 - 4ac = (-8)2 – 4.16.1 = 0 => x1 + x2 = , x1.x2 = 4) Bài tập đề nghị: Bài 1: Nhẩm nghiệm của cỏc phương trỡnh sau: a) x2 - 10x + 21 = 0; b) x2 + x - 12 = 0 c) x2 + 7x + 12 = 0 d) x2 - 2x + m= 0 Hướng dẫn: Xỏc định a = ?; b = ?; c = ? . Theo hệ thức Vi-ột ta tớnh: x1 + x2 = ? ; x1.x2 = ? => x1 =?; x2 = ? Bài 2: Nhẩm nghiệm của cỏc phương trỡnh sau: a) x2 - 6x + 5 = 0; b) 4x2 - 3x - 7 = 0 c) - 3x2 + 12x + 15 = 0; d) 1,2x2 + 1,6 x – 2,8 = 0 Hướng dẫn: Xỏc định a = ?; b = ?; c = ? Tớnh a + b + c = ? nếu a + b + c = 0 => x1 = 1, x2 = Hoặc a – b + c = ? nếu a - b + c = 0 => x1 = -1, x2 = - Bài 3: Biết x1 là nghiệm của phương trỡnh, tỡm x2? a) x2 + 2x – 35 = 0 ; x1 = 2; b) x2 - 7x – 144 = 0 ; x1 = - 9 Hướng dẫn: Xỏc định a = ?; b = ?; c = ? Theo hệ thức Vi-ột x1.x2 = => x2 = = ? Hoặc theo hệ thức Vi-ột x1 + x2 = => x2 = - x1 = ? II. Tỡm hai số khi biết tổng và tớch của chỳng Phương pháp: Dựa vào định lý đảo của định lý Viet: Nếu 2 số u và v có thì u và v là nghiệm của phương trình: t2 - St + P = 0 (1) Như vậy việc tìm 2 số quy về việc giải 1 phương trình (Tìm nghiệm của phương trình đó ị 2 số cần tìm). Ta làm theo cỏc bước sau: Bước 1: Điều kiện để tồn tại hai số u và v là S2 – 4P 0. Bước 2: Giải phương trỡnh t2 - St + P = 0 Tớnh = S2- 4P t1 = ; t2 = . Bước 3: Hai số cần tỡm là t1, t2 Chú ý: Nếu S2 - 4P ³ 0 thì tồn tại 2 số. Nếu S - 4P < 0 không tồn tại 2 số. Vớ dụ VD1: Tỡm hai số khi biết tổng của chỳng là S = 3 và tớch là P = 2. Giải Bước 1: S2 - 4P = 32 - 4.2 = 9 – 8 = 1>0 => tồn tại hai số. Bước 2: Gọi hai số cần tỡm là u, v và chỳng là nghiệm của phương trỡnh: t2 - 3t + 2 = 0. Ta cú: = S2 - 4P = 32 - 4.2 = 9 – 8 = 1 t1 = =1; t2 = = 2 Bước 3 :Vậy hai số cần tỡm là 1 và 2. VD2: Tỡm hai số khi biết tổng của chỳng là S = 4 và tớch là P = 5. Giải Ta cú: S2 - 4P = 42 - 4.5= 16 – 20 = - 4 khụng tồn tại hai số. VD3 : Tỡm hai số a, b biết tổng S = a + b = 3 và tớch P = ab = 4 Ta cú: => Tồn tại hai số. Vỡ a + b = 3 và ab = 4 nờn a, b là nghiệm của phương trỡnh : giải phương trỡnh trờn ta được và Vậy nếu a = 1 thỡ b = 4 nếu a = 4 thỡ b = 1 VD4: Tìm 2 cạnh của một hình chữ nhật có chu vi là 6a; diện tích là 2a2. * Gọi 2 cạnh hình chữ nhật là u và v (u > 0; v > 0). Ta có: Û Do S2 – 4P =(3a)2 - 4 . 2a2 = a2 > 0 nên u, v là nghiệm của phương trình bậc 2: t2 - 3at + 2a2 = 0 Thay t1 = a vào phương trỡnh ta được: phương trỡnh cú nghiệm t1 = a ; t2 = Vậy độ dài 2 cạnh hình chữ nhật là a và 2a. 3) Bài tập ỏp dụng: Tỡm hai số u và v trong cỏc trường hợp sau: a) u + v = 1, uv = -6; b) u + v = -5, uv = 6 c) u + v = 2, uv = 2 Giải: a) Ta cú: S2 - 4P = 12 - 4.