Chuyên đề Hình học lớp 9 - Tứ giác nội tiếp

Trường NN&BDVH Thăng Tiến – THĂNG LONG HÌNH HỌC LỚP 9 TỨ GIÁC NỘI TIẾP (tiếp theo) TỨ GIÁC NỘI TIẾP 1 Cho ∆ABC có ba đường cao AA’, BB’, CC’ cắt nhau tại H. Hãy tìm và chứng minh các tứ giác nội tiếp có trong hình. 2 Cho ∆ABC có ba đường cao AH, GI, CK cắt nhau tại O. a. Chứng minh : Tứ giác AIOK và tứ giác AIHB nội tiếp. b. Chứng minh : BI là phân giác của . c. Chứng minh : O là tâm đường tròn nội tiếp trong ∆KIH. d. Chứng minh : A, B, C là tâm đường tròn bàng tiếp ∆KIH. 3 Cho ∆ABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a. Chứng minh : Tứ giác BCEF nội tiếp. b. Chứng minh : ∆AEF đồng dạng ∆ABC. 4 Cho ∆MNP có ba đường cao MM’, NN’, PP’. a. Chứng minh : Tứ giác MPM’P’ và tứ giác MNM’N’ nội tiếp. b. Chứng minh : ∆M’NP’ đồng dạng ∆M’N’P. 5 Cho ∆ABC có đường cao AH và BI. a. Chứng minh : . b. Chứng minh : AB.IC = BC.IH. 6 Cho . Trên Ox lấy OA = 6cm, OB = 10cm. Trên Oy lấy OD = 4cm, OC = 15cm. Chứng minh: ∆OAD đồng dạng ∆OBC. b. Tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn. 7 Cho ∆OPQ có đường cao PI và QK. Chứng minh : . 8 Cho ∆ABC. Lấy điểm D và EAC sao cho . Chứng minh: Tứ giác BDEC nội tiếp trong đường tròn. 9 Cho ∆nội tiếp trong đường tròn (O). Từ Mcung nhỏ , kẻ MH, MI, MK lần lượt vuông góc với các đường thẳng AB, BC,CA ở H, I, K. Chứng minh : a. Các tứ giác BHMI, MIKC nội tiếp được trong đường tròn. b. . c. . d. Ba điểm H, I, K thẳng hàng. 10 Cho ∆ nội tiếp trong đường tròn (O). Từ Mcung nhỏ , kẻ MH, MI, MK lần lượt vuông góc với các đường thẳng AB, BC,CA ở H, I, K. Chứng minh : a. Các tứ giác BHMI, MIKC nội tiếp được trong đường tròn. b. Ba điểm H, I, K thẳng hàng. 11 Từ điểm A ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC. Lấy M trên dây BC, kẻ đường thẳng vuông góc với OM ở M, đường thẳng này cắt AB tại K và đường thẳng AC ở L. a. Chứng minh : Tứ giác OMKB và OMCL nội tiếp. b. Chứng minh : . c. Chứng minh : MK = ML. 12 Từ điểm A ngoài (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC. Lấy M thuộc dây BC, kẻ đường thẳng vuông góc với OM tại M, đường thẳng này cắt đường thẳng AB ở K và đường thẳng AC ở L. Chứng minh : MK = ML. 13 Cho nửa đường tròn đường kính AB. Lấy điểm M trên cung AB, kẻ MHAB ở H. Từ điểm C bất kỳ trên cung nhỏ MB vẽ tiếp tuyến xCy cắt đường thẳng MH ở O. AC cắt MH ở D và MH cắt BC ở E. Chứng minh : Các điểm B, C, D, H thuộc một đường tròn và A, H, C, E nằm trên một đường tròn. Chứng minh : Các ∆ODC, ∆OEC cân. Chứng minh : O là tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆DCE. 14 Cho nửa đường tròn đường kính AB. Lấy điểm M trên cung AB, kẻ MHAB ở H. Từ điểm C bất kỳ trên cung nhỏ MB vẽ tiếp tuyến xCy cắt đường thẳng MH ở O. AC cắt MH ở D và MH cắt BC ở E. Chứng minh : Các điểm B, C, D, H thuộc một đường tròn và A, H, C, E nằm trên một đường tròn. Chứng minh : O là tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆DCE. 15 Cho ∆ABC nhọn có hai phân giác trong đỉnh B và C cắt nhau ở E, hai phân giác ngoài đỉnh B và C cắt nhau ở F. Đặt số đo . Chứng minh : Tứ giác BECF nội tiếp. Chứng minh : và tính theo . Gọi I là trung điểm của EF.Chứng minh . Chứng minh : Tứ giác ABCI nội tiếp. Lấy M BC sao cho . Chứng minh ∆ABI đồng dạng ∆CMI. Chứng minh : ∆BMI đồng dạng ∆ACI. Chứng minh : . 