Chuyên đề Hướng dẫn học sinh học môn Đại số THCS - Phần: Phân tích đa thức thành nhân tử

Lời nói đầu ......................... * * * .......................... Nói đến nghiên cứu khoa học ta không chỉ hiểu đó là công việc của các nhà khoa học mà còn là đặc một trưng của nghành giáo dục và đào tạo, là nhiệm vụ của mỗi người thầy cô giáo. Khi tham gia vào lĩnh vực này nó giúp cho mỗi người phát huy được tính tích cực tìm tòi, khám phá, lĩnh hội tri thức của nhân loại cho bản thân. Đây cũng chính là con đường để mỗi người giáo viên không ngừng nâng cao trình độ chuyên môn, phát triển năng lực nghề nghiệp của mình Là một nhà giáo nói chung, một giáo viên giảng dạy toán nói riêng, tôi luôn có tâm niệm và mong muốn giúp cho HS có khả năng nhận thức nhanh nhạy và đúng đắn, có kĩ năng, kĩ xảo. Và mục tiêu cuối cùng là nhằm nâng cao chất lượng dạy và học. Bản thân tôi đã chọn và nghiên cứu chuyên đề " Hướng dẫn HS học môn Đại số THCS - Phần : Phân tích đa thức thành nhân tử " Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện chuyên đề này mặc dù đã đánh giá được thực trạng và đưa ra một số giải pháp nhưng do khả năng của bản thân còn hạn chế, rất có thể nội dung chuyên đề chưa đầy đủ và sâu sắc. Tôi rất mong muốn được sự đóng góp của giới chuyên môn và các đồng nghiệp . Tôi xin chân thành cảm ơn ! Phần I : Những vấn đề chung I - Lí do chọn đề tài: Trong phân môn Đại số ở trường THCS học sinh được học và nghiên cứu nhiều khía cạnh, vấn đề khác nhau về toán học nhưng vấn đề " Phân tích đa thức thành nhân tử " tuy chỉ được cấp đến trong phân môn đại số 8 với thời lượng 04 bài ( Từ tiết 09 đến tiết 14 ) nhưng nó lại đóng vai trò rất quan trọng. Nó là một trong những " công cụ " hữu hiệu giúp các em HS lớp 8 nói riêng và HS phổ thông nói chung vận dụng giải được các dạng bài tập như : Rút gọn phân thức ; Tính giá trị của biểu thức ; chứng minh đẳng thức ; giải các phương trình và bất phương trình .... Qua thực tế giảng dạy, trao đổi, thảo luận và dự giờ các đồng nghiệp, tôi nhận thấy HS còn rất lúng túng khi biến đổi một đa thức hay biến đổi 1 phương trình... bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử . Nguyên nhân của thực trạng này là do : 1. Trình độ nhận thức của HS không đồng đều do 100% HS là con em các đồng bào dân tộc như Thái, H'Mông, Dao... 2. Thời lượng luyện tập trên lớp theo phân phối chương trình ít (02 tiết) nên GV khó có thể giới thiệu được cho HS các phương pháp khác ( ngoài chương trình ). 3. Ngoài ra các dạng bài tập có trong giờ luyện tập còn nghèo, chưa phong phú nên cũng làm cho HS bị hạn chế hứng thú học tập cũng như thực hành giải các dạng bài tập có trong phần này . 