(-6) = 25 > 0 => tồn tại hai số. Gọi hai số cần tỡm là u và v, u và v là nghiệm của phương trỡnh: x2 - x - 6 = 0. Ta cú: = S2 - 4P = (-1)2 - 4.1.(-6) = 25; x1 = ; x2 = Vậy hai số cần tỡm là 3 và -2. b) Ta cú: S2 - 4P = (-5)2 - 4.6 = 1>0 => tồn tại hai số. Gọi hai số cần tỡm là u và v, u và v là nghiệm của phương trỡnh: x2 + 5x + 6 = 0. Ta cú: = S2 - 4P = 52 - 4.1.6 = 1; x1 = ; x2 = Vậy hai số cần tỡm là -2 và -3. c) Ta cú: S2 - 4P = 22 - 4.2 = -4 khụng tồn tại hai số u và v. 4) Bài tập đề nghị: Bài 1: a) Tỡm hai số khi biết tổng của chỳng là S = 32 và tớch là P = 231. b) Tỡm hai số khi biết tổng của chỳng là S = -8 và tớch là P = -105. c) Tỡm hai số khi biết tổng của chỳng là S = 2 và tớch là P = 9. Hướng dẫn: a) Tỡm điều kiện để hai số tồn tại S2 - 4P = 322 – 4.231= Tớnh = x1 = x2 = Vậy hai số cần tỡm là. b) Tỡm điờu kiện để hai số tồn tại S2 - 4P = (-8)2 – 4.(-105)= Tớnh = x1 = x2 = Vậy hai số cần tỡm là. c) Tỡm điờu kiện để hai số tồn tại S2 - 4P = 22 – 4.9 = Vậy cú tồn tại hai số khụng ? Bài 2: Tỡm 2 số a và b biết 1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41 2. a b = 5 và ab = 36 3. a2 + b2 = 61 và ab = 30 Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đó biết tổng của hai số a và b , vậy để ỏp dụng hệ thức VI- ẫT thỡ cần tỡm tớch của a v à b. T ừ Suy ra : a, b là nghiệm của phương trỡnh cú dạng : Vậy: Nếu a = 4 thỡ b = 5 nếu a = 5 thỡ b = 4 2) Đó biết tớch: ab = 36 do đú cần tỡm tổng : a + b Cỏch 1: Đặt c = b ta cú : a + c = 5 và a.c = 36 Suy ra a,c là nghiệm của phương trỡnh : Do đú nếu a = 4 thỡ c = 9 nờn b = 9 nếu a = 9 thỡ c = 4 nờn b = 4 Cỏch 2: Từ *) Với và ab = 36, nờn a, b là nghiệm của phương trỡnh : Vậy a = thỡ b = *) Với và ab = 36, nờn a, b là nghiệm của phương trỡnh : Vậy a = 9 thỡ b = 4 3) Đó biết ab = 30, do đú cần tỡm a + b: T ừ: a2 + b2 = 61 *) Nếu và ab = 30 thỡ a, b là hai nghiệm của phương trỡnh: Vậy nếu a = thỡ b = ; nếu a = thỡ b = *) Nếu và ab = 30 thỡ a, b là hai nghiệm của phương trỡnh : Vậy nếu a = 5 thỡ b = 6 ; nếu a = 6 thỡ b = 5. II. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM Biểu thức đối xứng của 2 nghiệm: 1) Phương pháp: Biểu thức f(x1, x2) gọi là đối xứng với x1, x2 nếu: f(x1 , x2) = f(x2, x1) (Nếu đổi chỗ (vị trí) x1 và x2 thì biểu thức không thay đổi). - Nếu f(x1, x2) đối xứng thì f(x1, x2) luôn có thể biểu diễn qua 2 biểu thức đối xứng là S = x1 + x2; P = x1 . x2. - Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1, x2 của phương trình bậc 2 ax2 + bx + c = 0 là biểu thức có giá trị không thay đổi khi hán vị x1 và x2. Ta có thể biểu thị được các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1, x2 