16 Cho ∆ABC nhọn có hai phân giác trong đỉnh B và C cắt nhau ở E, hai phân giác ngoài đỉnh B và C cắt nhau ở F. Đặt số đo . Tính số đo theo . b. Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh tứ giác ABCI nội tiếp. Lấy M BC sao cho . Chứng minh. 17 Trong hình vuông ABCD vẽ nửa đường tròn (O) đường kính AD và cắt cung của đường tròn ( D; DA ). Lấy điểm P bất kỳ trên cung , PD cắt ở K. Kẻ PH AB ở H. PA cắt tại I. a. Chứng minh : DI là phân giác của . b. Chứng minh : Tứ giác AHPK nội tiếp. c. Chứng minh : PH = PK. 18 Trong hình vuông ABCD vẽ nửa đường tròn (O) đường kính AD và cắt cung của đường tròn ( D; DA ). Lấy điểm P bất kỳ trên cung , PD cắt ở K. Kẻ PH AB ở H. Chứng minh : PH = PK. 19 Cho ∆ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Lấy điểm M bất kỳ trên cung nhỏ . Kẻ MH AC ở H, MKBC ở K và MIAB ở I. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, HK. Chứng minh . Chứng minh : Các tứ giác AHMI, HMCK nội tiếp. Chứng minh : Ba điểm I, H, K thẳng hàng. Chứng minh : MB là phân giác của . Chứng minh : Tứ giác BIMK nội tiếp. Chứng minh : ∆ABM đồng dạng ∆HKM và ∆BEM đồng dạng ∆KFM. Chứng minh : Tứ giác IEFM nội tiếp và suy ra 20 Cho ∆ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Lấy điểm M bất kỳ trên cung nhỏ . Kẻ MH AC ở H, MKBC ở K và MIAB ở I. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, HK. a. Chứng minh : Ba điểm I, H, K thẳng hàng. b. Chứng minh : ∆ ABM đồng dạng ∆HKM và ∆BEM đồng dạng ∆KFM. c. Chứng minh : . 21 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Lấy điểm D bất kỳ trên cung nhỏ . Trên BC lấy điểm N sao cho . a. Chứng minh : ∆ABD đồng dạng ∆CND và ∆ACD đồng dạng ∆BND. b. Kẻ DHBC ở H, DIAB ở I và DKAC ở K. Chứng minh: và . c. Chứng minh : . 22 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Lấy điểm D bất kỳ trên cung nhỏ . Trên BC lấy điểm N sao cho . a. Chứng minh : ∆ABD đồng dạng ∆CND và ∆ACD đồng dạng ∆BND. b. Kẻ DHBC ở H, DIAB ở I và DKAC ở K. Chứng minh: . 23 Cho ba điểm A, B, C thuộc đường tròn (O). Gọi M, N, P là điểm chính giữa các cung nhỏ . BP cắt AN ở I, MN cắt AB ở E, AN cắt BC ở D. a. Chứng minh : và ∆BNI cân. Chứng minh :MN là phân giác của và BP là phân giác của . Chứng minh : . Chứng minh : ∆BEI cân. Chứng minh : EI // BC. và . 24 Cho ba điểm A, B, C thuộc đường tròn (O). Gọi M, N, P là điểm chính giữa các cung nhỏ . BP cắt AN ở I, MN cắt AB ở E, AN cắt BC ở D. a. Chứng minh : ∆BNI cân. b. Chứng minh : . Chứng minh : EI // BC. Chứng minh : . 25 Cho B, C nằm trên tiếp tuyến xAy của (O) (A (O)) và A BC. Kẻ hai tiếp tuyến BD, CE. Chứng minh . 26 Cho B, C nằm trên tiếp tuyến xAy của (O) (A (O)) và ABC. Kẻ hai tiếp tuyến BD, CE. Chứng minh . 27 Cho ∆ABC cân ở A. Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với AB, AC ở B và C. Từ M trên cung nhỏ kẻ MD, ME, MF lần lượt vuông góc với BC, CA, AB. Chứng minh : Các tứ giác MDBF, MDCE nội tiếp. Chứng minh : ∆FBM đồng dạng ∆DCM và ∆DBM đồng dạng ∆ECM. Chứng minh : . 