4. Trong giảng dạy GV chưa chú ý đến các bài tập phát triển tư duy theo 2 chiều. Ví dụ: Khi phân tích đa thức thành nhânh tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức đáng nhớ thì GV thường chú trọng việc khai triển hằng đẳng thức mà chưa chú ý đến chiều ngược lại, chính vì vậy làm ảnh hưởng đến khả năng biến đổi của mỗi HS . Hiện tượng này cũng xảy ra đối với các phương pháp khác. Ngoài ra còn khá nhiều nguyên nhân làm ảnh hưởng trực tiếp đến khả năng giải toán của HS . Xuất phát từ lí do trên tôi chọn chuyên đề này nghiên cứu thực hiện với mong muốn nâng cao năng lực giải toán của HS trong môn Đại số thông qua việc vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và giới thiệu cho các đồng nghiệp một số phương pháp phân tích một đa thức thành nhân tử cũng như cách giải 1 số dạng bài tập. II - Đối tượng nghiên cứu + 09 GV của trường THCS Thân Thuộc trực tiếp đang dạy bộ môn toán ( 09 giáo viên ) + HS lớp 8 và lớp 9 ( 05 lớp 8 ; 04 lớp 9 ) III - Phương pháp nghiên cứu a, Phương pháp quan sát - Quan sát sự chuẩn bị lên lớp của 1 số GV - Quan sát sự chuẩn bị bài của HS - Tìm hiểu tư duy của 1 số HS ( ở cả 3 đối tượng ) b, Phương pháp khảo sát trực tiếp - Kiểm tra trực tiếp các HS trong giờ dạy - Tiến hành dự giờ, trao đổi đối với đồng nghiệp GV c, Phương pháp nghiên cứu tài liệu có liên quan đến đại số 8 phần phân tích đa thức thành nhân tử - SGK + SGV + Sách BDHS giỏi Toán 8 - Sách tham khảo: + Một số vấn để phát triển Đại số 8 + HD dạy học chủ đề tự chọn Toán 8 Phần II : Nội dung nghiên cứu I - Cơ sở lí luận - Khái niệm về phân tích đa thức thành nhân tử ( hay thừa số ): Phân tích đa thức thành nhân tử ( hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức . - Hệ thống các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử : + Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung + Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức + Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử + Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp + Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách 1 hạng tử thành nhiều hạng tử + Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm bớt cùng 1 hạng tử - Các loại toán, các dạng bài tập có vận dụng các phương pháp phân tích đa thức + Rút gọn phân thức + Tính giá trị của biểu thức + Chứng minh đẳng thức + Giải các phương trình và bất phương trình .... II - Cơ sở thực tiễn - Qua kết quả khảo sát đầu năm và khảo sát chất lượng giữa HS học kì I tôi thấy: Khối lớp Tổng số HS Số học sinh chưa biết phân tích Số học sinh biết phân tích nhưng chưa triệt để Số học sinh biết phân tích tương đối thành thạo 8 151 45 HS = 30% 70 HS = 46% 36 HS = 24% 9 139 34 HS = 24% 64 HS = 47% 41 HS = 29% Phần III: Biện pháp thực hiện F Giúp HS hệ thống các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử theo các bước sau : Nêu VD minh hoạ, Hướng khắc phục và sửa sai cho HS thường mắc phải. * Trong đó : 1. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung: * Dạng tổng quát : A.B + A.C + A.D = A ( B + C + D ) + Loại 1: Đa thức có sẵn dạng: A.B + A.C + A.D . Ta hướng dẫn HS áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng ta có: A.B + A.C + A.D = A(B + C + D) + Loại 2: Nếu đa thức không có sẵn dạng A.B + A.C + A.D thì ta biến đổi theo các bước sau: - Bước 1: Phát hiện ra nhân tử chung - Bước 2: Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung với nhân tử khác - Bước 3: áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để đưa đa thức về dạng tích * Kiến thức liên quan : am = am 1 . am 2 ( m1 + m 2 = m , a 0) Luật phân phối của phép nhân đối với phép cộng Quy tắc dấu ngoặc Quy tắc đổi dấu * Ví dụ minh hoạ : Phân tích đa thức thành nhân tử VD 1: 2x ( x + 1 ) + 2 ( x + 1 ) = {( x + 1 )(2x +2) = ( x + 1 ) 2 ( x + 1) = 2(x + 1)2 VD 2: 9x2y2 + 15x2y - 21xy2 = 3xy. 3xy + 3xy . 5x - 3xy . 7y = 3xy (3xy + 5x - 7y ) VD 3: 4x ( x - 2y) + 8y ( 2y - x) = 4x (x - 2y) - 8y ( x - 2y ) = 4(x - 2y)2 * Nhận xét: Có thể HS chỉ phát hiện ra có 1 nhân tử chung là 4 và kết quả chỉ dừng lại là : 4[x(x - 2y) + 2y ( 2y - x)]. Khi đó GV hướng dẫn HS chú ý đến đa thức (x - 2y) và (2y - x) từ đó hướng dẫn HS tiếp tục đặt nhân tử chung 2. Phương pháp nhóm các hạng tử : Thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: phát hiện các hạng tử có nhân tử chung + Bước 2: Tiếp tục phát hiện các nhân tử chung của mỗi nhóm VD 1: x2 - 3xy - 3x2y + 9xy2 = ( x2 - 3xy ) - (3x2y - 9xy2 ) = x( x - 3y ) - 3xy ( x - 3y ) = ( x - 3y )(x - 3xy ) = ( x - 3y ) ( 1 - 3y ) x * Những sai lầm của HS thường mắc phải : + Phân tích chưa triệt để + Biến đổi sai dấu * Gv cần lưu ý cho HS bằng cách : Sau khi phân tích xong, nhìn vào công thức và kết quả Gv đặt câu hỏi : " Đa thức còn có thể phân tích được tiếp không ? " 3. Phương pháp dùng hằng đẳng thức : thực hiện thông qua các bước sau: + Bước 1: phát hiện dạng hằng đằng thức đáng nhớ + Bước 2 : áp dụng các hằng đẳng thức VD 1 : 4x2 + 4xy + y2 = (2x)2 + 2.2xy + y2 = ( 2x + y)2 VD2: 25x2 - 1 = (5x)2 - 12 = ( 5x - 1) (5x +1) VD 3: 16x4 - 8x2 + 1 = ( 4x2)2 - 2 . 4x2 + 1 = (4x2 - 1 )2  * Nhận xét : ở các ví dụ trên Gv cần hướng dẫn HS nhận dạng được các hằng đẳng thức 4.Phương pháp tách 1 hạng tử thành nhiều hạng tử : Khi gặp những đa thức không thể sử dụng ba phương pháp trên để phân tích. Khi đó ta tìm cách tách 1 vài hạng tử nào đó để được 1 đa thức sao cho ta cso thể đặt nhân tử chung hoặc nhóm hạng tử hoặc làm xuất hiện dạng hằng đẳng thức VD 1: 6x2 - 11x + 3 = ( 6x2 - 2x ) - ( 9x - 3 ) ( Tách : - 11x = - 2x - 9x ) = 2x ( 3x - 1) - 3 (3x - 1) = ( 3x - 1 )( 2 x - 3 ) VD 2: x3 - x2 - 4 = x3 - 8 - x2 + 4 = ( x3 - 23 ) - ( x2 - 22) = ( x - 2)( x2 + 2x + 4 ) - ( x -2 )( x + 2) = ( x - 2 )[( x2 + 2x + 4 ) - ( x - 2 )] = ( x - 2 )( x2 - x + 2 ) * Nhận xét: Gv cần lưu ý hướng dẫn HS phương pháp tổng quát để giải toán phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử như sau: + Với tam thức bậc hai dạng : ax2 + bx + c Ta làm như sau : - Tính tích a . c = ... - Phân tích