theo S và P. Đối cỏc bài toỏn dạng này điều quan trọng nhất là cỏc em phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đó cho về biểu thức cú chứa tổng nghiệm và tớch nghiệm để ỏp dụng hệ thức VI-ẫT rổi tớnh giỏ trị của biểu thức Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : () và Dạng 1. Dạng 2. Dạng 3. Dạng 4. = Dạng 5. Ta biết Dạng 6. = Dạng 7. = =. Dạng 8. = = Dạng 9. = = .. Dạng 10. Dạng 11. Dạng13. 2. Vớ dụ VD1: Giải phương trình: (Đ/K: x ạ -1) Đặt: ; v = (Đ/K: x ạ -1) u + v = 5 (2) Từ (1) và (2) ta quy về tìm u, v sao cho: Do 25 - 24 > 0. Nên u, v là nghiệm phương trình t2 - 5t + 6 = 0 " t1 = 3; t2 = 2. Từ đó có: hoặc . Phương trình đã cho Û giải được x1 = 1; x2 = 2 (TM) VD2: Tìm phương trình bậc 2 nhận x1; x2 là nghiệm và (*) Biến đổi hệ (*) ta có: Û ị x1 , x2 là nghiệm phương trình: x2 - 5x + 6 = 0 ị x1 , x2 là nghiệm phương trình: x2 + 5x + 6 = 0 Û VD3: Giải hệ phương trình: (Ta quy về tìm x, y : ) Từ (1) ta có Vậy hệ (1,2) có dạng do S2 - 4P = 282 - 4 . 27=676 > 0 nên x, y là nghiệm của phương trình: t2 - 28t + 27 = 0. Ta thấy nờn phương trỡnh cú 2 nghiệm: t1 = 1 ; t2 = 27. Vậy hệ có 2 nghiệm: ; VD4: Cho phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 (*) (a ạ 0) Có 2 nghiệm là x1, x2. Chứng minh rằng: Với Thì a . Sn + 2 + b . Sn + 1 + c . Sn = 0 Giải: Do x1, x2 là nghiệm (*) ị ị ị ị hay: a . Sn + 2 + b . Sn + 1 + c . Sn = 0 VD5: Cho phương trình x2 + 5x + 2 = 0 Gọi x1, x2 là các nghiệm. Hãy tính giá trị các biểu thức: ; ; ; . . . ; ; ; Giải: Trước hết kiểm tra phương trình đã cho nghiệm hay không. D = 25 - 8 = 17 > 0 ị Phương trình có 2 nghiệm x1 ạ x2 Suy ra: ã ã ã ã = - 95 . 433 - 8 . (- 5) = ã ã * Chú ý: Ta có thể mở rộng cho bài toán trên yêu cầu tính giá trị của ; Sn + 1 ; Sn bằng cách áp dụng kết quả Bài toán 1. ị Sn +2 = - b Sn + 1 - cSn VD6: Cho x1, x2 là nghiệm phương trình: x2 - 2x - 2 = 0 Tính Giải: Ta có: D’ = 3 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm x1, x2. S1 = 2 ị S3 = - bS2 - cS1 = 16 + 4 = 20 S4 = - bS3 - cS2 = = 56 S5 = - bS4 - cS3 = 152 = S6 = - bS5 - cS4 = 416 S7 = - bS6 - cS5 =1136 VD7: (Học sinh giỏi Quảng Ninh năm 2002). Gọi a, b là nghiệm phương trình: 30x2 - 3x = 2002. Rút gọn (Tính) Giải: * Nhận thấy phương trình đã cho: 30x2 - 3x - 2002 = 0 có D > 0 ị x1 = a ; x2 = b ị Sn = an + bn áp dụng công thức thuộc Bài toán 1: A . Sn + 1 + B . Sn + 1 + C. Sn = 0 Theo đầu bài ta có: Sn = a2000 + b2000 Sn + 1 = a2001 + b2001 Sn +2 = a2002 + b2002 ị 30 Sn + 2 - 3Sn + 1 - 2002Sn = 0 ị 30 Sn +2 - 3Sn + 1 = 2002Sn ị VD8: Cho phương trình x2 - ax + a - 1 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: . Giải: Trước hết kiểm tra xem phương trình đã cho có nghiệm không ? Ta có: D = a2 - 4 (a - 1) = (a - 2)2 ³ 0 Nên phương trình đã cho có 2 nghiệm là: x1 và x2. áp dụng hệ thức Viet ta có: x1 + x2 = a ; x1.x2 = a - 1. (a ạ 0; aạ 1) 3. Bài tập áp dụng: Khụng giải phương trỡnh, tớnh giỏ trị của biểu thức nghiệm a) Cho phương trỡnh : Khụng giải phương trỡnh, hóy tớnh 1. (34) 2. 3. 4. (46) b) Cho phương trỡnh : Khụng giải phương trỡnh, hóy tớnh: 1. 2. c) Cho phương trỡnh : Khụng giải phương trỡnh, hóy tớnh: 1. 2. (138) d) Cho phương trỡnh : Khụng giải phương trỡnh, hóy tớnh: 1. (3) 2. (1) 3. (1) 4. e) Cho phương trỡnh cú 2 nghiệm x1 ; x2 , khụng giải phương trỡnh, tớnh HD: III. LẬP PHƯƠNG TRèNH BẬC HAI 1. Lập phương trỡnh bậc hai khi biết hai nghiệm - PHƯƠNG PHÁP: Ta thiết lập 1 phương trình bậc 2 nhận các số x1; x2 là các nghiệm dựa trên cơ sở (Định lý Viet). Nếu x1 + x2 = S ; x1.x2 =p thì x1, x2 là nghiệm của phương trình: x2 - Sx + P = 0 (S2 - 4P ³ 0) VD: Cho ; lập một phương trỡnh bậc hai chứa hai nghiệm trờn Giai: Theo hệ thức VI-ẫT ta cú vậy là nghiệm của phương trỡnh cú dạng: Bài tập ỏp dụng: 1. x1 = 8 và x2 = -3 2. x1 = 3a và x2 = a 3. x1 = 36 và x2 = -104 4. x1 = và x2 = 2. Lập phương trỡnh bậc hai cú hai nghiệm thoả món biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trỡnh cho trước: A)_Vớ dụ VD1: Cho phương trỡnh : cú 2 nghiệm phõn biệt . Khụng giải phương trỡnh trờn, hóy lập phương trỡnh bậc 2 cú ẩn là y thoả món : và Giải: Theo hệ thức VI- ẫT ta cú: Vậy phương trỡnh cần lập cú dạng: hay VD2: Gọi a, b là các nghiệm của phương trình: 3x2 + 7x + 4 = 0 không phải phương trình hãy thành lập phương trình bậc 2 với hệ số bằng số mà các nghiệm của nó là: và . * Giải: Theo định lý Viet ta có: với a ạ 1 và b ạ 1. Ta có: = Vậy và là nghiệm của phương trình Hay phương trình: 21X2 - 23X + 6 = 0 * Chú ý: Có thể giải bài toán trên bằng cách lập phương trình tích rồi đưa về phương trình bậc 2 cần tìm. VD3: Cho a là số thực sao cho a + 1 ạ 0. Lập phương trình bậc 2 có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn các hệ thức: 4x1x2 + 4 = 5 (x1+ x2) (1) (x1 - 1) (x2 - 1) = (2) Giải: * Để lập được 1 phương trình bậc 2 có 2 nghiệm x1 ; x2 ta phải tìm được x1 + x2 và x1.x2 theo a. Ta có: (2) Û x1.x2 - (x1 + x2) + 1 = Û x1.x2 - (x1 + x2) = (3) (1) Û 4x1x2 - 5 (x1 + x2) = - 4 (4) Từ (3) và (4) ị ị x1, x2 là nghiệm của phương trình: hay (a + 1)x2 - 4x + 4 - a = 0. VD4: Viết phương trình bậc 2 có nghiệm x1; x2 thoả mãn: Giải: Ta cần tìm được x1 + x2 và x1 .x2 theo k. Đặt x1 + x2 = S ; x1.x2 = P, ta có: Û Phương trình cần tìm là