28 Cho điểm A ngoài (O; R). Vẽ hai cát tuyến AMN và APQ (MN > PQ) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính OA. Hai dây AD, AF của đường tròn (O; OA) tiếp xúc với đường tròn (O; R) lần lượt ở B và C. Hai cát tuyến AMN và APQ cắt đường tròn (O; OA) ở E và H (E, H A). Chứng minh : B là trung điểm của AD và C là trung điểm của AF. Chứng minh : rồi suy ra AD = AF. So sánh AE và AH rồi chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp. So sánh và 29 Cho điểm A ngoài (O; R). Vẽ hai cát tuyến AMN và APQ (MN > PQ) Vẽ đường tròn tâm O, bán kính OA. Hai dây AD, AF của đường tròn (O; OA) tiếp xúc với đường tròn (O; R) lần lượt ở B và C. Hai cát tuyến AMN và APQ cắt đường tròn (O; OA) ở E và H (E, H A). a. Chứng minh : AD = AF và so sánh AE và AH. b. Chứng minh : Tứ giác ABOC nội tiếp. c. So sánh và . 30 ∆ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O). Điểm M di động trên BC. Vẽ đường tròn tâm ( I ) qua M và tiếp xúc với AB ở B. Vẽ đường tròn tâm ( J ) qua M và tiếp xúc với AC ở C. Đường tròn ( I ) cắt ( J ) ở điểm thứ hai là N (NM). a. Chứng minh : NÎ(O). b. Đường thẳng MN cắt (O) ở K (KN). Chứng minh : . c. Chứng minh : AK // BC. d. Chứng minh : Điểm K cố định khi M di động trên đoạn BC. 31 ∆ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) và điểm M di động trên cạnh BC. Vẽ đường tròn tâm I qua M và tiếp xúc với AB ở B. Vẽ đường tròn tâm J qua M và tiếp xúc với AC ở C. Hai đường tròn (I) và (J) cắt nhau ở điểm thứ hai là N khác M. Chứng minh điểm N Î(O) Đường thẳng MN cắt (O) ở K (K khác N). Chứng minh điểm K cố định khi M di động trên cạnh BC. 32 Trên hai cạnh Ox và Oy của . Lấy hai điểm A và B sao cho OA = OB. Tia Az quay quanh A và cắt OB tại M. Kẻ BHAz ở H và cắt đường thẳng AO ở I. Có nhận xét gì về tứ giác OMHI và so sánh OM với OI. Kẻ OKBI ở K. Chứng minh HO là phân giác của và OK = KH. Chứng minh : K luôn di động trên một đường cố định. 33 Trên hai cạnh Ox và Oy của . Lấy hai điểm A và B sao cho OA = OB. Tia Az quay quanh A và cắt OB tại M. Kẻ BHAz ở H và cắt đường thẳng AO ở I. a. Có nhận xét gì về tứ giác OMHI và so sánh OM với OI. b. Kẻ OKBI ở K. Chứng minh : OK = KH và K luôn di động trên một đường cố định khi Az quay quanh A sao cho MÎOB. 34 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O). Vẽ dây DD’ // BC (D’, B thuộc về hai nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AC).AD’ cắt BC ở E. a. Chứng minh :∆ABD đồng dạng ∆AEC và ∆ABE đồng dạng ∆ADC. b. AC cắt DD’ ở F. Chứng minh : . c. Chứng minh :∆AFD đồng dạng ∆AD’B và ∆ACE đồng dạng ∆BD’E. d. So sánh EC.EB với ED’.EA. 35 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O). Vẽ dây DD’ // BC (D’, B thuộc về hai nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AC).AD’ cắt BC ở E. a. Chứng minh :∆ABD đồng dạng ∆AEC và ∆ABE đồng dạng ∆ADC. b. AC cắt DD’ ở E. Chứng minh :∆AFD đồng dạng ∆AD’B . c. So sánh EC.EB với ED’.EA. 36 Cho đường tròn (O) và dây AB. Lấy điểm M trên tia đối của tia BA, kẻ hai tiếp tuyến MC và MD với (O) (C lớn). Phân giác của cắt AB ở E, CE cắt nhỏ tại F. Chứng minh : . Chứng minh : MC = ME. Chứng minh : ∆ADM đồng dạng ∆DBM và ∆CAM đồng dạng ∆BCM rồi suy ra . Chứng minh : DE là tia phân giác của . Gọi I là trung điểm của dây AB. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp ∆MCD qua hai điểm cố định. Chứng minh : MI là tia phân giác của . Xác định vị trí của điểm M trên AB để ∆MCD đều. 37 Cho đường tròn (O) và dây AB. Lấy điểm M trên tia đối của tia BA, kẻ hai tiếp tuyến MC và MD với (O) (C lớn). Phân giác của cắt AB ở E. a. Chứng minh : MC = ME. b. Chứng minh : DE là tia phân giác của . c. Gọi I là trung điểm của dây AB. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp ∆MCD qua hai điểm cố định. d. Chứng minh : MI là tia phân giác của . e. Xác định vị trí của điểm M trên AB để ∆MCD đều. 38 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O). có H là trực tâm. Kẻ đường kính AD cùa (O) và gọi M là trung điểm của BC. a. ∆ABD và ∆ACD là tam giác gì? Tại sao? b. Chứng minh : BHCD là hình bình hành và H, M, D thẳng hàng. c. Giả sử . Chứng minh : và tính độ dài đoạn AH. d. Chứng minh H, G, O thẳng hàng (G là trọng tâm của ∆ABC) e. Chứng minh : G là trọng tâm ∆AHD rồi suy ra GH = 2GO. 39 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O). có H là trực tâm. Kẻ đường kính AD cùa (O) và gọi M là trung điểm của BC. a. Chứng minh : BHCD là hình bình hành và H, M, D thẳng hàng. b. Giả sử . Chứng minh : và tính độ dài đoạn AH. c. Chứng minh H, G, O thẳng hàng và GH = 2GO (G là trọng tâm của ∆ABC) 40 Cho ∆ABC đều nội tiếp trong đường tròn (O). Lấy điểm M trên cung nhỏ và điểm D trên MA sao cho MD = MB. ∆BMD là tam giác gì? Tại sao? Chứng minh : và AD = MC. Chứng minh : MA = MB + MC. Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tổng độ dài MA + MB + MC lớn nhất. 41 Cho ∆ABC đều nội tiếp trong đường tròn (O). Lấy điểm M trên cung nhỏ và điểm D trên MA sao cho MD = MB. a. ∆BMD là tam giác gì? Tại sao? b. Chứng minh : MA = MB + MC. c. Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tổng độ dài MA + MB + MC lớn nhất. 42 Cho ∆ABC vuông tại A có AH là đường cao. đường tròn tâm (O) đường kính AH cắt AB ở E và AC ở F. Chứng minh : AEHF là hình chử nhật và E, O, F thẳng hàng. Tiếp tuyến của (O) ở E và F cắt BC lần lượt tại M và N. Chứng minh ∆BEM và ∆CNF là các tam giác cân. Chứng minh : M, N là trung điểm của HB và HC. d. Chứng minh . e. Tính biết AB = 8cm, AC = 19cm. 43 Cho ∆ABC vuông tại A có AH là đường cao. đường tròn tâm (O) đường kính AH cắt AB ở E và AC ở F. Chứng minh : AEHF là hình chử nhật và E, O, F thẳng hàng. Tiếp tuyến của (O) ở E và F cắt BC lần lượt tại M và N. Chứng minh: M, N lần lượt là trung điểm của HB và HC. Chứng minh :∆MON vuông và chu vi (MON) =1/2 chu vi (ABC). d. Tính biết AB = 8cm, AC = 19cm. 44 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) có H là trực tâm. Lấy điểm M bất kỳ trên cung nhỏ .N và E là điểm đối xứng của M qua AB và AC. Xác định vị trí của M trên để BHCM là hình bình hành. Chứng