a . c thành tích hai số bằng mọi cách và chọn tích sao cho tổng hai thừa số đó bằng b VD : 3x2 + 11x + 6 Ta có a = 3 ; b = 11 ; c = 6 Ta có : a.c = 3.6 = 18 Ta thấy cặp s ố ( 2; 9 ) có 2 + 9 = 11 = b. Vậy 3x2 + 11x + 6 = 3x2 + 2x + 9x + 6 + Với tam thức bậc lẻ, ta làm như sau : - Cần tìm nhân tử chung của các hạng tử - Phân tích tiếp tương tự như với tam thức bậc hai VD : 2x3 + 9x2 + 10x = x ( 2x2 + 9x + 10 ) = x( x +2 )( 2x + 5 ) " Phân tích 2x2 + 9x + 10 = 2x2 + 4x + 5x + 10 = 2x( x + 2) + 5 ( x + 2) = ( x +2 )( 2x + 5 ) 5. Phương pháp thêm bớt cùng 1 hạng tử Phương pháp này áp dụng vào phân tích 1 đa thức đã cho có " dáng dấp " 1 hằng đẳng thức nào đó nhưng bị khuyết 1 hạng tử. Điều đó gợi cho ta ý tưởng thêm vào và đồng thời bớt đi chính hạng tử đó : A + B = A + B + C - C VD: Phân tích đa thức 4x4 + 1 Giải: 4x4 + 1 = (2x2)2 + 1 = [(2x2)2 + 4x2 + 1] - 4x2 = (2x2 + 1)2 - (2x)2 = ( 2x2 + 1 - 2x )( 2x2 + 2x + 1 ) * Lưu ý : Khi thêm vào đa thức hoặc bớt đi ở đa thức một hạng tử thì ta phải chọn hạng tử ( đa thức) sao cho sau khi thêm hoặc bớt ta phải làm xuất hiện 1 dạng hằng đẳng thức nào đó hoặc xuất hiện nhân tử chung VD: x7 + x2 + 1 = ( x7 - x ) + ( x2 + x + 1) = x( x2 - 1) + ( x2 + x + 1) = x[(x2)3 - 13] + ( x2 + x + 1) = x(x2 - 1)(x2 + x  + 1) + ( x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 -x + 1) 6. Phối hợp nhiều phương pháp - Khi thực hiện phân tích đa thức đa thức không phải lúc nào cũng chỉ cần áp dụng 1 hoặc 2 phương pháp mà rất có thể ta cần phải phối hợp nhiều phương pháp mà rất có thể ta cần phải phối hợp nhiều phương pháp mới có thể được kết quả. Thật vậy khi phân tích đa thức sau : a4 + 5a3 + 15a - 9 (*) * Cách 1: Nhóm hạng tử, ta có: a4 + 5a3 + 15a - 9 = (a4 - 9) + (5a3 + 15a ) = (a2 - 3)(a2 + 3) + 5a (a2 + 3) = (a2 + 3)(a2 - 3 + 5a) = (a2 + 3)(a2 + 5a - 3) * Cách 2: Thêm bớt cùng 1 hạng tử 3a2. Ta có a4 + 5a3 + 15a - 9 = ( a4 + 5a3 - 3a2 ) + ( 3a2 + 15a - 9) = a2 ( a2 + 5a - 3) + 3(a2 + 5a - 3) = (a2 + 5a - 3)( a2 + 3) Ngoài ra GV có thể hướng dẫn HS thêm 1 số phương pháp khác giúp HS tìm ra lời giải nhanh hơn của 1 số bài toán nâng cao đó là: 7. Phương pháp đổi biến ( Đặt thừa số phụ): Khi đa thức đã cho là đa thức bậc cao có các hạng tử hoặc các đa thức thành phần có điểm giống nhau. Ta đặt ẩn phụ để hạ bậc của đa thức trong quá trình thực hiện phân tích 8. Phương pháp sử dụng nghiệm: - Sử dụng nghiệm để hạ bậc của đa thức, áp dụng định lí Bơ- du: " Nếu a là 1 nghiệm của đa thức f(x) thì f(x) = ( x - a ) . Q(x) ". - Phương pháp này sử dụng để phân tích đa thức có thể nhẩm được nghiệm của đa thức - Các hệ số của Q(x) được xác định được nhờ lược đồ Hoóc - Ne 9. Phương pháp xét giá trị riêng: Phương pháp này được áp dụng khi trong đa thức có nhiều biến, các biến có vai trò như nhau. Trong đa thức, các biến có thể hoán vị vòng quanh thì đa thức cũng thay đổi. Khi đó ta cho biến những giá trị cụ thể để xác định các thừa số còn lại 10. Phương pháp dùng hệ số bất định: Dựa trên cơ sở đồng nhất thức, tức là 2 đa thức ở dạng chính tắc hằng đẳng thức với nhau thì các hệ số tương ứng của chúng cũng bằng nhau. VD: Cho P(x) = anxn + an -1xn -1 + ......