x2 + 2kx - 3k + 1 = 0 ( ĐK: S2 - 4P ³ 0 Û k2 + 4k - 1 ³ 0) * Qua các ví dụ trên ta đã vận dụng định lý Viet đảo để lập 1 phương trình bậc 2 biết 2 nghiệm cho trước hoặc hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm. Song cần chú ý điều kiện S2 - 4P ³ 0. B) Bài tập ỏp dụng: Bài 1: Cho phương trỡnh cú 2 nghiệm phõn biệt . Khụng giải phương trỡnh, Hóy lập phương trỡnh bậc hai cú cỏc nghiệm và (Đỏp số: hay ) Bài 2: Cho phương trỡnh : cú 2 nghiệm . Hóy lập phương trỡnh bậc 2 cú ẩn y thoả món và (cú nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của cỏc nghiệm của phương trỡnh đó cho). (Đỏp số : ) Bài 3: Cho phương trỡnh bậc hai: cú cỏc nghiệm . Hóy lập phương trỡnh bậc hai cú cỏc nghiệm sao cho : a) và b) và (Đỏp số a) b) ) IV. TèM HỆ THỨC LIấN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRèNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHễNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ Phương phỏp: Để tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số trong 1 phương trình bậc 2 (Giả sử tham số là m) ta có thể thực hiện theo các bước sau: Bước 1- Đặt điều kiện cho tham số để phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ạ 0 và D ³ 0) Bước 2- Áp dụng hệ thức VI-ẫT: Bước 3- Sau đú dựa vào hệ thức VI-ẫT rỳt tham số theo tổng nghiệm, theo tớch nghiệm sau đú đồng nhất cỏc vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm khụng phụ thuộc vào tham số. Đó chính là hệ thức liờn hệ giữa cỏc nghiệm x1 và x2 không phụ thuộc vào tham số m. (Sử dụng phép thế hoặc cộng). 2) Vớ dụ VD1: Cho phương trỡnh : (1) cú 2 nghiệm . Lập hệ thức liờn hệ giữa sao cho chỳng khụng phụ thuộc vào m. (Bài này đã cho PT có hai nghiệmx1 ;x2 nên ta không biện luận bước 1) Giải: Bước 1: Theo hệ thức VI- ẫT ta cú : Bước 2: Rỳt m từ (1) ta cú : (3) Rỳt m từ (2) ta cú : (4) Bước 3: Đồng nhất cỏc vế của (3) và (4) ta cú: VD2: Gọi là nghiệm của phương trỡnh : . Chứng minh rằng biểu thức khụng phụ thuộc giỏ trị của m. Giải: Theo hệ thức VI- ẫT ta cú : ĐK:() ;Thay vào A ta c ú: Vậy A = 0 với mọi . Do đú biểu thức A khụng phụ thuộc vào m VD3: Cho phương trình (m - 1)x2 - 2(m - 4)x + m - 5 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình không phụ thuộc m (Độc lập với m). Giải: Trước hết tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 là: Khi đó theo Viet phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: Û Û 2 (x1 + x2) - 3x1x2 = 1 (Không chứa m). Đó chính là hệ thức cần tìm. VD4: Cho phương trình: (m2 + 1)x2 - 2mx + 1 - m2 = 0. * CMR với mọi m > 1 phương trình luôn có nghiệm. * Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm độc lập với tham số m. Giải: * Ta có: a = m2 + 1 > 0 (m2 ³ 0) nên phương trình đã cho là1 phương trình bậc 2 ẩn x tham số m. Mặt khác, C = 1 - m2 1 ị m2 > 1). Như vậy: a và c trái dấu ị ac 1. * áp dụng hệ thức Viet có: (*) - Khử m từ hệ (*) bằng nhận xét: = Vậy ta có hệ thức cần tìm là: (x1 + x2)2 + (x1.x2)2 = 1 3) Bài tập ỏp dụng: Bài 1. Cho phương trỡnh : . Hóy lập hệ thức liờn hệ giữa sao cho độc lập đối với m. Hướng dẫn: B1: Dễ thấy . Do đú phương trỡnh đó cho luụn cú 2 nghiệm phõn biệt x1 và x2 B2: Theo hệ thức VI- ẫT ta cú B3: Từ (1) và (2) ta cú: Bài 2: Cho phương trỡnh : . Tỡm hệ thức liờn hệ giữa và sao cho chỳng khụng phụ thuộc vào m. Hướng dẫn: Dễ thấy do đú phương trỡnh đó cho luụn cú 2 nghiệm phõn biệt x1 và x2 Theo hệ thức VI- ẫT ta cú Từ (1) và (2) ta cú: V.TèM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRèNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO 1) Phương phỏp: Đối với cỏc bài toỏn dạng này,cỏc em làm như sau: *Bước 1: Đặt điều kiện cho tham số để phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ạ 0 và D ³ 0) * Bước 2: áp dụng hệ thức Viet, ta có: (*) * Bước 3: Kết hợp (*) với điều kiện (Hệ thức cho trước) suy ra phương trình có ẩn là tham số từ đó tìm được tham số. (Chú ý cần đối chiếu tham số cần tìm được với điều kiện để phương trình đầu có nghiệm số). Điều kiện của tham số để hệ phương trình: có 1 nghiệm duy nhất là: f2(m) - 4g(m) = 0 (Chính là điều kiện để phương trình bậc 2 t2 - f(m)t + g(m)) = 0 có nghiệm kép) 2) Vớ dụ VD1: Cho phương trỡnh : Tỡm giỏ trị của tham số m để 2 nghiệm và thoả món hệ thức : Giải: Điều kiện để phương trỡnh c ú 2 nghiệm x1 và x2 l à : Theo h ệ th ức VI- ẫT ta c ú: v à t ừ gi ả thi ết: . Suy ra: (thoả món điều kiện xỏc định ) Vậy với m = 7 thỡ phương trỡnh đó cho cú 2 nghiệm và thoả món hệ thức : VD2: Cho phương trỡnh : . Tỡm m để 2 nghiệm và thoả món hệ thức : Giải: Điều kiện để phương trỡnh cú 2 nghiệm là : Theo hệ thức VI-ẫT ta cú: và từ giả thiết . Suy ra Vậy với m = 2 thỡ phương trỡnh cú 2 nghiệm và thoả món hệ thức : VD3: Cho phương trình: x2 +ax + b = 0 có 2 nghiệm là x và d; phương trình x2 + cx + d = 0 có 2 nghiệm là a và b. Tính a, b, c, d biết rằng chúng đều ạ 0. Giải: áp dụng định lý Viet vào 2 phương trình đã cho có: c + d = - a (1) c . d = b (2) a + b = - c (3) a . b = d (4) Từ (1) ị a + c = - d (3) ị a + c = - b Từ (2) ị c =1 (Vì b = d ạ 0) Từ (4) ị a = 1 (Chia 2 vế cho b = d ạ 0) Thay a = c = 1 vào (1) ị d = - 2 ị b = - 2 Vậy (a, b, c, d) = (1; - 2; 1; - 2) VD4: Tìm m để phương trình: 3x2 + 4 (m - 1)x + m2 - 4m + 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1. x2 