minh và . Chứng minh : Các tứ giác AHBN và AHCE nội tiếp được trong đường tròn . Chứng minh : . Chứng minh :N, H, E thẳng hàng. 45 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) có H là trực tâm. Lấy điểm M bất kỳ trên cung nhỏ .N và E là điểm đối xứng của M qua AB và AC. a. Xác định vị trí của M trên để BHCM là hình bình hành. Chứng minh và . Chứng minh : Các tứ giác AHBN và AHCE nội tiếp được trong đường tròn . Chứng minh : N, H, E thẳng hàng. 46 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O; R) và ngoại tiếp đường tròn (I; r). Tia phân giác của góc cắt cung ở D. OI cắt (O) tại E và F (I OE). BI cắt (O)tại K. Chứng minh: và ∆BDI cân Chứng minh : và . Kẻ đường kính DH của (O) và IM AB ở M. Chứng minh ∆AMI đồng dạng ∆HBD. Chứng minh : và . 47 Cho ∆ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O; R) và ngoại tiếp đường tròn (I; r). Tia phân giác của góc cắt cung ở D. a. Chứng minh: ∆BDI cân và . b. Kẻ đường kính DH của (O) và IM AB ở M. Chứng minh ∆AMI đồng dạng ∆HBD. c. Chứng minh : . 48 Cho điểm A trên đường tròn tâm O đường kính BC. Đường thẳng vuông góc với đoạn OC tại D (DOC) cắt đường tròn (O) ở I và K (I và A cùng nằm trên nửa mặt phẳng có bờ là BC), và cắt hai đường thẳng AB, AC lần lượt ở E và F. CE cắt (O) ở J (J không trùng C) . Tiếp tuyến ở A của (O) cắt EF ở M. Chứng minh : D là trung điểm của IK. Chứng minh : FA.FC = FE.FD. Chứng minh : Ba điểm B, J, F thẳng hàng. Chứng minh : Các ∆MAF và ∆MAE cân. M là trung điểm của EF. 49 Cho điểm A trên đường tròn tâm O đường kính BC. Đường thẳng vuông góc với đoạn OC tại D (DOC) cắt đường tròn (O) ở I và K (I và A cùng nằm trên nửa mặt phẳng có bờ là BC), và cắt hai đường thẳng AB, AC lần lượt ở E và F. CE cắt (O) ở J (J không trùng C) . Tiếp tuyến ở A của (O) cắt EF ở M. Chứng minh : D là trung điểm của IK. Chứng minh : FA.FC = FE.FD. Chứng minh : Ba điểm B, J, F thẳng hàng. M là trung điểm của EF. 50 Cho và điểm A cố định trên Ox. Lấy điểm M di động trên Oy. Dựng hình vuông AMNP nằm trong góc có tâm là I. Chứng minh : Tứ giác AOMI nội tiếp được. Giả sử và OA = a. Hãy tính độ dài cạnh và đường chéo của hình vuông AMNP. Tính và . Nếu OA = a và điểm M di động trên Oy. Gọi IE và IF lần lượt là khoảng cách từ điểm I đến Ox và Oy. Chứng minh điểm I di động trên một đường cố định. 51 Cho và điểm A cố định trên Ox và OA = a. M là điểm di động trên Oy. Dựng hình vuông AMNP nằm trong góc có tâm là I. Kẻ PHOx tại H. a. Chứng minh : ∆OAM = ∆APH. b. Chứng minh : Điểm P luôn di động trên một đường cố định. c. Gọi PK là khoảng cách từ điểm P đến Oy. Chứng minh điểm K cố định. d. Gọi AG và NL lần lượt là khoảng cách từ điểm A và N đến OI. Chứng tỏ NL = AG không đổi và Chứng minh N luôn di động trên một đường cố định. 52 Cho và điểm A cố định trên Ox. Lấy M là điểm di động trên Oy. Dựng hình vuông AMNP nằm trong góc có tâm là I. a. Chứng minh : Tứ giác AOMI nội tiếp được. b. Giả sử và OA = a. Hãy tính và . c. Nếu OA = a và điểm M di động trên Oy thì các điểm I, P, N di động trên những đường cố định nào? Hãy chứng minh các điều ấy.