+ a1x + a0 Q(x) = bnxn + bn -1xn -1 + ......+ b1x + b0 Khi P(x) = Q(x) an = bn ; an -1 = bn - 1 ; ...... a1 = b1 và a0 = b0 Phương pháp này thường sử dụng trong trường hợp bài toán cho biết dạng của các đa thức nhân tử cần phân tích hoặc khi đa thức đã cho không có nghiệm hữu tỉ. Lúc này ta phải đi xác định hệ số của các đa thức nhân tử với giả thiết dạng đã phân tích được Phần IV : Kết luận chung Trong phân môn Đại số, phần " Phân tích đa thức thành nhân tử " như tôi đã đề cập ở trên nó đóng vai trò khá quan trọng. Nó giúp HS có thể giải được các dạng bài tập như giải phương trình , rút gọn phân thức ; tìm giá trị của biểu thức v v... một cách nhanh chóng và thuận lợi. Với chuyên đề SKKN này tôi mong muốn hệ thống lại tương đối đầy đủ các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, những chú ý khi sử dụng từng phương pháp, đặc biệt trong từng ví dụ minh hoạ có nêu ra những sai lầm mà HS thường mắc phải và các lưu ý của GV đối với HS khi sửa các sai lầm đó . Các ví dụ trong chuyên đề này hầu hết là những bài tập của Đại số 8 và được nâng cao dần trong đại số 9. Thông qua đó HS thuộc mọi đối tượng đều nắm vững và áp dụng được vào giải các bài tập có liên quan đặc biệt là trong công tác bồi dưỡng HS giỏi lớp 8 và lớp 9. Nhờ đó bước đầu khi áp dụng các phương pháp nêu trên vào trong giảng dạy Đại số 8 và 9, tôi đã thu được kết quả đáng khích lệ trong cuối học kì I là : Khối lớp Tổng số HS Số học sinh chưa biết phân tích Số học sinh biết phân tích nhưng chưa triệt để Số học sinh biết phân tích tương đối thành thạo 8 151 17 HS = 11% 63 HS = 42% 71 HS = 47% 9 139 19 HS = 13% 50 HS = 37% 70 HS = 50% Trên đây là 1 số biện pháp và đề xuất phương án của tôi khi dạy phân môn Đại số phân " Phân tích đa thức thành nhân tử ". Do kinh nghiệm bản thân còn hạn chế, hơn thế nữa thời gian nghiên cứu chưa sâu nên chắc chắn chuyên đề còn rất nhiều khiếm khuyết, tôi rất mong được sự đóng góp của các đồng nghiệp và giới chuyên môn Tôi xin chân thành cảm ơn ! Mục lục Lời nói đầu 1 Phần I: Những vấn đề chung 2 I, Lí do chọn đề tài 2 II, Đối tượng nghiên cứu 3 III, Phương pháp nghiên cứu 3 Phần II: Nội dung nghiên cứu 4 I, Cơ sở lí luận 4 II, Cơ sở thực tiễn 4 Phần III: Biên pháp thực hiện 5 Phần VI: Kết luận chung 11 Tài liệu tham khảo 1, SGK Đại số 8 2, SGK Đại số 9 3, SGV Đại số 8 4, SGV Đại số 9 5, Sách " Bài tập Đại số 8 " 6, Sách " Bài tập Đại số 9 " 7, Sách " Một số vấ đề phát triển Toán 8 " 8, Sách " Bồi dưỡng HS giỏi Đại số 8 " 9, Sách " Bài tập chọn lọc " 10, Sách " Đại số sơ cấp '' 11, Sách " Hướng dẫn giải toán THCS " 12, Sách " HD dạy học chủ đề tự chọn Toán 8 "