Chuyên đề Hình học 7 - Nhóm các bài toán có họ hàng với nhau

Nhóm các bài toán có họ hàng với nhau Nhóm i (Sử dụng kiến thức về tính chất tia phân giác trong và phân giác ngoài của một góc) Bài 1: Cho tam giác ABC có góc A bằng .Hai tia phân giác của 2 góc trong B và C cắt nhau ở I còn hai tia phân giác của 2 góc ngoài B và C cắt nhau ở K a) Tính góc BIC và góc BKC. b) Gọi D là giao điểm của hai tia BI và KC. Tìm góc BDC. c) cho góc B = 2C. Tính góc B và góc C. Bài 2: Cho tam giác ABC .Hai tia phân giác của 2 góc trong B và C cắt nhau ở I còn hai tia phân giác của 2 góc ngoài B và C cắt nhau ở E. Gọi K là giao điểm của BI và CE. a, Kể tên các cặp góc có cạnh tương ứng vuông góc trong hình vẽ. b, Cho biêt góc BEC = ,tính góc BAC? c, Cho góc BAC = . Tính số đo các góc BIC, BKC, BEC theo Bài 3: Cho tam giác ABC Biết rằng góc nhọn tạo bởi các tia phân giác của góc B và góc C có só đo bằng . a, Tính góc A của tam giác? b, Tia phân giác của góc B cắt cạnh AC ở D và tia phân giác của góc C cắt cạnh AB ở E.Chứng minh rằng : hai góc BEC và BDC bù nhau. Bài 4: Cho tam giác ABC, các phân giác BD và CE .Tính góc A biết:BC = BE + CD Bài 5: Cho tam giác ABC có góc A = , các phân giác BD và CE. Chứng minh rằng: BC = BE + CD Bài 6: Cho tam giác ABC có góc A = , các phân giác BD và CE cắt nhau ở I. Chứng minh rằng : ID = IE. Bài 7: Cho tam giác ABC có góc A = , các phân giác BD và CE. Biết rằng BC = 4m.. Tính tổng BE + CD? Bài 8: Cho tam giác ABC có góc B =, các phân giác BD và CE cắt nhau ở I.Tính các góc A và C biết rằng ID = IE. Bài 9: Cho tam giác ABC , các phân giác BD và CE cắt nhau ở I, mà ID = IE thì : Góc B bằng góc C hoặc tổng góc B vàgóc C bằng . (Chú ý: bài toán 9 là bổ đề dùng để giải bài toán 8 ) Bài 10: Cho tam giac ABC. Các đường thẳng chứa tia phân giác của các góc ngoài ở đỉnh B và ở đỉnh C cắt nhau tại K. Tính góc A biết góc BKC = Bài 11: Cho tam giác ABC , đường cao AH, phân giác AD, góc , góc . a, Tính số đo góc HAD. b, Gọi I là giao điểm các phân giác Δ ACB. Tính góc BIC theo . c, Gọi O là giao điểm các phân giác ngoài góc B, Phân giác ngoài góc C. Tính góc BOC theo . Bài 12: Tìm mối liên hệ giữa hai góc B và C của tam giác ABC biết rằng góc tạo bởi tia phân giác của góc B với cạnh đối diện bằng góc tạo bởi tia phân giác củan góc C với cạnh đối diện. Nhóm ii (Sử dụng kiến thức về tính chất đường trung trực của đoạn thẳng) Bài 1 : Cho điêm A nằm trong góc nhọn xOy. Vẽ AH vuông góc với Ox ( H thuộc Ox), trên tia đối của HA lấy HB = HA .Vẽ AK vuông góc với Oy ( K thuộc Oy ), trên tia đối của tia KA lấy KC = KA. Chứng minh rằng: a, OB = OC. b, Biết góc xOy = ( ),tính góc BOC. Bài 2: cho góc xOy ( khác góc bẹt ), lấy các điểm A và B trên các tia Ox và Oy . a, Chứng minh rằng: các đường trung trực cua các đoạn thẳng OA và OB cắt nhau tại một điểm G. b, Chứng minh rằng : Điểm G cách đều ba điểm O, A, và B. Bài 3: Cho điểm A nằm trong góc nhọn xOy = . Vẽ các điểm B và C sao cho Ox là đường trung trực của AB , Oy là đường trung trực của AC . Gọi giao điểm của BC với Ox, Oy theo thứ tự là E,F . a, Chứng minh rằng BC bằng chu vi tam giác AEF. b, Với giá trị nào của ( ) thì? Bài 4: Cho điểm M nằm trong góc vuông xOy. Vẽ các điểm A , B sao cho Ox là đường trung trực của MA, Oy là đường trung trực của MB.Chứng minh rằng O là trung điểm của AB. Bài 5: Cho tam giác ABC .Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại I . a, Chứng minh rằng điểm I thuộc đường trung trực của BC. b, Tính góc BIC biết góc A = . Bài 6: Cho tam giác ABC , đường cao AH. Hãy vẽ điểm M thuộc đường thẳng AH sao cho MA = MC. Bài 7: Chứng minh rằng các đường trung trực của các cạnh góc vuông của một tam giác vuông cắt nhau tại trung điểm của cạnh huyền. Bài 8 : Cho tam giác ABC có góc .Các đường trung trực của AB và của AC cắt nhau ở O và cắt BC thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng : a, OB = OC. b, AO là tia phân giác của góc MAN. Bài 9: Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn. Các đường trung trực của AB và của AC cắt nhau tại O. Chứng minh rằng: a, OA = OB = OC. b, Góc BOC gấp 2 lần góc BAC. Bài 10: Cho tam giác ABC có AB < AC .Trên cạnh CA lấy điểm E sao cho CE = AB . Gọi O là giao điểm của hai đường trung trực của BE và AC.Ch ứng minh rằng: a, b, AO là tia phân giác của góc A. Bài 11: Cho tâm giác ABC . Các đường trung trực của AB và của AC cắt nhau tại I . a, Chứng minh rằng điểm I thuộc đường trung trực của BC b, Tính góc BIC biết góc c, Hãy tìm mối quan hệ giữa số đo của các góc BAC và BIC? Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D là một điểm thuộc cạnh huyền BC. Vẽ các điểm E và K sao cho AB là đường trung trực của các đoạn thẳng CE và DK. Chứng minh rằng ba điểm E, K, B thẳng hàng. Bài 13: Cho điểm A nằn trong góc nhọn xOy. Vẽ điểm B sao cho Ox là đường trung trực của AB, vẽ điểm C sao cho Oy là đường trung trực của AC. Gọi D là một điểm bất kỳ trong góc xOy sao cho góc DOy bằng góc Aox. Chứng minh rằng DB = DC. Bài 14: Tam giác ABC cân tại A có góc.Đường trung trực của AB cắt BC ở D. a, Tính gócCAD. b, trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM = CD. Chứng minh rằng tam giác BMD là tam giác cân. Bài 15: Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn và đường cao AH. Dựng điểm D sao cho AB là đường trung trực của đoạn HD rồi dựng điểm E sao cho AC là đường trung trực của đoạn HE. Nối DE cắt AB ở I và cắt AC ở K. Chứng minh rằng: a, AD = AE. b, Tia HA là tia phân giác của góc IHK. Bài 16 : Cho tam giác ABC ( AB <AC). Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường trung trực của BC và DE cắt nhau tại O. Chứng minhrằng : . Bài 17: Cho hai đoạn thẳng AB, AC vuông góc với nhau. Các đường trung trực của AB và của AC cắt nhau ở M. Chứng minh rằng M là trung điểm của BC. Bài 18: Cho tam giác ABC , đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng DE là đường trung trực AH. Bài 19: Cho tam giác ABC (), đường trung trực của BC cắt tia phân giác góc A tại I. Kể ID vuông góc với AB tại D, kẻ IE vuông góc với AC tại E. a, Chứng minh rằng : ID = IE. b,Tính tổng của 2 góc ABI và ACI? Bài 20: Cho tam giác ABC, đường cao AH. Kẻ HE vuông góc với AB tại E. Trên tia đối của tia EH xác định điểm M sao cho EM = EH. Nối MA, MB. Chứng minh: a, AM = AH. b, Góc . Bài 21: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = AB. Các đường trung trực của AD và của BC cắt nhau ở I. Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A. Bài 22: Cho tam giác ABC có góc , B và C là các góc nhọn.Kẻ đường cao AH. Vẽ điểm D sao cho AB là đường trung trực của HD. Kẻ CK vuông góc với DB (K thuộc đường thẳng DB). Chứng minh rằng: AD = DK. Bài 23: Cho điểm A nằm trong góc nhọn xOy. Tìm điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. Bài 24: Cho tam giác ABC. Tìm điểm M trên cạnh BC sao cho nếu vẽ các điểm D, E trong đó AB là đường trung trực của MD, AC là đường trung trực của ME thì DE có độ dài nhỏ nhất. Nhóm iii (Vận dụng các thức về tam giác bằng nhau, các tính chất của tam giác đặc biệt,tính chất tia phân giác, tính chất đường trung trực) Bài 1: Cho tam giác ABC, đường cao AH, phân giác AD. Tính góc HAD biết rằng: a, Góc và góc b, Hiệu của góc B và góc C bằng Bài 2: Tam giác ABC có góc , phân giác AD. Cho biết góc .Tính góc B và góc C? Bài 3 : Tam giác ABC có góc,các đường cao BD, CE. Gọi H là giao điểm của các đường thẳng BD và CE.Tính các góc BHC, HBE , HCD. Bài 4:Tính góc A của tam giác ABC cân tại A, đường cao CH, biết góc . Bài 5: Tam giác ABC có BC là cạnh lớn nhất. Trên cạnh BC có các điểm M, N sao cho N ở giữa B và M, M ở giữa N và C, BM = BA và CN = CA.Tính góc BAC biết: a, Góc . b, Góc . Bài 6: Tam giác ABC cân tại A (Góc ). Trên cạnh AB lấy D sao cho AD = BC. Tính góc ACD ? Bài 7: Tính góc A của tam giác ABC cân tại A, đường cao CH, biết . Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. biết góc . Tính góc BAH. Bài 9: Tam giác ABC có góc . Kẻ phân giác AD. Tính góc ABC? Bài 10: Tam giác ABC có góc ; góc ,đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Chứng minh rằng : BD = 2.AH. Bài 11: Tam giác ABC có góc , góc , AC = a. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Tính BD theo a. Bài 12: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết HB – HC = AB. Tính góc C? Bài 13: Tính các góc của tam giác ABC biết góc và AB = 2.BC. Bài 14: Tam giác ABC có góc, góc . Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho . Tính góc ADC ? Nhóm iV (Sử dụng kiến thức về tính chất tia phân giác, các trường hợp bằng nhau của tam giác) Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ), gọi M là một điểm thuộc cạnh AC. Kẻ MH vuông góc với BC ( H thuộc BC ). Biết MH = HB. Chứng minh rằng AH là tia phân giác của góc A. Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A.Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho DB = BA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC ở E. a, So sánh độ dài AE và DE. b, Đường phân giác góc ngoài tại đỉnh C cắt đường thẳng BE ở K. Tính ? Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA. Kẻ EK vuông góc với AC ( K thuộc AC ). Chứng minh rằng : AK = AH. Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AC > AB ), tia phân giác của góc A cắt BC ở D. Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt cạnh AC ở E. Chứng minh : DB = DE. Bài 5: Cho tam giác ABC ( ), tia phân giác của góc A cắt BC ở D. Trên nửa mặt phẳng chứa A bờ là BC, vẽ tia Dx sao cho , tia này cắt CA ở E. Chứng minh rằng: DE = DB. Bài 6:Cho tam giác ABC ( AB > AC). Vẽ phân giác AD. Chứng minh rằng: DB > DC. Bài 7: Cho tam giác ABC. Từ điểm E trên cạnh AC, kẻ các đường thẳng song song với AB, và với BC , nó lần lượt cắt BC tại D và cắt AB tại F. a, Chứng minh rằng điểm D cách đều hai cạnh AB và AC . b, Hãy dựng đoạn thẳng EF song song với canh BC của tam giác ABC sao cho BF = AE. Bài 8:Cho tam giác ABC. Dựng ở nửa mặt phẳng bờ BC, không chứa điểm A tam giác vuông cân CBD tại D. a, chứng minh rằng: AD là phân giác của góc BAC. b, Vẽ tam giác BED vuông cân tại E. Giả sử E và A ở cùng nửa mặt phẳng bờ BC. Chứng minh rằng : AE là tia phân giác ngoài của góc BAC. Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường cao BH và CK cắt nhau tại I. Chứng minh rằng: AI là tia phân giác của góc BAC. Bài 10: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Kéo dài trung tuyến AM, lấy điểm D trên đó sao cho MD = MA. Từ D hạ đường thẳng xDy vuông góc với BC. Tren tia Dx lấy điểm P, trên tia Dy lấy điểmQ sao cho DP = DQ = BC. Chứng minh rằng : AQ, AP là các phân giác trong và ngoài của góc BAC. Bài 11: Cho góc xOy. Trên cạnh Ox, ta lấy đoạn thẳng AB, trên cạnh Oy ta lấy đoạn thẳng CD sao cho AB = CD. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD. Chứng minh rằng : MN song song với phân giác ( trong hoặc ngoài ) của góc xOy. Bài 12: Cho góc xOy cố định . Trên cạnh Ox lấy điểm A, trên cạnh Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB khi độ dài OA, OB cùng thay đổi nhưng vẫn có OA = OB. Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại B, phân giác AD. a,Trong các góc ADB và ADC, góc nào nhọn, góc nào tù? b, Trên tia AC lấy điểm H sao cho AH = AB. Chứng minh rằng: . Bài 14: Tam giác ABC có AB = AC, phân giác AD. a, Chứng minh: . b, Lấy điểm E thuộc cạnh AB , điểm F thuộc cạnh AC sao cho BE = CF. Chứng minh rằng DA là tia phân giác của góc EDF. c, Đoạn thẳng DE có vị trí gì đối với thì ? Bài 15: Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác BD. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt đường thẳng BD ở E. Kẻ . Chứng minh rằng: . Bài 16: Cho tam giác ABC. Các đường phân giác ngoài của các góc B và C cắt nhau tại I. Chứng minh rằng: AI là tia là tia phân giác của góc A. Bài 17: Để dựng tia phân giác của góc xOy, một học sinh dùng êke kẻ các đường vuông góc với Ox tại A, vuông góc với Oy tại B ( OA = OB ), chúng cắt nhau tại C. a, Chứng minh rằng OC là tia phân giác của góc xOy. b, Gọi I là điểm bất kỳ thuộc tia OC. Gọi M, N theo thứ tự là chân các đương vuông góc kẻ từ I đến Ox, Oy. Chứng minh: IM = IN Bài 18: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Kẻ các tia Bx, Cy vuông góc với BC ( Bx và Cy nằm cùng phía với A đói với BC ). Gọi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh huyền BC. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM, cắt Bx và Cy theo thứ tự ở D và E. Xác định dạng của tam giác DME. Bài 19: Cho tam giác ABC , đường trung trực của BC cắt tia phân giác của góc A tại I. Kẻ ID vuông góc với AB tại D, kẻ IE vuông góc với AC tại E. a, Chứng minh rằng: ID = IE. b, Tính Bài 20: Tính các góc của tam giác ABC biết . Bài 21: Chứng minh rằng nếu một điểm thuộc tia phân giác của một góc thì khoảng cách từ điểm đó đến hai cạnh của góc là bằng nhau. Bài 22: Tam giác ABC có. Các phân giác góc B và góc C cắt nhau ở I. Kẻ kẻ . Tính các độ dài AD và AE. Bài 23: Cho tam giác ABC có I là giao điểm các phân giác. Gọi D, E, F, theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ I đến BC, AC, AB. a, Tính theo . b, Chứng minh rằng có ba góc nhọn. Bài 24: Cho tam giác ABC. Gọi I là giao điểm các phân giác các góc B và C. Gọi K là giao điểm các phân giác các góc ngoài B và C. a, Chứng minh rằng ba điẻm A, I, K thẳng hàng. b, Cho . Tính theo ? Bài 25: Tam giác ABC có, các tia phân giác của các góc B và C gặp nhau ở I. AI cắt BC ở K. Tính? Bài 26: Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm D thuộc cạnh AC sao cho . Điểm E thuộc cạnh AB sao cho . Gọi K là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng: KD = KE. Bài 27: Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Điểm D thuộc cạnh AB sao cho . Lấy điểm E thuộc canh AC sao cho . Chứng minh rằng EM là tia phân giác của góc DEC. Bài 28: Cho tam giác ABC, các phân giác BD và CE. Biết DE là tia phân giác của góc ADB. Tính ? Bài 29: Tam giác ABC có đường cao AH và đường trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau. Lấy điểm E thuộc cạnh AC sao cho AE = AH. a, Tính các góc của tam giác EMC. b, Chứng minh rằng: . Bài 30: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên cạnh BC lấy diểm E sao cho BE = BA. Kẻ EK vuông góc với AC ( K thuộc BC ). Chứng minh rằng AK = AH. Bài 31: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC ở E. a, So sánh độ dài AE và DE. b, Đường phân giác ngoài tại đỉnh C cắt đường thẳng BE ở K. Tính ? Bài 32: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi AH là đường cao lớn nhất trong ba đường cao. BE là trung tuyến kẻ từ đỉnh B. Cho biết AH = BE. a, Chứng minh : . b, Chứng minh : . Bài 33: Cho tam giác ABC cân tại A. Qua A kẻ đường thẳng d song song với đáy B. Các đường phân giác của góc B và của góc C lần lượt cắt d tại E và F. Chứng minh : a, d là phân giác ngoài của góc A . b, AE = AF. c, CE là phân giác ngoài của góc C.