thoả mãn: Giải:* Trước hết phương trình phải có 2 nghiệm phân biệt x1, x21 ạ 0 nên phải có: D’ > 0. Û 4 (m - 1)2 - 3 (m2 - 4m + 1) > 0 Û m2 + 4m + 1 > 0. Û m -2 + (*) * Theo hệ thức Viet ta có: ; (m2 - 4m + 1 ạ 0) Û m ạ 2 ± (**) Từ hệ thức của x1, x2 ta có: Û x1 + x2 = 0 (1) hoặc (2) - Từ (1) có: - Từ (2) có: Û m2 - 4m + 1 = 6 Û m2 - 4m - 5 = 0 Û * Kết hợp các giá trị của m với điều kiện: (*) (**) ta được m = 1 ; m = 5. Như vậy: Với m = 1 hoặc m = 5 thì phương trình đã cho thoả mãn đầu bài (Chú ý: Có thể tìm m từ hệ hỗn hợp sau: Khi có: nếu chia cho x1 + x2 sẻ làm mấy nghiệm) VD5: Cho phương trình: x2 + bx + c = 0 có các nghiệm x1, x2; phương trình: x2 - b2x + bc = 0 có các nghiệm x3, x4. Biết x3 - x1 = x4 - x2 = 1. Tìm b và c. Giải: * Trước hết phải có: (*) * Theo giả thiết và theo hệ thức Viet có: Û (Vì x3 = x1 + 1 ; x4 = x2 + 1) Từ (1) và (3) có: b2 + b - 2 = 0 Û (b - 1) (b + 2) = 0 Û Từ (4) có: x1x2 + x1 + x2 + 1 =bc Û c - b + 1 = bc (5) - Với b = 1 thì (5) đúng khi đó phương trình: x2 + bx + c = 0 trở thành x2 + x + c = 0 Có nghiệm nếu D = 1 - 4c ³ 0 Û Phương trình: x2 - b2x + bc = 0 trở thành x2 - x + c = 0 cũng có nghiệm nếu : - Với b =- 2 (5) trở thành c + 3 = - 2c ị c = - 1 Khi đó phương trình: x2 - b2x + bc = 0 trở thành x2 - 4x + 2 = 0 có nghiệm là . Phương trình: x2 + bx + c = 0 trở thành x2 - 2x - 1 = 0 có nghiệm là * Kết luận: (b = 1 ; ) hoặc (b = - 2 ; c = - 1) (Vì các giá trị này thoả mãn điều kiện (*)) VD6: Tìm m để phương trình: mx2 - 2 (m - 1)x + 3 (m - 2) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1. x2 thoả mãn x1 + 2x2 = 1. Giải: Có thể giải hệ hỗn hợp sau để tìm m: Û Û Û m = 2 hoặc m = VD7: Tìm các số p và q của phương trình: x2 + px + q = 0 sao cho các nghiệm của nó thoả mãn: Giải: * Trước hết phải có điều kiện: D > 0 Û p2 - 4q > 0 Giải hệ sau: Từ (3) có: (x1 - x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2 = p2 - 4q = 25 (5) Từ (4) có: ị (x1 + x2)2 - x1x2 = p2 - q = 7 (6) Kết hợp (5) và (6) ta có: (*) Giải được q = - 6 ; p1, 2 = ± 1 Nghiệm của hệ (*) là: ; thoả mãn điều kiện: p2 - 4q > 0 Kết luận: hoặc VD8: Xác định tham số m sao cho phương trình: 2x2 - 3(m + 1)x + m2 - m - 2 = 0 có 2 nghiệm trái dấu mx2 - 2 (m - 2)x + 3 (m - 2) = 0 có 2 nghiệm cùng dấu Giải:(1) Có 2 nghiệm trái dấu Û m2 - m - 2 < 0 Û (m + 1) (m - 2) < 0 Û - 1 < m < 2 (2) Giải Û - 1 Ê m < 0 3) Bài tập ỏp dụng Bài 1. Cho phương trỡnh : Tỡm m để 2 nghiệm và thoả món hệ thức : Bài 2. Cho phương trỡnh : Tỡm m để 2 nghiệm và thoả món hệ thức: Bài 3. Cho phương trỡnh : . Tỡm m để 2 nghiệm và thoả món hệ thức : Hướng dẫn cỏch giải: Đối với cỏc bài tập dạng này ta thấy cú một điều khỏc biệt so với bài tập ở Vớ dụ 1 và vớ dụ 2 ở chỗ + Trong vớ dụ thỡ biểu thức nghiệm đó chứa sẵn tổng nghiệm và tớch nghiệm nờn ta cú thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ẫT để tỡm tham số m. + Cũn trong 3 bài tập trờn thỡ cỏc biểu thức nghiệm lại khụng cho sẵn như vậy, do đú vấn đề đặt ra ở đõy là làm thế nào để từ biểu thức đó cho biến đổi về biểu thức cú chứa tổng nghiệm và tớch nghiệm rồi từ đú vận dụng tương tự cỏch làm đó trỡnh bày ở Vớ dụ 1 và vớ dụ 2. BT1: - ĐKX Đ: -Theo VI-ẫT: - Từ Suy ra: (2) - Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trỡnh sau: BT2: - ĐKXĐ: - Theo VI-ẫT: - Từ : . Suy ra: (2) - Thế (1) vào (2) ta cú phương trỡnh : (thoả món ĐKXĐ) BT3: - Vỡ với mọi số thực m nờn phương trỡnh luụn cú 2 nghiệm phõn biệt. - -Theo VI-ẫT: - Từ giả thiết: . Suy ra: (2) - Thế (1) vào (2) ta được phương trỡnh: (thoả món ) VI. XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRèNH BẬC HAI Phương phỏp: Cho phương trỡnh: (a ạ 0) .Hóy tỡm điều kiện để phương trỡnh cú 2 nghiệm: trỏi dấu, cựng dấu, cựng dương, cựng õm . Ta lập bảng xột dấu sau: Dấu nghiệm x1 x2 D Điều kiện chung Trỏi dấu: x1 < 0 < x2 P < 0 D ³ 0 D ³ 0 ; P < 0. Cựng dấu, P > 0 D ³ 0 D ³ 0 ; P > 0 Cựng dương: 0 < x1 Ê x2 + + S > 0 P > 0 D ³ 0 D ³ 0 ; P > 0 ; S > 0 Cựng õm: x1 Ê x2 < 0 S < 0 P > 0 D ³ 0 D ³ 0 ; P > 0 ; S < 0. - Điều kiện để (*) có 1 nghiệm kép dương là: - Điều kiện để (*) có 1 nghiệm kép âm là: 2) Vớ dụ: VD1: Xỏc định tham số m sao cho phương trỡnh: cú 2 nghiệm trỏi dấu. Giải: Để phương trỡnh cú 2 nghiệm trỏi dấu thỡ Vậy với thỡ phương trỡnh cú 2 nghi ệm trỏi dấu. VD2: Cho phương trình: mx2 - 2(3 - m)x + m - 4 = 0 (1) Xác định m để phương trình: - Có đúng 1 nghiệm âm - Có 2 nghiệm đối nhau. Giải: Xét 2 trường hợp: * TH1: Với m =0 ta có: (1) Û - 6x - 4 = 0 Û là nghiệm âm duy nhất của phương trình. * TH2: Với m ạ 0 khi đó để (1) có đúng 1 nghiệm âm cần điều kiện là: Û Û Û Vậy m ẻ (0; 4] hoặc m = thì phương trình có đúng 1 nghiệm âm. VD3: Cho phương trình: 2x2 - (m - 1)x + m2 - 4m + 3 = 0 (1) * Tìm m để phương trình (1) có nghiệm. * Xác định dấu của các nghiệm x1, x2 (x1 Ê x2) với các giá trị tìm được của m. Giải: * Vì (1) là phương trình bậc 2 ẩn x tham số m có nghiệm số Û D’ ³ 0 Û (m - 1)2 - 2 (m2 - 4m + 3) ³ 0 Û - m2 + 6m - 5 ³ 0 Û m2 - 6m + 5 Ê 0 Û (m - 1) (m - 5) Ê 0 Û 1 Ê m Ê 5. * Theo hệ thức Viet có: P = x1x2 = S = x1 + x2 = m - 1 - Xét dấu của P = x1.x2. Ta có: m2 - 4m + 3 = 0 Û m = 1 hoặc m = 3 m 1 3 x1x2 + 0 - 0 + Nếu m = 1 thì p = 0 và s = 0 ị x1 = x2 = 0 Nếu m = 3 thì p = 0 ; s